Aufgabensammlung: VK Finanzwirtschaft Aufgabe L1 1 Der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der Aktien A und B sei 0.01. Den Rest der Daten entnehmen Sie der Tabelle Aktie E(r i ) σ(r i ) A 10 % 15 % B 18 % 30 % Daten p.a. (a) Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung des MVPs. (b) Wie hoch ist die Volatilität des MVPs in % p.a.? (c) Wie hoch ist die erwartete Rendite des MVPs in % p.a.? Aufgabe L2 Berechnen Sie allgemein für zwei Wertpapiere A und B die anteilsmäßige Zusammensetzung der effizienten Portfolios P als Funktion von E(r P ), σ(r A ), σ(r B ), Cov(r A, r B ), E(r A ) und E(r B ). Wie lautet die Lösung für das MVP? Aufgabe L3 Es gibt drei Wertpapiere. Die Varianz-Kovarianz-Matrix Cov(r i, r j ) und die erwarteten Renditen E(r i ) sind (p.a.): Cov(r i, r j ) = 2 1 0 1 2 1 0 1 2 E(r i ) = 0.4 0.8 0.8 (a) Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung, die erwartete Rendite sowie Varianz und Risiko des MVPs (jeweils in % p.a.). (b) Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung, die erwartete Rendite sowie Varianz und Risiko eines weiteren effizienten Portfolios (jeweils in % p.a.). (c) Finden Sie das effiziente (Markt-) Portfolio, wenn der risikolose Zinssatz im Gleichgewicht 0.2 (p.a.) beträgt. 1) Die Aufgaben L1 L5 sind entnommen aus: Luenberger, D.G., Investment Science, Oxford University Press, New York 1998.
Aufgabe L4 Die erwartete Marktrendite sei 23 % p.a. Der risikolose Zinssatz sei 7 % p.a. Die Volatilität der Marktrendite sei 32 % p.a. Nehmen Sie an, daß das Marktportfolio effizient ist. (a) Wie lautet die Gleichung der Kapitalmarktgeraden? (b) Wie hoch ist die minimale Varianz eines Portfolios mit einer Rendite von 39 % p.a.? (c) Wie müßten Sie 1000 Euro anlegen, damit sie ein effizientes Portfolio mit einer Rendite von 39 % p.a. halten? (d) Welche Rendite p.a. erwarten Sie, wenn Sie 300 Euro risikolos und 700 Euro in das Marktportfolio investieren. Wie hoch ist die Volatilität des Portfolios in % p.a.? Aufgabe L5 Im Land XY gibt es zwei Aktien (A und B). Anzahl Aktien Kurs erw. Rendite in % p.a. Volatilität in % p.a. A 100 1.50 15 15 B 150 2.00 12 9 Der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der Aktien A und B ist 1/3. Weiters existiert ein risikoloses Wertpapier. a) Berechnen Sie die erwartete Rendite des Marktportfolios in % p.a. b) Berechnen Sie die Volatilität des Marktportfolios in % p.a. c) Berechnen Sie das Beta von A. d) Berechnen Sie den risikolosen Zinssatz in % p.a. Aufgabe K1 Die Kurse der Aktien A und B sowie die Notierungen eines Aktienindex betrugen in den letzten Wochen: Kurse Index Woche Tag Aktie A Aktie B stand 1 4.4.97 102 212 321 2 11.4.97 104 212 328 3 18.4.97 95 210 325 4 25.4.97 96 210 330 5 2.5.97 80 216 328 6 9.5.97 82 216 337 7 16.5.97 82 210 330 8 23.5.97 77 210 334 9 30.5.97 77 209 335 10 6.6.97 76 209 332 Bobek/Keber/Perl/Schuster 2
Der risikolose Zinssatz beträgt am 6.6.1997 6 % p.a. Bei der Aktie A sind folgende Kursabschläge zu beachten: 17.4.97: exd 10, Dividende je Aktie 30.4.97: exba 5:1 23.5.97: exbr Notierung des Bezugsrechts zu Beginn des Bezugsrechtshandels 5, Bei der Aktie B sind innerhalb des Beobachtungszeitraums keine Kursabschläge aufgetreten. Berechnen Sie (a) die durchschnittliche wöchentliche Rendite und das Risiko pro Woche für die beiden Aktien und für den Index und annualisieren Sie die erhaltenen Werte, (b) die Korrelationen zwischen den wöchentlichen Renditereihen, (c) die Ex post βs (historsiche βs) der beiden Aktien. Ein risikoaverser Investor vermutet für das kommende Jahr eine erwartete Kapitalmarktrendite in der Höhe von 12 % p.a. (d) Unterstellen Sie stabile β Werte und ermitteln Sie anhand des Capital Asset Pricing Models (CAPM) die erwarteten Renditen der beiden Aktien für das kommende Jahr in % p.m. und p.a. Unterstellen Sie desweiteren stabile Volatilitäten und Korrelationen und ermitteln Sie (e) den Marktpreis für das Risiko je Risikoeinheit, (f) das systematische und das unsystematische Risiko der Aktien A und B. Aufgabe K2 Gegeben seien die Daten von zwei riskanten Wertpapieren A und B: j A B E(r j ) (in % p.a.) 8,00 14,00 σ(r j ) (in % p.a.) 10,00 16,00 Die Kovarianz zwischen den Renditen der Wertpapiere A und B beträgt Cov(r A, r B ) = 0, 01. (a) Berechnen Sie die Zusammensetzung (XA MV P, XB MV P ), die erwartete Rendite E(r MV P ), die Varianz σ 2 (r MV P ) und das Risiko σ(r MV P ) des Minimum Varianz Portefeuilles (in % p.a.). Bobek/Keber/Perl/Schuster 3
Unterstellen Sie zustzlich die Möglichkeit, Kapital zu 8 % p.a. risikolos veranlagen bzw. ausborgen zu knnen. (b) Ein Investor hält das folgende Portefeuille: α = 20 %, x A = 40 %, x B = 40 %. Handelt es sich dabei um ein effizientes Portefeuille im Sinne Tobin? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch. (c) Ein Investor hält das Portefeuille α = 0 %, x A = 22 %, x B = 78 % und Leerverkäufe für den risikolosen Finanzierungstitel sind ausgeschlossen. Handelt es sich dabei um ein effizientes Portefeuille im Sinne Tobin? Begründen Sie Ihre Antwort. Aufgabe K3 An der neu eröffneten Börse von Floridsdorf notieren die zwei Aktien der rein eigenfinanzierten Unternehmungen A und B. Der Kapitalmarkt von Floridsdorf befindet sich im Gleichgewicht und es gibt nur die zwei Investoren X und Y. Alle Investoren sind risikoavers, rational, haben homogene Erwartungen und entscheiden nach der Erwartungswert Varianz Regel. Für das kommende Jahr vermuten die Kapitalmarktteilnehmer folgende zustandsabhängige Renditen in % p.a. für die Aktie A und für den gesamten Kapitalmarkt: i p(z i ) r A (z i ) r M (z i ) 1 0,20 0,20 0,01 2 0,60 0,12 0,22 3 0,20 0,20 0,10 (a) Berechnen Sie für die Aktie A und den gesamten Kapitalmarkt die erwartete Rendite E(r A ), E(r M ), die Varianz σ 2 (r A ), σ 2 (r M ) und das Risiko σ(r A ), σ(r M ). (b) Berechnen Sie das Ex ante β für die Aktie A (β A ) und die Kovarianz Cov(r A, r M ) zwischen der Aktie A und dem Kapitalmarkt. Von der Unternehmung A sind wertmäßig insgesamt 10 Mio., von der Unternehmung B wertmäßig insgesamt 30 Mio. Aktienvermögen im Umlauf. Vom Investor X ist bekannt, daß sein investiertes Reinvermögen 30 Mio. und die erwartete Rendite des investierten Vermögens 10 % p.a. beträgt. (c) Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung des Marktportefeuilles (x M A, xm B ). (d) Berechnen Sie für die Aktie B die erwartete Rendite E(r B ), das Beta β B sowie die Höhe des risikolosen Finanzierungstitels im Gleichgewicht (in % p.a.). (e) Berechnen Sie die anteils und wertmäßige Zusammensetzung des Portefeuilles, das X im Gleichgewicht hält. (f) Berechnen Sie die anteils und wertmäßige Zusammensetzung sowie die erwartete Rendite und das Risiko des Portefeuilles, das Y im Gleichgewicht hält. Bobek/Keber/Perl/Schuster 4
Aufgabe K4 An der Floridsdorfer Börse notieren die zwei Aktien der rein eigenfinanzierten Unternehmungen A und B. Der Kapitalmarkt befindet sich im Gleichgewicht und es gibt nur die zwei Investoren BW und IBW. Alle Investoren sind risikoavers, rational, haben homogene Erwartungen und entscheiden nach der Erwartungswert Varianz Regel. Für das kommende Jahr vermuten die Kapitalmarktteilnehmer folgende zustandsabhängige Renditen in % p.a. für die Aktie A und für den gesamten Kapitalmarkt: i p(z i ) r A (z i ) r M (z i ) 1 0,20 0,20 0,01 2 0,60 0,12 0,22 3 0,20 0,20 0,10 (a) Berechnen Sie für die Aktie A und den gesamten Kapitalmarkt die erwartete Rendite, die Varianz und das Risiko. (b) Berechnen Sie das Ex ante β für die Aktie A und die Kovarianz zwischen der Aktie und dem Kapitalmarkt. Von der Unternehmung A sind wertmäßig insgesamt 20 Mio., von der Unternehmung B wertmäßig insgesamt 60 Mio. Aktienvermögen im Umlauf. Vom Investor BW ist bekannt, daß sein investiertes Reinvermögen 30 Mio. und die erwartete Rendite des investierten Vermögens 10 % p.a. beträgt. (c) Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung des Marktportefeuilles. (d) Berechnen Sie für die Aktie B die erwartete Rendite, daß Beta sowie die Höhe des risikolosen Finanzierungstitels in % p.a. im Gleichgewicht. (e) Berechnen Sie die anteils und wertmäßige Zusammensetzung des Portefeuilles, das BW im Gleichgewicht hält. (f) Berechnen Sie die anteils und wertmäßige Zusammensetzung sowie die erwartete Rendite und das Risiko des Portefeuilles, das IBW im Gleichgewicht hält. Aufgabe K5 Am Kapitalmarkt von Zinsbabwe existieren drei Aktien, von denen die erste eine erwartete Rendite von E(r A ) = 11 %, die zweite eine erwartete Rendite von E(r B ) = 10 % aufweist. Die Covarianzmatrix der Renditen lautet 0, 0225 0, 0054 0, 0036 0, 0054 0, 0324 0, 01728. 0, 0036 0, 01728 0, 0576 Die erste Aktie hat einen Anteil am Marktportefeuille von x M A = 0, 274541, die zweite von xm B = 0, 381433. Zusätzlich zu den Aktien existiert auch ein risikoloser Titel mit einer Rendite von 5 %. Der Kapitalmarkt befindet sich im Gleichgewicht, und es fallen weder Steuern noch Transaktionskosten an. Bobek/Keber/Perl/Schuster 5
(a) Ermitteln Sie die Beta Faktoren der drei Aktien. (b) Welche erwartete Rendite muß die dritte Aktie im Gleichgewicht haben? (c) Ein Investor möchte in ein Portefeuille investieren, das eine Rendite von 10 % erwarten läßt. Wie soll er sein Kapital aufteilen, falls er (c1) gleichzeitig in den risikolosen Titel und in das Marktportefeuille investiert? (c1) die Unternehmen A und B für starke Umweltverschmutzer hält und daher aus Gewissensgründen nur in den risikolosen Titel und in Aktie C investiert? Aufgabe K6 (a) Die beiden Studenten Peter Sil und Sepp Tember sind eifrige Marktteilnehmer. Peters Portefeuille hat eine erwartete Rendite von 12,25 % p.a. bei einem Risiko von σ Peter = 0, 15, Sepps Portefeuille läßt bei einem Risiko von σ Sepp = 0, 24 eine Rendite von 15,4 % p.a. erwarten. Bestimmen Sie die erwartete Marktrendite, das Marktrisiko und den risikolosen Zinssatz, wenn auf dem Kapitalmarkt Gleichgewicht herrscht und Sie wissen, daß Peter drei Viertel seines Vermögens in das Marktportefeuille investiert hat. (b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß Peters Rendite negativ ist? Welche Rendite wird Sepp mit 5 %-iger Wahrscheinlichkeit nicht unterschreiten? (Unterstellen Sie normalverteilte Renditen!) (c) Neben Peter und Sepp gibt es auf dem betrachteten Kapitalmarkt nur einen weiteren Marktteilnehmer, Franz Brandtwein, der einen Betrag von 100.000, risikolos und 900.000, im Marktportefeuille investiert hat. Welche Rendite Risiko Kombination kann dieser Investor erwarten? Welche Beträge haben die beiden Studenten investiert, wenn bisher lediglich bekannt ist, daß Sepp Aktien im Wert von 900.000, besitzt? Aufgabe K7 Die zu erwartenden Renditen von zwei Wertpapieren A und B betragen 11 % p.a. bzw. 14 % p.a., die annualisierte Standardabweichung beträgt bei Wertpapier A 0,1, bei Wertpapier B 0,2. Die Rendite von Wertpapier A korreliert mit jener von Wertpapier B im Ausmaß von 0,5. Ferner existiert ein risikoloser Finanzierungstitel mit r = 8 % p.a. (a) Berechnen Sie die Zusammensetzung, die erwartete Rendite, die Varianz und das Risiko des Tangentialportefeuilles und geben Sie die Gleichung für die Tobin Effizienzkurve an. (b) Ein Investor möchte eine erwartete Rendite in Höhe von 10 % p.a. erzielen. Welche Anteile seines Vermögens soll der Investor in die Aktie A, in die Aktie B und in den risikolosen Finanzierungstitel investieren? Welches Risiko hat der Investor dabei zu tragen? (c) Ein Investor ist bereit ein Risiko von 17,32 % p.a. zu tragen. Welche Anteile seines Vermögens soll der Investor in die Aktie A, in die Aktie B und in den risikolosen Finanzierungstitel investieren? Welche Rendite kann der Investor dabei erwarten? (d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Rendite des Portefeuilles aus (b) bzw. (c) negativ? (Unterstellen Sie, daß die Renditen der riskanten Wertpapiere normalverteilt sind.) Bobek/Keber/Perl/Schuster 6
Aufgabe K8 Der volkommene Kapitalmarkt im Land des Lächelns befindet sich im Gleichgewicht und besteht ausschließlich aus den Aktien der rein eigenfinanzierten Unternehmungen Europa AG und China AG sowie aus einem risikolosen Finanzierungstitel. Im Land des Lächelns gibt es nur die beiden Kapitalmarktteilnehmer Sou Chong und Lisa. Beide Investoren sind risikoavers, rational und haben homogene Erwartungen. Der erwartete Marktpreis für das Risiko je Risikoeinheit beträgt 0,2571428571, und von Lisa ist bekannt: Investiertes Reinvermögen am Kapitalmarkt Erwartetes Endvermögen Erwartetes Risiko des investierten Reinvermögens 1,5 Mio. 1,635 Mio. 7,0 % p.a. (a) Berechnen Sie die Höhe des risikolosen Finanzierungstitels im Gleichgewicht (in % p.a.). Von Sou Chong ist bekannt, daß er einen Kredit in Höhe von 0,6 Mio. (das entspricht 60 % seines Reinvermögens) aufgenommen hat und Europa AG Aktien in der Höhe 0,4 Mio. besitzt. Desweiteren ist bekannt, daß das β der China AG Aktien dreimal so hoch ist wie jenes der Europa AG Aktien. Berechnen Sie: (b) Die erwartete Rendite und das Risiko des Kaptialmarkts (in % p.a.), die anteilsmäßige Zusammensetzung des Marktportefeuilles sowie die erwartete Rendite und das β der Aktien Europa und China im Gleichgewicht. (c) Die anteils und wertmäßige Zusammensetzung sowie die erwartete Rendite des Portefeuilles, das Lisa im Gleichgewicht hält. (d) Die anteils und wertmäßige Zusammensetzung sowie die erwartete Rendite und das Risiko des Portefeuilles, das Sou Chong im Gleichgewicht hält. Aufgabe K9 Bei der Gründung eines Fitneß-Studios überlegt der risikoaverse Jungunternehmer Moritz Kugelrund zur Herstellung von E Drink Dosen von Julius Gift, Mischmaschinen aller Art, eine E Drink Maschine mit zweijähriger geplanter Nutzungsdauer zu kaufen: Anschaffungsauszahlungen: 4.000, Verkaufspreis je E Drink Dosen in t = 1, 2: 2, Variable Auszahlungen je E Drink Dosen in t = 1, 2: 0,50 Fixe jährliche Auszahlungen: 200, Erwarteter Restwert R T 50, Bobek/Keber/Perl/Schuster 7
Der Investor vermutet für die beiden kommenden Jahre folgende Umweltzustände z t,i am Kapitalmarkt, subjektive unbedingte Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z t,i ), zustandsabhängige Kapitalmarktrenditen r M (z t,i ) und zustandsabhängige Absatz und Produktionsmengen x(z t,i ) für das Investitionsprojekt: t = 1 t = 2 Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Rezession 0,20 5 % 1.850 Rezession 0,30 6 % 1.900 Normal 0,50 10 % 2.000 Normal 0,45 10 % 2.000 Boom 0,30 15 % 2.100 Boom 0,25 16 % 2.100 Der risikolose Zinssatz beträgt in jedem Jahr 7 % p.a. Der Steuersatz ist 40 % p.a. und die steuerliche Abschreibung der Maschine erfolgt linear über die geplante Nutzungsdauer. Ermitteln Sie für das Projekt den Kapitalwert nach der APV Methode, falls bei Realisation des Projekts ein risikoloser endfälliger Kredit in der Höhe von 700, aufgenommen werden soll. Aufgabe K10 Der vollkommene Kapitalmarkt von Gallien bestehe ausschließlich aus den Aktien der rein eigenfinanzierten Unternehmungen Kapitalnix (K) und Produziernix (P) sowie aus einem risikolosen Finanzierungstitel. In Gallien gibt es nur die beiden Kapitalmarktteilnehmer Asterix und Obelix. Beide Investoren sind risikoavers, rational, haben homogene Erwartungen und vermuten zu t = 0 für den Zeitpunkt t = 1 die folgenden Eintrittswahrscheinlichkeiten und zustandsabhängigen Renditen des gesamten Kapitalmarktes: i p(z i ) r M (z i ) 1 0,2 5 % 2 0,5 10 % 3 0,3 15 % Die erwarteten Renditen in % p.a. für die beiden Aktien sind der risikolose Zinssatz beträgt 5 % p.a. E(r K ) E(r P ) 6,4 9,2 (a) Berechnen Sie die erwartete Rendite und das Risiko des Marktportefeuilles. (b) Berechnen Sie die β Werte für die beiden Aktien für den Fall, daß sich der Kapitalmarkt im Gleichgewicht befindet. (c) Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung des Marktportefeuilles. Von Asterix ist bekannt, daß sein investiertes Reinvermögen am Kapitalmarkt 1 Mio. beträgt und daß er bereit ist, ein Risiko in der Höhe von 10 % p.a. zu tragen. Das von Obelix am Kapitalmarkt investierte Reinvermögen beträgt 1,5 Mio. (d) Berechnen Sie die wertmäßige Zusammensetzung und die erwartete Rendite des Portefeuilles, das Asterix im Gleichgewicht hält. (e) Berechnen Sie die wertmäßige Zusammensetzung, die erwartete Rendite und das Risiko des Portefeuilles, das Obelix im Gleichgewicht hält. Bobek/Keber/Perl/Schuster 8
Aufgabe K11 Bei der Gründung einer Bio Laden Kette überlegt der risikoaverse Jungunternehmer Moritz Künstlich zur Herstellung der Haferflocken Mischung H Flocki von Julius Gift, Mischmaschinen aller Art, eine Haferflocken Mischmaschine mit zweijähriger geplanter Nutzungsdauer zu kaufen: Anschaffungsauszahlungen: 3.000, Verkaufspreis je H Flocki in t = 1, 2: 2, Variable Auszahlungen je H Flocki in t = 1, 2: 0,50 Fixe jährliche Auszahlungen: 200, Erwarteter Restwert R T 50, Moritz Künstlich vermutet für die beiden kommenden Jahre folgende Umweltzustände z t,i am Kapitalmarkt, subjektive unbedingte Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z t,i ), zustandsabhängige Kapitalmarktrenditen r M (z t,i ) und zustandsabhängige Absatz und Produktionsmengen x(z t,i ) für das Investitionsprojekt: t = 1 t = 2 Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Rezession 0,20 5 % 1.850 Rezession 0,30 6 % 1.900 Normal 0,50 10 % 2.000 Normal 0,45 10 % 2.000 Boom 0,30 15 % 2.100 Boom 0,25 16 % 2.100 Der risikolose Zinssatz beträgt in jedem Jahr 7 % p.a. Der Steuersatz ist 40 % p.a. und die steuerliche Abschreibung der Maschine erfolgt linear über die geplante Nutzungsdauer. Ermitteln Sie für das Projekt den Kapitalwert nach der APV Methode, falls bei Realisation des Projekts ein risikoloser endfälliger Kredit in der Höhe von 1.500, aufgenommen werden soll. Aufgabe K12 Ein risikoaverser Investor mit Wohnsitz in Deutschland möchte sein Gesamtvermögen in der Höhe von 1 Mio DM für ein Jahr in einen deutschen Aktienindexfond und in einen deutschen Anleihenindexfond investieren. Für das kommende Jahr erwartet der Investor eine Rendite von 15 % für den Aktienindex DAX und von 8 % für den Anleiheindex REX. Zur Prognose der Volatilitäten und des Korrelationskoeffizienten stehen dem Investor die Informationen aus der beiliegenden Tabelle zur Verfügung. Datum DAX REX-P r DAX r REX rdax 2 rrex 2 r DAX r REX Nov 96 2845,52 190,83 Dez-96 2888,69 191,25 1,5171 0,2201 0,0230 0,0005 0,0033 Jan-97 3035,15 192,84 5,0701 0,8314 0,2571 0,0069 0,0422 Feb-97 3259,64 195,43 7,3963 1,3431 0,5471 0,0180 0,0993 Mar-97 3429,05 193,35 5,1972 1,0643 0,2701 0,0113 0,0553 Apr-97 3438,07 194,97 0,2630 0,8379 0,0007 0,0070 0,0022 May-97 3547,84 195,01 3,1928 0,0205 0,1019 0,0000 0,0007 Jun-97 3785,77 198,18 6,7063 1,6256 0,4497 0,0264 0,1090 Jul-97 4438,93 199,40 17,2530 0,6156 2,9767 0,0038 0,1062 Aug-97 3906,03 198,65 12,0051 0,3761 1,4412 0,0014 0,0452 Sep-97 4167,85 200,07 6,7030 0,7148 0,4493 0,0051 0,0479 Oct-97 3726,69 199,66 10,5848 0,2049 1,1204 0,0004 0,0217 Summe 30,7090 4,5635 7,6372 0,0809 0,4224 Bobek/Keber/Perl/Schuster 9
Quelle: Deutsche Börse AG (DAX30 Schlußkurse, REX-P Performance Tageskurse) (a) Ermitteln Sie die historischen Volatilitäten in % p.m. und in % p.a. sowie den historischen Korrelationskoeffizienten. (b) Ermitteln Sie die Zusammensetzung, die erwartete Rendite und das Risiko des Minimum- Varianz-Portfolios. (c) Der Investor möchte mit seinem Portfolio eine Rendite von 12 % p.a. erwarten können. Ermitteln Sie die Zusammensetzung und das Risiko des entsprechenden Portfolios. (d) Unterstellen Sie, daß der Investor auch die Möglichkeit hat, eine risikolose Position in sein Portfolio aufzunehmen. Der risikolose Zinssatz für eine einjährige Veranlagung betrage 3 %. Der Investor ist bereit, ein Risiko seines Portfolios in der Höhe von 15 % p.a. zu tragen. Ermitteln Sie die Zusammensetzung und die erwartete Rendite des entsprechenden Portfolios. Aufgabe K13 Ein Investor vermutet die folgenden Erwartungswerte, Varianzen und Covarianzen der normalverteilten Renditen der Aktien A, B und C: Cov(r j, r k ) = j A B C E(r j ) in % p.a. 7 10 13 0, 12 0, 003 0 0, 2 2 0, 001 0, 3 2 ; j, k {A, B, C}. Unterstellen Sie die Möglichkeit, Kapital zu 6 % p.a. risikolos zu veranlagen bzw. auszuborgen. (a) Berechnen Sie die Zusammensetzung, die erwartete Rendite, die Varianz und das Risiko des Tangentialportefeuilles und geben Sie die Gleichung für die Effizienzkurve nach Tobin an. (b) Ein Investor möchte eine erwartete Rendite von 12 % p.a. erzielen. Welches Portefeuille soll er sich hierfür zusammenstellen und welches Risiko geht er mit diesem Portefeuille ein? (c) Ein Investor hält ein Portefeuille, bei dem die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Rendite unter 10 % p.a. liegt, 69,15 % beträgt. Berechnen Sie die erwartete Rendite, das Risiko und die Zusammensetzung dieses Portefeuilles. Bobek/Keber/Perl/Schuster 10
Aufgabe K14 Ein Investor vermutet die folgenden Erwartungswerte, Varianzen und Covarianzen der normalverteilten Renditen der Aktien A und B: j A B E(r j ) in % p.a. 8 12 σ 2 (r j ) in % p.a. 10 20 Cov(r A, r B ) 1/300 Unterstellen Sie die Möglichkeit, Kapital zu 6 % p.a. risikolos zu veranlagen bzw. auszuborgen. (a) Berechnen Sie die Zusammensetzung, die erwartete Rendite, die Varianz und das Risiko des Tangentialportefeuilles und geben Sie die Gleichung für die Effizienzkurve nach Tobin an. (b) Ein Investor möchte eine erwartete Rendite von 12 % p.a. erzielen. Welches Portefeuille soll er sich hierfür zusammenstellen und welches Risiko geht er mit diesem Portefeuille ein? (c) Ein Investor hält ein Portefeuille, bei dem die Wahrscheinlichkeit dafür, daß die Rendite unter 10 % p.a. liegt, 69,15 % beträgt. Berechnen Sie die erwartete Rendite, das Risiko und die Zusammensetzung dieses Portefeuilles. Aufgabe K15 Für den Zeitraum 1987 1995 betrug auf dem amerikanischen Markt die durchschnittliche Rendite 10,36 % bei einem Risiko von 0,1747; in Österreich wurde für denselben Zeitraum eine durchschnittliche Rendite von 9,33 % bei einem Risiko von 0,2607 erzielt. Als Korrelation zwischen den beiden Märkten wurde 0,0103 gemessen (sämtliche Angaben bezogen auf ein Jahr und auf US $ Basis). Ein österreichischer Investor plant nun, gleichzeitig in Österreich und den USA zu investieren. Dazu nimmt er die historischen Werte als Erwartungswerte, wobei das Wechselkursrisiko bereits in diesen Werten berücksichtigt ist. Zusätzlich hat er die Möglichkeit, Kapital in US $ risikolos zu einem Zinssatz von 4 % p.a. anzulegen bzw. auszuleihen. (a) Ermitteln Sie das Tobin sche Tangentialportefeuille, für das sich der Investor für seine riskante Veranlagung entscheiden wird. (b) Der Investor ist bereit, ein Risiko von σ(r P ) = 0,2607 einzugehen. Welche Rendite wird er bei gleichzeitiger Investition in Österreich und den USA bei ausschließlicher Investition in Österreich erwarten? (c) Der Investor möchte eine Rendite von E(r P ) = 9,33 % p.a. erwarten können. Welches Risiko muß er dann bei gleichzeitiger Investition in Österreich und den USA bei ausschließlicher Investition in Österreich in Kauf nehmen? Bobek/Keber/Perl/Schuster 11
Aufgabe K16 Für den Zeitraum 1987 1995 betrug auf dem amerikanischen Markt die durchschnittliche Rendite 10,36 % bei einem Risiko von 0,1747; in Österreich wurde für denselben Zeitraum eine durchschnittliche Rendite von 9,33 % bei einem Risiko von 0,2607 erzielt (sämtliche Angaben bezogen auf ein Jahr und auf US $ Basis). Ein österreichischer Investor plant nun, in Österreich oder den USA zu investieren. Dazu nimmt er die historischen Werte als Erwartungswerte, wobei das Wechselkursrisiko bereits in diesen Werten berücksichtigt ist. Zusätzlich hat er die Möglichkeit, Kapital in US $ risikolos zu einem Zinssatz von 4 % p.a. anzulegen bzw. auszuleihen. (a) Der Investor ist bereit, ein Risiko von σ(r P ) = 0,20 einzugehen. Welche Rendite wird er bei ausschließlicher Investition in den USA bei ausschließlicher Investition in Österreich erwarten? (b) Der Investor möchte eine Rendite von E(r P ) = 10,00 % p.a. erwarten können. Welches Risiko muß er dann bei ausschließlicher Investition in den USA bei ausschließlicher Investition in Österreich in Kauf nehmen? Aufgabe K17 Bei der Gründung einer Bio Laden Kette überlegt der risikoaverse Jungunternehmer Martin Künstlich zur Herstellung der Müsli Mischung Flockenfein von Julius Gift, Mischmaschinen aller Art, eine Müsli Mischmaschine mit zweijähriger geplanter Nutzungsdauer zu kaufen: Anschaffungsauszahlungen: 1.000, Erwarteter Restwert R T 50, Periode 1 2 Verkaufspreis je Müsli Mischung: 1, 2, Variable Auszahlungen je Müsli Mischung: 0,50 1, Fixe jährliche Auszahlungen: 400, 600, Martin Künstlich vermutet für die beiden kommenden Jahre folgende Umweltzustände z t,i am Kapitalmarkt, subjektive unbedingte Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z t,i ), zustandsabhängige Kapitalmarktrenditen r M (z t,i ) und zustandsabhängige Absatz und Produktionsmengen x(z t,i ) für das Investitionsprojekt: t = 1 t = 2 Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Rezession 0,20 5 % 1.850 Rezession 0,30 6 % 1.900 Normal 0,50 10 % 2.000 Normal 0,45 10 % 2.000 Boom 0,30 15 % 2.100 Boom 0,25 16 % 2.100 Bobek/Keber/Perl/Schuster 12
Der risikolose Zinssatz beträgt in jedem Jahr 6 % p.a. Der Steuersatz ist 40 % p.a. und die steuerliche Abschreibung der Maschine erfolgt linear über die geplante Nutzungsdauer. Ermitteln Sie für das Projekt den Kapitalwert nach der APV Methode, falls bei Realisation des Projekts ein risikoloser Kredit mit Ratentilgung (ohne Freijahre) in der Höhe von 300, aufgenommen werden soll. Aufgabe K18 Maximillian Klug, Student am Betriebswirtschaftszentrum, hat ATS 100.000, in zwei Aktien investiert, von denen folgende Daten bekannt sind: Aktie A B E(r i ) (in % p.a.) 12 16 σ(r i ) (in % p.a.) 9 15 Maximillian Klug hat in die Aktie A 75 % und in die Aktie B 25 % des Vermögens investiert und hält damit das Portefeuille mit dem kleinst möglichen Risiko mit σ 2 (r MV P ) = 0.0063. Nach intensivem Studium der Portefeuilletheorie ist Maximillian Klug davon überzeugt, daß er bei einer Umstrukturierung des bisherigen Portefeuilles und Berücksichtigung einer risikolosen Veranlagung zu einem (risikolosen) Zinssatz von 4.25 % p.a. eine höhere Portefeuillerendite erwarten kann als bisher, ohne daß sich dabei seine bisherige Risikoposition verändert. Zeigen Sie, daß die Überlegungen von Maximillian Klug richtig sind, und berechnen Sie insbesondere die erwartete Rendite sowie anteilsmäßige Zusammensetzung des umstrukturierten Portefeuilles. Aufgabe K19 Bei der Gründung einer Bäckerei überlegt der risikoaverse Jungunternehmer Martin Buchtelschmied zur Herstellung der Brotsorte Rein und Fein von Julius Gift, Mischmaschinen aller Art, eine Teig Mischmaschine mit zweijähriger geplanter Nutzungsdauer zu kaufen: Anschaffungsauszahlungen: 1.000, Erwarteter Restwert R T 50, Periode 1 2 Verkaufspreis je Stück Rein und Fein : 1, 2, Variable Auszahlungen je Stück Rein und Fein : 0,50 1, Fixe jährliche Auszahlungen: 400, 600, Martin Buchtelschmied vermutet für die beiden kommenden Jahre folgende Umweltzustände z t,i am Kapitalmarkt, subjektive unbedingte Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z t,i ), zustandsabhängige Kapitalmarktrenditen r M (z t,i ) und zustandsabhängige Absatz und Produktionsmengen x(z t,i ) für das Investitionsprojekt: Bobek/Keber/Perl/Schuster 13
t = 1 t = 2 Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Rezession 0,30 5 % 1.850 Rezession 0,30 6 % 1.900 Normal 0,50 10 % 2.000 Normal 0,45 10 % 2.000 Boom 0,20 15 % 2.100 Boom 0,25 16 % 2.100 Der risikolose Zinssatz beträgt in jedem Jahr 5 % p.a. Der Steuersatz ist 40 % p.a. und die steuerliche Abschreibung der Maschine erfolgt linear über die geplante Nutzungsdauer. Ermitteln Sie für das Projekt den Kapitalwert nach der APV Methode, falls bei Realisation des Projekts ein risikoloser Kredit mit Ratentilgung (ohne Freijahre) in der Höhe von 300, aufgenommen werden soll. Aufgabe K20 Am Kapitalmarkt von Paradiso existieren drei Aktien, von denen die erste eine erwartete Rendite von E(r A ) = 8 %, die zweite eine erwartete Rendite von E(r B ) = 15 % aufweist. Die Covarianzmatrix der Renditen lautet 0, 01 0, 008 0, 003 0, 04 0, 018. 0, 0225 Die erste Aktie hat einen Anteil am Marktportefeuille von x M A = 0, 2904, die zweite von xm B = 0, 3151. Zusätzlich zu den Aktien existiert auch ein risikoloser Titel mit einer Rendite von 5 %. Der Kapitalmarkt von Paradiso befindet sich im Gleichgewicht, und es fallen weder Steuern noch Transaktionskosten an. (a) Ermitteln Sie die Beta Faktoren der drei Aktien. (b) Welche erwartete Rendite muß die dritte Aktie im Gleichgewicht haben? Aufgabe K21 Auf der Basis von Daten im Zeitraum 1992 bis 3. Quartal 2000 wurden in der Euro Zone für die Branchen der New Economy die folgenden Kennzahlen prognostiziert: Branche Medien Technologie Telekom Erwartete Rendite (in % p.a.) 22.68 31.48 31.25 Volatilität (in % p.a.) 23.99 25.78 30.36 Cov(r., r.): Technologie Telekom Medien 0.03312 0.04633 Technologie 0.05128 Nehmen Sie an, daß in der Euro Zone risikoloses Kapital zu einem Zinssatz von 5 % p.a. gehandelt wird. Bobek/Keber/Perl/Schuster 14
(a) Von einem Investor ist bekannt, daß er ausschließlich riskant in das New Economy Marktportefeuille investiert und dabei 66.55 % seines Vermögens in die Technologiebranche veranlagt. Ermitteln Sie für diesen Investor die erwartete Rendite und die Volatilität seines Portefeuilles in % p.a. und geben Sie die wertmäßigen Anteile an, die der Investor in die beiden anderen Branchen veranlagt. Ein Investor hat in der Vergangenheit ausschließlich in Branchen der Old Economy veranlagt, dabei bei einem Risiko von 24 % p.a. eine Rendite von 11 % p.a. erzielt und überlegt, künftig nur noch risikolos und in Branchen der New Economy zu veranlagen. Wie müßte dieser Investor sein Portefeuille künftig strukturieren, wenn er (b) das gleiche Risiko, wie in der Vergangenheit (c) die gleiche Rendite, wie in der Vergangenheit anstrebt? Aufgabe K22 Auf der Basis von Daten im Zeitraum 1992 bis 3. Quartal 2000 wurden in der Euro Zone für die Branchen der New Economy die folgenden Kennzahlen prognostiziert: Branche Medien Technologie Telekom Erwartete Rendite (in % p.a.) 22.68 31.48 31.25 Volatilität (in % p.a.) 23.99 25.78 30.36 Cov(r., r.): Technologie Telekom Medien 0.03312 0.04633 Technologie 0.05128 Nehmen Sie an, daß in der Euro Zone risikoloses Kapital zu einem Zinssatz von 5 % p.a. gehandelt wird und eine New Economy Marktrendite von 30.1388 % p.a. zu erwarten ist. (a) Von einem Investor ist bekannt, daß er ausschließlich riskant in das New Economy Marktportefeuille investiert und dabei 66.55 % seines Vermögens in die Technologiebranche veranlagt. Ermitteln Sie für diesen Investor die Volatilität seines Portefeuilles in % p.a. und geben Sie die wertmäßigen Anteile an, die der Investor in die beiden anderen Branchen veranlagt. Ein Investor hat in der Vergangenheit ausschließlich in Branchen der Old Economy veranlagt, dabei bei einem Risiko von 24 % p.a. eine Rendite von 11 % p.a. erzielt und überlegt, künftig nur noch risikolos und in Branchen der New Economy zu veranlagen. Wie müßte dieser Investor sein Portefeuille künftig strukturieren, wenn er (b) das gleiche Risiko, wie in der Vergangenheit (c) die gleiche Rendite, wie in der Vergangenheit anstrebt? Bobek/Keber/Perl/Schuster 15
Aufgabe K23 Bei der Gründung einer Bio Imbißstube überlegt der risikoaverse Jungunternehmer Moritz Kugelrund zur Herstellung von VitaProst Getränken von Julius Gift, Mischmaschinen aller Art, eine VitaProst Maschine mit dreijähriger geplanter Nutzungsdauer zu kaufen: Anschaffungsauszahlungen: 4.000, Verkaufspreis je VitaProst Getränk in t = 1, 2, 3: 2, Variable Auszahlungen je VitaProst Getränk in t = 1, 2, 3: 0,50 Fixe jährliche Auszahlungen: 200, Erwarteter Restwert R T : 50, Moritz Kugelrund vermutet für die beiden kommenden Jahre folgende Umweltzustände z t,i am Kapitalmarkt, subjektive unbedingte Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z t,i ), zustandsabhängige Kapitalmarktrenditen r M (z t,i ) und zustandsabhängige Absatz und Produktionsmengen x(z t,i ) für das Investitionsprojekt: t = 1 t = 2,3 Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Rezession 0,20 5 % 1.850 Rezession 0,30 6 % 1.900 Normal 0,50 10 % 2.000 Normal 0,45 10 % 2.000 Boom 0,30 15 % 2.100 Boom 0,25 16 % 2.100 Der risikolose Zinssatz beträgt in jedem Jahr 5 % p.a. Der Steuersatz ist 40 % p.a. und die steuerliche Abschreibung der Maschine erfolgt linear über die geplante Nutzungsdauer. Ermitteln Sie für das Projekt den Kapitalwert nach der APV Methode, falls bei Realisation des Projekts ein risikoloser endfälliger Kredit in der Höhe von 700, aufgenommen werden soll. Aufgabe K24 Die Kurse der Aktien A und B betrugen in den letzten fünf Wochen: Berechnen Sie (in diskreter Zeit) Kurse Woche Aktie A Aktie B 1 108 740 2 110 742 3 112 750 4 108 751 5 109 745 (a) die durchschnittliche wöchentliche Rendite und das Risiko pro Woche für die beiden Aktien und annualisieren Sie die erhaltenen Werte, (b) die Korrelation zwischen den wöchentlichen Renditereihen, (c) auf Basis der annualisierten Werte die erwartete Rendite und die Volatilität für das Minimum Varianz Portefeuille nach Markowitz (für die beiden Aktien), (d) auf Basis der annualisierten Werte die erwartete Rendite und die Volatilität für das Tangential Portefeuille nach Tobin für einen risikolosen Zinssatz von r = 5 % p.a. Bobek/Keber/Perl/Schuster 16
Aufgabe K25 Am Techno Kapitalmarkt existieren drei Aktien, von denen die erste eine erwartete Rendite von E(r A ) = 22.68 %, die zweite eine erwartete Rendite von E(r B ) = 31.48 % aufweist. Die Covarianzmatrix der Renditen lautet 0.05755 0.03312 0.04633 0.06646 0.05128. 0.09217 Die erste Aktie hat einen Anteil am Marktportefeuille von x M A = 0.1475, die zweite von xm B = 0.6655. Zusätzlich zu den Aktien existiert auch ein risikoloser Titel mit einer Rendite von 5 %. Der Techno Kapitalmarkt befindet sich im Gleichgewicht, und es fallen weder Steuern noch Transaktionskosten an. (a) Ermitteln Sie die Beta Faktoren der drei Aktien. (b) Welche erwartete Rendite muß die dritte Aktie im Gleichgewicht haben? Aufgabe K26 Bei der Gründung einer Bio Imbißstube überlegt der risikoaverse Jungunternehmer Moritz Kugelrund zur Herstellung von VitaProst Getränken von Julius Gift, Mischmaschinen aller Art, eine VitaProst Maschine mit dreijähriger geplanter Nutzungsdauer zu kaufen: Anschaffungsauszahlungen: 4.000, Verkaufspreis je VitaProst Getränk in t = 1, 2, 3: 4, Variable Auszahlungen je VitaProst Getränk in t = 1, 2, 3: 1, Fixe jährliche Auszahlungen: 200, Erwarteter Restwert R T : 50, Moritz Kugelrund vermutet für die beiden kommenden Jahre folgende Umweltzustände z t,i am Kapitalmarkt, subjektive unbedingte Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z t,i ), zustandsabhängige Kapitalmarktrenditen r M (z t,i ) und zustandsabhängige Absatz und Produktionsmengen x(z t,i ) für das Investitionsprojekt: t = 1 t = 2,3 Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Rezession 0,20 5 % 1.850 Rezession 0,30 6 % 1.900 Normal 0,50 10 % 2.000 Normal 0,45 10 % 2.000 Boom 0,30 15 % 2.100 Boom 0,25 16 % 2.100 Der risikolose Zinssatz beträgt in jedem Jahr 5 % p.a. Der Steuersatz ist 40 % p.a. und die steuerliche Abschreibung der Maschine erfolgt linear über die geplante Nutzungsdauer. Ermitteln Sie für das Projekt den Kapitalwert, falls bei Realisation des Projekts ein risikoloser endfälliger Kredit in der Höhe von 700, aufgenommen werden soll. Bobek/Keber/Perl/Schuster 17
Aufgabe K27 An der neu eröffneten Börse von Nixisfix notieren ausschließlich Aktien von den zwei rein eigenfinanzierten Unternehmungen Nix und Fix, und die aktuellen Aktienkurse sind: i Nix Fix P 0i 400, 1.000, Die Kovarianzen zwischen den bereinigten Aktienkursen von Nix bzw. Fix und der Kapitalmarktrendite beträgt 7,436 bzw. 13,52. Die erwartete Kapitalmarktrendite beträgt 12 % p.a., das Kapitalmarktrisiko 13 % p.a. und es wird risikoloses Kapital zu 6 % p.a. gehandelt. Gehen Sie davon aus, daß sich der Kapitalmarkt von Nixisfix im Gleichgewicht befindet und daß alle Investoren risikoavers und rational sind und homogene Erwartungen haben. (a) Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung des Marktportefeuilles und für beide Aktien die erwarteten Renditen und Beta Faktoren im Gleichgewicht. (b) Der Investor Nixi ist bereit ein Risiko in der Höhe von 10 % p.a. zu tragen. Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung des Portefeuilles von Nixi sowie die dabei erwartete Rendite. (c) Der Investor Fixi möchte eine Rendite von 14 % p.a. erwarten können. Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung des Portefeuilles von Fixi sowie das sich dabei ergebende Risiko. Aufgabe K28 (a) Zeigen Sie, daß im CAPM das Risiko eines Wertpapiers in zwei Komponenten zerlegt werden kann. Erläutern Sie beide Komponenten. Welcher Teil des Risikos wird vom Markt bei der Bewertung berücksichtigt, und wie wird er im CAPM bewertet? (b) Gegeben seien die Daten von zwei Aktien A und B: A B E(r i ) (in % p.a.) 16,00 11,00 σ(r i ) (in % p.a.) 12,00 30,00 Bei der Portefeuilleoptimierung nach Markowitz wurden Leerverkäufe von Aktien ausgeschlossen. Dabei wurde festgestellt, daß im Minimum Varianz Portefeuille ausschließlich die Aktie A enthalten ist. Begründen Sie dieses Ergebnis. Bobek/Keber/Perl/Schuster 18
Aufgabe K29 Die Kurse der Aktien A und B betrugen in den letzten 5 Wochen: Kurse Woche Aktie A Aktie B 1 500 1000 2 502 1002 3 504 1003 4 503 1005 5 504 1004 Berechnen Sie (a) die durchschnittliche wöchentliche Rendite und das Risiko pro Woche für die beiden Aktien und annualisieren Sie die erhaltenen Werte, (b) die Korrelation zwischen den wöchentlichen Renditereihen, (c) auf Basis der annualisierten Werte die erwartete Rendite und die Volatilität für das Minimum Varianz Portfolio nach Markowitz, (d) auf Basis der annualisierten Werte die erwartete Rendite und die Volatilität für das Tangential Portfolio nach Tobin für einen risikolosen Zinssatz von r = 4 % p.a. Aufgabe K30 Die beiden Investoren A und B halten Portfolios mit folgenden Eigenschaften: A B E(r P ) 9 % 12 % σ(r P ) 8 % 20 % (a) Bestimmen Sie die erwartete Rendite und das Risiko des Marktportfolios und den risikolosen Zinssatz unter den Annahmen, daß der Finanzmarkt den Voraussetzungen des CAPM genügt, die beiden Investoren effiziente Portfolios halten und Investor A 1/3 seines Vermögens ins risikolose Wertpapier investiert hat. (b) Angenommen die Renditen seien normalverteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß die Rendite des Investors A negativ ist? Welche Rendite wird Investor B mit 5%-iger Wahrscheinlichkeit nicht unterschreiten? (c) Neben den beiden Investoren A und B gibt es auf dem Markt nur noch einen weiteren Investor C. Dieser hat 700, risikolos und 5300, im Marktportfolio angelegt. Berechnen Sie das Risiko und die erwartete Rendite dieses Portfolios. Wir wissen, daß Investor B 8000, ins Markportfolio investiert hat. Welche Beträge haben die Investoren A und B im risikolosen Wertpapier bzw. im Marktportfolio angelegt? Bobek/Keber/Perl/Schuster 19
Aufgabe K31 (a) Renditen können mit verschiedenen Methoden gemessen werden. Diskutieren Sie kurz die Vor und Nachteile von stetiger und diskreter Renditemessung (gehen Sie insbesondere auf die Normalverteilungsannahme und Portfoliorendite ein). (b) Gegeben seien die Daten von zwei Aktien A und B: A B E(r i ) (in % p.a.) 16,00 11,00 σ(r i ) (in % p.a.) 12,00 30,00 Die Korrelation zwischen den Renditen der beiden Aktien betrage 0, 5. Ein Investor hält ein Portefeuille mit einem Risiko von 15,00 % p.a. und behauptet, daß sich dieses Ergebnis aus der Portefeuilleoptimierung nach Markowitz mit Auschluß von Leerverkäufen von Aktien ergibt. Nehmen Sie dazu kritsch Stellung. Aufgabe K32 Bei der Gründung einer pasticceria überlegt der risikoaverse Jungunternehmer Moritz Fadenfein zur Herstellung von Fadenfein Pasta von Giovanni Basta, Pastamaschinen aller Art, eine Teigmisch Maschine mit dreijähriger geplanter Nutzungsdauer zu kaufen: Anschaffungsauszahlungen: 6.000, Verkaufspreis je 1000 gr. Fadenfein Pasta in t = 1, 2, 3: 2, Variable Auszahlungen je 1000 gr. Fadenfein Pasta in t = 1, 2, 3: 0,30 Fixe jährliche Auszahlungen: 200, Erwarteter Restwert R T : 50, Moritz Fadenfein vermutet für die beiden kommenden Jahre folgende Umweltzustände z t,i am Kapitalmarkt, subjektive unbedingte Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z t,i ), zustandsabhängige Kapitalmarktrenditen r M (z t,i ) und zustandsabhängige Absatz und Produktionsmengen x(z t,i ) für das Investitionsprojekt: t = 1 t = 2,3 Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Rezession 0,20 5 % 1.850 Rezession 0,05 6 % 1.900 Normal 0,50 10 % 2.000 Normal 0,40 10 % 2.000 Boom 0,30 15 % 2.100 Boom 0,55 16 % 2.100 Der risikolose Zinssatz beträgt in jedem Jahr 4 % p.a. Der Steuersatz ist 40 % p.a. und die steuerliche Abschreibung der Maschine erfolgt linear über die geplante Nutzungsdauer. Ermitteln Sie für das Projekt den Kapitalwert nach der APV Methode, falls bei Realisation des Projekts ein risikoloser endfälliger Kredit in der Höhe von 700, aufgenommen werden soll. Bobek/Keber/Perl/Schuster 20
Aufgabe K33 Die zu erwartenden Renditen von zwei Wertpapieren A und B betragen 8 % p.a. bzw. 15 % p.a., die annualisierte Standardabweichung beträgt bei Wertpapier A 0,1, bei Wertpapier B 0,2. Die Rendite von Wertpapier A korreliert mit jener von Wertpapier B im Ausmaß von 0,2. Ferner existiert ein risikoloser Finanzierungstitel mit r = 5 2 3 % p.a. (a) Berechnen Sie die Zusammensetzung, die erwartete Rendite, die Varianz und das Risiko des Tangentialportefeuilles und geben Sie die Gleichung für die Tobin Effizienzkurve an. (b) Ein Investor möchte eine erwartete Rendite in Höhe von 10 % p.a. erzielen. Welche Anteile seines Vermögens soll der Investor in die Aktie A, in die Aktie B und in den risikolosen Finanzierungstitel investieren? Welches Risiko hat der Investor dabei zu tragen? (c) Ein Investor ist bereit ein Risiko von 16 % p.a. zu tragen. Welche Anteile seines Vermögens soll der Investor in die Aktie A, in die Aktie B und in den risikolosen Finanzierungstitel investieren? Welche Rendite kann der Investor dabei erwarten? Aufgabe K34 Der Finanzvorstand einer vollständig eigenfinanzierten Unternehmung muß entscheiden, ob das folgende einperiodige Investitionsprojekt realisiert werden soll. Die Anschaffungsauszahlung beträgt A 0 = 85. Die Cash Flows nach Steuern in t = 1, die durch das Projekt generiert werden und die Kapitalmarktrenditen sind zustandsabhängig: Zustand i z i p(z i ) CF(z i ) r M (z i ) 1 A 0.2 85 0.07 2 B 0.5 100 0.1 3 C 0.3 115 0.12 Die risikolose Verzinsung beträgt 5 % p.a. (a) Beurteilen Sie, ob das Projekt realisiert werden soll. (b) Entsprechen die Anschaffungsauszahlungen des Projektes einem Gleichgewichtspreis? (Begründen Sie Ihre Antwort!) Bobek/Keber/Perl/Schuster 21
Aufgabe K35 Sie kennen vom Kapitalmarkt in Transylvanien die erwartete Rendite und den β-faktor folgender Aktien: Aktie A Aktie B E(r i ) 4,5 % 3,6 % β i 1,2 0,9 Der Aktienmarkt in Transylvanien befindet sich im Gleichgewicht. (a) Zu welchem risikolosen Zinssatz kann Graf Drakula seine Ersparnisse veranlagen? (b) Die Knoblauch AG notiert seit zwei Monaten an der Börse. Ihr β-faktor ist 0.98 und die Investoren gehen von einer erwarteten Rendite von 4,2 % p.a. aus. Wird Graf Drakula diese Aktie kaufen? (Begründen Sie Ihre Antwort!) Aufgabe K36 Die zu erwartenden Renditen von zwei Wertpapieren A und B betragen 12 % p.a. bzw. 16 % p.a., die annualisierte Standardabweichung beträgt bei Wertpapier A 0,09, bei Wertpapier B 0,15. Die Rendite von Wertpapier A korreliert mit jener von Wertpapier B im Ausmaß von 1 15. (a) Berechnen Sie die Zusammensetzung, die erwartete Rendite, die Varianz und das Risiko des Minimum Varianz Portefeuilles. (b) Ein Investor möchte eine erwartete Rendite in Höhe von 12 % p.a. erzielen. Welche Anteile seines Vermögens soll der Investor in die Aktie A und in die Aktie B investieren? Welches Risiko hat der Investor dabei zu tragen? (c) Ein Investor ist bereit, ein Risiko von 25 % p.a. zu tragen. Welche Anteile seines Vermögens soll der Investor in die Aktie A und in die Aktie B investieren? Welche Rendite kann der Investor dabei erwarten? Aufgabe K37 Auf einem vollkommenen Kapitalmarkt werden ausschließlich Aktien der Unternehmungen Nix und Fix und ein risikoloser Finanzierungstitel, der zum Zeitpunkt t = 0 gerade 5 2 3 % p.a. beträgt, gehandelt. Nix hat 300 und Fix 600 Aktien emittiert. Die Kapitalmarktteilnehmer sind risikoavers, rational, haben homogene Erwartungen und erwarten folgende bereinigte Kurse sowie Standardabweichungen der normalverteilten Kurse der beiden Aktien für das Ende des kommenden Jahres: j Nix Fix E(P 1j ) 108 230 σ(p 1j ) 10 40 Bobek/Keber/Perl/Schuster 22
Die geschätzte Korrelation zwischen den beiden Aktienrenditen sei 0,4, und es wird eine Kapitalmarktrendite in der Höhe von 13,6 % p.a. erwartet. (a) Bestimmen Sie die erwartete Marktkapitalisierung (t = 1) sowie die Marktkapitalisierung zu t = 0. (b) Bestimmen Sie die Kovarianz zwischen den Kursen der beiden Aktien sowie die Varianz und Volatilität der zu t = 1 erwarteten Marktkapitalisierung. (c) Bestimmen Sie die augenblicklichen Gleichgewichtskurse der beiden Aktien. (d) Bestimmen Sie die Zusammensetzung des Marktportefeuilles. Aufgabe K38 In der Eur0zone wird bei einer Veranlagung in die Technologiebranche bei einem Risiko von 31 % p.a. eine Rendite in Höhe von 25 % p.a. erwartet. Unterstellen Sie dabei, daß die Renditen der riskanten Wertpapiere normalverteilt sind. (a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit der die Rendite über 16 % p.a. liegt. (b) Welche Rendite wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % mindestens erzielt? Bei Veranlagung in Internet Down Aktien wird bei einem Risiko von 40 % p.a. eine Rendite von 1,5 % p.a. erwartet. Der aktuelle Aktienkurs betrage 100,. (c) Welche Rendite wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,25 % nicht überschritten und wie groß ist der dazu entsprechende Aktienkurs. Aufgabe K39 Bei der Gründung einer Bäckerei überlegt der risikoaverse Jungunternehmer Martin Buchtelschmied zur Herstellung der Brotsorte Rein und Fein von Julius Gift, Mischmaschinen aller Art, eine Teig Mischmaschine mit zweijähriger geplanter Nutzungsdauer zu kaufen: Anschaffungsauszahlungen: 1.000, Erwarteter Restwert R T 50, Periode 1 2 Verkaufspreis je Stück Rein und Fein : 1, 2, Variable Auszahlungen je Stück Rein und Fein : 0,50 1, Fixe jährliche Auszahlungen: 400, 600, Martin Buchtelschmied vermutet für die beiden kommenden Jahre folgende Umweltzustände z t,i am Kapitalmarkt, subjektive unbedingte Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z t,i ), zustandsabhängige Kapitalmarktrenditen r M (z t,i ) und zustandsabhängige Absatz und Produktionsmengen x(z t,i ) für das Investitionsprojekt: Bobek/Keber/Perl/Schuster 23
t = 1 t = 2 Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Rezession 0,30 5 % 1.850 Rezession 0,30 6 % 1.900 Normal 0,50 10 % 2.000 Normal 0,45 10 % 2.000 Boom 0,20 15 % 2.100 Boom 0,25 16 % 2.100 Der risikolose Zinssatz beträgt in jedem Jahr 5 % p.a. Der Steuersatz ist 40 % p.a. und die steuerliche Abschreibung der Maschine erfolgt linear über die geplante Nutzungsdauer. Ermitteln Sie für das Projekt den Kapitalwert, falls bei Realisation des Projekts ein risikoloser Kredit mit Ratentilgung (ohne Freijahre) in der Höhe von 300, aufgenommen werden soll. Aufgabe K40 Bei der Gründung einer pasticceria überlegt der risikoaverse Jungunternehmer Moritz Fadenfein zur Herstellung von Fadenfein Pasta von Giovanni Basta, Pastamaschinen aller Art, eine Teigmisch Maschine mit dreijähriger geplanter Nutzungsdauer zu kaufen: Anschaffungsauszahlungen: 6.000, Verkaufspreis je 1000 gr. Fadenfein Pasta in t = 1, 2, 3: 2, Variable Auszahlungen je 1000 gr. Fadenfein Pasta in t = 1, 2, 3: 0,30 Fixe jährliche Auszahlungen: 200, Erwarteter Restwert R T : 50, Moritz Fadenfein vermutet für die beiden kommenden Jahre folgende Umweltzustände z t,i am Kapitalmarkt, subjektive unbedingte Eintrittswahrscheinlichkeiten p(z t,i ), zustandsabhängige Kapitalmarktrenditen r M (z t,i ) und zustandsabhängige Absatz und Produktionsmengen x(z t,i ) für das Investitionsprojekt: t = 1 t = 2,3 Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Zustand z t,i p(z t,i ) r M (z t,i ) p.a. x(z t,i ) Rezession 0,20 5 % 1.850 Rezession 0,05 6 % 1.900 Normal 0,50 10 % 2.000 Normal 0,40 10 % 2.000 Boom 0,30 15 % 2.100 Boom 0,55 16 % 2.100 Der risikolose Zinssatz beträgt in jedem Jahr 4 % p.a. Der Steuersatz ist 40 % p.a. und die steuerliche Abschreibung der Maschine erfolgt linear über die geplante Nutzungsdauer. Ermitteln Sie für das Projekt den Kapitalwert, falls bei Realisation des Projekts ein risikoloser endfälliger Kredit in der Höhe von 700, aufgenommen werden soll. Aufgabe K41 Ein Investor hat drei Investitionsalternativen. Die zwei riskanten Anlagen A und B sowie ein risikoloses Wertpapier. Der risikolose Zinssatz beträgt 4 % p.a. Die beiden riskanten Veranlagungen haben folgende Rendite-Risiko-Struktur: Anlage Erwartete Rendite p.a. Risiko p.a. A 8 % 10 % B 10 % 15 % Bobek/Keber/Perl/Schuster 24
Die Korrelation zwischen den Renditen der beiden riskanten Anlageformen beträgt 0.1. (a) Bestimmen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung, die erwartete Rendite und das Risiko des Tangentialportfolios. (b) Wie ändern sich die Ergebnisse aus (a), falls Leerverkäufe von Finanzierungstitel zugelassen werden? Aufgabe K42 An der neu eröffneten Börse von Hudriwudri notieren ausschließlich Aktien von den zwei rein eigenfinanzierten Unternehmungen Hudri und Wudri, und die aktuellen Aktienkurse sind: i Hudri Wudri P 0i 400, 1.000, Die Kovarianzen zwischen den bereinigten Aktienkursen von Hudri bzw. Wudri und der Kapitalmarktrendite beträgt 7,436 bzw. 13,52. Die erwartete Kapitalmarktrendite beträgt 12 % p.a. Gehen Sie davon aus, daß sich der Kapitalmarkt von Hudriwudri im Gleichgewicht befindet und daß alle Investoren risikoavers und rational sind und homogene Erwartungen haben. Am Kapitalmarkt von Hudriwudri gibt es ferner die zwei Kapitalmarktteilnehmerinnen Mona und Lisa, von denen die folgenden Informationen bekannt sind: Mona Lisa Erwartete Rendite des investierten Vermögens (p.a.) 10 % 14 % Erwartetes Risiko des investierten Vermögens (p.a.) 8 2 / 3 % 17 1 / 3 % (a) Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung des Marktportefeuilles, den risikolosen Finanzierungstitel und das Kapitalmarktrisiko sowie für die beiden Aktien die erwarteten Renditen und Beta Faktoren im Gleichgewicht. (b) Berechnen Sie die anteilsmäßige Zusammensetzung der Portefeuilles von Mona und Lisa. Aufgabe K43 Die Jungunternehmerin Risika hat die Möglichkeit zum Preis von 100 eine einjährige Beteiligung an folgendem Projekt zu erwerben. Die Rückflüsse aus dem Projekt in einem Jahr sind ebenso wie die Kapitalmarktrenditen zustandsabhängig und durch folgende Tabelle gegeben: Zustände i p(z i ) Marktrenditen r M (z i ) Rückflüsse CF(z i ) Rezession 0.2 0.05 95 Normal 0.5 0.12 110 Boom 0.3 0.25 150 Der risikolose Zinssatz beträgt 4 % p.a. Ermitteln Sie die Kapitalkosten (relevanten Kalkulationszinsfuss) und beurteilen Sie mittels Kapitalwert, ob sich die Investition lohnt. Bobek/Keber/Perl/Schuster 25