Gmnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 8. Klasse 8. Proportionalität 8.. Proportionale Zuordnungen Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfachen der einen Größe das gleiche Vielfache der anderen Größe, so heißt sie proportionale Zuordnung. Bei einer proportionalen Zuordnung sind die Quotienten zugeordneter Größen gleich. Der konstante Quotient q heißt Proportionalitätsfaktor. die Zuordnungsvorschrift hat die Form q Die Punkte des Graphen einer proportionalen Zuordnung liegen auf einer Geraden durch den Ursprung des Koordinatensstems. Beim Tanken ist die Zuordnung Benzinmenge V in l Preis P in Euro proportional: Benzinmenge 60 l 0 l 90 l Preis 78 Euro 9 Euro 7 Euro V Der Quotient q P ist der Literpreis, l. Die Zuordnungsvorschrift lautet damit V, Eur o V. l 8.. Umgekehrt proportionale Zuordnungen Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zum Doppelten, zum Halben,..., zum r-fachen der einen Größe die Hälfte, das Doppelte,..., das r -fache der anderen Größe, so heißt sie umgekehrt proportionale Zuordnung. Bei einer umgekehrt proportionalen Zuordnung sind die Produkte zugeordneter p Größen gleich. Die Zuordnungsvorschrift hat die Form wobei p den konstanten Wert dieser Produkte zugeordneter Größen angibt. Die Punkte des Graphen einer umgekehrt proportionalen Zuordnung liegen auf einer Hperbel. Für einen bestimmten Vorrat ist die Zuordnung Masse einer Portion Anzahl der Portionen umgekehrt proportional. Masse 00g 00g 000g Anzahl 0 60 6 Das Produkt P ist der Vorrat von 6000g. 6000 g Die Zuordnungsvorschrift lautet damit. 8. Funktionen 8.. Funktion. Eine Vorschrift f, die jedem Element einer Menge A genau ein Element einer anderen Menge B zuordnet, heißt Funktion.. Man schreibt f() und bezeichnet f() als Funktionswert.. Die Menge aller Funktionswerte heißt Wertemenge W f der Funktion f, kurz W f { f() für alle D }. Weitere Begriffe: Funktionsvorschrift: Beispiele: f : a f : a Funktionsgleichung: f() Definitionsmenge D: Menge aller Zahlen, die man für in D Q den Funktionsterm f() einsetzen darf Geordnetes Paar: ( f()) ( ) ( / ) ( ) Graph G f : Jedes geordnete Zahlenpaar ( f()), das zur Funktion f gehört, bestimmt einen Punkt im Koordinatensstem. Die Menge aller dieser Punkte wird als Graph G f bezeichnet. O Nullstelle: Die -Koordinate eines Schnittpunktes des Graphen mit der - Nullstellen: Achse heißt Nullstelle der Funktion f. und - Eine Nullstelle der Funktion f ist die Lösung der Gleichung f()0 Weitere Beispiele: a) Direkte Proportionalität (siehe Grundwissen 8..): f() q. Der Graph G f stellt eine Ursprungsgerade dar und weist eine konstante Steigung auf. Der Faktor q gibt an, wie stark der Graph steigt (q>0) oder fällt (q<0) und wird Steigung genannt.
Gmnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 8. Klasse b) Indirekte Proportionalität (siehe Grundwissen 8..): f() p. Die Definitionsmenge D f R\{0}. Der Graph G f stellt eine Hperbel dar. 8.. Umfang und Flächeninhalt eines Kreises Ein Kreis mit dem Radius r hat den Umfang U π r und den Flächeninhalt A π r Dabei ist π, 4 die Kreiszahl. Für einen Kreis mit dem Durchmesser,4m und damit dem Radius,7 m gilt U 0, 7m und A 9,m. 8. Lineare Funktionen. Eine Funktion g, deren Graph eine Gerade ist, heißt lineare Funktion. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet: g() m t. m heißt die Steigung der Geraden, t der -Abschnitt der Geraden. Im rechtwinkligen Steigungsdreieck ABC mit A( ) und B( ) gilt: vertikale Kathete m horizontale Kathete Für m > 0 steigt die Gerade, für m < 0 fällt die Gerade. Je größer m ist, desto steiler verläuft die Gerade. Der -Abschnitt bewirkt eine Verschiebung der Ursprungsgeraden um t Einheiten in Richtung der positiven -Achse für t > 0 bzw. in Richtung der negativen -Achse für t < 0. Beispiele: : a 0, 5 g 5 g : a,5,5 Die Gerade g hat die Steigung 0,4 und den -Abschnitt 0,5, also ist T (0/0,5) ein Punkt der Geraden g. A(/) - O B(/) - Term einer Geradengleichung ermitteln: Beispiel : Gerade g mit Steigung m durch Punkt A( /) Setze die Koordinaten von A in t ein, also ( ) t, d.h. t 5, also g() 5 Beispiel : Gerade g durch zwei Punkte A( /) und B(/8): Steigung nach obiger Formel ermitteln u. dann wie in Beisp. rechnen. Lineare Ungleichungen: Ungleichungen können mit Hilfe derselben Äquivalenzumformungen gelöst werden wie Gleichungen - mit einer Ausnahme: Bei der Multiplikation oder Division auf beiden Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl muss man das Kleiner- bzw. Größerzeichen umkehren. ( ) 7 < Vereinfachen 4 7 < -4 7 < 5 ( 7) > 5 Die Lösungsmenge einer Ungleichung kann auch als Intervall geschrieben werden: L { > 5} ] 5; [ 8.4 Lineare Gleichungsssteme Lineare Gleichungen, die durch und ( ) miteinander verknüpft sind, nennt man ein lineares Gleichungssstem: a b c a b c Meist schreibt man die beiden Gleichungen untereinander, lässt das Zeichen weg und nummeriert die Gleichungen. Gleichungsssteme dieser Art besitzen entweder keine Lösung oder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Graphisches Lösungsverfahren () 4 6 () 6 4 Schnittpunkt ist S(/ ) O
Gmnasium bei St. Anna, Augsburg Seite Grundwissen 8. Klasse Rechnerische Lösungsverfahren Die rechnerischen Lösungsverfahren zielen darauf ab, aus zwei Gleichungen mit je zwei Variablen durch Äquivalenzumformungen zwei Gleichungen mit je einer Variablen zu gewinnen. a) Einsetzverfahren Eine der beiden Gleichungen wird nach einer Variablen aufgelöst und dieser Lösungsterm wird dann in die andere Gleichung eingesetzt. () 4 6 () 5 Gleichung () ist äquivalent mit ( ): 6 4 eingesetzt in () ergibt Gleichung ( ): 5 ( ) 5 9 6 eingesetzt in Gleichung ( ): Also ergibt sich der Schnittpunkt (/) u. die Lösungsmenge ist L {(/) }. b) Additions- und Subtraktionsverfahren Beide Gleichungen werden (meist) mit je einem geeigneten Faktor multipliziert, damit bei Addition oder Subtraktion beider Gleichungen eine Variable eliminiert wird. Beispiel : () 4 6 () 5 () mit multipliziert ergibt ( ): 6 8 () mit multipliziert ergibt ( ): 0 6 6 ( ) ( ) ergibt: 44 also eingesetzt in Gleichung (): 4 6 Also ergibt sich wieder die Lösungsmenge ist L {(/) }. Beispiel : () 4 6 () 6 () mit multipliziert ergibt ( ): 6 8 () mit multipliziert ergibt ( ): 6 6 ( ) ( ) ergibt: 0 8 Dies ist ein Widerspruch, also gilt L, die beiden Geraden sind also echt parallel. 8.5 Laplace-Wahrscheinlichkeit Ergebnismenge (Ergebnisraum) Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallseperiments nennt man Ergebnismenge. Sie wird mit Ω bezeichnet. Die einzelnen Ergebnisse bezeichnet man mit ω, ω,... Beispiele: Werfen eines Würfels Ω { ;;;4;5;6 } Ω Kopf ; Zahl Werfen einer Münze { } Ereignis Bei einem Zufallseperiment nennt man jede Teilmenge A der Ergebnismenge Ω Ereignis. Man sagt: Das Ereignis A ist eingetreten, wenn bei der Durchführung des Zufallseperiments ein Ergebnis aus A vorliegt. Schreibweise: A Ω Würfeln A,4;6 Gegenereignis Ereignis A: Augenzahl gerade : { } Das Gegenereignis A zum Ereignis A besteht aus den Ergebnissen von Ω, die nicht zu A gehören. Würfeln A,4;6 Ereignis A: Augenzahl gerade : { } Gegenereignis zu A: A { ;;5 } Wahrscheinlichkeit Bei einem Zufallseperiment wird jedem Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P(A) zwischen Null und Eins zugeordnet. Die Wahrscheinlichkeit wird durch das Eperiment (P( gerade Zahl )0,5) oder die sich stabilisierende relative Häufigkeit (z.b. Reißnagel P( Kopf )) nahe gelegt. Laplace- Eperimente Zufallseperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind heißen Laplace-Eperimente. Beispiele: Werfen eines Würfels, der nicht gezinkt ist Werfen einer Münze, die nicht manipuliert ist
Gmnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 4 Grundwissen 8. Klasse Laplace-Wahrscheinlichkeit Für Laplace-Eperimente gilt: Die Wahrscheinlichkeit P(A) eines Ereignisses A erhält man, indem man die Anzahl der für A günstigen durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse dividiert: Anzahl der für A günstigen Ergebnisse A P ( A) Anzahl der möglichen Ergebnisse Würfeln Ω { ;;;4;5;6 } Ereignis A: Augenzahl gerade : A {,4;6} P ( A) 6 Ω A 0,5 8.6 Gebrochen rationale Funktionen 8.6. Gebrochen rationale Funktionen z Funktionen wie f :, g : und h : z, z deren Funktionsterm ein Bruchterm ist, nennt man gebrochen rationale Funktionen. Alle Zahlen, für die der Nenner null wird, können nicht zur Definitionsmenge der Funktionen gehören. 0,5 Für die gebrochen rationale Funktion f :, 5 gehört die Zahl,5 nicht zur Definitionsmenge. Q,5 D \{ } O Ω Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion beliebig genau annähert, nennt man Asmptote. Man unterscheidet waagrechte und senkrechte Asmptoten. 8.6. Rechnen mit Bruchtermen Beim Kürzen werden Zähler und Nenner eines Bruchterms jeweils durch denselben Term dividiert, beim Erweitern umgekehrt jeweils mit demselben Term multipliziert. 4 ( ( ) ) Bruchterme mit gleichen Nennern werden addiert (subtrahiert), indem man die Zähler addiert (subtrahiert) und den Nenner beibehält. Bruchterme mit verschiedenen Nennern müssen vor dem Addieren (Subtrahieren) auf den gleichen Nenner gebracht werden. 4 4( ) ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 4 ( ) Bruchterme werden miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. ( ) ( ) Durch einen Bruchterm wird dividiert, indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert. ( ) : ( )( )
Gmnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 5 Grundwissen 8. Klasse 8.6. Negative Eponenten n Die Definition der Potenzen wird durch sinnvoll erweitert. Es gilt n m n m n m n m n dann und : für beliebige ganze Zahlen m und n. 4 4 8.6.4 Bruchgleichungen Gleichungen heißen Bruchgleichungen, wenn die Gleichungsvariable auch im Nenner vorkommt. Vorgehensweise beim Lösen von Bruchgleichungen: Bestimme den Hauptnenner. Bestimme die Definitionsmenge D der Gleichung. 4 5 Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner. Dadurch werden beide Nenner entfernt, die Gleichung verliert ihre Bruchform. Löse mit Hilfe der üblichen Rechenschritte nach der Gleichungsvariablen auf. Überprüfe, ob der berechnete Wert der Unbekannten in der Definitionsmenge enthalten ist! Gib dann die Lösungsmenge an. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung 4 mit Grundmenge G Q 4 HN ( 4) D \ { 0 ; 4 } (4 ) ( 4) HN HN 4 (4 ) ( 4) 4 4 6 44 4 5 44 0 5 44 8,8. 5 Da 8,8 D L { 8,8 } 8.7 Ähnlichkeit Zentrische Streckungen Bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k (k>0) gilt für den Bildpunkt P zu einem Punkt P: P liegt auf der von Z ausgehenden Halbgeraden durch P ZP' k ZP Ist der Streckfaktor k>, so wird vergrößert. Ist 0<k<, so wird verkleinert. Strahlensatz Werden zwei Geraden, die sich in einem Punkt Z schneiden, von zwei Parallelen (außerhalb von Z) geschnitten, so verhalten sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden die Abschnitte auf den Parallelen wie die von Z aus gemessenen entsprechenden Abschnitte auf der einen Geraden (bzw. auf der anderen Geraden) Ähnliche Figuren Figuren F und G nennt man zueinander ähnlich, wenn man F durch eine zentrische Streckung so vergrößern oder verkleinern kann, dass ihr Bild F zu G kongruent ist.
Gmnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 6 Grundwissen 8. Klasse Eigenschaften ähnlicher Figuren Für ähnliche Figuren F und G gilt: entsprechende Strecken haben das gleiche Längenverhältnis entsprechende Winkel sind gleich groß Sind die Seitenlängen von G k-mal so lang wie die von F, so ist der Flächeninhalt von G k²-mal so groß wie der von F. Ähnlichkeitssätze Dreiecke sind bereits dann ähnlich, wenn sie in zwei (und damit in allen drei) Winkeln übereinstimmen (WW-Satz) oder wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen (S:S:S-Satz)