Vom Parabolspiegel zur Ableitungsfunktion Im Folgenden get es darum erauszufinden, was ein Parabolspiegel ist und wie er funktioniert. Das fürt uns auf wictige Fragen eines Teilgebietes der Matematik, das sic Differentialrecnung nennt (der im Wort Differentialrecnung entaltene Begriff Differenz deutet scon darauf in, dass man mit Unterscieden recnet). Meist at man Parabolspiegel (neuerer oder älterer Art) auf dem Dac seines Wonauses zum Empfang des Fernseprogramms installiert. Rects ist ein älteres Modell abgebildet. Neuere Modelle, wie links abgebildet, sind kleiner und z.t. auc anders geformt. Zum Einstieg ein paar einface Aufgaben: Aufgabe 1: Zeicne auf ein Blatt Papier eine Strecke s und einen Punkt P ein, der nict auf der Strecke liegt (der Abstand des Punktes von der Strecke sollte etwa 3 bis 5 cm sein). Zeicne jetzt alle Punkte ein, die von P und s den gleicen Abstand aben. Was entstet? Aufgabe 2: In pysikaliscen Modellen nimmt man an, dass Sonnenstralen parallel, Lictstralen von Lictquellen wie Lampen aus aber radial verlaufen. Was rectfertigt solce Annamen? Aufgabe 3: Hier sind 3 versciedene Spiegel abgebildet. Zeicne so viele weitere parallel einfallende Lictstralen (Pfeile) ein und wie sie der Spiegel reflektiert, bis dir daran etwas auffällt (das klappt nur, wenn man besonders ordentlic zeicnet: Spitzer Bleistift, vernünftiges Geodreieck, parallele Linien, möglicst genaue Tangenten an die krummen Kurven zeicnen). Linear Halbkreis Parabel
Zum Üben: Halbkreis Parabel
Hier sind einige Anwendungsbeispiele für Parabeln bzw. Parabolspiegel abgebildet. Wie funktionieren sie jeweils/wozu ist die Anwendung nützlic?
Die Tangentenidee an der Parabel Auf dem ersten Arbeitsblatt (Parabolspiegel) wurde angenommen, dass einfallende Radiosignale bzw. Sonnenstralen parallel zur Symmetrieacse der Parabel einfallen. Nac dem Reflektionsgesetz werden die einfallenden Stralen an der Parabel (zum Brennpunkt in) reflektiert. Die reflektierten Stralen wurden (näerungsweise) zeicnerisc eingetragen. Das sollte an der Stelle auc genügen. Für tecnisc ansprucsvolle Radioteleskope genügt das jedoc nict. Das größte frei beweglice meteorologisce Radarteleskop (das sogenannte CAMRa Cilbolton Advanced Meteorological Radar) stet in Hampsire Südengland. Der Reflektor at einen Durcmesser von 25 Metern, wiegt 381 Tonnen und ist parabolisc geformt. Für solce Geräte sollte scon ein recneriscer Ansatz gefunden werden, so dass man z.b. Punkte in tecniscen Zeicnungen beliebig genau berecnen kann. Die Gleicung der obigen Parabel lautet f(x) = 0,1 x². a) Begründe, wozu man die (gestricelt) eingetragene Tangente an die Parabel benötigt und scätze die Gleicung der Tangente! Um die Gleicung y = m x + b der Tangente an die Parabel im Punkt A exakt zu berecnen, kann man z.b. so vorgeen: Zuerst bestimmt man die Steigung m: A at die Koordinaten (3,5 / 0,1 3,5 2 ) und ein beliebiger zweiter Punkt B at die Koordinaten ((3,5 + ) / 0,1 (3,5 + ) 2 ). 3,5 + Um die Steigung der Verbindungslinie (Sekante) zwiscen A und B zu ermitteln, recnet man nun 3,5 0,1 (3,5 + )² 0,1 3,5². Diesen Term kann man 3,5 + 3,5 umformen/vereinfacen: 0,1 (3,5² + 7 + ²) 0,1 3,5² 3,5² + 7 + ² 3,5² = 0,1 7 + ² = 0,1 = 0,1 (7 + ) Jetzt kann man für zwar versciedene Zalen einsetzen, aber nur für = 0 sind die Punkte A und B gleic. Nur in diesem Fall wird aus der Sekante eine Tangente und man erält für die Steigung m der Tangente den Wert m = 0,1 (7+0) = 0,7. Jetzt bestimmt man den y-acsenabscnitt b: Da mit m = 0,7 die gesucte Gleicung y = 0,7x + b lautet und man den Punkt A kennt, durc den die Tangente verlaufen muss, setzt man die x/y-koordinaten von A in die Gleicung ein und löst nac b auf: 0,1 3,5² = 0,7 3,5 + b b = - 1,225. Die gesucte Gleicung lautet also y = 0,7x 1,225 b) Bestimme die Gleicungen der Tangenten an die Parabel an den Stellen x=..., 3, 2, 1, 0, -1, -2, -3,... c) Betracte die Steigungen der Tangenten in b). Welce Regelmäßigkeit kann man erkennen?
Die Tangentenidee an jeder x-beliebigen Stelle Dargestellt ist die Funktion mit der Gleicung f(x) = 0,2 x² und ire Tangente im Punkt B (an der Stelle x = 3). Zusätzlic wurde an der Stelle x = 3 die Steigung 1,2 der Tangenten als Punkt A mit den Koordinaten (3 / 1,2) eingetragen. a) Berecnen Sie jeweils die Steigungen der Tangenten an die Funktion f(x) an den Stellen x = 5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,.... Tragen Sie diese Zalenpaare (x / Steigung der Tangenten an der Stelle x) wie im obigen Beispiel als Punkte in das Koordinatensystem ein. Was entdecken Sie? b) Wie siet die Menge aller Punkte geometrisc aus und wie kann man sie mit einer Funktionsgleicung bescreiben (diese Funktion nennt man auc Steigungsfunktion oder Tangentensteigungsfunktion oder auc Ableitungsfunktion von f(x) die letzte unterstricene Bezeicnung ist die üblicste!)? c) Berecnen Sie zu den Funktionsgleicungen f 1 (x) = x², f 2 (x) = 2 x², f 3 (x) = 3 x²,... jeweils die zugeörigen Tangentensteigungsfunktionen bzw. Ableitungsfunktion. Was entdecken Sie? Können Sie Ire Ergebnisse verallgemeinern? Vorübungen für das näcste Blatt: Statt f(x) = x², 2x², 0,5x² oder änlice Funktionsgleicungen mit x² zu betracten, kann man natürlic auc Funktionsgleicungen mit x 3, x 4, x 5 oder untersucen (die Grapen zu diesen Potenzen nennt man auc Parabeln vom Grad 3, 4, 5, ). Vor der recneriscen Untersucung sollten diese aber gezeicnet werden, damit man in etwa eine Vorstellung der zugeörigen Grapen at. a) Zeicnen Sie die 3 Grapen zu f 1 (x) = x 3, f 2 (x) = 0,5x 3 und f 3 (x) = 0,1x 3 b) Zeicnen Sie die 3 Grapen zu f 1 (x) = x 4, f 2 (x) = 0,5x 4 und f 3 (x) = 0,1x 4 c) Zeicnen Sie die 3 Grapen zu f 1 (x) = x 5, f 2 (x) = 0,5x 5 und f 3 (x) = 0,1x 5 d) Wie get es grapisc für x 6, x 7, x 8, weiter? Was ändert sic und was bleibt gleic? e) Warum wurden bei f 2 und f 3 wol 0,5 und 0,1 als Faktoren gewält und nict 5 oder 10? Was ändert sic und was würde für 5 und 10 anstelle von 0,5 und 0,1 gleic bleiben?
Die Tangentenidee an jeder x-beliebigen Stelle bei Parabeln vom Grad 3, 4, 5, Dargestellt ist die Funktion mit der Gleicung f(x) = 0,1 x³ und ire Tangente im Punkt B (an der Stelle x = 4). Zusätzlic wurde an der Stelle x = 4 die Steigung 4,8 der Tangenten als Punkt A mit den Koordinaten (4 / 4,8) eingetragen. a) Berecnen Sie die Steigungen der Tangenten an die Funktion f(x) an den Stellen x = 3, 2, 1, 0, -1, -2,.... Tragen Sie diese Zalenpaare wie im obigen Beispiel als Punkte in das Koordinatensystem ein (x-wert / y-wert = Steigung von f(x) an der Stelle x). Was entdecken Sie? b) Wie siet die Menge aller Punkte geometrisc aus und wie kann man sie mit einer Ableitungsfunktion bescreiben? c) Berecnen Sie zu den Funktionsgleicungen f 1 (x) = x³, f 2 (x) = 2 x³, f 3 (x) = 3 x³,... jeweils die zugeörige Steigungsfunktion. Können Sie Ire Ergebnisse verallgemeinern? d) Wie lauten die Steigungsfunktionen zu den Funktionsgleicungen f 1 (x) = x 4, f 2 (x) = 2 x 4, f 3 (x) = 3 x 4,... f 1 (x) = x 5, f 2 (x) = 2 x 5, f 3 (x) = 3 x 5,... e) Get das noc allgemeiner?