Tangenen Von der Universiäsbiblioek waren es nur wenige under Meer bis Bradle Hall, und so enscloß sic Jean Onkel Jon einen Besuc abzusaen. Sie ae ein Buc zurückgebrac, daß sie mi großem Ineresse gelesen ae, Men of Maemaics von Eric T. Bell. An einer Selle war die Rede von Unersucungen der Zkloide. Offensiclic war es für die Maemaiker um 7 eine scwierige Aufgabe, die Tangene in einem beliebigen Punk an eine Kurve zu konsruieren. Der Begriff der Seigung und des Differenialquoienen waren ja noc nic enwickel. Onkel Jon konne sicer ewas dazu sagen. Jon We verabsciedee gerade einen Sudenen, der in in seiner Sprecsunde aufgesuc ae, als er Jean über den Flur kommen sa. Er begrüße sie freudig und ba sie in sein Arbeiszimmer. Nacdem sie eine Weile über privae Dinge geplauder aen, erzäle Jean von Bells Buc und dem Problem der Tangene. Ja, Jon We lege seine Sirn in Falen, was is eine Tangene? Bei Euklid im Buc III eiß es in der. Definiion, daß eine Gerade einen Kreis dann berür, wenn sie in riff und nic scneide, auc wenn man sie weier auszie. Das eiß ja wol, die Tangene a mi dem Kreis genau einen Punk gemeinsam. Euklid zeig auc in den Säzen 8 und 9 des III. Buces, daß wie wir eue sagen der Berürungsradius im Berürungspunk B auf der Tangene senkrec se. Mi Hilfe dieses Sazes kann man leic von einem Punk P außeralb des Kreis mi dem Mielpunk M eine Tangene an den Kreis konsruieren. Denn wenn man über MP den Halbkreis zeicne, dann is nac dem Saz des Tales 3 das Dreieck MBP recwinklig. Euklid lös die Aufgabe übrigens anders. Will man in einem Koordinaenssem die Gleicung der Tangene in einem Punk B angeben, so kann man diese Gleicung auc one diesen Saz gewinnen. Aber dazu braucen wir ers mal die Gleicung des Kreises. Der Einfacei alber lege ic den Mielpunk M in den Koordinaenursprung O. Ha der Kreis den Radius r, so laue seine Gleicung + r. Klar, die Koordinaensrecken und bilden ja mi dem Radius r ein recwinkliges Dreieck und da gil der Saz des Pagoras. Gu, und die Gleicung einer Geraden kenns du auc? m + n. Und wie besimm man jez die Koordinaen der Scnipunke von Gerade und Kreis? Dazu löse ic das Gleicungsssem aus diesen beiden Gleicungen. Für die Abszisse gil dann + (m + n) r oder mn r n + m + m + mn mn r n also ± +. m + m + m + Jean sand vor der Tafel, auf der sie die Recnungen ausgefür ae, und meine: Wenn es nur einen gemeinsamen Punk von Kreis und Gerade geben soll, dann muß der Radikand sein, also (mn) + (mr) (mn) + r n. Zwiscen m, n und r bese dann folgende Gleicung r Ja, und die Koordinaen des Berürungspunkes, wie lauen die? mn m n n Jean scrieb: B, m B + n, d.. B + m + m + n m +. Und dami se fes, daß die Tangene senkrec auf dem Berürungsradius se, selle Dr. We fes und blicke läcelnd in Jeans ersaunes Gesic. Die überlege und meine dann: B Es gil B - m B, also m. Die Seigung der Tangene is also der negaive Kerwer der Seigung des B B, miin seen die Tangene und der Radius MB aufeinander senkrec. Berürungsradius m r B Und wie se s mi der Gleicung der Tangene? wolle Jon We nun wissen. 7
B Ic seze mal für m in die Geradengleicung ein. B B Jean scrieb die Gleicung an. + n, B + B n B. B Irgendwie muß doc der Radius r noc da rein, dace sie lau vor sic in und scaue auf die Recnungen.. Klar, es gil ja n B r. Also laue die Gleicung der Tangene im Punk B( B ; B ) an den Kreis K(M; r) B + B r. Gu, das is also die Tangenengleicung, die man eräl, wenn man von der sagen wir mal - klassiscen Definiion der Tangene ausge, also von einer Geraden, die mi dem Kurve genau einen Punk gemeinsam a. In der Analsis aben wir aber die Tangene definier als die Gerade, die durc den Punk P( ; ) verläuf und die Seigung f ( ) als Seigung a, naürlic falls die Kurve der Grap der Funkion f is, füge er noc inzu. Wer sag denn das diese unersciedlicen Definiionen wie sag man in der Compuersprace kompaibel sind? Jean gefiel dieses Modewor, das man jez überall öre. Und sie ae auc gleic einen Vorsclag. Besimmen wir doc einfac mal die Ableiung, aber..., Jean zögere, die Kreisgleicung is ja gar keine Funkionsgleicung. Und? Na ja, die Relaionsgleicung + r löse ic nac auf: ± r. Die Gleicung r geör dann zum oberen Halbkreis, die andere zum uneren, und ic abe also zwei Funkionen: f : r und f : r. Gu, und weier? Ic neme mal f. Dann gil f () (r ), also f () ( ). Für die Selle B erale ic r B dann f ( B ) und das simm mi unserem früeren Ergebnis überein. B Womi du wieder ruig sclafen kanns, läcel Jon We, aber nemen wir noc eine andere Kurve, die Pa- rabel mi der Gleicung +. Er ging zur Tafel und ferige eine Skizze an. (Abb. 8) An der Selle gil f (). Die Gleicung der Tangene an die Parabel im Punk P(; 6) laue dann + b. Und da P auf dieser Tangene lieg, ergänze Jean, erfüllen seine Koordinaen diese Gleicung, woraus b - folg Gu, die Gleicung der Tangene laue also. Eine solce Tangenengleicung zu finden, is eue kein Problem. Auc für eine Zkloide, wovon du gesprocen as, is das nic scwierig, wenn man ire Gleicung kenn. Im früen 7. Jarunder kam es - zum Teil auc aus Mangel an Publikaionsmöglickeien - ofmals zu Prioriässreiigkeien. Aus maemaiscen, aber auc psikaliscen Gründen war gerade die Zkloide damals ein äufiger Gegensand der Unersucung und gab Anlaß zum Srei. Galilei, Torricelli, Viviani, Joann und Jakob Bernoulli, Pascal und Crisiaan Hugens, Abb. 8 Leibniz und Newon und viele andere aben ire Eigenscafen sudier. Wegen dieser Sreiigkeien, die mi der Unersucung der Zkloide zusammeningen, nanne man sie die Helena der Geomeer, und in Anspielung an das Ureil des Paris in der Anike auc la pomme de discorde, den Apfel der Zwierac. Sicer recferigen auc die vielen scönen Eigenscafen der Zkloide den Vergleic mi der Gemalin des Menelaos, des Königs von Spara, die als die scönse Frau des Alerums gal und deren Enfürung durc Paris der Anlaß zum Trojaniscen Krieg war, in dem die großen Helden der Anike mieinander rangen. Auc Pierre de Ferma a sic mi ir bescäfig, wie du ja aus dem Buc von Bell weiß, und zwar war er in der Lage, die Tangene an diese Kurve zu konsruieren. Wie er das im Fall der Zkloide genau gemac a, weiß ic nic. Doc die generelle Meode, die er benuze, die is bekann und eng verwand mi seinem Verfaren zur Besimmung von Maima und Minima. Ic will den Gedankengang an der Parabel erklären. Jon We ging zur Tafel und zeicnee eine Parallele zur Geraden durc den Berürpunk P(; 6) ein, und zwar durc den Acsenpunk A( + e; ).(Abb. 8) Dieses e is kleine posiive Zal, vergleicbar mi unserem. Die Meode bese darin, die sogenanne Subangene zu besimmen, das is die Srecke auf der -Acse zwiscen dem Scnipunk der Tangene mi der -Acse und dem Fußpunk des Loes vom Berürpunk auf diese Acse. In unserer Skizze is die Subangene die Srecke s von bis. 7 6 5 3 3 5 6 7 8
Wir können nun folgende Proporion aufsellen: f () f ( + e). Hieraus ergib sic die zugeörige s s + e Produkgleicung (s + e)f() sf( + e). Wegen f() + eralen wir dann: (s + e)( + ) s[( e ) ( + + ]. Jon We drücke Jean die Kreide in die Hand und fordere sie auf weierzurecnen. s + s + e + e s + es + e s + s e + e es + e s Als näcses würde Ferma beide Seien durc e eilen. + s + es und dann e gleic sezen. Für gleic eräl er dann s +e s 3. 3 5 6 7 Und das is in Übereinsimmung mi unserer früeren Recnung, selle Jean befriedig fes, denn da Abb. 8 ae die Tangene die Gleicung - und die scneide die -Acse im Punk A(; ). Aber du as mir noc gar nic gesag, um welce Kurve es sic bei der Zkloide andel. Am besen erkläre ic dir das an Hand dieser Folienkopie, die ic mal angeferig abe (Abb. 83). Sell dir vor, der Kreis, der die -Acse in A berür, wird auf der Acse abgeroll. Die Kurve, die der Punk A dabei bescreib, nenn man Rollkurve oder Zkloide. Nac einer vollen Umdreung lieg der Punk A wieder auf der Acse. In der Posiion A a sic der Kreis um ungefär 7 gedre. Die Probleme, mi denen sic die Maemaiker damals befaßen, waren u. a. die Besimmung der Bogenlänge und des Fläceninals uner der Kurve. Und naürlic die von dir angesprocene Frage nac der Tangenenkonsrukion an die Zkloide in einem beliebigen Punk. Eingezeicne is die Tangene im Punk A (Abb. 83). Die Länge eines Bogens beräg 8r und die Fläce uner einem Bogen is dreimal so groß wie die Fläce des abrollenden Kreises. Aber das kann ic mi den dir bekannen Hilfsmieln nic beweisen. Anders se es mi der Tangenenkonsrukion. Wie allerdings Ferma die Sace angepack a, das ic sage es scon - weiß ic nic. Wir braucen doc nur die Seigung im Punk A berecnen, aber..., Jean zögere, da müssen wir ers die Gleicung der Zkloide aufsellen. Ja, und wie du auf der Folienkopie sies, benuz man dazu zweckmäßigerweise eine Parameerdarsellung, wie du sie früer scon mal bei der Sekanendarsellung kennen gelern as 5. Als Parameer kann man den Winkel verwenden, um den sic der Rollkreis gedre a. Dann gil AMB, bemerke Jean, und die Koordinaen von A sind als Srecken inerpreierbar (Abb. 8). Und welce sind das? Jean beracee die neue Zeicnung. Es gil A OB MC und A MB + CA, wobei MB r gil. Außerdem is die Srecke OB gleic der Länge des Bogens BA, also OB r, wenn man im Bogenmaß angib. Abb. 83 Aber MC? Sie erkanne zwar an der Zeicnung, daß MC r cos AMC, aber cos ( AMC + 9 ). Was solle das sein: cos 35 oder auc cos 5? 7 6 5 3 P 9
Auf eine ensprecende Bemerkung in läcele Jon We und meine: Was sag denn dein Tascenrecner dazu? Ewas verduz ippe Jean die Zalen ein: cos 35 -,77. Dann scalee sie auf das Bogenmaß um: cos 5,8366. Wieso akzepiere der Recner diese Were? Weiß du, Jean, begann Dr. We, das is so wie bei der Tangene. Diesen Zusammenang versand Jean nun überaup nic. Abb. 8 In der Elemenarmaemaik, fur Jon We for, da kenn man zunäcs nur die Tangene an einen Kreis. Mi Hilfe der Differenialrecnung aben wir dann Tangene mi Hilfe der Seigung für Grapen differenzierbarer Funkionen definier. Und eben as du geseen, daß dies eine sinnvolle Erweierung des Tangenenbegriffs is, denn, auf den Kreis angewand, für die neue Definiion zum gleicen Ergebnis wie die ale. Du meins, wir sollen sin und cos neu definieren oder besser die Begriffe so verallgemeinern, daß, auf das recwinklige Dreieck angewand, wir die ale Definiion zurückeralen? Dr. We wiege sein Haup. Ja, so könne man es bescreiben. Und zwar zeicnen wir zu diesem Zweck einen Eineiskreis in ein Koordinaenssem, so daß sein Mielpunk M auf den Ursprung O fäll. Der Kreis a dann die Gleicung + r. Die Koordinaen eines beliebigen Punkes P auf dem Umfang dieses Kreises, dessen Radius man zur Einei der Längenmessung mac, lassen sic dann als sin f und cos f inerpreieren, wobei f der Winkel is, den die posiive -Acse und die Srecke MP mieinander bilden. MP bezeicne man auc als Radiusvekor, der im Gegenurzeigersinn um O roier. Auf diese Weise eralen wir Sinus- und Kosinuswere für beliebig große Winkel, die alle im Inervall [-; ] liegen. Wir wollen aber nur Winkel zwiscen und 36 beracen. (Abb. 85) Jon We ging zur Tafel und zeicnee die folgende Tabelle an. f < f <9 f 9 9 < f 8 f 8 8 < f <7 f 7 7 < f <36 f 36 sin f bis bis bis - - - bis cos f bis bis - - - bis bis Jon We zeige auf die Zeicnung mi dem Eineiskreis. Wenn du das recwinklige Dreieck mi dem Winkel α um 9 dres, dann kanns du leic cos(9 + α ) und sin(9 + α ) besimmen. Jean dree in Gedanken das Dreieck und kam zu dem Ergebnis: Es gil cos (9 + α ) - sin α und sin(9 + α ) cos α. Sie überlege, wie sie das auf den Rollkreis anwenden konne. MC rcos AMC. Also MC rsin, denn AMC + 9. Es gil r rsin, selle sie fes, und da CA rsin AMC, folg CA - rcos, also r rcos, wie beaupe. Zufrieden noiere sie sic die Ergebnisse, aber dann und die Enäuscung war irer Simme anzuören meine sie: Jez aben wir die Parameerdarsellung der Zkloidengleicung gefunden, aber die Tangene kann ic immer noc nic konsruieren. da ic die Ableiung nic besimmen kann. Was nic is, kann ja noc werden, lace Dr. We und ging zu Tafel. Abb. 85 3
Wir können versucen, eine Funkionsgleicung zu bekommen, dadurc daß wir versucen, den Parameer zu eliminieren. Die Gleicung r rsin läß sic aber nic nac auflösen. Es läß sic allerdings als Funkion von darsellen, aber auc dazu braucen wir die Umkerfunkion von cos, die du nic kenns. Andererseis zeig die grapisce Darsellung der Zkloide, daß eine Funkion vorlieg. Es sell sic die Frage, uner welcen Bedingungen eine Relaion R, in unserem Fall die Relaion Z {(, ) r( sin ) und r( cos )}, eine Funkion f: is, wenn der Parameer ein nicleeres Inervall I durcläuf. Dieses Inervall I is der Durcscni der Definiionsmengen D und D, also ier der Definiionsmengen von r( sin ) und von r( cos ). Eine solce Funkion f eisier, wenn es zu keinem Parameerwer aus I zwei versciedene -Were gib. Da nun f: r( sin ) im Innern von I, I ]; π [, eine sreng monoone Funkion is, wie wir noc seen werden, is diese Bedingung erfüll. Dr. We mace eine Pause und dree sic um, weil er bemerke, daß Jean ewas in seinen Recner eingab. Er blicke auf den Scirm und muße lau lacen. Jean ae die Funkion f: r( sin ) eingeben, um die srenge Monoonie im Inervall ]; π [ zu überprüfen.(abb. 86). So ge s auc, ic wolle das eigenlic über die Ableiung beweisen. Es,8π eisier also die zu f inverse Funkion, auc wenn wir iren Funkionserm nic eplizi angeben können: f - (). Dies sezen wir jez in den Funkionserm von : r( cos ) ein und eralen mi [f -,π ()] die gewünsce Darsellung der Funkion f(). [f -,π ()] können wir doc nac der Keenregel ableien, oder? Dr. We nicke zusimmend. Die Ableiung von f - () is nac dem Saz über die Ableiung ϕ& () der inversen Funkion, wenn wir die Ableiung nac durc einen Punk und nic durc einen Sric kennzeicnen. Wir eralen dann nac der Keenregel für die gesuce Ableiung: f () ψ& (). Abb. 86 ϕ& () Jez fel nur noc die Ableiung der rigonomeriscen Funkionen, söne Jean. Dr. We wande sic wieder der Tafel zu und scrieb: lim sin sin lim sin( + ) sin Jean erinnere sic an die Formel sin (a + b) (sin a)(cos b) + (sin b)(cos a) 6 und füre die folgende Umformung durc. lim sin( + ) sin lim sin cos + sin cos sin lim sin (cos ) + sin cos Einen ensprecenden Saz kann man übrigens auc für cos(a + b) aufsellen, wenn man a durc 9 + a ersez. Es ergib sic dann cos(a + b) (cos a)(cos b) (sin a)(sin b). Sez man jez für a und b α ein und beace die Gleicung sin + cos, eräl man cos a - - sin α. Dann kann ic ja (cos ) durc sin ersezen, selle Jean fes und begann zu screiben.,6π,π - sin,π,6π,π,π,8π lim sin (cos ) + sin cos lim sin sin + sin cos Jon We nicke zusimmend. Aber um den Grenzwer zu besimmen, müssen wir das noc umsellen. lim sin sin + sin cos lim lim sin sin ( sin ) + sin lim ( sin ) + sin lim cos sin cos Jean beracee die leze Gleicung. Da lim sin sin sin gil und somi der erse Summand gleic is, eralen wir lim cos. Ricig, und, ein vielsagendes Läceln gli über Jons Gesic, in ensprecender Weise läß sic zeigen: 3
lim cos cos - sin. Dann kann ic ja jez die Seigung der Zkloide besimmen, den wir aen ja für f () () r( cos ) und f() r( sin ). Sie begann die Ableiungen zu bilden: ψ& () rsin und ϕ& () r(-cos ), also f () den Nenner. cos, war das nic gleic sin? sin - cos Die Bezieung aben wir doc eben verwende, besäige Dr. We, und wenn du denselben Trick... Du meins in der Formel für sin( α + β ) beide Winkel durc ersezen? unerbrac in Jean. Ja, dann eräls du auc die Gleicung sin sin cos. Also gil f () cos sin ψ& (), wobei ϕ& (). Sie blicke auf co, faße Jean zusammen, aber kann ic denn jez in einem beliebigen P(; ) der Zkloide zum Kreis mi dem Radius r die Tangene konsruieren? Das sind zwei Probleme, Jean, die Gleicung der Tangene aufsellen und an die gezeicnee Zkloide die Tangene konsruieren. Angenommen, die Koordinaen des Punkes P seien bekann. Aus r( cos ) kanns du mi deinem Recner berecen, z. Bsp. für r und,5 ergib sic,38. Übrigens aus ϕ& () r(-cos ) folg, daß ϕ& () für alle aus ]; π [ posiiv und mi in f() eine sreng monoon anseigende Funkion is, was du ja eben scon sozusagen eperimenell besäig as. Scnell ae Jean die Zalen in iren Tascenrecner eingegeben. Dann a P die Abszisse,6997 und die Gleicung der Tangene laue,9 +,5966. Und wie se es mi der geomeriscen Konsrukion? wolle Jon We nun wissen. Die Bläer mi den Zkloiden lagen noc auf dem Tisc (Abb. 83 und 8), und es sa so aus, als ob die Senkrece auf der Tangenen im Berürpunk die -Acse in dem Punk raf, in dem der Rollkreis die Acse berüre. Jean äußere eine ensprecende Vermuung. Ja, die Senkrece nenn man auc Normale, und die ge durc diesen Punk, besäige Dr. We, mi Hilfe der Normalengleicung is das leic zu besäigen. Das ließ sic Jean nic zweimal sagen und begann zu recnen. A cos m ; m - ; A r - rsin und A r rcos f () sin A Durc Einsezen eriel sie Gleicung [(r rcos ) ]sin [(r - rsin ) ](cos - ) Da der Punk B auf der -Acse lieg, gil. Also muß gelen r( cos )sin [ + r(sin )]( cos ). und die Gleicung muß ic jez nac auflösen. So? Wenn du genau insies, sells du fes, daß r die Gleicung erfüll. Simm, r is also die Abszisse des Punkes B, und das is auc der Bogen, den der Punk A durclaufen a bzw. der Winkel, um den sic der Rollkreis gedre a, wenn man im Bogenmaß miß. Sie beracee die Zeicnungen. Für die Konsrukion der Tangenen an die Zkloide im Punk A mi Hilfe der Normalen müße ic diesen Punk B(r; ) aber kennen. Dazu brauce ic wiederum den Rollkreis durc A, von dem ic aber nur den Radius r kenne. Jon We öre amüsier zu. Nac einer kurzen Pause frage er: Kanns du den Mielpunk M des Rollkreises denn nic besimmen? Jez fiel der Groscen. Klar, erse Besimmungslinie is die Parallele zur -Acse im Absand r und die zweie is der Kreis um A mi dem Radius r. Von M fälle ic das Lo auf die Acse und erale B. Die Senkrece auf BA in A is dann die gesuce Tangene. Gu, scerze Dr. We, Ferma äe sicer seine elle Freude an dir. Befriedig verabsciedee sic Jean und fur mi dem Bus nac Hause. Nac dem Abendessen erzäle sie irem Vaer von irem Besuc bei Onkel Jon und dem Tangenenproblem. Sie erwäne auc, daß im Zusammenang mi der Zkloide in einem Buc die Rede von Bracisocrone und Tauocrone die Rede gewesen sei. Aber dami könne sie nic viel anfangen, auc wenn sie die ursprünglice Bedeuung der Worbesandeile im Grieciscen kenne. Ja, erkläre Karl Icks, bracisos, das is ein unregelmäßiger Superlaiv von bracs 7, was kurz bedeue. Galilei selle sic die Frage, welce Form die Kurve a, auf der ein Körper uner der Einwirkung der Scwerkraf auf einer verikalen Ebene in kürzeser Zei von A nac B gelang. 3
Als er Jeans Gesic sa, nam er ein Bla Papier zur Hand und mace eine Skizze.(Abb. 87) Sell dir vor, eine Kugel wird in A losgelassen und läuf durc eine Fallrinne von A nac B. Ersaunlicerweise is die Kugel bei der Rinne, welce die Form eines alben Zkloidenbogens a, scneller in B als bei der geraden Rinne. Das äng dami zusammen, daß sie anfangs scneller fäll und so die Zei für den längeren Weg kompensier. Man kann zeigen, daß von allen Formen, welce man der Rinne geben kann, die Fallzei bei der Zkloidenform am kürzesen is. Bei der Geraden is die Fallzei um ca. 8 % länger. Und warum spric man von einer Tauocronen? Nun Cronos bedeue im Grieciscen Zei 8, und Tauo komm von dem grieciscen Wor für dasselbe. 9 Diese Bezeicnung rür daer, daß die Zei bis zum Erreicen des Punkes B vom Sarpunk auf der Zkloiden unabängig is, die Kugel brauc immer dieselbe Zei.. Diese Eigenscaf der Kurve wurde von dem Holländer Crisiaan Hugens im Jare 659 gefunden, der sie für die Konsrukion ser genau geender Pendeluren ausnuze. Abb. 87 Die Frage nac der Kurvenform der Bracisocrone, der scnellsen Ban sozusagen, wurde 696 u.a. von dem Scweizer Maemaiker Joann Bernoulli beanwore. 33
E. T. Bell, Die großen Maemaiker, Düsseldorf 967,. Aufl. S. 9 Euklid, Elemene, III, Def. EÙqe a kúklou f pesqai lšgeai, ¼ij pomšn ýu kúklou kaˆ kballomšn où šmnei Õn kúklon. Man sag, eine Gerade berür einen Kreis, wenn sie in riff und nic scneide, auc wenn man sie weier auszie. 3 vgl. Kapiel 7 vgl. Kapiel 53 5 vgl. Kapiel 59 6 vgl. Kapiel 6 7 bracúj,gr. kurz, br cisoj, der kürzese. 8 Ð crònoj, gr. die Zei 9 Õ aùò, aùò (Krasis), gr. dasselbe 3