Klausur und Lösung Strömungsmechanik 1 Frühjahr 2012 29. Februar 2012, Beginn 15:30 Uhr Prüfungszeit: 90 Minuten Zugelassene Hilfsmittel sind: Taschenrechner (nicht programmierbar) TFD-Formelsammlung (ohne handschriftliche Ergänzungen) Lineal und Schreibmaterial (nur dokumentenecht, => keinen Bleistift verwenden, kein TIPP-Ex) mitgebrachtes Papier Andere Hilfsmittel, insbesondere: Alte Klausuren Übungen der Vorlesung Handy, Laptop, Fachbücher, programmierbarer Taschenrechner sind nicht zugelassen. weitere Hinweise: Ergebnisse sind durch einen Rechenweg zu begründen und nur mit einer Einheit richtig. Die zu verwendenden Indizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen einzutragen. Aufgabe Punkte 1. Kurzaufgaben 2. Inkompressible Strömungen 3. Kompressible Strömungen 4. Herleitung Gesamt 60...... Wir wünschen Ihnen viel Erfolg! Dr.-Ing. K. Mulleners, Prof. J. Seume V. Köpplin, H. von Seggern!!Alle Aufgabenteile (X.X) sind unabhängig voneinander lösbar!!
1. Kurzaufgaben (13 Punkte) Hinweis: Die Ergebnisse mit Einheit der Kurzaufgaben sind in die dafür vorgesehenen Kästen einzutragen. Es gibt bei Kurzaufgaben keine Punkte auf den Rechenweg. Lösungen auf Zetteln werden nicht bewertet! 1.1. Multiple-Choice (4 Punkte) Kreuzen Sie richtige Aussagen an oder tragen die Lösung in die dafür vorgesehene Kästchen. Es können pro Frage mehrere Antworten richtig sein. (nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet) Überströmte ebene und gekrümmte Oberfläche Eine zu Beginn ebene und im weiteren Verlauf gekrümmte Oberfläche wird mit zeitlich konstanter Zuströmgeschwindigkeit überströmt. Entlang der Oberfläche stellen sich dabei lokal unterschiedliche Geschwindigkeitsprofile ein. Ordnen Sie alle dargestellten Geschwindigkeitsprofile (A-D) den vorgegebenen Positionen zu. Seite 2 von 21
Umströmte Körper Die Abbildungen A-D zeigen einen Querschnitt durch das Strömungsfeld eines angeströmten Zylinders und eines Tragflügelprofils. Die geometrischen Abmaße des Zylinders und des Tragflügels sind in den Abbildungen A und B bzw. C und D identisch. Die Zuströmbedingungen des Zylinders und der Anstellwinkel des Tragflügels wurden variiert. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an. Der Widerstandskoeffizient des Zylinders in Abbildung A ist im Verlgeich zum Zylinder in Abbildung B größer. Bei zunehmender Anströmgeschwindigkeit bewegt sich der Ablösepunkt in D in Richtung der Vorderkante des Tragflügels (stromaufwärts). Der Druckwiderstand des Tragflügels in Abbildung C ist größer als der Druckwiderstand des Tragflügels in Abbildung D. Im Vergleich zwischen einer laminaren und einer turbulenten Umströmung des Tragflügelprofils in Abbildung C bei sonst gleichen Bedingungen, weist die turbulente Umströmung einen höheren Reibungswiderstand auf. Seite 3 von 21
Druckverlust Abbildungen A bis C zeigen einen durchströmten Carnot-Diffusor, einen Bernoulli-Diffusor und ein gerades Rohr. Sowohl der Eintrittsquerschnitt aller dargestellten Geometrien als auch die Autrittsquerschnitte der Diffusoren sind gleich groß. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an. Für den gleichen Eingangs-Massenstrom und gleiche Oberflächenbeschaffenheit der Wände weist der Diffusor in Abbildung A im Vergleich zum Diffusor in Abbildung B einen höheren Druckverlust auf. Für den gleichen Eingangs-Massenstrom im Rohr in Abbildung C sind die Druckverluste bei einer turbulenten Durchströmung im Vergleich zu einer laminaren Durchströmung größer. Im Rohr in Abbildung C mit konstanten, laminaren Strömungsbedingungen weist eine hydraulisch glatte Oberfläche im Vergleich zu einer hydraulisch rauen Oberfläche höhere Druckverluste auf. Im Rohr in Abbildung C mit konstanten, turbulenten Strömungsbedingungen weist eine hydraulisch glatte Oberfläche im Vergleich zu einer hydraulisch rauen Oberfläche niedrigere Druckverluste auf. Laminare Grenzschicht Die Abbildung zeigt den Verlauf der Grenzschichtdicken zweier unterschiedlicher, laminarer Grenzschichten eines Mediums mit kinematischer Viskosität auf einer überströmten, ebene Platte in einem unendlich ausgedehnten Strömungsfeld. Die Indizes entsprechen der Benennung der Grenzschichtprofile. Für die oben gezeigten Grenzschichtverläufe können folgende Aussagen zutreffen: Seite 4 von 21
1.2. Kurzaufgabe: Galilei-Thermometer (9 Punkte) Das Messprinzip des Galilei-Thermometers (Abbildung 1) beruht auf der temperaturabhängigen Dichteänderung von Fluiden. Das Thermometer besteht aus einem Glaszylinder (Innenradius r), der mit einer Flüssigkeit F der Dichte ρ F gefüllt ist. Im Zylinder befinden sich Glaskugeln mit Flüssigkeit K gefüllt, die alle das konstante Volumen V K aber unterschiedliche Massen m Ki haben. Die Wände der Glaskugeln sind so dick, dass die Dichteänderung des Fluids K keinen Einfluss auf das Volumen der Kugeln hat. Die Kugeln sinken mit steigender Temperatur nacheinander ab. Die Kugel mit der kleinsten Temperaturangabe sinkt als erstes. Die Höhe der schwebenden Kugel gibt die Temperaturänderung an. Für die Befüllung des Glaszylinders stehen vier Flüssigkeiten (Fluid F) zur Auswahl: A, B, C und D. Tabelle 1 gibt die Dichte ρ F sowie die Oberflächenspannung σ F bei einer Temperatur T 0 = 20 C sowie den Ausdehnungskoeffizienten β F an. Der Ausdehnungskoeffizient β F gibt die Dichteänderung für eine Temperaturzunahme von 1K an. Abbildung 1: Skizze des Galilei-Thermometers Gegeben für alle Teilaufgaben: V K = 10 cm³ g = 9,81 m/s² Tabelle 1: Eigenschaften der Flüssigkeiten bei T=20 C Flüssigkeit Dichte ρ F in g/cm³ Ausdehnungskoeffizient β F in 1/K Oberflächenspannung σ F in N/m A 0,998 0,207 10-3 72,75 10-3 B 0,789 1,10 10-3 22,55 10-3 C 1,594 1,23 10-3 26,66 10-3 D 13,55 0,15 10-3 476 10-3 1.2.1. Thermometerflüssigkeit (2 Punkte) Für welche der vier Flüssigkeiten ergibt sich die stärkste Höhenänderung der schwebenden Kugel bei einem Temperaturunterschied von 1K, wenn angenommen wird, dass die Dichte sich linear mit der Temperatur ändert? Flüssigkeit : Seite 5 von 21
1.2.2.Kugelgewicht (4 Punkte) Das Thermometer zeigt nun eine Temperatur T von 22 C (Kugel schwebt, Abbildung 2) an und der Zylinder ist mit der Flüssigkeit A aus Tabelle 1 gefüllt. Welches Gewicht hat die Kugel mit dieser Temperaturangabe? Abbildung 2: Skizze des Galilei-Thermometers für eine Temperatur von 22 C 1.2.3. Kontaktwinkel (3 Punkte) Der Glaszylinder (Radius r) ist mit der Flüssigkeit A (Tabelle 1) gefüllt. Es liegt an der benetzten Innenwand ein Kontaktwinkel (Randwinkel) α vor und die Steighöhe ist h s (Abbildung 3) bei T = 20 C Raumtemperatur. Welcher Wert der Oberflächenspannung σ F ergibt sich für diesen Fall rechnerisch? geg: r = 2 cm h s = 437 µm α = 54 σ F (α): Abbildung 3: Schnittansicht des Thermometers mit Kontaktwinkel α an der benetzten Wand und Steighöhe h s Seite 6 von 21
2. Wassermühle (24 Punkte) Eine Traditionsmühle hat als Besonderheit das Foyer mit einem historischen Wasserrad und einem darunterliegenden Becken ausgestattet. Das Becken ist über ein Abflussrohr (Durchmesser D) mit einem tieferliegenden, offenen Reservoir verbunden. Aus dem Reservoir wird Wasser (Dichte ) mit einem Steigrohr ( Länge l Steigrohr, Durchmesser D) auf eine Höhe h 3 mit Hilfe einer Pumpe befördert und auf das Wasserrad geleitet. Das Wasser wird dabei im Kreis gepumpt. Der gesamte Aufbau ist in Abbildung 4 dargestellt. Anmerkung: Die zu verwendenden Indizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen einzutragen. Annahmen: Im gesamten umgebenden Raum herrscht der Druck p U und die Erdbeschleunigung g. Das Wasser kann als inkompressibles Fluid betrachtet werden. Verluste durch Umlenken der Strömung sowie Ein- und Austrittsverluste sind zu vernachlässigen. Abbildung 4: Wasserrad mit Versorgungssystemen (Skizze) Seite 7 von 21
2.1 Pumpleistung Bestimmen Sie die benötigte Pumpleistung für den Fall, dass die Wasserstände h 1 und h 2 konstant bleiben. Das Steigrohr (Länge l Steigrohr, Durchmesser D) weist dabei eine durch Verschmutzung hervorgerufene hydraulisch raue Oberfläche mit einer Sandkornrauheit k S auf. Über das Abflussrohr (Durchmesser D) fällt ein Druckverlust von an. geg: h 1 = 3 m h 2 = 1,5 m h 3 = 7 m D = 0,1 m = 2200 Pa k S = 0,4 mm l Steigrohr = 10 m = 1000 kg/m³ p U = 10 5 Pa g = 9,81 m/s² 2.2 Bremsmoment Der Austrittsquerschnitt des Steigrohres (Durchmesser D) befindet sich mit einem Höhenunterschied von h 4 oberhalb der Schaufel des Wasserrades. Das Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit c 4 aus dem Steigrohr aus, erfährt eine durch das Schwerefeld der Erde bedingte Beschleunigung und trifft vollständig auf eine Schaufel des Schaufelrades. Der auftreffende Wasserstrahl mit der Querschnittsfläche A wird an der Schaufel zu jeweils gleichen Teilen nach links und rechts unter einem Winkel umgelenkt. Das Wasserrad soll für eine besondere Atmosphäre im Foyer sorgen, die aus psychologischer Sicht bei einer Rotationsgeschwindigkeit erreicht wird. Um diese Rotationsgeschwindigkeit zu gewährleisten, wird in der Nabe des Wasserrades eine Bremse installiert. Bestimmen Sie das durch die Bremse zu erbringende Moment, für eine Rotationsgeschwindigkeit Wasserrades. des Abbildung 5: Nahansicht einer Schaufel des Wasserrades geg: D = 0,1 m h 4 = 3 m c 4 = 6 m/s = 15 120 rad/min = 1000 kg/m³ p U = 10 5 Pa g = 9,81 m/s² Seite 8 von 21
3. Gasdynamik (8 Punkte) Eine Rohrleitung zur Versorgung eines Labors mit Helium (mit Gaskonstante R und Isentropenexponent ) ist mit einer konvergenten Querschnittsverengung in einiger Distanz vor dem Austritt versehen. Die Leitung liefert den Massenstrom. An der Stelle 1 hat das Rohr den Querschnitt d 1. Dort strömt das Gas mit Ma 1 bei der herrschenden Temperatur T 1. Abbildung 6: Rohrleitung Heliumversorgung Bestimmen Sie den Durchmesser der Verengung d 2 an der Stelle 2 für eine Strömung mit Ma 2. Es ist das Temperaturverhältnis T 2 /T 1 bekannt. Berechnen Sie zudem die Drücke an den Stellen 1 und 2. Gegeben: Seite 9 von 21
4. Couette-Viskosimeter (15 Punkte) In einem Couette-Viskosimeter kann die Viskosität eines Fluids in Abhängigkeit von der Scherspannung bestimmt werden. Das Viskosimeter besteht aus einem rotationssymmetrischen Behälter mit Innenradius R B, in dem ein runder Kolben mit Radius R K und Höhe L hängt (siehe Abbildung 7) Abbildung 7: Draufsicht (links) und Seitenansicht (rechts) des Couette-Viskosimeters. Der Radius des Behälters ist R B. Der Radius des Kolbens ist R K und dessen Höhe L. Die Winkelgeschwindigkeiten ω K und ω B sind gleichgerichtet. Der Kolben dreht mit der Winkelgeschwindigkeit ω K. Der äußere Behälter ist ebenfalls drehbar und hat die Geschwindigkeit ω B. Die Winkelgeschwindigkeiten sind gleichgerichtet. Der Kolben wird mit dem Moment M beaufschlagt. Die Strömung ist in vertikaler Richtung voll ausgebildet. Das Fluid sei inkompressibel und stationär. Die Geschwindigkeit des Fluids Moment und die Scherspannung gilt: ist abhängig von der radialen Position im Zwischenraum. Für das Seite 10 von 21
Die Kontinuitäts- sowie die NS-Gleichungen in Zylinderkoordinaten sind: Kontinuitätsgleichung: Navier-Stokes-Gleichungen: r-komponente: -komponente: z-komponente: a) Vereinfachen Sie die NS Gleichungen und begründen Sie jeden Schritt (d. h.: jeden gestrichenen Term). b) Lösen Sie nach und nehmen dabei an, dass ist (bestimmen sie also A und B) c) Leiten Sie einen Ausdruck her für die dynamische Viskosität η, in dem A und B als Variablen vorkommen (d. h.: Ergebnis von b) nicht ausschreiben), jetzt unter der Bedingung. Seite 11 von 21
1. Kurzaufgaben (13 Punkte) Musterlösung Hinweis: Die Ergebnisse mit Einheit der Kurzaufgaben sind in die dafür vorgesehenen Kästen einzutragen. Es gibt bei Kurzaufgaben keine Punkte auf den Rechenweg. Lösungen auf Zetteln werden nicht bewertet! 1.1. Multiple-Choice (4 Punkte) Kreuzen Sie richtige Aussagen an oder tragen die Lösung in die dafür vorgesehene Kästchen. Es können pro Frage mehrere Antworten richtig sein. (nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet) Überströmte ebene und gekrümmte Oberfläche Eine zu Beginn ebene und im weiteren Verlauf gekrümmte Oberfläche wird mit zeitlich konstanter Zuströmgeschwindigkeit überströmt. Entlang der Oberfläche stellen sich dabei lokal unterschiedliche Geschwindigkeitsprofile ein. Ordnen Sie alle dargestellten Geschwindigkeitsprofile (A-D) den vorgegebenen Positionen zu. B D A C Seite 12 von 21
Umströmte Körper Die Abbildungen A-D zeigen einen Querschnitt durch das Strömungsfeld eines angeströmten Zylinders und eines Tragflügelprofils. Die geometrischen Abmaße des Zylinders und des Tragflügels sind in den Abbildungen A und B bzw. C und D identisch. Die Zuströmbedingungen des Zylinders und der Anstellwinkel des Tragflügels wurden variiert. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an. Der Widerstandskoeffizient des Zylinders in Abbildung A ist im Verlgeich zum Zylinder in Abbildung B größer. Bei zunehmender Anströmgeschwindigkeit bewegt sich der Ablösepunkt in D in Richtung der Vorderkante des Tragflügels (stromaufwärts). Der Druckwiderstand des Tragflügels in Abbildung C ist größer als der Druckwiderstand des Tragflügels in Abbildung D. Im Vergleich zwischen einer laminaren und einer turbulenten Umströmung des Tragflügelprofils in Abbildung C bei sonst gleichen Bedingungen, weist die turbulente Umströmung einen höheren Reibungswiderstand auf. Seite 13 von 21
Druckverlust Abbildungen A bis C zeigen einen durchströmten Carnot-Diffusor, einen Bernoulli-Diffusor und ein gerades Rohr. Sowohl der Eintrittsquerschnitt aller dargestellten Geometrien als auch die Autrittsquerschnitte der Diffusoren sind gleich groß. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an. Für den gleichen Eingangs-Massenstrom und gleiche Oberflächenbeschaffenheit der Wände weist der Diffusor in Abbildung A im Vergleich zum Diffusor in Abbildung B einen höheren Druckverlust auf. Für den gleichen Eingangs-Massenstrom im Rohr in Abbildung C sind die Druckverluste bei einer turbulenten Durchströmung im Vergleich zu einer laminaren Durchströmung größer. Im Rohr in Abbildung C mit konstanten, laminaren Strömungsbedingungen weist eine hydraulisch glatte Oberfläche im Vergleich zu einer hydraulisch rauen Oberfläche höhere Druckverluste auf. Im Rohr in Abbildung C mit konstanten, turbulenten Strömungsbedingungen weist eine hydraulisch glatte Oberfläche im Vergleich zu einer hydraulisch rauen Oberfläche niedrigere Druckverluste auf. Laminare Grenzschicht Die Abbildung zeigt den Verlauf der Grenzschichtdicken zweier unterschiedlicher, laminarer Grenzschichten eines Mediums mit kinematischer Viskosität auf einer überströmten, ebene Platte in einem unendlich ausgedehnten Strömungsfeld. Die Indizes entsprechen der Benennung der Grenzschichtprofile. Für die oben gezeigten Grenzschichtverläufe können folgende Aussagen zutreffen: Seite 14 von 21
Aufgabe 1.2.1: Mit C lässt sich die größte Genauigkeit erzielen (Massendifferenz 25 mg). Ansatz: Betrachtung der verdrängten Masse bei 1 C (1K) Temperaturänderung A (Wasser): C (Tetrachlorkohlenstoff): D: Antwort: C 1.2.2: ( ) 1.2.3: Antwort: A Seite 15 von 21
Aufgabe 2.1: Pumpleistung Es wird ein stationäres Verhalten vorausgesetzt, so dass die Wasserstände h 1 und h 2 konstant bleiben. Da der untere Behälter (Reservoir) offen ist und der obere Behälter (Becken) darüber liegt und diese miteinander verbunden sind, wird der Massenstrom des Systems durch den Fluidstrom aus dem oberen Behälter in den unteren Behälter vorgegeben. Würde mehr oder weniger aus dem unteren Behälter gepumpt, würden sich die Wasserstände h 1 und h 2 ändern. Bestimmung des Massenstroms: Bernoulli 1 --> 2': Randbedingungen: Einsetzen und Auflösen nach c 2' (h 2' kürzt sich raus): Berechnung der Pumpleistung: Bernoulli 2-->3 Randbedingungen: Druckverluste: Reynolds-Zahl: --> Re >2300 --> turbulent Seite 16 von 21
ks/d = 4 e-3 aus Moody-Diagramm: = 36250 Pa Bernoulli nach Pumpleistung umstellen und alles einsetzen: Aufgabe 2.2 Bremsmoment Das gesuchte Bremsmoment ist das durch das Fluid wirkende Moment bei einer Rotationsgeschwindigkeit. Momentenbilanz um Nabe: Kraft F aus Impulsbilanz um Schaufel: Geschwindigkeit c aus folgt aus Bernoulli von Eintritt zum Austritt aus Bilanzebene: Seite 17 von 21
Die Geschwindigkeit am Eintritt der Bilanzebene c ein entspricht nicht der Geschwindigkeit am Austritt des Rohres. Zum einen erfolgt eine Beschleunigung des Wassers durch die Erdanziehung. Zum anderen soll eine Rotation der Schaufel angenommen werden. Somit ergibt sich die Geschwindigkeit am Eintritt zu: entspricht der Geschwindigkeit des Wassers auf Höhe der Schaufel aufgrund der Erdbeschleunigung. Durch die Beschleunigung des Wassers wird der Querschnitt des Strahls verjüngt (Konti muss gelten; Masse bleibt konstant): Die Geschwindigkeit zur Berechnung der Kraft ergibt sich zu: Einsetzen in die Impulsbilanz führt zu: Seite 18 von 21
Aufgabe 3 Ansatz aus Konti-Gleichung An Stelle 1 Dichte bestimmen für Druck 2P Dichte Stelle2 Mit Druck Stelle2 Durchmesser über Massenstrom: Aufgabe 4 2P Aus Konti:, Weil: Umfangsgeschwindigkeit konstant keine Geschwindigkeitsänderung über Höhe l (dz) 1 P. r-komponente bereinigt: Weil: stationär keine Strömung in radialer Richtung: (keine Geschwindigkeitsänderung von in Umfangsrichtung sowie in z-richtung) Keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit über Umfang (Moment konstant) theta-komponente bereinigt: Weil: Seite 19 von 21
(redundant: stationär) Keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit in z-richtung (Geschwindigkeit ) Keine Druckänderung über den Umfang (Keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit über Umfang) z-komponente bereinigt: Weil: Keine Geschwindigkeit in z-richtung: Z-Komponente gleich Null: kein Druckgradient, vollausgebildet Randbedingungen ableiten aus Skizze: 1. 2. Umformung Zylinderkoordinaten theta-komponente: Ansatz: Substitution Bestimmung der Ableitungen: ; ; ; 2P Es folgt für theta-komponente: Anwendung der Randbedingungen: Es resultiert für B: Einsetzen in liefert Umformen Koeffizienten A und B: Seite 20 von 21
Bestimmung der dynamischen Viskosität η für mit A und B: Über Scherrate an Wand mit Für Kolbenwand Seite 21 von 21