Mechanik I.3 Ehaltungssätze Impuls, Dehimpuls, Enegie
De Impuls Eine Masse m, die sich mit de Geschwindigkeit v bewegt, hat den Impuls p p m v p De Impuls ist eine Vektogöße; die Einheit des Impulses ist [p] kg m s - Die zeitliche Ändeung des Impulses ist eine Kaft d d dv (p) (mv) m ma F dt dt dt m const II. Newtonsches Axiom wenn keine Kaft auf einen Köpe wikt, so ändet sich sein Impuls nicht und bleibt konstant Kaftstoß: wähend de Wikungsdaue Δt bewikt die Kaft eine Impulsändeung Δp des Köpes: Δp F Δt F
Impulsehaltung In einem abgeschlossenen System (keine Kaftwikung von außen) P ist de Gesamtimpuls ges, d.h. die Summe de Einzelimpulse alle Massen m i konstant N Pges p + p + p3 + + pn pi i const p i duch Wechselwikung de Massen unteeinande können sich die Einzelimpulse de Massen änden, abe so, dass de Gesamtimpuls des Systems konstant bleibt 3
. Beispiel fü Impulsehaltung Die beiden uhenden Massen auf de Luftkissenbahn stellen ein abgeschlossenes System da (Reibungskäfte duch Luftpolste kompensiet). Nach Lösen de Fede bewegen sich die Wagen in entgegengesetzten Richtungen Gesamtimpuls vo Lösen v de v Fede: Beide Wagen in Ruhe: 0 p 0; p Pges p + p Gesamtimpuls nach Lösen de Fede: p m v p mv P ges 0 p + p mv + mv! 0 v bei gleichen Massen m m v v die Wagen fahen mit gleichem Geschwindigkeitsbetag in entgegengesetzte Richtungen m v m Wagen auf Luftschiene 4
. Beispiel fü Impulsehaltung Hochspung: Spinge und Ede bilden angeschlossenes System. Beim Hochspingen stößt sich de Spinge mit de Masse m mit de Geschwindigkeit von de Ede ab. Was bedeutet das fü die Ede? v Gesamtimpuls vo dem Abspung: P p + p 0 ges E Gesamtimpuls nach Abspung: Pges mv + meve! m ve v 0 m E 0 m 70 kg; m E 6 0 4 kg; m m E 0 3 5
3. Beispiel fü Impulsehaltung Ein Ball pallt gegen eine Wand und wid eflektiet a.) senkechtes Aufteffen auf Wand b.) Aufteffen unte einem Winkel Kugel K Impulsvekto: p 0 p p K,x W,x W,y p K,x 0 p 0 K, x p + p p p x y W,x W,y Wand W Reflektion auf Luftschiene p p K,x K,y p p K,x K,y p 0 p + p pw,x pk, x; p W, y 0 pw,x pk, x; p W, y 0 Supeposition von Impulsehaltung entlang de Kodinatenachsen p p W,x W,y K, x W,x W,y 6
Beispiel fü Impulsehaltung: Rakentantieb Raketenpinzip: beim Raketenantieb wid ein Flugobjekt daduch beschleunigt, dass ein Teil seine Masse mit goße Geschwindigkeit entgegengesetzt zu Flugichtung ausgestoßen wid Zeitpunkt: t P ges m v Zeitpunkt: t+δt - T P ges m v Δm v + (m Δm ) (v + Δv) Lösung: v v(t) T T T 7
Baufomen von Raketen 8
Dehimpuls Eine Masse m, die sich mit konstante Winkelgeschwindigkeit ω auf eine Keisbahn bewegt, besitzt einen Dehimpuls L L m v m ω x p Fü den Betag von gilt: p, d.h. von und p ein- geschlossene Winkel ϕ 90 0 ; d.h. sin ϕ 0 L L p sin(90 ) p L m ω; J De Dehimpuls ist eine vektoielle Göße und steht senkecht auf de Bahnebene. Die Göße J m ist das Tägheitsmoment des Massenpunktes bzgl. de Achse duch den Mittelpunkt de Keisbahn mit Radius. Das Tägheitsmoment ist eine skalae Göße: Einheit: [J] kg m L m ω Einheit: [L] kg m s- 9
Tägheitsmoment eines staen Köpes Man kann sich den gesamten staen Köpe aus den Massenelementen m i zusammengesetzt denken, die sich im Abstand i von de Dehachse befinden. Stae Köpe heißt, dass alle Massenelemente sta miteinande vebunden sind, d.h. sich alle Massenelemente mit de gleichen Winkelgeschwindigkeit ω um die Dehachse dehen. Das Tägheitsmoment des staen Köpes bzgl. de Dehachse ist die Summe de Tägheitsmomente J i m i i alle Massenelemente bzgl. diese Dehachse J ges N N Ji i i m i i 0
Tägheitsmomente stae Köpe (fü veschiedene Geometien und bzgl. unteschiedliche Dehachsen)
Zeitliche Ändeung des Dehimpulses Eine zeitliche Ändeung des Dehimpulses wid duch ein Dehmoment bewikt. Bei eine Keisbewegung gilt fü den Betag: d dt d dt ( L) ( p) d dt (p) F d Def: L p const Newton II analog zu (p) Wenn kein Dehmoment M dt auf einen Köpe wikt, ändet sich de Dehimpuls nicht sonden bleibt ehalten M d dt (L) M F Andeeseits: d dt d dt ( L) ( J ω) Def: LJ ω J Jconst M J α d dt ( ω) J α Def: Winkelbeschleunigung α dω dt Das Dehmoment bewikt eine Winkelbeschleunigung (analog F m a)
Dehimpulsehaltung In einem abgeschlossenen System ist de Gesamtdehimpuls L ges (Summe de Einzeldehimpulse L i de zum System gehöenden Massen m i ) zeitlich konstant: n Lges L + L + L3 + + Ln Li i const In de Regel bleibt wiklich nu de Gesamtdehimpuls L ges des Systems ehalten. Duch Wechselwikungen de Köpe unteeinande können sich abe deen Einzeldehimpulse L i änden. 3
Dehimpuls: L. Beispiel: Dehimpulsehaltung xm v Fü abgeschlossene Systeme (keine äußeen Käfte) bleibt de Dehimpuls ehalten. fü Keisbewegung mit Keisfequenz ω: L m v v m ω ω m ω const ω const m Dehstuhl mit Hanteln goß ωklein klein ωgoß 4
. Beispiel fü Dehimpulsehaltung const ω m klein Tägheitsmoment J klein ωgoß Piouette Salto vowäts 5
3. Beispiel fü Dehimpulsehaltung Gesamtdehimpuls vohe: L 0; L 0; L ges 0 Dehstuhl mit Fahadfelge Gesamtdehimpuls nachhe: L J ω L J ω L L + L 0 ges wegen Gesamtdehimpulsehaltung J ω + J ω ω J ω J 0 m Analog zu Impulsehaltung (Luftkissenbahn): v v m 6
Enegie und Abeit In de Mechanik eeicht man duch Anwendung eine Kaft eine Veschiebung eines Köpes (z.b. Anheben eines Gewichts) ode eine Beschleunigung ode auch eine elastische Vefomung (Fede); letztlich in jedem Fall eine Veschiebung: Abeit ist das Podukt aus Kaft und Weg Die an dem Köpe geleistete Abeit ist dann als Enegie im Köpe gespeichet z.b. als potenzielle Enegie, kinetische Enegie (Bewegungsenegie) ode Vefomungsgenegie Enegie und Abeit sind äquivalent und ineinande umwandelba Neben de mechanischen Enegie gibt es noch andee Enegiefomen: z.b. elektische Enegie, Wämeenegie, Kenenegie etc. (späte) 7
Abeit, Enegie, Leistung Die an einem Köpe geleistete physikalische Abeit (wok) ist das Podukt aus Kaft (entlang des Weges) mal Veschiebungsweg: Abeit Kaft x Weg Δ W s F Δ s Skalapodukt Abeit ist eine skalae Göße: Einheit [W] kg m s - m kg m s - N m J (Joule) Die an einem Köpe geleistete Abeit ist dann als Enegie im Köpe gespeichet Physikalische Leistung (powe) ist das Vehältnis aus veichtete Abeit und de dafü benötigten Zeit Leistung Abeit po Zeit P Δ W Δ t Leistung ist eine skalae Göße. Einheit:[P] kg m s -3 J s - Watt 8
9 Skalapodukt Rechenvoschift: B A C z y x z y x B B B A A A z z y y x x B A B A B A + + cosθ B A cosθ B A Das Skalapodukt zweie Vektoen und ist eine skalae Göße C A B Das Skalapodukt ist das Podukt vom Betag de Pojektion von auf mit dem Betag von (bzw. umgekeht) A B B Das Skalapodukt ist komutativ: d.h. A B B A
Multiplikation von Vektoen.) Vekto mit Skala Vekto (die Länge des Vektos ändet sich, Richtung bleibt gleich) z.b. F m a.) Vektopodukt (Keuzpodukt): Vekto X Vekto Vekto z.b. M F Richtung des esultieenden Vektos bestimmt duch M Dehsinn:. Vekto in Richtung des. Vektos dehen; echte-hand-regel; M steht senkecht auf de duch und F aufgespannten Ebene θ Betag des Vektos M : M F sinθ F 3.) Skalapodukt: Vekto Vekto Skala z.b. W F s Betag de skalaen Göße: W F s cosθ 0
Hubabeit potenzielle Enegie W F h m g h um einen Köpe de Masse m senkecht um die Höhe h zu heben, muss Abeit gegen die Gewichtskaft geleistet weden. Die veichtete Hubabeit kann man aus einem Abeitsdiagamm (Kaft übe Weg) ablesen. Nachdem de Köpe auf die Höhe h gehoben woden ist, ist die aufgewandte Abeit in ihm als potenzielle Enegie gespeichet E pot m g h Lageenegie im Gavitationsfeld de Ede
Beschleunigungsabeit kinetische Enegie die veichtete Beschleunigungsabeit W ist im Abeitsdiagamm (Kaft übe Weg) ablesba: W F s F s cos θ F s,da θ0; cos 00 Ein Köpe wid mit konstante Beschleunigung (konstante Kaft) von Geschwindigkeit Null auf Geschwindigkeit v gebacht. W F s ( m g) g t m ( g t) m Nach Beschleunigung auf die Geschwindigkeit v ist die aufgewandte Abeit im Köpe als kinetische Enegie gespeichet: E kin m v v
Vefomungsabeit potenzielle Enege Kaft wächst linea mit Auslenkung (Weg) Die veichtete Vefomungsabeit W ist im Abeitsdagamm (Kaft übe Weg) ablesba: W D x Nach Dehnung de Fede ist die dazu aufgewandte Abeit in ih als potenzielle Enegie gespeichet: E pot D x 3
Umwandlung: Kinetische Enegie Vefomungsabeit E kin m v We 50 km/h fäht, hat 9 mal meh Bewegungsenegie als ein Fahe mit 50 km/h. Alle Cash-Tests de Automobilhestelle weden bei 60 km/h duchgefüht 4
Rotationsenegie Die Rotationsenegie ist die kinetische Enegie de Rotationsbewegung eines staen Köpes um eine feste Achse Alle Massenelemente m i otieen mit de gleichen Winkelgeschwindigkeit ω. Die Betäge ihe Geschwindigkeiten sind v i ω i und ihe kinetischen Enegien E kin,i / m i v i Gesamte in de Rotation gespeichete kinetische Enegie ges Ekin Ekin,i m i vi m i i ω i ω E i ot i m i i J ω i J ω J ist das Tägheitsmoment bzgl. de Dehachse 5
Enegieehaltung Enegieehaltungssatz: In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenegie E ges (Summe de Enegien E i de zum System gehöenden Massen m i ) zeitlich konstant. Dabei kann Enegie zwischen den Massen m i ausgetauscht und zwischen veschiedenen Enegiefomen umgewandelt weden. Eges E + E + E3 + + EN Ei N i const 6
. Beispiel fü Enegieehaltung Enegieehaltung bei feiem Fall de Katze.) Katze in Ruhe in Höhe h E kin 0; E pot m g h; E ges m g h.) halbe Höhe E pot / m g h E kin / m g h 3.) Katze auf Edboden E pot 0; E kin / m v m g h Beim Fallen wid die potenzielle Enegie kontinuielich in kinetische Enegie umgewandel. (Lufteibung venachlässigt) v g h peiodische Umwandlung: E pot E kin spingende Ball 7
. Beispiel fü Enegieehaltung.. Enegieehaltung: 3. Masse an Fede Die Masse m an de (masselosen) Fede vollfüht eine hamonische Schwingung. Es wid peiodisch potenzielle in kinetische Enegie umgewandelt; die Gesamtenegie bleibt dabei ehalten. (Reibung und Gavitation venachlässigt).) maximale Stauchung de Fede: E kin 0; E pot / D (-x max ).) Null-Duchgang (x0) E pot 0; E kin / m v 3.) maximale Dehnung de Fede E kin 0; E pot / D (x max ) Eges Ekin + Epot D xmax const 8
3. Beispiel fü Enegieehaltung Stat: (Höhe h) m g h; E E 0 E pot Ein Vollzylinde und ein Hohlzylinde ollen die schiefe Ebene hinunte: We ist schnelle?? Gesamtenegie potenzielle + kinetische Enegie; die kinetische Enegie hat Anteile: a.) Tanslationsbewegung b.) Rotationsbewegung kin ot Enegieehaltung: Eges Epot + Ekin,tans + Ekin, ot m g h const Ebene: E pot 0; Eges m g h Ekin,tans + Ekin,ot m v + J ω mit ω v R m g h J voll m R m v < J + hohl J v R m R Hohl- und Vollzylinde auf schiefe Ebene Vollzylinde: E ot kleine, da J voll kleine E tans göße v voll > v hohl 9
Einfache mechanische Maschinen Duch den Einsatz von mechanischen Maschinen wid die aufzubingende Abeit nicht veinget. Maschinen elauben es, eine bestimmte Abeit bei veingetem Kaftaufwand duchzufühen, alledings vebunden mit einem längeen Abeitsweg Goldene Regel de Mechanik: Was man an Kaft spat, muss man an Weg zulegen. 30
Elastische und unelastische Stoß Viele Stoßpozesse lassen sich mit Hilfe von Enegieehaltungssatz und Impulsehaltungssatz analysieen. Beide Sätze gelten auch fü Stöße im atomaen Beeich. Elastische Stoß: Beide Stoßpatne weden nicht defomiet; fü die Bewegung vo und nach dem Stoß sind Enegie und Impuls ehalten Unelastische Stoß: beim unelastischen Stoß weden die Stoßpatne ievesibel vefomt; d.h. mit einem Teil de Bewegungsenegie wid Vefomungsabeit geleistet. Total unelastische Stoß: beide Stoßpatne bewegen sich nach dem Stoß mit gleiche Geschwindigkeit 3
Beispiel elastische Stoß Anwendung von Enegie- und Impulsehaltungssatz: Enegieehaltung: A m v vo B m v nach Impulsehaltung: Bifila aufgehängte Reihe von Kugelpendeln Wenn A Kugeln ausgelenkt und losgelassen weden, wie goß ist dann die Zahl B de Kugeln, die auf de andeen Seite wegfliegt?? A m v B m vo v nach Ehaltung von Impuls und Enegie sind nu gemeinsam efüllba, wenn AB und v vo v nach Bifila aufgehängte Kugelpendel 3
Beispiel: unelastische Stoß Impulsehaltung bei unelastischem fontalen Stoß Beide Stoßpatne bewegen sich gemeinsam nach Stoß m v + m v (m + m) v m v + m v v m + m m 9 z.b. vo Stoß: v v ; v v ; m 9M nach Stoß: v v v v Lastwagen und PkW pallen M fontal zusammen 9 v v 8 4 Inelastische Stoß v v auf Luftkissenbahn 0 0 5 km d.h. Lastwagen v 00 setzt gemeinsam mit PkW seine Faht h mit 80 km/h in uspüngliche Fahtichtung fot. PkW keht Fahtichtung um und wid von LkW mitgeschleift. de massivee Stoßpatne ist im Voteil!!! 33
Vegleich: Tanslation Rotation 34
Zusammenfassung Impuls, Dehimpuls und Enegie sind physikalische Ehaltungsgößen. Enegie kann in veschiedenen Fomen vokommen, die ineinande übefüht weden können. Ehaltungssätze: in abgeschlossenen Systemen ist die Gesamtenegie, de Gesamtimpuls und de Gesamtdehimpuls ehalten; dabei können Teile des Systems (Massen, Teilchen) Enegie, Impuls und Dehimpuls in Wechselwikungen unteeinande austauschen. Enegie-, Impuls- und Dehimpulsehaltung sind fundamentale Pinzipien, deen Anwendbakeit übe die klassische Mechanik hinausgeht und die auch in de mikoskopischen Physik ihe Gültigkeit behalten. 35