Arbeitsblätter zur Vergleichsklausur EF Arbeitsblatt I.1 Nullstellen Aufgabe 1 Bestimme die Lösungen der folgenden Gleichungen möglichst im Kopf. Beachte den Satz: Ein Produkt wird null, wenn einer der Faktoren null wird, sonst nicht. Beispiele: (x 2 4)(x+5)=0 x 2 4=0 v x+5 = 0 x = 2 v x= 2 v x = 5 x +2x 2 = 0 x 2 (x+2)=0 x=0 v x = 2 a) (x 5)(2x+4)=0 b) (x 2 +9) (x+9)=0 c) (x+)(x+1)=0 d) x +6x 2 = 0 e) (2x 5)(5x+2) = 0 f) x 6 8x = 0 g) (4 x 2 )(2+x 4 )=0 h) x 5 4x 4 =0 E 0; 1,25 L ; 1 N 0; 2 I 2,5; 0,4 V 0; 6 S 0 E 9 H 5; 2 F ; 9 B 5; 0,5 S 8; 6 K 2; 2 I 0; 4 K 2,5; 0,4 I ; ; 9 L 2; 2; 0,5 S 0; 6 R 0; 1; 1 In der Tabelle sind die richtigen Lösungsmengen zu finden. Die zugehörigen Buchstaben ergeben eine europäische Großstadt. Aufgabe 2 Bestimme rechnerisch die Nullstellen der folgenden Funktionen: a) f 1 (x) = x 2 +x b) f 2 (x) = 4x 4 2x 2 c) f (x) = 5x 2 +8x 2 d) f 4 (x) = x 4 x 2 e) f 5 (x) = 2x 6x 2 f) f 6 (x) = 8x 9 +9x 8 g) f 7 (x) = 2x 6x 2 +2x h) f 8 (x) = x x 4 Aufgabe Ermittle die Nullstellen a) f(x)= x(2x )(x+4) b) f(x)= x 2 +8 c) f(x)= x 2 6x+9 d) f(x) = (x 2 +2)(x-)(x -1) Aufgabe 4 Ermittle die Nullstellen (ggf. auch mit TR) und den y Achsenabschnitt: a) f(x)= (x 2 +2)(2x ) x b) f(x)= x 2 +8 c) f(x)= x 2 6x+9 d) f(x) = e) f(x) = 4x 2 12x+2 1 x x 2 4 6
Arbeitsblatt I.2 Nullstellen, Scheitelpunkte quadratischer Funktionen, Transformationen der Normalparabel Hier ist Einiges durcheinander geraten. Ordne den Funktionen den richtigen Scheitelpunkt und die richtigen Nullstellen zu. Berechne fehlende Nullstellen und Scheitelpunkte und gib an, durch welche geometrischen Transformationen der Graph aus dem Graphen der Normalparabel entsteht. Scheitel Entstehung aus der Funktion Nullstellen punkt Normalparabel (E. = Einheit) y = x 2 + 1 S(0 1) Nullstellen: x 1 = 1 ; x 2 = 1 y = x 2 + 2x 1 S( 4) Nullstellen: x 1 = 0 ; x 2 = y = (x ) 2 4 S(1 0) keine Nullstellen y = (x 1) 2 S( 2 1) Nullstellen: x = y = x(x + 2) y = x 2 + 4x + 5 y = x 2 + 2x y = (x + 2) 2 + 1 S(0 1) Verschiebung um 1 E. nach links und 1 E. nach unten. Verschiebung um 1 E. nach rechts, dann Spiegelung an der x Achse Aufgabe 2 Lies die Koordinaten der Scheitelpunkte rechts ab und ermittle die Funtionsgleichung. Achte auf eine mögiche Streckung der Parabel. a) S( ) y = b) S( ) y = a b c c) S( ) y = d) S( ) y = e) S( ) y = Aufgabe Wie lautet die Gleichung der Funktion, deren Graph aus dem der Normalparabel entsteht, indem man diesen a) um 7 Einheiten nach unten verschiebt? f(x) = b) um 2,5 Einheiten nach links verschiebt? f(x) = c) um 2 5 Einheiten nach links und um 1 Einheiten nach oben verschiebt? f(x) = d e d) an der x Achse spiegelt, und der die x Achse nur bei x = 4,2 berührt? f(x) = Aufgabe 4 Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung: a) 1 4 x2 25 = 0 b) 2x 2 + 4x = 0 c) x 2 + x 10 = 0 x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 = d) 6(x 4)(x + 4) = 0 e) 1 2 x2 4x + 8 = 0 f) 1 x2 + 2x +10 = 0 x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 = x 1 = ; x 2 =
Arbeitsblatt B I. Graphen zuordnen Aufgabe 1 Ordne die Funktionsgleichungen den richtigen Graphen zu: f(x) = x 4 + 2x 2 2 g(x) = x 5 + 2x x h(x) = x 5 +x 4 +x +2 i(x) = 7x 5 + j(x) = 7x 5 + A B C D E F k(x) = x 5 x 4 x 2 f i g j h k Aufgabe 2 Ordne die Funktionsgleichungen den richtigen Graphen zu: A B G C D H E F f 1 (x) = 1 10 x4 1 2 x2 +1; f 2 (x) = 1 10 x5 +x x+ 1 f (x) = 1 10 x4 + 1 2 x 2x+ 1 f 4 (x) = 1 10 x4 +x 2 +1 f 5 (x) = 1 10 x5 + 1 10 x4 x +2x+1; f 6 (x) = 1 2 x +2x+1; f 7 (x) = 1 2 x 2x+1; f 8 (x) = 1 10 x4 1 2 x 2x+1 Funktion: f 1 f 2 f f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 Buchstabe:
Arbeitsblatt II.1 Transformationen Regeln mit Beispielen geometrische Transformation a) Spiegelung an der x Achse b) Spiegelung an der y Achse c) d) e) f) g) Verschiebung um a Einheiten nach rechts Verschiebung um a Einheiten nach links Verschiebung um a Einheiten nach oben Verschiebung um a Einheiten nach unten Streckung in y Richtung mit Faktor a>0 Aufgabe 1 Fülle die Tabelle aus! Spiegelung an der x Achse von a) f(x) = 2x 2 +5x b) f(x) = 2 x Änderung des Funktionsterms zu f(x) Beispiel: f(x) = x 2 +x+5; a = 4 Funktionsterm mit ( 1) multiplizieren. Beispiel: f(x) = ( x 2 +x+5) = x 2 x 5 Ersetze jedes x durch ( x) Beispiel: f( x) = ( x) 2 +( x)+5 = x 2 x + 5 Ersetze jedes x durch (x a) Beispiel: a=4; f(x 4) = (x 4) 2 +(x 4)+5 = Ersetze jedes x durch (x+a) Beispiel: a=4; f(x+4) = (x+4) 2 +(x+4)+5 = Zum Funktionsterm a addieren. Beispiel: a=4; f(x)+4 = x 2 +x+5+4 = x 2 +x+9 Vom Funktionsterm a subtrahieren. Beispiel: a=4; f(x) 4 = x 2 +x+5 4 = x 2 +x+1 Funktionsterm mit a multiplizieren. a=4; 4 f(x) = 4x 2 +12x+20 a) b) Spiegelung an der y Achse a) f(x) = x x b) f(x) = 4 1,5 x Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts a) f(x) = x 2 +x b) f(x) = 2 0,5 x Verschiebung um 2 Einheiten nach links a) f(x) = x b) f(x) = 4 x Verschiebung um 4 Einheiten nach oben a) f(x) = x 4 +x 2 2 b) f(x) = 1,5 x Verschiebung um Einheiten nach unten a) f(x) = x 4 +7x 2 x +5 b) f(x) = 0,4 5 x Streckung in y Richtung mit Faktor 2 a) f(x) = x 2 x b) f(x) = 1,5 x Aufgabe 2 Führe folgende Transformationen durch (LE. = Längeneinheiten) a) Verschiebung um LE. nach unten. b) Verschiebung um 2 LE. nach rechts. c) Spiegelung an der x Achse. f(x) = x 2x 2 +4 g(x) = 2 x
Arbeitsblatt III.1 Symmetrie Welche Funktionen sind nullpunktsymmetrisch (ungerade), welche y achsensymmetrisch (gerade), welche haben keine besondere Symmetrie? Die zugehörigen Buchstaben ergeben jeweils den Namen einer Stadt. A f(x) = x +1 K f(x) = (x 2) 4 I f(x) = x 4 T f(x) = x 1 D f(x) = x 5 x U f(x) = (x 2 +1) x H f(x) = 2x B f(x) = 0,2x E f(x) = x +x+1 E f(x) = x 6 11x 2 L f(x) = 1 x I f(x) = a 2 x +a 4 x W f(x) = 5 N f(x) = 2x N f(x) = x 5 2 nullpunktsymmetrisch: y achsensymmetrisch: weder nullpunktsymmetrisch noch y achsensymmetrisch :
Arbeitsblatt IV.1 Ganzrationale Funktionen ableiten Aufgabe 1 Bestimme die Gleichung der Ableitungsfunktion von f. a) f(x) = x 4 ; f (x) = b) f(x) = 4x 2 ; f (x) = c) f(x) = 2x 6 +x : f (x) = d) f(x) = 1 x 4 2x ; f (x) = 4 e) f(x) = 0,5x 5 2x + 1; f (x) = f) f(x) = x 4 f (x) = g) f(x) = x 2 + tx: f (x) = h) f(x) = 2; f (x) = i) f(x) = x; f (x) = j) f(x) = x 2 + 2a; f (x) = Funktion f fehlerhafte Ableitung Verbesserung Fehlerbeschreibung f(x) = x + f (x) = x 2 + f (x) = x 2 Konstanter Summand fällt beim Ableiten weg. f(x) = x 6 f (x) = 6x 5 f(x) = f(t) = tx 2 2 x 2 4x f (x) = 1 x 4 f (t) = 2tx f(x) = x 5 f (x) = x f(x) = 2 f (x) = 2 Aufgabe Bestimme f (x), indem du zuerst den Funktionsterm umwandelst. a) f(x) = x 2 (x 2) = ; f (x) = b) f(x) = 5 (x + 2) 2 = ; f (x) = c) f(x) = x (x + 2)(x )= ; f (x) = d) f(x) = 4(x 4 +) x 2 = ; f (x) =
Arbeitsblatt V.1 Parabeln und besondere Geraden Aufgabe 1 Der abgebildete Graph gehört zur quadratischen Funktion f(x) = 0,5x 2 1. a) Zeichne eine Gerade durch die Punkte Q( 1 0,5) und R(,5) des Graphen. b) Diese Gerade nennt man.. Ihre Gleichung ist g(x) =. c Zeichne näherungsweise eine Tangente parallel zur Geraden g(x) ein. Diese Tangente hat die Gleichung t(x) = und sie berührt die Parabel im Punkt P( ). d) Geraden, die einen Graphen weder schneiden noch berühren, nennt man. Zeichne dafür ein Beispiel ein. Aufgabe 2 Gesucht ist derjenige Punkt P(x 0 y 0 ), in dem die Tangente an die Parabel f(x) = 1,5x 2 die angegebene Steigung m habt. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes a) m = 6 b) m = 1,5 c) m = 2 x 0 = ; y 0 = x 0 = ; y 0 = x 0 = ; y 0 = P( ) P( ) P( ) Aufgabe Bestimme die Gleichung der Tangente an die Parabel f(x) = x 2 im Punkt P. a) P( 27) b) P( 1 ) c) P( 2 ) m = m = m = t(x) = x t(x) = x t(x) = x Aufgabe 4 Der Graph von t ist Tangente an die Parabel it der Gleichung f im Punkt P. Ordne die Tangenten und die Berührpunkte den richtigen Parabeln zu. (Zu einer Parabel gehören zwei Tangenten.) Parabeln: f 1 (x) = 2 x2 b) f 2 (x) = 1,5x 2 c) f (x) = 4x 2 d) f 4 (x) = 6x 2 ; Tangenten: t 1 (x) = 4x+1; t 2 (x) = 4x 6; t (x) = 6x+6; t 4 (x) = 12x 6 ; t 5 (x) = x+1,5 Berührpunkte: P 1 ( 0,5 1); P 2 (1 6); P (1 1,5); P 4 ( 2 6); P 5 ( 6); f 1 ; f 2 ; f ; f 4 ; Aufgabe 5 a) (i) Bestimme die Gleichungen der Geraden g 1 durch die Punkte P( 7) und Q( 2 8). (ii) Bestimme die Gleichungen der Geraden g 1 durch die Punkte R( 4) und S(5 20). b) Prüfe, ob die Geraden g 1 und g 2 aus a) Sekante, Tangente oder Passante für den Graphen der Funktion f(x) = x 2 12x + 8 für sind.
Arbeitsblatt VI.1 Zusammenhang der Graphen von Funktion und ihrer Ableitung Ordne den folgenden Eigenschaften des Graphen einer Funktion f die passende Eigenschaft in Bezug auf den Graphen der Ableitungsfunktion f zu! Wenn die Funktion f(x) dann gilt für den Graphen der Ableitungsfunktion f (x): A parallel zur x-achse verläuft, 1 Er verläuft parallel zur x Achse. B eine Gerade ist, 2 Er hat einen Schnittpunkt mit der x Achse. C streng monoton steigt, Er verläuft streng monoton steigend. D streng monoton fällt, 4 Er verläuft streng monoton fallend. E einen Hoch- oder einen Tiefpunkt hat, 5 Er hat einen Extrempunkt. F linksgekrümmt verläuft, 6 Er verläuft oberhalb der x- Achse. G rechtsgekrümmt verläuft, 7 Er verläuft unterhalb der x-achse. H ihr Krümmungsverhalten ändert, 8 Er verläuft auf der x-achse. Lösung f A B C D E F G H f
Arbeitsblatt VI.2 Aufgabe 1 Rechts ist der Graph einer Funktion f abgebildet. 1. Welche Aussagen lassen über f machen? 2. Skizziere den Graphen von f in das Schaubild. Aufgabe 2 Rechts ist der Graph einer Funktion f abgebildet. 1. Welche Aussagen lassen über f machen? 2. Skizziere den Graphen von f in das Schaubild.
AB VII.1 Kurvendiskussion: zwei Beispiele a) f(x) = x x Nullstellen: f(x)=0 x(x 2 1)=0 x=0 v x=1 v x= 1; N 1 ( 1 0) N 2 (0 0); N (1 0) y-achsenabschnitt: Sy= N2 lokale Extrema: f (x)= x 2 1=0 x= 1 0,6 v x= 1 0,6 Untersuchung auf Vorzeichenwechsel: x 1 1 0 1 1 f (x) 2 0 1 0 2 Graph von f steigend fallend steigend Art Maximum Minimum y-werte: f( 1 ) 0,4; f( 1 ) 0,4; H( 1 0,6 0,4); T( 1 0,6 0,4) Wendepunkte: Die Wendepunkte von f sind die Extrema von f. f (x)=0 6x=0 x=0 x 1 0 1 f hat bei x=0 ein f (x) 6 0 6 Minimum, also hat f Graph von f fallend steigend bei x = 0 einen Wendepunkt mit R L Krümmung. Art Minimum W(0 0)=N2 f(x) = x 4 9x 2 Achsenabschnitte: f(x)=0 x 2 (x 2 9)=0 x=0 v x= v x= N 1 ( 0); N 2 (0 0); N ( 0); S y =N 2 Lokale Extrema: f (x)=0 4x 18x=0 x(4x 2 18)=0 x=0 v x = 4,5 2,1 v x= 4,5 2,1 Art der Punkte: x 4,5 2 0 2 4,5 f (x) 54 0 4 0 4 0 54 Graph von f fallend steigend fallend steigend Art Min. Max. Min. T1 ( 4,5 2,1 f( 4,5 = 20,25); T2( 4,5 f( 4,5 )= 20,25) H(0 0)=N2 Wendepunkte: Die Wendepunkte von f sind die Extrema von f. f (x)=0 12x 2 18=0 x= 1,5 1,2; x 2 1,5 0 1,5 2 f hat bei 1,5 f (x) 0 0 18 6 0 Extrema, also hat f dort Graph von f steigend fallend steigend Wendepunkte. W 1 ( 1,5 1,2 11,25) Art Max. Min. W 2 ( 1,5 1,2 11,25)
AB VII.2 Kurvendiskussionen innermathematisch Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = 1 2 x 6x 8 und dem nebenstehenden Graphen. a) Bestimme rechnerisch die Nullstellen und die lokalen Extremstellen der Funktion f. b) Berechne Gleichung der Tangente t(x) im Wendepunkt W. c) Die Gerade g verläuft durch die Extrempunkte von f. Ermittle die Gleichung von g. d) Der Graph von f kann geometrisch so transformiert werden, dass er eine besondere Symmetrie aufweist. Beschreibe die Transformation und gib die Gleichung der transformierten Funktion h(x) an. e) Ermittle für den Bereich [ 5; ] die Punkte des Graphen, an denen die Steigung am größten bzw. am kleinsten ist. Aufgabe 2 f(x) = 1 10 x + 1 2 x a) Berechne die Nullstellen von f. b) Zeige, dass f keine Extremstellen hat. c) Wie groß ist die Steigung von f mindestens? d) Begründe, dass man den Wendepunkt ohne schriftliche Rechnung ermitteln kann. e) Berechne die Schnittpunkte von f und der Geraden g(x) = 12,9x 24 Aufgabe Gegeben ist die Funktion f(x) = x + 12x 2 6x. Ihr Graph ist rechts gezeichnet. a) Berechne Nullstellen und lokalen Extrempunkte von f. b) Berechnen Sie den Wendepunkt des Graphen. c) Ermittle die Gleichung der Tangente t(x) an den Graphen an der Stelle x = 4. d) Die Tangente aus c) schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechne die Achsenabschnitte von t sowie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. e) Zeichne Sie die Gerade durch die beiden Extrempunkte in die obige Zeichnung ein. Weisen Sie rechnerisch nach, dass diese Gerade nicht mit der Wendetangente übereinstimmt.