Ziele In diesem Versuch lernen Sie den Entwurf digitaler Filter, ausgehend von der Festlegung eines Toleranzschemas für den Verlauf der spektralen Charakteristik des Filters, kennen. Es können Filtercharakteristiken nach den Approximationsverfahren von Butterworth, Tschebyscheff und Cauer bestimmt werden. Filter, die sich mit der Approximation von Cauer bestimmen lassen, werden auch als elliptische Filter bezeichnet. Damit können einerseits die prinzipiellen Unterschiede der unterschiedlichen Approximationsverfahren herausgearbeitet werden. Des weiteren kann die minimal erforderliche Ordnung zur Bestimmung eines Filterverlaufs in dem vorgegebenen Toleranzschema bestimmt werden. Es können die prinzipiellen Filtercharakteristiken eines Tiefpasses, eines Hochpasses, eines Bandpasses oder einer Bandsperre betrachtet werden. Filterentwurf Die graphische Oberfläche zum Entwurf digitaler Filter nach den Approximationsverfahren von Butterworth, Tschebyscheff und Cauer ist im folgenden Bild dargestellt. 2 1 Bild 1: Graphische Benutzer Schnittstelle zum Entwurf digitaler Filter H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 1 (6)
Zunächst kann in Rahmen 1 das Aussehen des Toleranzschemas festgelegt werden, welches sich aus den Anforderungen an das zu entwerfende Filter ergibt. Der gewünschte Toleranzschlauch für den Verlauf der Filtercharakteristik wird als weißer Kanal vor einem gelben Hintergrund in Fenster 2 dargestellt. Die Abszisse wird dabei durch den auf die Abtastfrequenz bezogenen relativen Frequenzwert im Bereich von 0 bis 0.5 skaliert, was einer Darstellung bis zur halben Abtastfrequenz entspricht. Die Ordinate ist zur Darstellung des Betrags des aus dem jeweiligen Filterentwurf resultierenden spektralen Dämpfungsverlaufs linear skaliert im Bereich von 0 bis 1.1. Dabei sind keine Werte größer 1 möglich, so dass in dieser Form keine Verstärkung bestimmter Frequenzkomponenten, sondern nur eine Dämpfung betrachtet wird. Durch die Angabe von Frequenz 1 (als relativer, auf die Abtastfrequenz bezogener Wert) kann für einen Tief- oder Hochpass die Mitte des vertikalen Schlauchs für die fallende bzw. ansteigende Flanke der spektralen Charakteristik festgelegt werden. Diese Frequenz wird ebenfalls bei Entwurf eines Bandpasses oder einer Bandsperre für die Festlegung des Bereichs der ansteigenden bzw. fallenden Flanke bei der niedrigeren Frequenz benutzt. Den zweiten vertikalen Schlauch bei der höheren Frequenz für die fallende bzw. ansteigende Flanke bei einem Bandpass bzw. einer Bandsperre wird durch die Angabe von Frequenz 2 festgelegt. Die Breite der vertikalen Schläuche kann durch Angabe der Flankenbreite bestimmt werden. Dabei wird die Flankenbreite ebenfalls durch relative, auf die Abtastfrequenz bezogene Werte definiert. Die Höhen der horizontal verlaufenden Schläuche kann separat für Durchlass- und Sperrbereich vorgegeben werden. Die Höhe im Sperrbereich kann sich beispielsweise aus einer minimal angestrebten Dämpfung im Sperrbereich ergeben. Soll z.b. die minimale Dämpfung 20 db betragen, so lässt sich dies gerade mit einem maximal zulässigen Wert von 0.1 (20 log10(0.1) = - 20) bei einem Bezugswert von 1 im linearen Betragsspektrum erzielen. Dieser Wert von 0.1 entspricht dabei der Höhe im Sperrbereich. In ähnlicher Weise kann die maximal zulässige Welligkeit im Durchlassbereich ebenfalls in db angegeben werden. Für eine Höhe von 0.1 im Durchlassbereich ergibt sich damit eine maximale Welligkeit von 20 log10[1/(1-0.1)] = 0.915 db. Mit Hilfe des über dem Fenster 1 vorhandenen Auswahlmenüs kann prinzipiell die Filtercharakteristik eines Tief-, eines Hoch-, eines Bandpasses oder einer Bandsperre festgelegt werden. Mit Hilfe der rechts von Fenster 1 vorhandenen vier Auswahlmenüs können die Approximationsverfahren für die Bestimmung von bis zu vier Filterverläufen angegeben werden. H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 2 (6)
Die Verläufe werden dann mit der entsprechenden Farbe des Auswahlmenüs in Fenster 1 dargestellt. Des weiteren kann die Ordnung für jedes der 4 Filter vorgegeben werden. Um den Einfluss einer Filterung mit einer der festgelegten Charakteristiken hörbar zu machen, kann über die Menuleiste ( Signal und laden ) ein Sprach- oder Audiosignal geladen werden. Alternativ kann ebenfalls über die Menüleiste ( Signal und aus Generatorfenster ) ein Signal vom Signalgenerator übernommen werden, das zuvor mit dem Signalgenerator erzeugt wurde und im Fenster der Generatoroberfläche sichtbar ist. Durch Anklicken des entsprechenden Lautsprechersymbols können das Originalsignal oder eine der mit dem zugehörigen Filter gefilterten Versionen angehört werden. Das gefilterte Signal kann auch gespeichert werden, in dem über die Menuleiste ( Signal und speichern ) ausgewählt wird und im folgenden die Nummer des Filters angegeben wird. Neben dieser graphischen Oberfläche zum Entwurf digitaler Filter nach den Approximationsverfahren von Butterworth, Tschebyscheff und Cauer steht Ihnen auch ein Filterentwurfs- und -analysewerkzeug, das Bestandteil von Matlab ist, zur Verfügung. Es erfolgt allerdings hier keine detaillierte Beschreibung der Leistungsmerkmale und der Bedienung dieser graphischen Oberfläche. Vorbereitende Aufgaben 1. Welche Werte müssen zur Definition eines Tiefpasses im Toleranzschema eingegeben werden, um bei einer Abtastfrequenz von 8 khz eine ungedämpfte Übertragung bis zu einer Frequenz von 1 khz sowie eine minimale Dämpfung von 40 db ab einer Frequenz von 1200 Hz zu gewährleisten: TP Frequenz 1: Flankenbreite: Höhe im Durchlassbereich: Höhe im Sperrbereich: Versuchdurchführung 2. Legen Sie ein Toleranzschema für einen Tiefpass derart fest, dass die Mittenfrequenz für den vertikalen Schlauch ¼ der Abtastfrequenz beträgt, die Breite dieses Schlauchs 0.05 und die Höhen im Sperr- und Durchlassbereich jeweils 0.1 betragen. Betrachten Sie vergleichend 4 Filter der Ordnungen 4, 6, 8 und 10mit der Butterworth Approximation. H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 3 (6)
Welche Ordnung ist minimal erforderlich, um einen Verlauf der Filtercharakteristik innerhalb des vorgegeben Toleranzschemas zu gewährleisten: Gilt dies ebenfalls für einen Hochpass bei gleicher Festlegung des Toleranzschemas: Vergleichen Sie das Butterworth Filter, das innerhalb des vorgegebenen Tiefpass- Toleranzschemas liegt, mit Filtern, die nach den drei anderen Approximationsverfahren entworfen werden. Welche minimale Filterordnung ist für die verschiedenen Filtertypen erforderlich: Läßt sich das zuvor erzielte Ergebnis ebenfalls auf einen Hochpass bei gleicher Festlegung des Toleranzschemas übertragen: Laden Sie ein Sprachsignal und hören Sie sich das Originalsignal im Vergleich zu den tiefpass- bzw. hochpassgefilterten Signalen an. Wie ist der akustische Unterschied bei Vergleich der hochpassgefilterten Signale zwischen der Filterung mit Butterworth oder Tschebyscheff-1 Charakteristik auf der einen Seite oder Tschebyscheff-2 oder elliptischer Charakteristik auf der anderen Seite zu erklären: 3. Entwerfen Sie Tiefpassfilter, die das Signal um mindestens 30 db im Sperrbereich dämpfen und eine maximale Welligkeit von 0.5 db im Durchlassbereich aufweisen. Die Mittenfrequenz für den Bereich der abfallenden Flanke soll bei 1000 Hz für eine Abtastfrequenz von 6000 Hz liegen. Die Flankenbreite soll 0.05 betragen. Welche Höhe ist im Sperrbereich einzustellen: Welche Höhe ist im Durchlaßbereich einzustellen: Welcher relative Wert ist für die Mittenfrequenz anzugeben: Welche minimale Filterordnung ist für die verschiedenen Filtertypen erforderlich: Betrachten Sie vergleichend Tschebyscheff-2 Filter der Ordnungen 3, 4, 5 und 6 für dieses Toleranzschema. Drucken Sie die resultierenden Frequenzverläufe aus. H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 4 (6)
4. Entwerfen Sie Bandpässe, die die Übertragung über einen Telefonkanal simulieren sollen. Die Festlegung des Toleranzschemas soll gewährleisten, dass der Durchlassbereich von 300 Hz bis 3400 Hz geht bei einer Flankenbreite von 0.02. Die Höhe im Durchlassbereich soll wie im vorhergehenden Unterpunkt durch eine maximale Welligkeit von 0.5 db beschrieben werden. Im Sperrbereich soll ebenfalls eine Dämpfung von 30 db erzielt werden. Welcher relative Wert ist für die Mittenfrequenz 1 anzugeben: Welcher relative Wert ist für die Mittenfrequenz 2 anzugeben: Welche minimale Filterordnung ist für die verschiedenen Filtertypen erforderlich: Drucken Sie das Toleranzschema mit den Kurvenverläufen aus. Laden Sie ein Sprachsignal und hören Sie sich das Originalsignal im Vergleich zu den gefilterten Signalen an. Betrachten Sie das entsprechende Filter für eine Bandsperre, ohne Änderungen an dem Toleranzschema vorzunehmen. Bei welchen Filtertypen ist das Sprachsignal nicht mehr verständlich: Woran liegt das: 5. Im folgenden sollen nacheinander zwei BP - Filter entworfen werden, um jeweils eine Sinuston-Komponente eines DTMF Signals zu detektieren. Welche Werte müssen Sie zur Definition des Bandpasses im Toleranzschemas eingeben, um die Komponente bei der Frequenz von 1209 Hz zu detektieren und dabei eine minimale Dämpfung von 40 db unterhalb von 1000 Hz sowie oberhalb von 1336 Hz (= nächsthöhere Frequenzkomponente eines DTMF Tons) bei einer festgelegten Flankenbreite von 0.01 zu gewährleisten: BP Frequenz 1: BP Frequenz 2: Höhe im Sperrbereich: Die Höhe im Durchlassbereich kann auf einen Wert von 0.03 eingestellt werden. Entwerfen Sie 4 Filter gemäß der 4 verschiedenen Approximationsverfahren. Welche minimale Filterordnung ist für die verschiedenen Filtertypen erforderlich: H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 5 (6)
Testen Sie die entworfenen Filter, in dem Sie das Signal dtmf_telnr.wav laden, das Sie bereits in Versuch 3 analysiert haben. Wie viele Töne sollten Sie nach Filterung des Signals noch hören: Hören Sie sich das mit der inversen Bandsperre gefilterte Signal an. Welche Werte müssen Sie zur Definition des Bandpasses im Toleranzschemas eingeben, um die Komponente bei der Frequenz von 770 Hz zu detektieren und dabei eine minimale Dämpfung von 40 db unterhalb von 697 Hz (= nächstniedrigere Frequenzkomponente eines DTMF Tons) sowie oberhalb von 852 Hz (= nächsthöhere Frequenzkomponente eines DTMF Tons) bei einer festgelegten Flankenbreite von 0.005 zu gewährleisten: BP Frequenz 1: BP Frequenz 2: Höhe im Sperrbereich: Die Höhe im Durchlassbereich kann auf einen Wert von 0.03 eingestellt werden. Entwerfen Sie 4 Filter gemäß der 4 verschiedenen Approximationsverfahren. Welche minimale Filterordnung ist für die verschiedenen Filtertypen erforderlich: Testen Sie die entworfenen Filter wiederum mit dem Signal dtmf_telnr.wav. Wie viele Töne sollten Sie nach Filterung des Signals noch hören: H. Günter Hirsch Version: pa3 Seite 6 (6)