Zusammenfassung Stochastik I + II

Zusammenfassung Stochastik I + II Stephan Kuschel Vorlesung von Dr. Nagel Stochastik I: WS 007/08 Stochastik II: SS 008 zuletzt aktualisiert: 7. Juli 009 Da diese Zusammenfassung den Menschen, die sie lesen helfen soll bitte ich darum, Fehler und andere Verbesserungsideen an mich weiterzuleiten: Vorname.Nachname@uni-jena.de (entsprechend Deckblatt ersetzen) Inhaltsverzeichnis I Stochastik I 1 1 Wahrscheinlichkeitsraum 1 Zufällige Variablen, Zufallsgrößen, zufällige Vektoren 3 3 Verteilungsgesetze von transformierten Zufallsgrößen 4 4 Erwartungswert, Varianz, Kovarianz 4 5 Ungleichungen & Grenzwertsätze 5 II Stochastik II: mathematische Statistik 7 1 Stichproben und der statistische Raum 8 Punktschätzungen 9 3 Verteilungen 10 4 Konfidenzintervalle 11 5 Tests 11 6 Stat. Methoden für -dim Stichproben (Multivariatstatistik) 14

Stochastik I Wahrscheinlichkeitsraum 1 Teil I Stochastik I Inhaltsverzeichnis 1 Wahrscheinlichkeitsraum 1 1.1 Wahrscheinlichkeitsraum................................. 1 1. Beschreibungsmöglichkeiten für Wahrscheinlichkeitsmaße............... 1.3 Spezielle Wahrscheinlichkeitsräume........................... 1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten............................. 1.5 stochastische Unabhängigkeit.............................. Zufällige Variablen, Zufallsgrößen, zufällige Vektoren 3.1 Zufällige Variablen.................................... 3. Zufallsgrößen....................................... 3.3 Unabhängigkeit von Zufallsgrößen........................... 3.3.1 diskrete Zufallsgrößen.............................. 3.3. stetige Zufallsgrößen............................... 3 3 Verteilungsgesetze von transformierten Zufallsgrößen 4 3.1 Transformationen von 1dim. Zufallsgrößen....................... 4 3. Summe zweier Zufallsgrößen............................... 4 3.3 Produkt & Quotient zweier Zufallsgrößen....................... 4 3.4 Injektive diffbare Transformationen von zufälligen Vektoren............. 4 4 Erwartungswert, Varianz, Kovarianz 4 4.1 Erwartungswert...................................... 4 4. Varianz.......................................... 5 4.3 Kovarianz......................................... 5 4.4 Die Kovarianzmatrix................................... 5 5 Ungleichungen & Grenzwertsätze 5 5.1 Markov-Ungleichung................................... 5 5. Tschebyscheff Ungleichung................................ 5 5.3 Gesetz der großen Zahlen................................ 5 5.4 Der zentrale Grenzwertsatz............................... 6 1 Wahrscheinlichkeitsraum 1.1 Wahrscheinlichkeitsraum Wahrscheinlichkeitsraum [Ω, A, P ], Ereignis A A, dann gilt: Ω A A A A A A Ω A p(ω) ist σ-algebra. A i A A i A Axiomensystem von Kolmogorov: P : A [0, 1]

Stochastik I Wahrscheinlichkeitsraum P (Ω) = 1 ( A i A j ) P A i Folgerungen: = = P (A i ) P ( ) = 0 P (Ω) = 1 P (A ) = 1 P (A) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) A B P (A) P (B) P (B \ A) = P (B) P (A) A 1 A... P ( i A i) = lim i P (A i ) A 1 A... P ( i A i) = lim i P (A i ) (σ-additivität von P ) 1. Beschreibungsmöglichkeiten für Wahrscheinlichkeitsmaße P (A) = ω A P ({ω}) 1.3 Spezielle Wahrscheinlichkeitsräume siehe Verteilungen 1.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten P (A B) = P (A B) P (B) A 1, A disjunkt P (A 1 A B) = P (A 1 B) + P (A B) P (A B) = P (A B) P (B) = P (B A) P (A) P (B A) = P (A B) P (B) P (A) Entnahme ohne Zurücklegen: P (A 1... A n ) = P (A 1 ) P (A A 1 ) P (A 3 A A 1 )... 1.5 stochastische Unabhängigkeit A, B stochastisch unabhängig P (A B) = P (A) P (B) A i stochastisch vollständig unabhängig P ( i A i) = i P (A i) paarweise stochastische Unabhängigkeit ist etwas anderes! (A, B) unabhängig (A, B ), (A, B), (A, B ) unabhängig

Stochastik I Zufällige Variablen, Zufallsgrößen, zufällige Vektoren 3 Zufällige Variablen, Zufallsgrößen, zufällige Vektoren.1 Zufällige Variablen g : Ω Ω g 1 : p(ω ) p(ω) g 1 (A ) : {ω Ω : g(ω) A } mit A Ω. Zufallsgrößen X : Ω R P X (B) = P (X 1 (B)) B R Verteilungsfunktion: F X (x) = P (X x) P (a < X < b) = F X (b) F X (a) P (X = a) = F X (a) F X (a 0) F X ( ) = 0 F X ( ) = 1 x R.3 Unabhängigkeit von Zufallsgrößen X, Y sollen unabh. heißen, wenn all Paare von Ereignissen, die Mithilfe von X, Y formuliert werden können unabhängig sind. P (X B 1, Y B ) = P (X B 1 ) P (Y B ) X, Y unabh. P (X 1 B 1, X B,... X n B n ) = P (X 1 B 1 )... P (X n B n ) = X 1,..., X n vollständig unabhängig = X 1,..., X n i.i.d., falls X 1,..., X n Zufallsgrößen über demselben W.-Raum.3.1 diskrete Zufallsgrößen X, Y unabhängig P (X = x, Y = y) = P (X = x) P (Y = y) X geometrisch verteilt: ( Gedächtnislosigkeit ) P (X = k + l X k) = P (X = l).3. stetige Zufallsgrößen X = (X 1,..., X n ) Randverteilungsfunktion: F Xi (x) = P (X 1 R,..., x i x,..., X n R) gemeinsame Verteilungsfunktion: F X (x 1,..., x n ) = P (X 1 x 1,..., X n x n ) X 1,..., X n unabhängig F X (x 1,..., x n ) = F X1 (x 1 )... F Xn (x n ) xn x1 Dichtefunktion F X (x 1,..., x n ) =... f X (t 1,..., t n )dt 1... dt n mit f X (t)dt = 1 f heißt Dichtefunktion R n Randdichte f xi = f X (t) R\span(x i )

Stochastik I Erwartungswert, Varianz, Kovarianz 4 3 Verteilungsgesetze von transformierten Zufallsgrößen 3.1 Transformationen von 1dim. Zufallsgrößen F g(x) (x) = P (g(x) x) = P (X g 1 ((, x])) oder Darstellung F g(x) (x) = x k(t)dt g(x) hat VD k 3. Summe zweier Zufallsgrößen Seien X 1, X unabhängig P (X 1 + X = s) = x 1 P (X 1 = x 1, X = s x ) = x 1 P (X 1 = x 1 ) P (X = s x 1 ) X 1 Π λ1, X Π λ, X 1 + X Π λ1 +λ f X1 +X = f X1 (t)f X (s t)dt X 1 N µ1,σ 1, X N µ,σ, X 1 + X N µ1 +µ,σ 1 +σ f X1 X = f X1 (t)f X (t s)dt 3.3 Produkt & Quotient zweier Zufallsgrößen f X1 X (s) = f X 1 X (s) = ( ) 1 s t f X 1 f X (t)dt t t f X1 (st) f X (t)dt 3.4 Injektive diffbare Transformationen von zufälligen Vektoren f Y (u) = f X(T 1 (u)) det T (T 1 (u)) 4 Erwartungswert, Varianz, Kovarianz Erwartungswert ˆ= Mittelwert Varianz ˆ= mittlere quadratische Abweichung 4.1 Erwartungswert EX = Existenz: xf X (x)dx, Eg(X) = x f X (x)dx < g(x)f X (x)dx E(aX 1 + b) = aex + b E(X 1 + X ) = EX 1 + EX (gilt immer) E(X 1 X ) = EX 1 EX (Zgr. unabhängig!)

Stochastik I Ungleichungen & Grenzwertsätze 5 4. Varianz varx = E(X EX) = EX (EX) var(ax + b) = a varx var(x 1 ± X ) = varx 1 + varx, X 1, X unabhängig 4.3 Kovarianz cov(x 1, X ) = E(X 1 X ) (EX 1 ) (EX ) var(x 1 + X ) = varx 1 + varx + cov(x 1 X ) cov(x 1, X ) = 0 X 1, X unkorreliert cov(x, ax + b) = avarx cov(x, X) = varx X i N µi σ i : cov(x 1, X ) = ρσ 1 σ ρ X1,X = cov(x 1, X ) varx1 varx 4.4 Die Kovarianzmatrix X = (X 1,..., X n ) zufälliger Vektor Σ X = E(X EX) T (X EX) = (cov(x i, X j )) ij n-dim Normalverteilung: ( ) σ N µ,σ, n = : Σ = 1 ρσ 1 σ ρσ 1 σ σ 5 Ungleichungen & Grenzwertsätze 5.1 Markov-Ungleichung P ( X c) E(g( X )) g(c) g monoton, nicht fallend 5. Tschebyscheff Ungleichung P ( X EX c) varx c X N µ,σ : P ( X µ kσ) σ k σ = 1 k 5.3 Gesetz der großen Zahlen (X i ) i i.i.d. ( ) 1 n lim P X i EX 1 > ɛ = 0 n n

Stochastik I Ungleichungen & Grenzwertsätze 6 5.4 Der zentrale Grenzwertsatz (X i ) i i.i.d. mit EX i <, varx i = σ > 0, EX i = m mit Φ(x) VF von N 0,1 ( n ) lim P X i nµ x = Φ(x) n nσ Summen von i.i.d.zgr. sind asymptotisch normalverteilt. P (X i = 1) = p = 1 P (X i = 0) ( ) n lim P X i np x = Φ(x) n np(1 p) mit Korrekturformel: P ( i X i k) = P ( i X i < k) = Φ Approx der Binomialverteilung: Poissonverteilung: λ = np, n groß, p klein Normalverteilung: µ = np, σ = np(1 p) ( ) k+ 1 np np(1 p)

Stochastik II: mathematische Statistik Ungleichungen & Grenzwertsätze 7 Teil II Stochastik II: mathematische Statistik Inhaltsverzeichnis 1 Stichproben und der statistische Raum 8 1.1 Liste wichtiger Statistiken................................ 8 Punktschätzungen 9.1 Punktschätzungen für Erwartungswert......................... 9. Punktschätzung für die Varianz............................. 9.3 Gütekriterien....................................... 9.4 Die Maximum-Likelihood-Methode........................... 10 3 Verteilungen 10 3.1 χ -Verteilung....................................... 10 3. t-verteilung........................................ 10 3.3 F-Verteilung........................................ 11 4 Konfidenzintervalle 11 4.1 Konfidenzintervall für Erwartungswert bei bekannter Varianz............ 11 4. Konfidenzintervall für Erwartungswert bei unbekannter Varianz........... 11 4.3 Konfidenzintervall für Varianz bei unbekanntem Erwartungswert.......... 11 5 Tests 11 5.1 Grundbegriffe....................................... 11 5. Tests für Normalverteilte Grundgesamtheit...................... 1 5..1 Gausstest: Prüfung des Erwartungswertes bei bekannter Varianz...... 1 5.. t-test: Prüfung des Erwartungswertes bei unbekannter Varianz....... 1 5..3 χ -Test: Prüfung der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert....... 13 5.3 Zwei Testprobleme für disjunkte Verteilungen..................... 13 5.3.1 Likelihood-Quotienten Methode......................... 13 5.3. Testen von Hypothesen über Parameter der hypergeometrischen Verteilung 13 5.4 Anpassungstests (Kolmogorov-Smirnov)........................ 14 5.5 Zwei-Stichproben Test.................................. 14 6 Stat. Methoden für -dim Stichproben (Multivariatstatistik) 14 6.1 Test auf Unabhängigkeit von Beobachtungsparametern................ 14 6.1.1 Randverteilungen................................. 14 6.1. Korrelationskoeffizient.............................. 14 6.1.3 χ Unabhängigkeitstest............................. 14 6. Regressionsanalyse.................................... 15

Stochastik II: mathematische Statistik Stichproben und der statistische Raum 8 1 Stichproben und der statistische Raum Stichproben math. Stichprobe: X 1,..., X n konkrete Stichprobe: x 1,..., x n Der statistische Raum: [R n, R n, {Pθ n, θ Θ}] Θ R l, l 1, P θ ist Wahrscheinlichkeitsmaß auf [R, R] θ 1.1 Liste wichtiger Statistiken 1. Stichprobenmittel / empirischer Erwartungswert T (x 1,..., x n ) = 1 n x i = x n. r-tes Stichprobenmoment / empirisches r-tes Moment 3. Stichprobenstreuung / empirische Varianz T (x 1,..., x n ) = 1 n x r i n T (x 1,..., x n ) = 1 n (x i x) = σ n 4. korrigierte Stichprobenstreuung / korrigierte empirische Varianz T (x 1,..., x n ) = 1 n 1 5. konkrete geordnete Stichprobe / Variationsreihe n (x i x) = ˆσ = n n 1 σ T (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n) (sortieren) mit x 1... x n 6. i-te geordnete Statistik / i-te Rangstatistik T (x 1,..., x n ) = x i (nach Sortieren, i-tes Element) 7. Spannweite einer Stichprobe T (x 1,..., x n ) = x n x 1 8. Stichprobenmedian / empirischer Zentralwert T (x 1,..., x n ) = x 1 = x n+1 ( 1 x n + x n +1 ) falls n ungerade falls n gerade

Stochastik II: mathematische Statistik Punktschätzungen 9 9. Stichproben-α-Quantil / empirisches α-quantil, α (0, 1) x nα +1 falls nα nicht ganzzahlig T (x 1,..., x n ) = x α = ( 1 x nα + x nα+1) falls nα ganzzahlig 10. empirische Verteilungsfunktion T (x 1,..., x n ) = ˆF (s) = 1 n n 1 [xi,α)(s) = 1 n {i 1,..., n : x i s} 11. Histogramm oder rel. Häufigkeiten zu einer Vorgegebenen Klasseneinteilung 1,..., k ( 1 n T (x 1,..., x n ) = 1 1 (x i ),..., 1 ) n 1 k (x i ) n n 1. Box-Plot 1,... k paarweise Disjunkt, äquidistant Faustregel von STURGES: k = 1 + 3.3 log 10 n T (x 1,..., x n ) = ( x 0.1, x 0.5, x 0.5, x 0.75, x 0.9 ) Punktschätzungen.1 Punktschätzungen für Erwartungswert ˆµ(x 1,..., x n ) = x var θ ˆµ(X 1,..., X n ) = 1 n var θx 1 falls X 1,..., X n i.i.d.. Punktschätzung für die Varianz ˆσ (x 1,..., x n ) = 1 n 1 n (x i x).3 Gütekriterien T erwartungstreue Punktschätzung für γ E θ T (X 1,..., X n ) = γ(θ) θ Θ T 1 effizienter als T var θ T 1 (X 1,..., X n ) < var θ T (X 1,..., X n ) < T bester erwartungstreuer Schätzer (BUE - best unbiased estimator) var θ T (X 1,..., X n ) var θ T i (X 1,..., X n ) θ Θ und T i erwartungstreu i Mögliche andere Kriterien E θ (T (X 1,..., X n ) θ) Asymptot. Verhalten für n Anmerkung: ˆµ = x ist bester erwartungstreuer Schätzer, falls Grundgesamtheit normalverteilt, poissonverteilt, binomialverteilt, aber nicht bei Gleichverteilung auf (a, b), a, b unbekannt.

Stochastik II: mathematische Statistik Verteilungen 10.4 Die Maximum-Likelihood-Methode θ Θ suchen für das diese Stichprobe den Maximalwert der Wahrscheinlichkeitsdichte liefert. Likelihood-Funktion: L : θ R n [0, ) n L(θ, x 1,..., x n ) = f θ (x i ) n = P θ (X i = x i ) Maximum-Likelihood Schätzwert ˆθ L(ˆθ, x 1,..., x n ) L(θ, x 1,..., x n ) Zur Berechnung häufig ln L betrachten. θ Θ (stetig) (diskret) 3 Verteilungen X i N 0,1 Z i N µ,σ 3.1 χ -Verteilung r Xi χ r 1 σ n(z i µ) χ n 1 σ n(z i Z) χ n 1 Y 1 χ r 1 Y χ r Y 1 + Y χ r 1 +r χ = ε 1 0 x < 0 f Y (x) = 1 r Γ( r ) x r 1 e x x 0 3. t-verteilung f Y ( x) = f Y (x) r = 1: Cauchy-Verteilung { f Y (x) = Γ( r+1 ) Γ( r ) πr r : Normalverteilung mit µ = 0, σ = 1 ) r+1 (1 + x r x R X 0 1 r r Xi t r n 1 n 1 Z µ n (X i X) t n 1

Stochastik II: mathematische Statistik Tests 11 3.3 F-Verteilung 0 x < 0 f Y (x) = ( s ) s r x s 1 ( 1 + s r x) s+r x 0 1 s r+s i=r+1 X i 1 r r X i F s,r 4 Konfidenzintervalle (1 α)-konfidenzintervall P n θ (C(X 1,..., X n ) γ(θ)) 1 α θ Θ Häufig (1 α) {0.9; 0.95; 0.99} 4.1 Konfidenzintervall für Erwartungswert bei bekannter Varianz C(x 1,..., x n ) = [ x σ Φ 1 (1 α n ), x + σ Φ 1 (1 α ] n ) ist (1 α)-ki 4. Konfidenzintervall für Erwartungswert bei unbekannter Varianz ist (1 α)-ki C(x 1,..., x n ) = [ x ] ˆσ ˆσ t n n 1,1 α, x + t n n 1,1 α 4.3 Konfidenzintervall für Varianz bei unbekanntem Erwartungswert (n 1)ˆσ C(x 1,..., x n ) =, χ n 1,1 α (n 1)ˆσ χ n 1, α weil (n 1)ˆσ σ χ n 1 5 Tests 5.1 Grundbegriffe Θ partitionieren in Θ 0, Θ 1 H 0 : θ Θ 0 Nullhypothese H 1 : θ Θ 1 Alternativhypothese H 0 wahr H 1 wahr H 0 wählen Fehler. Art H 0 ablehnen Fehler 1. Art.Art: irrtümliche Annahme von H 1 1.Art: irrtümliche Ablehnung von H 0 Test: D : R n {H 0, H 1 } Testgröße: T : R n R

Stochastik II: mathematische Statistik Tests 1 Kritischer Bereich K R sodass T (x 1,..., x n ) K H 1 wählen T (x 1,..., x n ) K H 0 wählen Gütefunktion des Tests D β D : θ [0, 1] mit β(θ) = Pθ n (D(X 1,..., X n ) = H 1 ) Signifikanzniveau zum Niveau α β D (θ) α θ Θ β D (θ) sup β D (θ ) θ Θ 1 (Unverfälschtheit) θ Θ 0 5. Tests für Normalverteilte Grundgesamtheit 5..1 Gausstest: Prüfung des Erwartungswertes bei bekannter Varianz (a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 T (X 1,..., X n ) = n X µ 0 σ 0 K = ( ( )) α, Φ 1 N 0,1 falls µ=µ 0 (!) ) (Φ 1 ( 1 α ), (b) H 0 : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 Testgröße wie bei Punkt a K = ( ), Φ 1 (1 α) 5.. t-test: Prüfung des Erwartungswertes bei unbekannter Varianz (a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 T (X 1,..., X n ) = n ˆσ ( X µ 0 ) t n 1 falls µ=µ 0 (!) K = (, t n 1,1 α ) (t n 1,1 α, ) K ist ein wenig kleiner als beim entsprechenden Gauss-Test α kann auch als Überschreitungswahrscheinlichkeit gelesen werden, sodass PÜ(X 1,..., X n ) < α (b) H 0 : µ µ 0 H 1 : µ < µ 0 Testgröße wie bei Punkt a K = (, t n 1,1 α )

Stochastik II: mathematische Statistik Tests 13 5..3 χ -Test: Prüfung der Varianz bei unbekanntem Erwartungswert und normalverteilter Grundgesamtheit (a) H 0 : σ = σ 0 H 1 : σ σ 0 T (X 1,..., X n ) = ˆσ (n 1) = 1 σ 0 σ0 n (X i X) falls σ =σ 0 (!) χ n 1 K = [0, χ n 1, α ) (χ n 1,1 α, ) (b) H 0 : σ σ 0 H 1 : σ < σ 0 Testgröße wie bei Punkt a T (X 1,..., X n ) K α p ü 1 α K = (0, χ n 1,α) 5.3 Zwei Testprobleme für disjunkte Verteilungen 5.3.1 Likelihood-Quotienten Methode Allgemeines Prinzip zur Konstruktion von Tests bzw von Testgrößen. Betrachten [R n, R n {P θ0, P θ1 }] d.h. θ = {P θ0, P θ1 } H 0 : θ = θ 0 H 1 : θ = θ 1 L(θ1, x1,..., xn) L(θ 0, x 1,..., x n ) > c dann H 0 ablehnen c so wählen, dass Wahrscheinlichkeit für Fehler 1.Art β(θ 0 ) α 0 Man kann zeigen, dass dieser Test, falls β(θ 0 ) = α bester α-signifikanztest ist, in dem Sinne, dass β(θ 1 ) β D (θ 1 ) α-signifikanztests D. 5.3. Testen von Hypothesen über Parameter der hypergeometrischen Verteilung N - Gesamtzahl der Produkte in einer Lieferung θ - Anzahl der fehlerhaften Produkte (unbekannt), θ {0, 1,,..., N} = Θ m - Anzahl geprüfter Produkte Zufallsgröße: κ - Anzahl der fehlerhaften Produkte unter den geprüften Produkten. κ besitzt eine hypergeometrische Verteilung mit Parametern N, θ, m = H N,θ,m ( θ N θ ) P θ (κ = k) = k)( m k ( N m) H 0 : θ θ 0 H 1 : θ θ 1 Kritischen Bereich aus Quantilen wählen. N >> m H N,θ,m B m, θ N Diese Binomialverteilung gegebenenfalls mithilfe des zentralen Grenzwertsatzes durch Normalverteilung oder durch Poissonverteilung mit λ = m θ N nähern.

Stochastik II: mathematische Statistik Stat. Methoden für -dim Stichproben (Multivariatstatistik) 14 5.4 Anpassungstests (Kolmogorov-Smirnov) H 0 : F = F 0 H 1 : F F 0 T (x 1,..., x n ) = n sup t R ˆF (t) F 0 (t) 5.5 Zwei-Stichproben Test H 0 : µ 1 µ H 1 : µ 1 > µ T (X 1,..., X n, Y 1,..., Y n ) = Vergleich der Varianzen: F-Test σ1 σ : Welch Test n m n + m X Ȳ ˆσ ˆσ 1 = n + m K = (t m+n,1 α, ) falls µ 1 =µ und varx 1 =varx =σ ( (n 1)ˆσ X + (m 1)ˆσ Y ) t n+m 6 Stat. Methoden für -dim Stichproben (Multivariatstatistik) 6.1 Test auf Unabhängigkeit von Beobachtungsparametern 6.1.1 Randverteilungen F (X,Y ) (x, y) = F X (x) F Y (y) Unabhängigkeit von X und Y mit F (X,Y ) (x, y) = P (X x, Y y) 6.1. Korrelationskoeffizient ρ X,Y = cov(x, Y ) varx vary nur falls X, Y normalverteilt gilt immer X, Y unabhängig 6.1.3 χ Unabhängigkeitstest Es seien a 1,..., a r R und b 1,..., b s R p ij = P (X 1 = a i, Y 1 = b j ) mit i,j p ij = 1 Bezeichnung: s p i = p ij = P (X 1 = a i ) r p j = p ij = P (Y 1 = b j ) j=1 H 0 : p ij = p i p j i,j H 1 : p ij p i p j für wenigstens ein Paar (i, j)

Stochastik II: mathematische Statistik Stat. Methoden für -dim Stichproben (Multivariatstatistik) 15 Zufallsgröße: H ij - Anzahl {l : X l = a i, Y l = b j } ˆ= Absolute Häufigkeit des Auftretens ddes Paares (a i, b j ) in der Stichprobe. s H i = H ij r H j = H ij j=1 Testgröße: Kritischer Bereich: T = n s j=1 ( r H ij H i H j n H i H j ) ) K = [χ (r 1)(s 1),1 α, χ (r 1)(s 1) asymptot. n H 0 wahr Falls X 1 und Y 1 nicht diskret mithilfe von Klasseneinteilung diskretisieren ACHTUNG: Falls H 0 abgelehnt wird, dann Annahme dass notwendige Bedingung für die Unabhängigkeit verletzt ist! Falls H 0 angenommen wird, dann also keine Aussage über die Unabhängigkeitshypothese möglich 6. Regressionsanalyse MKQ is BLUE Gauss Markov Theorem Zufällige Prozesse!