5.. Prüfugsufgbe zu Folge Aufgbe : Explizite Drstellug () 5 5 ) Bestimme die explizite Drstellug der Folge ( ) mit 0,,,, ud 5 () 9 5 b) Bestimme de Grezwert der Folge. () Lösug ( ) mit lim Aufgbe b: Explizite Drstellug () ) Bestimme die explizite Drstellug der Folge ( ) mit 0, 0, 5, 5, 9 ud 5 () b) Bestimme de Grezwert der Folge. () Lösug ( ) mit lim Problem : Geerl d recursive formule (6) Fill i the missig formule resp the first five terms d bc up your results with some form of clcultio: 0,, geerl formul recursive formul ; ; ; 9 ; ; ; ; 6 9 ; 6 ( ) Problem : Geerl d recursive formule (Ech cell p) + with 0 0 0,, geerl formul recursive formul ; ; 0 ; ; 6 5 ( ) + with 0 ( ) ; ; 0; ; ; 0 ; ; ; 5 0; ; ; ; ; ; ; 9 ; ; ; ; 6 9 ; 6 5 + with 0 + with 0 + with 0 0 + + + + with 0 with 0
recursive formule: ) + ( ) ( ) ( ) ( ) b) + ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) c) + ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Aufgbe : Explizite ud reursive Drstellug () ) Bereche die erste 5 Glieder der Folge + + ( ) mit für () b) Bestimme die explizite Drstellug der Folge ud begrüde. () Lösug 5 ),,,, 5 5 b) de + + ( ) ( ) ( ) () () () Aufgbe b: Explizite ud reursive Drstellug (6) ) Bereche die erste 5 Glieder der Folge + ( ) mit für () b) Bestimme die explizite Drstellug der Folge ud begrüde. () Lösug ), 5,,, 5 5 () b) +, () de + ( ) ( ) ( ) () Aufgbe c: Explizite ud reursive Drstellug (Aufgbestz A 00) (6) ) Bereche die erste 5 Glieder der Folge + + ( )( ) mit b) Bestimme die explizite Drstellug der Folge ud begrüde. () für ()
Lösug ), 5,, 9, 5 5 () b), () de + ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Problem : Arithmetic d geometric sequeces (6) Give re the terms 5 d 0 of sequece ( ). Fid the geerl formul d the recursive formul of uder the ssumptio tht ) ( ) is of rithmetic type b) ( ) is of geometric type Solutios ) Arithmetic type: 0 + d or + + d with 0 give () 0 + 0 d d 5 0 + d 6d commo differece d d iitil vlue 0 5 () b) Geometric type: 0 q or + q with 0 give () 0 q 0 d 5 0 q 5 5 5 q6 commo rtio q 6,6, d iitil vlue 0,6 () / q,6 Problem b: Arithmetic d geometric sequeces (6) Give re the terms 5 d 0 of sequece ( ). Fid the geerl formul d the recursive formul of uder the ssumptio tht ) ( ) is of rithmetic type b) ( ) is of geometric type Solutios ) Arithmetic type: 0 + d or + + d with 0 give () 5 0 + d d 0 + 0 d d commo differece d d iitil vlue 0 5 () b) Geometric type: 0 q or + q with 0 give () 5 0 q d 0 q 0 5 5 5 q commo rtio q,6,0 d iitil vlue 0 / q,6,09 () Problem 5: rithmetic sequeces (5) Write dow the geerl formul for rithmetic sequece with iitil vlue 0 d commo differece d strtig with ) 0 b) c) Expli the formule with drwig Solutios: Cosider the terms s heights: ) 0: steps from 0 to 0 + d () b) : steps from to + ( ) d () c) : steps from to 0 + ( ) d () Drwig () 0 5 d d d d d 0 5 6 terms
Aufgbe 6: Beschrätes Wchstum (5) Ei See wird seit Begi der Stllhltezeit im November über seie Zuflüsse durch m reie Gülle pro Tg bereichert. Durch de Abfluß wird jede Tg % der im See vorhde Gülle wieder bgeführt. De Sommer über wr der See güllefrei. ) Bereche de Güllegehlt G(t) ch 0 Tge, we der See de Sommer über güllefrei wr. () b) Bereche de Güllegehlt G(t) ch 0 Tge, we der See im Sommer bereits 50 m Gülle ethielt. () c) Zeige, dss die Etwiclug des Güllegehltes dem Gesetz des beschräte Wchstums folgt ud gib die Sättigugsgreze S sowie die prozetule Äderugsrte p () d) Zeige: We G(t) größer ls S ist, fällt es mooto b. We G(t) leier ls S ist, steigt es mooto () Lösug ) G(t + ) 0,99 G(t) + mit G(0) 0 G(5) 9,56 m () b) G(t + ) 0,99 G(t) + mit G(0) 50 G(5) 5, m () c) G(t + ) 0,99 G(t) + G(t + ) G(t) 0,0 [00 G(t)] () beschrätes Wchstum mit S 00 m ud p % () d) G(t + ) G(t) 0,0 [00 G(t)] > 0 G(t) steigt mooto, we G(t) < 00 ud umgeehrt () Aufgbe : Beschrätes Wchstum (0) Ei Gebirgsbch mit eiem Volumestrom vo 000 m pro Tg wird durch eie Erdrutsch uf eier flche Wiese zu eiem leie Teich gestut. Dort htte sich ifolge eies Regegusses scho vorher 000 m Wsser gesmmelt. Pro Tg versicer 0 % des gestute Wssers i der Wiese. ) Bereche ds Teichvolume ch 5 Tge. () b) Zeige, dss die Etwiclug der gestute Wssermege dem Gesetz des beschräte Wchstums folgt ud bestimme die Sättigugsgreze S sowie die prozetule Äderugsrte p () c) Formuliere die explizite Formel für ds Teichvolume W ch Tge () d) Utersuche die Folge W uf Mootoie ud Beschrätheit ud begrüde Sie. () e) Zeige, dss die Folge W overgiert. () Lösug ) W + 0,6 W + 000 mit W 0 000 W 500 + 500 0, W 5 505, m. () b) W + 0,6 W + 000 W + 0,(500 W ) mit W i m ud i Tge seit Erdrutsch. () Die Sättigugsgreze ist S 500 m ud die prozetule Äderugsrte p 0, () c) S W (S W 0 ) 0, 500 W 500 0, W 500 + 500 0, () d) W ist mooto flled, d W + W 500 0, + 500 0, 500 0, (0, ) 00 0, < 0 () W ist ch ute beschrät, d W 500 + 500 0, > 500 für lle N. () e) W ist mooto flled ud ch ute beschrät ud muss deshlb overgiere. () Aufgbe : Beschrätes Wchstum (0) Eie Bterieultur bedect ch eiige Tge ugehiderte Wchstums m Tg 0 eie Ateil vo 60% ihrer 50 cm grosse Petrischle- Die Kultur erreicht diesem Tg eier Stelle de Rd der Petrischle ud wächst vo u ch der Formel + 0 + 0,, wobei die m -te Tg ch dem Tg 0 bedecte Fläche i cm beschreibt. ) Wie viele cm bedect die Kultur m 0. Tg? b) Beweise mit Hilfe der vollstädige Idutio, dss 50 0 0, für 0. c) Wie viele cm bedect die Kultur m 0. Tg? d) Zeige mit Hilfe der obere Schre S 50, dss die Formel ttsächlich eie mooto steigede Folge beschreibt. e) Im Luf welche Tges erreicht die Kultur 90% der Gesmtfläche? Lösuge ) A 0 0,6 50 cm 0 cm. () b) Idutiosstrt f0r 0: Nch Vorussetzug ist 0 0,6 50 cm 0 cm. () Nch der Behuptug ist 0 50 0 0, 0 0 cm. () Die Behuptug ist lso für de Strtwert 0 bewiese. Idutiosschritt: Durch Eisetze der Idutioshme 50 0 0, i die Vorussetzug + 0 + 0, erhält m + 0 + 0, (50 0 0, ) 50 0, 0 0, 50 0 0, + ud dmit die Behuptug für +. () c) 0 50 0 0, 0,5 cm () d) + 0 0, > 0 0, 50 0, d < 50 für lle N. () 5 50 0 0, 0,5 0, l 6,, lso im Lufe des. Tges. () l(0,)
Aufgbe 9: Grezwerte (6) Utersuche die Folge ( ) mit N uf Beschrätheit sowie Mootoie ud Grezverhlte für. Lösuge: Beschrätheit: 0 < < 0 < Mootoie: ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) < 0 < + < ( + ) + + wege > 0. () ( ) ( ) ( ) ( ) 5 > () ist mooto steiged. () Grezwert: lim ( ) 0 lim ( ) () Aufgbe 0: Grezwerte () ) Formuliere eie exte Defiitio für de Grezwert eier Folge. () b) Nee ei Beispiel für eie Folge mit dem Grezwert. () Lösug ) lim heißt Grezwert der Folge ( ), we es für jedes och so leie ε > 0 ei pssedes 0 gibt, so dss die Abweichug < ε wird für lle > 0. () b) () Aufgbe : Grezwerte (5) ) Zeige recherisch, dss die Folge mooto flled ud ch ute beschrät ist ud bestimme ihre Grezwert. () b) Vo welchem weiche die Glieder der Folge um weiger ls ε vo ihrem Grezwert b? () 00 Lösug ) Mootoie: b) [( ) ][ ] [( ) ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 6 5 6 5 < mooto flled () Beschrätheit ch ute: >, de + > ( ) für lle. () < 00 < ( ) ( ) < 500 < 6. () 00 00 Aufgbe : Grezwerte (5) ) Zeige recherisch, dss die Folge mooto flled sowie ch ute beschrät ist ud bestimme ihre Grezwert. () b) Vo welchem weiche die Glieder der Folge um weiger ls ε vo ihrem Grezwert b? () 00 Lösug ) Mootoie: b) [( ) ][ ] [( ) ][ ] [ ][ ] [ ][ ] 6 6 Beschrätheit ch ute: >, de + > ( ) für lle. () < 00 < 00 ( ) ( ) 9 < 00 < mooto flled () 500 < 9 56. () 5
Problem : sigm ottio (5) 6 00 Give the vlue d s sigle frctio. Solutio 6 + 5 + 6 9 6 56 + 6 00 00 00 00 + 00 + 5050 00 0 00 + 550 () () Problem : sigm ottio (6) ) Show tht ( ) for N. () b) Use ) to fid the geerl formul for the sequece ( ) with + + d 0 5 () Solutios ) + + +... + ( ) + ( ) + ( + ) + ( + ) + ( + ) +... ( + ), becuse if is eve fid pirs ech with sum ( + ) which give together ( + ) () if is odd te ( ) pirs with sum out of the first terms which give ( ). () The dd the remiig odd term d you get ( ) + ( + ) gi, qed. () b) 5 ( ) 5 + 5 + ( ) 5 + + 5 ( ) +. () 0 0 0 Questio 5: rithmetic series () Write dow the geerl formul for rithmetic series with iitil vlue 0 d commo differece d strtig with ) 0 b) c) Expli the formule with drwig Solutios: Cosider the terms s rectgles ) 0: + terms 0 d + + + ( + ) blocs of size d () from 0 to (0 d) ( + ) 0 + ( + ) d () 0 b) : terms d + + + ( ) ( ) blocs of size d () from to ( d) + ( ) d () c) : terms d + + + ( ) ( ) ( ) blocs of size d () from to ( d) ( ) + ( ) ( ) d () Drwig () 0 d 5 d d d d 0 5 terms 5 terms 6 terms 0 6
Questio 6 (5) x x ) Show tht () 0 x b) For which vlue of x does the bove formul ot wor? Fid (very simple) formul for this forbidde vlue of x. () c) For which vlues of x does the limit lim x + exist? Determie lim x x for these x. () Solutios ) x + x + x + + x x 0 x, becuse ( + x + x + + x ) ( x) + x + x + + x (x + x + + x + x + ) x + Dividig by ( x) delivers the result, qed () b) For x the formul is ot defied but obviously c) lim x + 0 for x < d cosequetly lim Questio : rithmetic d geometric series Fid the geerl formul for ( ), N if ( ) is ) rithmetic sequece with 9 0 d 9 b) rithmetic sequece with 9 0 0 d c) geometric sequece with 9 0 d 9 d) geometric sequece with Solutios 9 0 0 d ) Approch 0 + d d 0, d 0, 9 9 0 0 0 0 0 0 0 + + + +. () x x x lim 0 x x b) Approch ( + ) 0 + ( + ) d 0 0 + 5d 0 d 0 0 + 90d d 0,0 d 0,6 c) Approch 0 q q, 0,,0 d 0 0, 0,9,9 0 0 q q d) Approch 0 0 q q 0 d q 0 q + q0, q 0, 0, 0,5 d 0,5( 0, 0, ),6 Questio b: rithmetic d geometric series Fid the geerl formul for ( ), N if ( ) is ) rithmetic sequece with 0 d 5 b) rithmetic sequece with 0 0 d c) geometric sequece with 0 d 5 d) geometric sequece with Solutios 0 0 d ) Approch 0 + d d 0, d 0, 5 5 0 0 b) Approch ( + ) 0 + ( + ) d 0 + d 0 d 6 0 + 0d d d 0 6 c) Approch 0 q q,,0 d 0 d) Approch 0 q q 0, 5,9 6 q 0 q 0 d q 0 q + q, q 0, 0,95 d 0 50( 0, ),5 ()
Questio c: rithmetic d geometric series Fid the geerl formul for ( ), N if ( ) is ) rithmetic sequece with d 6 b) rithmetic sequece with 0 d c) geometric sequece with d 6 d) geometric sequece with Solutios 0 d 0 ) Approch 0 + d d 0,5 d 0,5 0 6 6 b) Approch ( + ) 0 + ( + ) d 0 + 6d d 0 + d 6 d d 0 9 6 c) Approch 0 q q,5,06 d 0 d) Approch 0 q q,5,0 q 0 q d q 0 q 6 + q,5 q 0,5 0, d 0 ( 0,5 ),