9. Die Integralrechnung II

9. Die Integralrechnung II 9.. Mehrdimensionale Bereichsintegrale Dimension n des Integrationsbereiches B Dimension des Definitionsbereiches D. (i) n = : Einfachintegrale (Int-B = Gerade ; db = d ) db. f() = B= End Anf d. f( ) Geom. Bedeutung: Maßzahl der Fläche F zwischen der Strecke ( End - Anf ), der Kurve f( ) und den Achsen senkrecht auf. (ii) n = 2: Doppelintegrale (Int-B = Fläche F; db = df = d 2.d ) db. f(, 2 ) = B= F End End 2 d Anf 2. d Anf. f(, 2 ) 2 Geom. Bedeutung: (a) Volumenmaßzahl V des Zylinders mit der Basisfläche F, der Deckfläche f(, 2 ) und der Achse senkrecht auf F. (b) Für f(, 2 ) : Maßzahl der Fläche F. (iii) n = 3: Dreifachintegrale (Int-B = Volumen V; db = dv = d 3.d 2.d ) db. f(, 2, 3) = B= V End End End 3 2 d Anf 3. d Anf 2. d Anf. f(, 2, 3) 3 2 Geom. Bedeutung: (a) Im Allgemeinen keine; (b) Für f(, 2, 3 ) : Maßzahl des Volumens V. (iv) n > 3: Mehrfachintegrale (Int-B = n-dimen. Gebilde V n ; db = dv n = d n..... d )... = Int B db.f(,...,n) dn.... d. n f(,..., n ). (5) J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9

Geom. Bedeutung: (a) Prinzipiell keine möglich, da menschliche Vorstellung auf 3 Dimensionen beschränkt. (b) Wir können aber "pseudo-geometrische" Bedeutungen für f(,..., n ) als Maßzahl des n-dimensionalen Volumens von B geben. Dies geschieht jedoch rein formal, ohne jegliche Vorstellungsmöglichkeit analog zur formalen Ausweitung der Geometrie in den n- dimensionalen Raum R n, wie wir es bei den Vektoren kennen gelernt haben. Beispiele: a) Integral der Funktion f(,y) = ( + 2y) über den Bereich, der durch die Funktionen y= und y= ² begrenzt wird: Bei der ersten Integration sind die Grenzen durch die Kurvengleichungen gegeben. Bei der zweiten sind die Grenzen eplizite Zahlen. ------------------------ b) Integral der Funktion f(,y) = y² über den ersten Quadranten eines Kreises mit Radius r um den Ursprung (² + y² = r²): Bei der ersten Integration sind die Grenzen durch die Kurvengleichung gegeben. Bei der zweiten sind die Grenzen eplizite Zahlen. J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 2

---------------- c) Fläche des Bereiches, der durch die Funktionen y= ² und y= 2 + begrenzt wird: J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 3

9.2. Anwendungen von Bereichsintegralen 9.2- Masse m eines Körpers: ρ.d.d d 2. 3 m = ρ.dv = 9.2-2 Schwerpunkt S eines Körpers: Koordinate i,s = i. ρ. dv /m = i. ρ.d.d 2. d 3 /m. Beispiel: Fortführung des Beispiels c): Berechnung des Schwerpunkts des Bereiches, der durch die Funktionen y= ² und y= 2 + begrenzt wird. Es war: J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 4

9.2-3 Trägheitsmoment (Drehmasse) Θ: Maß für die Trägheit eines rotierenden Körpers. a) Bei diskreter Masseverteilung: Θ = Σ (m.r²) b) Bei kontinuierlicher Masseverteilung: Θ = r².dm; = r². ρ. dv = r². ρ.d.d 2. d 3 Für Θ (bzgl. -Achse): r² = 2 ² + 3 ² Für Θ 2 (bzgl. 2 -Achse): r² = 3 ² + ² Für Θ 3 (bzgl. 3 -Achse): r² = ² + 2 ² Bemerkung: Moment heißt das Produkt zweier physikalischer Größen, von denen eine die Dimension einer Länge hat: Kraftmoment (Drehmoment): K l. Impulsmoment (Drehimpuls): p l. Moment der Geschw.: v l. Elektrisches Moment (Dipolm.): Q. l. (Q el. Ladung). Magnetisches Moment (Dipolm.): p. l. (p magn. Polstärke). J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 5

9.3. Variablen-Transformation db.f(,y,z) = dz. dy. d.f(,y,z) = dw. dv. Int B z y w v u du. (,y,z) / (u,v,w).g(u,v,w). wobei die Funktion g(u,v,w) := f((u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)), und die Jacobi-Determinante D J = (,y,z) / (u,v,w) = det y z als eine konkrete Funktion in den neuen Variablen ist: DJ = D J (u,v,w). u u u y z v v v y z w w w nichts anderes 9.3- Übergang von kartesischen Koordinaten (, y) in ebene Polarkoordinaten (r, ϑ). (i) u = r, v = ϑ; (ii) = r. cos ϑ; y = r. sin ϑ; (iii) Jacobi-Determinante D J = (,y)/ (r, ϑ) = r; (iv) Bereichselement db ist hier das Flächenelement df = d. dy = dϑ. dr. r. Beispiele: Gesucht ist die Fläche eines Kreises mit dem Radius a: a) In kartesischen Koordinaten: ² + y² = a² => y = (a² - ²) /2 u = -a; o = a; y u = -(a² - ²) /2 ; y o = (a² - ²) /2. J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 6

b) In ebenen Polarkoordinaten: r u = 0; r o = a; ϑ u = 0; ϑ o = 2π. 9.3-2 Übergang von kartesischen Koordinaten (, y, z) in Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ) (sphärische Polarkoordinaten). Die Kugelkoordinaten bestehen aus den ebenen Polarkoordinaten plus einem zweiten Winkel, ϕ, der die Auslenkung aus der y-ebene - also die Höhe des Punktes markiert. Daher ist entweder (ϕ = -π/2...π/2) oder (ϕ = 0...π), je nachdem wie wir zählen wollen. (i) u = r; v = ϑ; w = ϕ; (ii) = r. cos ϑ. sin ϕ; y = r. sin ϑ. sin ϕ; z = r. cos ϕ; (iii) Jacobi-Determinante D J = (,y,z)/ (r,ϑ, ϕ) = r² sin ϕ; (iv) Bereichselement db ist hier das Volumselement dv = d. dy. dz = dϕ. dϑ. dr. r² sin ϕ. J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 7

9.4. Linien- (Kurven-) Integrale o Dimension des Integrationsbereiches B = ; Dimension des Definitionsbereiches D >. o Der Integrationsbereich von Kurvenintegralen ist ein Kurvenstück: Im R 2 (Ebene) ein Stück einer ebenen Kurve, im R 3 (3-dimensionaler Raum) ein Stück einer Raumkurve und in noch höher dimensionalen Räumen eine n-dimensionales Kurvenstück. o Der Definitionsbereich muss hingegen immer höher-dimensional sein (n>). 9.4-. Kurven. Eine Kurve ist eine Punktmenge {X(t) t є I R; t unabhängige Variable, I Intervall} im n-dimensionalen Raumes R n. Sämtliche Koordinaten i (i =, 2,..., n) der Kurvenpunkte X(t) sind dabei Funktionen von einer einzigen unabhängigen Variablen t, die gerne auch Parameter t genannt wird (X(t): ( (t), 2 (t),...)). Die Zahlenwerte des Kurvenparameters t müssen Elemente eines reellen Zahlenintervalls sein (t є I R). Eine Kurve ist also ein Gebilde mit einem einzigen Freiheitsgrad, also mit nur einer unabhängigen Variablen ( Parameter ) t, unabhängig davon, wie hoch die Dimension n des Raumes ist, in dem sie definiert ist. Kurven sind also -dimensionale Gebilde, die aber einen höher-dimensionalen Raum (n >) benötigen, in dem sie sich ausbreiten können. In der Terminologie der Vektorrechnung sind die Koordinatenfunktionen i (t) die Komponenten der Ortsvektoren ( (t),...) der Kurvenpunkte X. Selbstverständlich können wir auch eine der Koordinaten i selbst als Kurvenparameter t benützen. Bei t = gilt für die Kurve : X( ) = (, 2 ( ),...), bei t = 2 gilt für : X( 2 ) = ( ( 2 ), 2, 3 ( 2 ),...),... o Bogenlänge s und Linienelement ds. Die Länge eines Kurvenstücks wird Bogenlänge s ( Kurvenlänge s ) genannt, und die infinitesimale Kurvenlänge ds heißt "Linienelement ( Bogenelement ). Die Bogenlänge s wird oft auch als natürlicher Parameter bezeichnet. () Linienelement: ds = d (s)² + d 2(s)² +... (2) Bei Verwendung des Parameters t: ds = & (t)².dt² + & 2(t)².dt² +... = dt. & (t)² + & 2(t)² +... (3) Bei Verwendung der Ortsvektoren ( (t), 2 (t),...): ds = dt. & (t) J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 8

(4) Bei Verwendung der Koordinate als Parameter (t = ): ds = d ² + 2'()².d² +... = d. + 2'()² +.... 9.4-2. Kurvenintegrale. Art. Diese sind verallgemeinerte bestimmte Integrale mit einem Integrationsweg entlang eines stetigen Kurvenstücks s, auf dem eine (beschränkte) Funktion f(, 2,...) definiert ist. Das bedeutet, dass jedem Punkt (, 2,...) ein zusätzlicher Zahlenwert zugeordnet wird, nämlich der Funktionswert f(, 2,...). Es handelt sich also um ein kurvenförmiges Skalarfeld f(, 2,...) = f( (t), 2 (t),...). Das Kurvenintegral (. Art) über diese Funktion f(, 2,...) entlang des Kurvenstücks ist definiert durch (l Bogenlänge von ): l f (, 2,...).ds = f((s), 2(s),...). ds 0 Der Wert des Kurvenintegrals. Art ist unabhängig von der Laufrichtung. Geom. Bedeutung: (a) Im Allgemeinen keine; (b) Für f(,...) : Bogenlänge l des Kurvenstücks. Bogenlänge ist ja per def. die Summe aller Linienelemente entlang der Kurve. Daher muss f(,...) sein. o Berechnungstechniken der Kurvenintegrale. Art.: () Mit Hilfe der Bogenlänge s (l Länge des Kurvenstücks ): (i) = (s); 2 = 2 (s);... (ii) Linienelement ds (iii) f(, 2,...).ds = l f((s), 2(s),...). ds 0 (2) Bei Verwendung des Parameters t: (i) = (t); 2 = 2 (t);... (ii) ds = & (t)².dt² + & 2(t)².dt² +... = dt. & (t)² + & 2(t)² +... (iii) t E(nd) f(, 2,...).ds = f( (t), (t),...). & 2 (t)² + & 2(t)² +... dt. t A(nf ) J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 9

(3) Bei Verwendung der Ortsvektoren ( (t), 2 (t),...): (i) ( (t), 2 (t),...) (ii) ds = dt. & (t) (iii) t E(nd) f(, 2,...).ds = f((t), 2(t),...). & (t) t A(nf ). dt (4) Bei Verwendung der Koordinate = als Parameter (t = ): (i) = ; 2 = 2 ();... (ii) ds d ² + 2()'².d² +... = d. + 2()'² +... =. (iii) E(nd) f(, 2,...).ds = f(, 2(),...). + 2()'² +...d. A(nf ) (5) Im R 2 gilt bei Verwendung ebener Polarkoordinaten: (i) = r.cos ϑ => d = dr.cos ϑ - r.dϑ.sin ϑ y = r.sin ϑ => dy = dr.sin ϑ + r.dϑ.cos ϑ (ii) ds = d² + y()'².d² = d² + dy² = dr² + r².dϑ² = + r².(dϑ / dr)². dr (iii) r End f(, 2).ds = f((r),y(r)). 0 + r².(dϑ / dr)².dr Beispiele: a) Geg.: Funktion: f(, 2 ) = 2. Lösung: Ges.: Kurvenintegral für den Viertelkreis mit dem Radius r um den Nullpunkt. (i) Parameterdarstellung der Kurve: (t) = r.cos t; 2 (t) = r.sin t; 0 t π/2; (ii) Linienelement: ds = dt. & (t)² + & 2(t)² = (r². sin² t + r². cos² t) /2. dt = r. dt. (iii) Kurvenintegral: ds.f(, 2,...) = dt. & (t)² + & 2(t)². 2(t) = ----------- b) π/2 = dt.r. 2 (t)] = dt.[r. r. sin t] = r². (-cos t) = r². 0 J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 0

9.4-3. Kurvenintegrale 2. Art. Hier wird mit Hilfe der Projektion des Kurvenstücks auf eine der Koordinatenachsen i integriert. Die Kurvenintegrale 2. Art heißen häufig nur "Kurvenintegrale" - was das Verständnis nicht gerade vereinfacht: i,e(nd) te(nd) f((t), 2(t),...). i.dt. i,a(nf ) t A(nf ) (, 2,...).di = f(, 2,...).di = f & Da der Integrationsweg nunmehr entlang einer Koordinatenachse läuft, wird hier - im Gegensatz zu den Kurvenintegralen. Art - bei Umkehrung des Durchlaufsinns auch das Vorzeichen des Integrals umgekehrt! 9.4-4. Allgemeines Kurvenintegral (2. Art). Ordnen wir jedem Punkt X(t) einer Kurve anstelle eines einzelnen Funktionswert f(, 2,...) einen Vektor V = (V, V 2,...) zu, dessen Komponenten V i Funktionen der Variablen i (t) sind (V i = V i (, 2,...), dann erhalten wir ein kurvenförmiges Vektorfeld V = (V ( 2,...), V 2 (, 2,...),...). Als allgemeines Kurvenintegral (2. Art) über diese Vektorfunktion V entlang des Kurvenstücks verstehen wir die Summe aller Kurvenintegrale 2. Art über der Komponentenfunktionen V i (, 2,...) nach den entsprechenden Koordinatenvariablen i : [ V (, 2,...).d + V2 (, 2,...).d2 +...] = [V.& + V2..& 2 + te(nd)...].dt. In Vektorform lautet das allgemeines Kurvenintegral (2. Art) wegen V = (V (), V 2 (),...) = V() = V((t) (da = (t)): te(nd) V ( ).d = V ( (t)). & (t).dt. t A(nf ) t A(nf ) Beispiele: J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9

a) Berechne das Kurvenintegral I = [y. d +. dy] längs der Kurve (t) = t³; y(t) = t² von (0,0) bis (,). -> V = y; V y =. (i) (t) = t³; d = 3t².dt, 0 t ; y(t) = t²; dy = 2t.dt, 0 t ; I = [y. d +. dy] = [t².3t².dt + t³.2t.dt] = 5t 4.dt = t 5 = - 0 =. 0 0 0 0 (ii) In der Vektorversion: = (, y) = ((t), y(t)) = (t³, t²) mit 0 t & (t) = (3t², 2t) V = (V, V y ) = (y(t), (t)) = (t², t³) V(,y,z). & (t).dt = [3t².t² + 2t.t³].dt = 5 t 4.dt= t 5 =. 0 0 0 0 b) Geg.: Vektor V = (-y, y) V = -y; V y = y. Kurve : Gerade von P A (,0) P E (0,): y = -; ZB.: Mit Parameter t = ; => = (, y) = ((t), y(t)) = (t,-t) mit t 0 => & (t) = (, -); V = (V, V y ) = (t-, t-t²); 0 0 0 0 V(,y). & (t).dt = [(t-). + (t-t²).(-)].dt = [t²-].dt= [t 3 /3-t] = 0-(-2/3)=2/3. c) Geg.: Vektor V = (-y, y) V = -y; V y = y. Kurve : Viertelkreis von P A (,0) P E (0,): ²+y² = ; => y = ² ; Mit Parameter t = ; => = (, y) = ((t), y(t)) = (t, t² ) mit t 0 => & (t) = (, -t/ t² ); V = (V, V y ) = (-, t). t² ; 0 0 0 0 V(,y). & (t).dt = [- t². + t.(-t)].dt = [- t² - t²].dt= [-arc sin t -t 3 /3] = = π/4 + /3. J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 2

9.4-5 Konservative Vektorfelder V im R 3. Ein Vektorfeld V heißt konservativ, wenn das (allgemeine) Kurvenintegral (2.Art) wegunabhängig ist - d.h., dass das geschlossene Kurvenintegral ("Ringintegral") verschwindet: V ( ).d = V( (t)). & (t).dt = 0. Jedes Gradientenfeld (V = grad U(); U() Potential) ist konservativ und umgekehrt ist jedes konservative Vektorfeld ein Gradientenfeld (V i = U()/ i ). Wie erinnerlich ist notwendig und hinreichend dafür die Schwarz'sche Bedingung der Identität der jeweiligen gemischten Ableitungen. du = U/.d + U/ 2.d 2 + U/ 3.d 3 = V.d + V 2.d 2 + V 3.d 3 ; d = (t)/ t.dt = & (t).dt. o Potential eines Vektorfeldes V: (i) U() = du() = V(). d = [V.d + V 2.d 2 + V 3.d 3 ]= V ( (t)). & (t). dt (ii) Oder Ansatzmethode: U() = V.d + ( 2, 3 ) = V 2.d 2 + 2 ( 3, ) = V 3.d 3 + 3 (, 2 ) Beispiel: V(, y) = (y², ²y+2) -> V = y²; V y = ²y+2. V(, y) = grad U(,y) = ( U/, U/ y) = (V, V y ), falls: V / y = V y /. (i) V / y =2y = V y / => V(, y) ist ein Gradientenfeld. (ii) V = U/ = y² => U(,y) = [V.d + c(y) = y².d + c(y) = ²y²/2 + c(y) (iii) Bestimmung von c(y): V y = [²y²/2 + c(y)]/ y = ²y + dc(y)/dy = ²y + 2 => dc(y)/dy = 2 => dc(y) = 2.dy => c(y) = 2y +. (iv) U(,y) = ²y²/2 + 2y +. J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 3

9.5. Flächenintegrale Dimension des Integrationsbereiches B = 2; Dimension des Definitionsbereiches D > 2; Integrationsbereich ist daher eine Fläche A im 3-dim. Raum. Int F 2,E f(, 2,...).dA = d 2( 2,A,E,A f(, 2,...).d ). Geom. Bedeutung: o I.a. keine; o Für f(, 2, 3 ) : Maßzahl des Flächeninhalts von Int-F. J.Tomiska 2009: Mathematikskizzen Teil 9 4