Intitut fü ngewandte und Expeimentee Mechani ae, ee) ZÜ 9.1 ufgabe 9.1 Ein Kotz K Mae m K ) o duch eine Lat L Mae m L ) aufwät bewegt weden. Die Umenung de undehnbaen maeoen Sei, an dem die beiden Laten befetigt ind, efogt chupffei übe die eibungfei geagete Roe R, die a homogene Scheibe Mae m R, Radiu ) angeehen weden ann. De am Kotz K befetigte Tei de Sei it tet paae zu chiefen Ebene Neigungwine ). Zwichen de chiefen Ebene und dem Kotz K it Geiteibung vohanden Geiteibungoeffizient µ). Da Sytem etzt ich au de Ruhe heau in ewegung. g µ m K K ufgabe 9. v S ufgabe 9.3 R L m R g β m L a) Weche echeunigung efäht de Kotz K entang de chiefen Ebene? Hinwei: Löen Sie dieen ufgabentei mit dem beitatz! b) Wie goß it die Seiaft am enecht heabhängenden Tei de Sei? Zwei Wazen und Radiu jewei, Mae jewei m) ind duch ein Sei S maeo, undehnba) vebunden und oen auf zwei chiefen Ebenen Neigungwine bzw. β) ohne zu geiten ab. Da Sei wid übe Roe Radiu, Mae m) gefüht. Zwichen Sei und Roe titt ein Schupf auf. etimmen Sie die tanatoiche Gechwindigeit v) de Waze, wenn da Sytem au de Ruhe heau ogeaen wid. Eine Fede maeo, Fedeteifigeit ) it an einem Ende im Fetpunt dehba geaget. Da andee Ende it mit einem Fühungtift F maeo) vebunden, de ich in den Fühungen 1 bzw. eibungfei bewegt. Die Fede ei geade entpannt, wenn ich de Fühungtift F im Punt befindet. Fühung 1 Fühung a) eechnen Sie duch Integation die jewei aufzuwendende beit, um den Fühungtift F entang de Fühung 1 bzw. von nach zu F bingen. F b) etimmen Sie die Diffeenz de potentieen Enegie zwichen den Punten und. Hinwei: in co = 1 in ) in co co in = in
Intitut fü ngewandte und Expeimentee Mechani ae, ee) ZÜ 9. Löung zu ufgabe 9.1 Zunächt mu man bei den äußeen Käften zwichen onvevativen und nicht onevativen Käften untecheiden. eim gedanichen Feichneiden tößt man auf fogende Käfte: onevative Käfte nicht onevative Käfte Reibaft R Gewichtaft von K, Gewichtaft von L Lageäfte und Käfte, die enecht zu ewegungichtung tehen, eiten eine beit und müen fogich nicht beücichtigt weden z.. Nomaaft zwichen Kotz K und chiefe Ebene). Da ich die Roe R nicht tanatoich bewegen ann, it die zugehöige Potentiadiffeenz geich Nu. Somit mu die Gewichtaft von R ebenfa nicht beücichtigt weden. Lage Lage 1 v K, R ω a) De beitatz autet in agemeine Fom: R K h L NN T 1 T 0 + U 1 U 0 = W01 1) mit W01 = F ) d ) v L, Fü die inetiche Enegie T und die potentiee Enegie U in den Lagen 0 und 1 egeben ich fogende Teme: T 0 = 0, T 1 = 1 m K v K,1 + 1 m L v L,1 + 1 JS R ω, mit J S R = 1 m R 3) U 0 = m K g h, U 1 = m K g h + in ) m L g 4) Die beit, weche die nichtonevative Reibaft R veichtet, it: W 01 = R = µ N = µ m K g co 5) Mit ) bi 5) ehät man: 1 m K v K,1 + m L v L,1 + 1 ) m R ω + m K g h + in ) m L g m K g h)= = µ m K g co Duch Einetzen de inematichen eziehungen v K,1 = v L,1 = v und ω = v fogt: 1 m K + m L + 1 ) m R v + m K in m L + µ m K co ) g = 0 6)
Intitut fü ngewandte und Expeimentee Mechani ae, ee) ZÜ 9.3 Duch Diffeenzieen von 6) nach de Zeit ehät man: 1 m K + m L + 1 ) m R v dv dt + m K in m L + µ m K co ) g d dt = 0 mit d dt dv = v und = a: dt a m K + m L + 1 ) m R = [m L m K in + µ co )]g a = m L m K µ co + in) m K + m L + 1m g 7) R tenative Löungweg: Statt Geichung 6) nach de Zeit zu diffeenzieen, ann auch die Kettenege angewandt weden: a = dv dt = dv d uföen von 6) nach v iefet: v) = + ) dv d = 1 d dt = dv d v 8) m L m K µ co + in) m K + m L + 1 m g Subt. := 9) R Einetzen von 9) und 10) in 8) iefet: Mit au 9): a = 1 = a = m L m K µ co + in) m K + m L + 1 m g R b) Zu etimmung de Seiaft ann de Impuatz beipieweie fü die vetia bewegte Lat angechieben weden: 10) S v mit 7) m L dv dt = m L g S S = m K1 + in + µ co) + 1 m R m K + m L + 1 m R m L g m L g
Intitut fü ngewandte und Expeimentee Mechani ae, ee) ZÜ 9.4 Löung zu ufgabe 9. ω S ω v S g MP h NN ω S v MP β Da voiegende Sytem it onevativ. E ann dahe de Enegieatz angewandt weden. U + T U 1 + T 1 ) = 0 1) Fü die einzenen Teme git: T 1 = 0 ) U 1 = m g 0 + m g h }{{}}{{} Waze Waze T = 1 m v + 1 JS ω + 1 }{{} m v + 1 JS ω + 1 }{{} JS ω }{{} Waze Waze Waze E geten fogende inematiche eziehungen: 3) 4) v = v = v ω = ω = ω = ω ω = v 5) 6) 7) Fü die Tägheitmomente git: J S = JS = JS = 1 m 8) Einetzen von 5),6) und 8) in 4) iefet fü T : T = m v + 3 4 m ω T 7) = 7 4 m v U = in m g +hmg + in β m g }{{}}{{} Waze Waze 9) 10)
Intitut fü ngewandte und Expeimentee Mechani ae, ee) ZÜ 9.5 Einetzen von ),3),9) und 10) in 1): m g [h + in β in )] + 7 4 m v m g h + 0) = 0 7 4 m v = g in in β) m v = ) 4 + g in in β) 7 tenative Löungweg: Die ewegungen de Wazen und aen ich auch a eine Dehungen um die Momentanpoe MP und MP becheiben. Somit ehät man atenativ fü die inetiche Enegie von Waze und : anaog: T = 1 JMP ω = 1 1 m + m ) ω = 3 4 m ω T = 1 JMP ω = 3 4 m ω Damit ehät man fü die inetiche Enegie in Lage : T = T + T + 1 1 m ω }{{} Waze mit 6) und 7) T = 3 m v T = 7 4 m v ) 1 v ) + 4 m Löung zu ufgabe 9.3 a) Da beitintega in agemeine Fom autet: W ex = F ) d Um diee Intega beechnen zu önnen, mu ein Koodinatenytem und eine Paametiieung eingefüht weden. 1)
Intitut fü ngewandte und Expeimentee Mechani ae, ee) ZÜ 9.6 y x P F ei Fühung 1 ann de Wine a Paamete vewendet weden. Zunächt mu nun de Otveto zu einem beiebigen Punt P in bhängigeit von aufgetet weden: ) in = + co Damit ehät man fü d : ) d co d = in ) co d = d ) in Nun mu die Fedeaft in bhängigeit von betimmt weden. Dazu wid die Länge F de Fede benötigt: Deiec P it ein echtwinige Deiec mit a Hypothenue Thaeei!). Fogich git: co = F F = co Damit egibt ich fü die Veüzung de Fede: = 1 co ) 3) P Mit 3) egibt ich fü den etag de Fedeaft: Da beitintega 1) F F = 1 co ) y F F Die duch die Fede auf den Fühungtift F wiende Kaft F F ann omit im xy-sytem wie fogt dagetet weden: F F = 1 co ) ) in co 4) x autet mit ) und 4): W ex F1 = π =0 1 co ) ) ) in co co d in
Intitut fü ngewandte und Expeimentee Mechani ae, ee) ZÜ 9.7 Nach umutipizieen de Saapodut ehät man da aae Intega: = π 1 co ) in co co ) in d =0 Mit de tigonometichen eziehung au de ufgabenteung: = π =0 1 co ) in ) d Mit in co = 1 in : = π in + 1 ) in d =0 = [ co 1 ] π co =0 { ) } = 1 1 0 1) WF1 ex = ) 3 5) ei de. Fühung ann anaog vogegangen weden: X P Fü den eeich X git im xy-sytem: ) 0 = ) 0 d = d 6) 1 y β e x Die Fedeaft it: ) 0 F = 7) e β
Intitut fü ngewandte und Expeimentee Mechani ae, ee) ZÜ 9.8 Fü den eeich X git mit β a Paamete im e e β -Sytem: = e d dβ = d dβ e ) fβ) = d e dβ = e β iehe Heeitung Poaoodinaten!) Und damit in Komponentencheibweie: ) 0 d = dβ 8) Die Länge de Fede F it unabhängig von β: F = Damit autet die Fedeaft im e e β -Sytem: ) ) F = 0 9) Da beitintega 1) fü die. Fühung it mit 6),7),8) und 9): W ex F = ) =0 = ) 0 ) d ) 0 d + 1 β max β=0 ) ) 0 ) 0 dβ }{{} ein eitag, da Fedeaft imme ahn W ex F = =0 3 ) 10) b) Im Punt hat die Fede eine Enegie gepeichet, da ie entpannt it. Im Punt it die gepeichete Enegie: U = 1 [ ) }{{} = Veüzung ] ) 3 Damit autet die Ändeung de potentieen Enegie: U = U U = ) 3 11) emeung: Eine Fedeaft beitzt ein Potentia, d.h. ie it onevativ und die von ih geeitete beit it unabhängig vom Weg. Die Egebnie 5) und 10) veifizieen da. eitzen Käfte ein Potentia, o git: W = U. Die Egebnie 11) und 10) bzw. 5) betätigen dieen Sachvehat.