Erweiterte Koordinaten

Erweiterte Koordinaten Sei K n ein n dimensionaler affiner Raum Die erweiterten Koordinaten x des Punktes x K n sind Kn+ (Ist für alle K sinnvoll, weil in jedem Körper K wohldefiniert ist; in dieser Vorlesung kann man K = R annehmen) Rechnen ( ) ( Sie ) selbst: ( ) Was sind die erweiterten Koordinaten von 5,, 2 6 Antwort 2, 5 6, Zuerst sieht der Begriff Erweiterte Koordinaten künstlich aus: Wozu sollte man unten schreiben? Wir werden in der Theorie von Quadriken sehen, dass diese Schreibweise doch nützlich ist; hier werde ich zeigen, dass in einigen bereits erlernten Begriffen erweiterte Koordinaten ganz natürlich vorkommen

Bsp: Affine Kombinationen in den erweiterten Koordinaten Wiederholung Der Punkt x K n ist eine affine Kombination der Punkte x,,x k K n, wenn es Zahlen λ,,λ k K gibt mit λ + λ 2 + + λ k = sodass x = λ x + + λ k x k ( ) Hier, in der affinen Kombination ( ), kann man statt x und statt x,,x k die erweiterten Koordinaten von x bzw x i einsetzen: ( ) ( Die ) Gleichung ( bleibt richtig: x x xk = λ + + λ k ), weil unten λ + + λ k = steht

Affinitäten Wiederholung Def Wiederholung Eine Affinität von K n ist eine Abbildung F : K n K n der Form F(x) = Bx + b, wobei B GL n (K) eine nichtausgeartete quadratische n n-matrix ist Wichtige Klasse von Affinitäten vom euklidischen Raum (R n,, ) bilden Isometrien, also die Abbildungen, die Abstände zwischen Punkten erhalten (siehe Vorl 7 LAAG I sowie Vorl 7) In der Tat, wenn, das Standard-Skalarprodukt ist (was in geeigneten Koordinaten immer der Fall ist), hat jede Isometrie die Form F(x) = Ox + b, wobei O eine orthogonale Matrix ist

Bsp Affinitäten in erweiterten Koordinaten Man kann jede Affinität Bx + b (eigentlich, jede affine Abbildung, wir werden aber nur Affinitäten benutzen) in der erweiterten Form schreiben: b x B x F = B B b n = Bx + b Erklärung: Ausrechnen ZB ist es einfach zu sehen, dass auf der letzten n + -ten Stelle des Produktes steht, weil die letzte Zeile von der erweiterten Matrix gleich ( ) ist Auf dem ersten Platz des x Produktes steht (b b n b ) = (b b n ) x + b wie in Bx + b; analog für jede Zeile

Abschnitt: Quadriken (in R n ) Wir arbeiten in R n mit Standard-Skalarprodukt und Standartkoordinaten x Def Die Lösungsmenge der Gleichung n n a ij x i x j + a i x i + a = i,j= i= heißt Quadrik (a ij,a i,a R A = (a ij ) wird vorausgesetzt ) Fragen: In welche beste Form kann man die Gleichung der Quadrik mit Hilfe einer Isometrie bzw affiner Transformation bringen? Gegeben eine Quadrik, wie kann man die beste Form der Quadrik finden, ohne die Transformation explizit anzugeben?

Gleichung der Quadrik in Matrix-Form Die Gleichung n n a ij x i x j + a i x i + a = i,j= i= kann man in der Matrix-Form a a n (x ) x a n a nn + (a a n) x + a = schreiben Ferner gilt: Man kann immer voraussetzen (obda), dass die Matrix A := (a ij ) symmetrisch isttatsächlich, wenn wir die Matrix A mit der Matrix 2 (A + At ) ersetzen (die offensichtlich symmetrisch ist), wird die Gleichung und deswegen die Lösungsmenge nicht geändert: x t Das ist Matrix Ax = (x t Ax) t Rechenregeln = x t A t x, und deswegen ist die ursprüngliche Gleichung dieselbe wie a a n a a n t (x x n) 2 + 2 x + (a a n) x + a = a n a nn a n a nn

Erweiterte Matrix der Gleichung Man kann die Gleichung der Quadrik auch in der Form a /2 (x ) a a n a n a nn a /2 a n/2 a a n/2 ßÞ Ð Erweiterte (symmetrische) Matrix Erw Q Beweis: Einfach nachrechnen und die Gleichung (x ) a a n a n a nn x + (a a n) x = x + a = bekommen (Oder die äquivalente Gleichung n i,j= a ijx i x j + n i= a ix i + a = )

Rechnen Sie selbst: Schreiben Sie bitte die Gleichung x 2 2xy + 2y 2 + 4x + 6y + = in der (a) Matrixform; ((b)erweiterten ) ( ) Matrixform ( ) x x Antwort (a) (x y) + (4 6) 5 = 2 y y 2 x (b) (x y ) 2 3 y = 2 3 5

Beispiele in dim 2: Ausgeartete Quadriken: ist eine Quadrik: Die entsprechende Gleichung (eine von mehreren) x 2 + y 2 + = x (x y) y + = (x y ) x y = Ein Punkt ist eine Quadrik: ZB ist 2 die Lösungsmenge der Gleichung (x ) 2 + (y 2) 2 = Und diese Gleichung ist x 2 + y 2 2x 4y + 5 = x x (x y) +( 2 4) y y +5 = (x y ) 2 x y = 2 5 { x } Gerade ist eine Quadrik: ZB ist die Gerade sodass x = y die Lösungsmenge der Gleichung (x y) 2 = Und diese Gleichung ist x 2 2xy + y 2 = x (x y) y = (x y ) x y = y (Vereinigung { von) zwei Geraden ist eine Quadrik: ZB ist die x } { x } sodass x=y sodass x=-y die Lösungsmenge der y y Gleichung (x y)(x + y) = Und diese Gleichung ist x 2 y 2 = x (x y) y = (x y ) x y =

Nichtausgeartete Quadriken in dim 2 Ellipse: ax 2 + by 2 = c, wobei a >, b >, c > a x (x y) b y c = (x y ) a b x y = c Hyperbel: ax 2 by 2 = c, wobei a >, b > c a x (x y) b y c = (x y ) a b x y = c Parabel: ax 2 + by =, wobei a, b a x (x y) y +by = (x y ) a b/2 x y = b/2

Quadriken als Kegelschnitte

Doppel-Kegel ist eine Quadrik mit der Gleichung x 2 +y 2 tan 2 (θ)z 2 = Die Schnittmenge des Kegels mit der Ebene { x + sx + tx 2 sodass } s R 2 ist (als Punktmenge auf der Ebene in y + sy + ty 2 z + sz + tz 2 t Koordinaten s,t) die Menge (x + sx + tx 2 ) 2 + (y + sy + ty 2 ) 2 tan 2 (θ)(z + sz + tz 2 ) 2 = (x 2 + y 2 tan 2 (θ)z) 2 t 2 + 2(x x 2 + y y 2 tan 2 (θ)z z 2 ) ts + }{{}}{{} a a 2=a 2 ( s 2 + 2 x x + y y tan 2 ) (θ)z z t + }{{} a 22 a 2 ( x 2 x + y 2 y tan 2 ) 2 (θ)z 2 z s + (x + y 2 tan 2 (θ)z) 2 = }{{}}{{} a 2 a Wir sehen, dass die Menge eine Quadrik ist Man kann zeigen, dass man jede nichtausgeartete Quadrik bekommen kann, in dem man eine geeignete Ebene (also, x, x, x 2 R 3 ) (x 2 2 + y 2 2 tan 2 (θ)z 2 2) }{{} wählt y z y z y 2 z 2

Was machen Affinitäten mit Quadriken? Sei F eine Affinität, sei Q eine Quadrik (in R n ) Frage Was ist Bild F (Q) einer Quadrik Q? Antwort (Lemma 3) Es ist eine Quadrik Beweis Da F eine Affinität ist, ist die Umkehrabbildung F auch eine Affinität, und hat deswegen die Form F (x) = Bx + b ( ) für ein b R n und eine nichtausgeartete n n Matrix B (In Vorl 8 haben wir sogar B und b ausgerechnet) Ist x Bild F (Q), so ist F (x) Q, also (b t b b n) + (x )B x B + + ßÞ Ð (F (x)) t =(Bx+b) t (a a n) x B + b b n ßÞ Ð F (x)=bx+b 2B t Ab + B t a a a n a n a nn b n ßÞ Ð F (x)=bx+b + a =, und deswegen t x + a t b + b t Ab + a x t B t AB x + ßÞ Ð ßÞ Ð ßÞ Ð A a a Bemerkung Dies ist die Formel für die Gleichung der Quadrik Bild F (Q) = ( ),

Formel ( ) für erweiterte Matrizen Erw Q = B t b b n a a n a n a nn a /2 a n/2 a a /2 a n/2 B B B t Beweis: Z B Ausrechnen Man kann dies auch direkt sehen b b n

Hauptsätze der Theorie der Quadriken (Normalformen) Satz 8 Man kann jede Quadrik mit Hilfe einer Isometrie in eine Quadrik mit der Gleichung (x ) λ λ k x + ( ßÞ Ð k a k+ a n) + a = überführen, sodass höchstens eins der a k+,,a n,a ungleich ist Satz 8 Man kann jede Quadrik mit Hilfe einer Isometrie in eine Quadrik mit der erweiterten Matrix rechts überführen (Höchstens eins der a k+,,a n,a ist ungleich ) Erw Q = x λ λ k a k+ 2 Bemerkung Da die Gleichungen f (x) = und λ f (x) =, wobei λ, gleiche Lösungsmengen haben, kann man noch eine Zahl, zb λ gleich setzen a k+ 2 an 2 an 2 a

Folgerung Bis auf Isometrie, ist jede Quadrik in R 2 (mit Standard-Skalarprodukt) Ellipse, Hyperbel, Parabel, Punkt, Gerade, zwei Geraden, oder Beweis der Folgerung: Nach Satz 8 sieht die Gleichung einer Quadrik nach einer geeigneten Isometrie wie folgt aus (λ >, µ > ): (x y) λ µ x y (x y) λ µ x y λ x (x y) µ y λ x (x y) µ y + c = λx 2 + µy 2 = c entspricht + c = λx 2 µy 2 = c entspricht + c = λx 2 = c entspricht + c x y c = c > c < c c = Punkt Ellipse Hyperbel Zwei nichtparallele Gerade c = Punkt c > c < Zwei parallele Gerade = λx 2 c = eine Gerade = cy entspricht c Parabel

Satz 9 Man kann jede Quadrik mit Hilfe einer Affinität in eine Quadrik der Form (x ) ± ± x + ( ßÞ Ð k a k+ a n) + a = überführen, sodass höchstens eins der a k+,,a n,a ungleich ist (man kann es sogar gleich ± machen) x Man kann jede Quadrik mit Hilfe einer affinen Abbildung in eine Quadrik mit der rechts stehenden erweiterten Matrix überführen (wobei höchstens eins der a k+ a ungleich ist) Erw Q = a k+ 2 a k+ 2 an 2 an 2 a

Folgerung Bis auf Anwendung einer affinen Abbildung, ist jede Quadrik in R 2 ein Kreis, die Standard-Hyperbel x 2 y 2 =, die Standard-Parabel y = x 2, Punkt, Gerade, zwei Geraden [(x y)(x + y) = oder x 2 = ], oder (Beweis wie bei der Folgerung aus dem Satz 8)

Wiederholung: Diagonalisierung symmetrischer Matrizen über R Wiederholung: A heißt symmetrisch, falls A t = A Wiederholung Satz 39 Vorl 7 LAAG I Ist A symmetrisch, so gibt es eine orthogonale Matrix O, sodass O AO diagonal ist (Symmetrische Matrizen über R sind diagonalisierbar mit Hilfe von orthogonalen Transformationen) In Vorl 7 LAAG I haben wir gesehen, dass man auch die Reihenfolge von Diagonalelementen der Diagonalmatrix O AO beliebig wählen λ kann; also für geeignete Matrix O gilt: O AO = λ k Bemerkung: Nicht vergessen, dass für orthogonale Matrizen O = O t gilt

Idee des Beweises von Satz 8: Wir werden die Gleichung der Quadrik schrittweise (mit Hilfe von Isometrien) verbessern Beweis Man betrachte die Isometrie F, sodass F durch F (x) = + Ox = Ox gegeben ist, wobei O orthogonal ist Nach Lemma 3 ist Q := Bild F (Q) eine Quadrik, deren Gleichung x t O t AO x + 2Ot A b +O t a t ßÞ Ð ßÞÐ x + a t b +a = x ßÞÐ t O t AO ßÞ Ð A A ßÞ Ð ßÞ Ð a a Nach Satz 39 LAAG I kann man O so wählen, dass A = λ λ k x + a t O x + a ßÞÐ = ist ( a ) t Dann betrachte man die Affinität F, sodass F die Translation F (x) = b + x ist Diese ist auch eine Isometrie Nach Lemma 3 ist Bild F (Q ) eine Quadrik, deren Gleichung x t Id t A Id x + 2Id t A b + Id t t a x + ( a ) t b + a = x t A x + 2A b + (a t t ) x + a t b + a = ßÞ Ð ßÞ Ð ßÞ Ð A a a ist Da A wie oben ist, können wir b so wählen, dass ßÞ Ð a ßÞ Ð a a = ( } {{ } a k+ a n ) (für i k setze b i = a i 2λ i, sonst b i = ) k

Ist k = n, oder (a k+,,a n ) = ( ), so sind wir fertig Wenn (a k+,,a n ) ( ) ist, betrachte man eine (n k) (n k) orthogonale Matrix O n k, sodass (für ein λ R) gilt λ O n k = a k+ a n Existenz: Mit Gram-Schmidt schem Verfahren kann man eine orthonormale Basis (o,,o k+n ) finden, sodass o proportional zu ist Dann ist Matrix O n k, sodass O n k e i = o i orthogonal (da die Basis orthonormal ist), und sie überführt ein a k+ Vielfaches von e in einen Vektor, der zu proportional ist a n a k+ a n

Man betrachte die Isometrie F 2 von R n mit F 2 gegeben durch F 2 (x) = + x Nach Lemma 3 ist O n k ßÞ Ð Das ist eine orthgonale Matrix, zb O Q 2 := Bild F2 (Q ) eine Quadrik mit der Gleichung (x ) ( a n k a n) O t n k λ λk O t n k x ßÞ Ð (x ) x t Oa=λx t e k+ =λe t k+ x λ λk x + a = + ( λ ) ßÞ Ð ßÞ Ð k n k x + a = O n k x +

Jetzt betrachte die Isometrie F 3, sodass F 3 die Translation F (x) = b + x ist, mit b = ( } {{ } b k+ b n ) Ist ein a i, so k können wir b so wählen, dass a = (ZB b a = ( )) b }{{} i i te Stelle Satz 8 ist bewiesen Um Satz 9 zu beweisen, müssen wir noch die µ x passende Skalierung x machen, die offensichtlich eine µ n affine Abbildung ist, um die von Null verschiedenen Koeffizienten gleich ± zu machen

Bsp zu Beweis von Satz 8 Wir betrachten die Quadrik in R 3 Nach Algorithmus im Beweis von Satz 8 sollen wir zuerst die Matrix diagonalisieren (mit Hilfe von orthogonalen Matrizen) In LAAG I haben wir gelernt, dass die Basis in welcher die Matrix Diagonalgestalt hat, aus Eigenvektoren besteht Das charakteristische Polynom ist, die Nullstellen davon sind, und die entsprechenden Eigenvektoren sind (die sind automatisch zueinander orthogonal, da die Eigenwerte verschieden sind; ich habe sie zusätzlich normiert damit sie eine orthonormale Basis bilden)

Als orthogonale Transformationsmatrix erhält man dann O In dem neuen Koordinatensystem x = Oy sieht die Gleichung nach Lemma 3 und ausrechnen wie folgt aus: Wir müssen noch den zweiten Eintrag in a gleich machen: Da sehen wir, dass nach der Parallelverschiebung = der Quadrik die Normalform hat z z 2 z 3 y y 2 + y 3 die Gleichung

Wie kann man die Normalform (bzgl Affinen Transformationen) bestimmen, ohne die affine Abbildung bzw Isometrie zu finden? Antwort in Dim 2: Sei Q eine Quadrik in R 2 gegeben durch a a n (x ) x + (a a n) x + a = a n a nn Bezeichnung = det(erw Q ), δ = det(a), S = spur(a) Bemerkung Man kann S immer S machen, indem man die Gleichung der Quadrik mit multipliziert Satz 2 Angenommen S Es gilt: * ist δ > und <, dann ist die Quadrik eine Ellipse, * ist δ < und, so ist die Quadrik eine Hyperbel * ist δ = und, so ist die Quadrik eine Parabel * ist δ = und =, so ist die Quadrik ein paralleles Geradenpaar * ist = und δ >, so ist die Quadrik gleich * ist = und δ <, so ist die Quadrik ein Geradenpaar mit Schnittpunkt Bemerkung Nur die Vorzeichen von und δ werden benutzt

Frage Was passiert mit = det(erw Q ) und δ = det(a) nach einem affinen Isomorphismus F? Lemma 3: Sei F = b + Bx Q := Bild F (Q) Dann ist Erw Q = B t b b n ßÞ Ð a a n a n a nn a /2 a n/2 a a /2 a n/2 B Erw t ßÞ Ð Erw Q Also, Erw Q = BErw t Erw QB Erw Dann ist det(erw Q ) = B B B t b b n ßÞ Ð B Erw det(berw t )det(erw Q)det(B Erw ) Weil det(c) = det(ct ) = det(b Erw ) 2 Also wird }{{} > das Vorzeichen von nicht geändert Ähnlich: Weil A = B t AB ist, ist det(a ) = det(b) 2 }{{} > }{{} δ Also wird das det(a) Vorzeichen von δ nicht geändert Dann genügt es, Satz 2 nur für Gleichungen, die bereits in Normal-Form stehen, zu beweisen

Quadrik Erw Q und δ Ellipse λ µ = λµ, δ = λµ Hyperbel λ µ = λµ, δ = λµ Parabel λ ± = λ, δ = λ =, δ = λ µ = λµ, δ = λµ λ µ =, δ = λµ paralleles Geradenpaar Geradenpaar mit einem Schnittpunkt

Die Gleichung der Quadrik durch 5 Punkte Satz 2 Seien X,,X 5 5 verschiedene Punkte in R 2 Dann existiert eine Quadrik Q die diese 5 Punkte enthält Beweis (nur Existenz): Die Gleichung der Quadrik sieht wie folgt aus: a a 2 (x y) a 2 x 2 + a 2 a 22 y x + a 2 y + a = a x 2 + a 2 xy + a 22 y 2 + a x + a 2 y + a = Wenn die 5 Punkte x y,, x5 y 5 auf der Quadrik liegen, ist das folgende lineare Gleichungsystem erfüllt: x 2 x y y 2 x y x 2 x 2 y 2 y 2 x 2 y 2 x3 2 x 3 y 3 y3 2 x 3 y 3 x4 2 x 4 y 4 y4 2 x 4 y 4 x 2 5 x 5 y 5 y 2 5 x 5 y 5 ßÞ Ð C a a 2 a 22 a a 2 a dim(kern C ) = 6 dim(bild C ) }{{} 5 = Nach Dimensionsformel ist, also gibt es eine Lösung

Warum sind Quadriken interessant Vor Jahren: Nach Kepler schen Gesetzen sind die Bahnkurven von astronomischen Objekten Quadriken (zb sind Planetenorbite Ellipsen) Um Koordinaten seines Schiffs (in der See) auszurechnen, kann Kapitän nur astronomische Objekte (+ präzise Uhr) benutzen; Geometrie von Quadriken spielte deswegen große Rolle in Ausbildung der Kapitäne 2 In Analysis von Funktionen von mehreren Variablen: Mehrdimensionale Taylor-Reihe (Ana II/III) Satz (Taylorentwicklung, Ana II) Sei f : R n R eine glatte Funktion (zb existieren die dritten partiellen Ableitungen }{{} mehrdimensionale Verallgemeinerung von Ableitung; wird in Ana II erklärt und sind stetig) Sei z = z ein Punkt Dann gilt: ßÞÐ a n z n f f (x) := f (z) + (z) (x i z i ) + 2 f (z)(x 2 i z i )(x j z j ) + Rest(x z) x i= i x i,j= i x j ßÞ Ð ßÞ Ð a t (x z) n ßÞ Ð (x z) t A(x z) mit Rest(x z) x z 2 für x z Also, bis zum Rest(x z) (welcher in der Nähe von z klein ist), ist jede Funktion eine quadratische Funktion von y := x z mit a = f (z), a i = f x i (z) und A ij = 2 f 2 x i x j

Klausur Die Klausur findet am 27 von 9-, HS 4 Physik (JENOPTIK-Hörsaal), Helmholtzweg 5 statt Übliche Regel (Nichts ist erlaubt; Ausweis mitbringen; Papier wird gegeben) Wie in der Probe-Klausur kann die 3te Aufgabe ( Hausaufgabe ) eine beliebige Hausaufgabe sein; nicht nur Beweishausaufgabeaufgabe Die Liste von Sätze, deren Beweis abgefragt werden kann, stelle ich in ein paar Tage in Netz Teilweise haben Sie diese Liste seit der Probe-Klausur Dieselbe Regeln/Listen gelten auch für die Wiederholungsklausur

Zulassung Die Liste von zugelassene Leute bekomme ich von den Übungsleitern am Mittwoch; und trage die Zulassung in Fridolin ein Sie sollen dann von Fridolin eine Nachricht bekommen, bzw Sie können sich selber einlogen und die Zulassunginformation abrufen Falls Sie damit nicht einverstanden sind (also, falls der Übungsleiter zb nicht alle Punkte anerkannt hat bzw wegen Krankheit oder andere wichtige Gründe nicht abgegebene Blätter aus der Wertung nicht Rausgenohmen hat), klären Sie es bitte zuerst mit dem Übungsleiter Die Summe aller Hausaufgabenpunkte ist (wenn ich keinen Rechenfehler gemacht habe) ist 9 6 + 2 + 8 = 64; also Zulassungsgrenze ist 6 64 = 98 Punkte Die Teilnehmer der Montagsgruppe sollen nach Möglichkeit in dieser Woche auch in eine andere Übungsgruppe gehen (um das letzte Blatt zu besprechen)

Was werden Sie später in der Mathematik-Studium benutzen Gruppen, Ringen, Körper, Polynome Zahlentheorie; Geometrie Matrixkalkül (Multiplizieren/Invertieren/Diagonalizieren) und Determinanten Überall, insb Analysis III Strategien von Beweisen; Theorienaufbau Überall

Ankündigung In WS organisiere ich zwei Proseminare für Lehramt-Studierende: Graphentheorie 2 Lösen von mathematischen Problemen mit Hilfe von physikalischen Argumenten Sie sind eingeladen

Viel Erfolg!!!