Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 008 / 009 Fach Mathematik (B) Name, Vorname Klasse Prüfungstag 7. Mai 009 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 09:00 - :00 Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und ntwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgabensatz besteht aus vier verschiedenen inzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Blätter Bewertungseinheiten, und Gesamtpunkte und Gesamtnote : Aufgabe Nr.: Soll % 0 5 5 0 Summe: 00 Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Punkte Note: Punkte Note: Datum, Unterschrift: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife
009 Mathematik Aufgabenvorschlag B Kurvendiskussion /0 Gegeben ist eine Funktion f mit der Funktionsgleichung 9 f ( ) = + + ;.. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Graphen von f und begründen Sie Ihre Aussage. /. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionswerte von f im Unendlichen. /. Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen von f mit der y-achse an. /. Zwei Nullstellen der Funktion liegen bei N = und N =. Begründen Sie, ohne eine Polynomdivision durchzuführen, warum sich die Funktion f auch als folgendes Polynom darstellen lässt: f( ) = ( )( ). /.5 Berechnen Sie die restlichen Nullstellen der Funktion f. /6 rklären Sie, um was für Nullstellen es sich handelt und welche Bedeutung diese Nullstellen für den Graphen der Funktion f haben..6 Nennen Sie die notwendigen und hinreichenden Bedingungen zur Bestimmung der Hoch-, Tief- und Wendepunkte des Graphen von f und berechnen Sie diese. /.7 Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall [,5] unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte. /6.8 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Wendetangente von f, deren Steigung negativ ist und zeichnen Sie den Graphen in das obige Koordinatensystem. Der Graph der Wendetangente und die Koordinatenachsen bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Schraffieren Sie dieses und berechnen Sie die Hypotenuse des Dreieckes. /7 Aufgaben B 009 Mathematik Seite von
009 Mathematik Aufgabenvorschlag B Rekonstruktion von Funktionen /5 Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades schneidet bei y = die Ordinatenachse. Bei = liegt eine tremstelle und bei = eine Wendestelle vor. Die zugehörige Wendetangente verläuft parallel zu der Geraden mit g ( ) = + 8;. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von f durch Lösen des entsprechenden Gleichungssystems. Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, lösen Sie ersatzweise das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktion. 6a - b + 0,5c + d = -6 -a + b + d = - 6a - b + c = -6 d = - Aufgaben B 009 Mathematik Seite von
009 Mathematik Aufgabenvorschlag B tremwertaufgabe /5 Gegeben ist der Graph der Funktion f mit f( ) = - + 6-5, und das eingezeichnete Dreieck mit den ckpunkten P( 0), y R(/f()) Q( 0) und R( f()). P(/0) Q(/0) -0.5 0.5.0.5.0.5.0.5.0.5 5.0 5.5 6.0 6.5 -. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks für = Zeichnung). (siehe /. Bewegt sich der Punkt R auf dem Graphen von f, so ändert sich der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeichnen Sie für =,5 das Dreieck in das gegebene Koordinatensystem ein und berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. /. Weisen Sie nach, dass die Funktionsgleichung der Funktion A, die den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von beschreibt, 7 5 A ( ) = + + lautet. /. Für welches aus dem Intervall von + bis +5 nimmt das Dreieck einen maimalen Flächeninhalt an? Wie groß ist dieser maimale Flächeninhalt? /0 Aufgaben B 009 Mathematik Seite von
009 Mathematik Aufgabenvorschlag B Integralaufgabe /0 In der Abbildung nebenan sind eine Parabel p mit der Funktionsgleichung p ( ) = ² - und eine Gerade g mit der Funktionsgleichung g ( ) = - -6 dargestellt. Abbildung 50 y 0-5 -0-5 0 5 0 5-50 -00-50 -00-50 -00-50 -00-50. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass die Fläche, die zwischen der Parabel und der -Achse eingeschlossen wird, den Inhalt 69 F hat. /7. Die Gerade g zerlegt die Fläche zwischen der Parabel und der -Achse in / zwei Teilflächen, die nahezu gleich groß sind. Berechnen Sie den Flächeninhalt der unteren dieser beiden Teilflächen und zeigen Sie, dass er zwischen 9 % und 50 % des gesamten Flächeninhaltes zwischen der Parabel und der -Achse liegt.. Wie weit muss man die Parabel p nach oben schieben, so dass man den / Graphen einer quadratischen Funktion f erhält, für die und wie lautet die Funktionsgleichung von f? f( ) d= 0gilt, rläutern Sie mit Hilfe einer Skizze, warum das Integral den Wert Null hat. Aufgaben B 009 Mathematik Seite von
009 Mathematik rwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Teil- rwartete Teilleistung auf- gaben. f ( ) f( ) und f ( ) f( ) oder die ponenten von sind gerade und ungerade, der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punksymmetrisch zum Ursprung.. Der höchste ponent der Variablen im Funktionsterm von f ist. Da a im Summand a negativ ist ( ), verläuft der Graph von minus unendlich nach minus unendlich oder: lim f( ) = und lim f( ) =.. f (0) = P ( 0) y B in AB rbrachte Teilleistung I II III B Begutachtung. Wenn man das Restpolynom r ( ) = mit beiden Linearfaktoren ausmultipliziert erhält man wieder die Ausgangsfunktion; 9 + +.5 r ( ) = 0= 0= + + ( )( ) ( ) N / = ± = s handelt sich um eine doppelte Nullstelle, d.h. der Graph der Funktion berührt an dieser Stelle die Abszissenachse. Dieser Punkt ist also gleichzeitig ein trempunkt. P0( 0) P0( 0) P0/ 0( 0).6 a)trempunkte, notw. und hinr. Bedingung: - Minimum: f ( ) = 0 und f``( ) > 0 - Maimum: f ( ) = 0 und f``( ) < 0 = 009 Mathematik Seite von 7
009 Mathematik rwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B 9 f = = + + LF:( ( ) 0 = + ). Nullstelle von f ( ) übernehmen aus Aufgabe.5 ( N / = ). Ansonsten auch planvolles Raten möglich. 9 + + + + = + + = 0 / = ± + = ±, =, und = 0, ( 0 ):( ) f``( ) = + f ( ) = 7,5< 0 Hochpunkt f (, ) = 0, 9 < 0 Hochpunkt f ( 0, ) =,5 > 0 Tiefpunkt HP ( 0) TP( 0,,) HP (,,) b)wendepunkte, notw. und hinr. Bedingung: f``( W ) = 0und f```( W ) 0 9 f ( w) = 0= + w / =±, f ( w) = 6 f (,) = 7,5 > 0 rechts-links-krümmung f (,) = 7,5 < 0 links-rechts-krümmung WP (,,) WP (,, 0) 9 009 Mathematik Seite von 7
009 Mathematik rwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B.7 Intervallgrenzen: P ( 6) P (,5 9, 5) y.8 Allgemein: t ( ) = m t + bim Punkt WP (,,), da dort die Steigung der Tangente negativ ist. Steigung der Tangenten im WP: mt = f`(, ) =, 67 t ( ) =,67+ b, =,67(,) + b b =,68 t ( ) =,67,68 Tangente zeichnen (siehe.7) Berechnung der Hypotenuse des Dreiecks: c = a + b, d.h. c= a + b - Länge der ersten Kathete a = -,68 - Länge der zweiten Kathete b entspricht der Nullstelle von t. 0=,67,68 =, 75 = b c = (, 68) + (, 75) =,996 5, 00 L Summe 5 mögliche B 0 erreichte B 009 Mathematik Seite von 7
009 Mathematik rwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Teil- rwartete Teilleistung aufgaben Ansatz: f ( ) = a + b + c+ d f ( ) = a + b+ c f ( ) = 6a+ b B in AB rbrachte Teilleistung I II III B Begutachtung Bedingungsgefüge:. f ( ) = 0 (Wendestelle bei W = -). f (0) = (Graph geht durch P(0 ) ). f ( ) = (Anstieg im Wendepunkt ist gleich -). f ( ) = 0 (tremum bei = ) Gleichungssystem: I: 0 = -6a +b II: - = d III: - = a -b + c IV: 0 = a -b + c Lösen des Gleichungssystems. Daraus ergibt sich: a=, b=, c= 0, d = Und für den Funktionsterm: f( ) = + 5 Summe 6 7 mögliche B 5 erreichte B 009 Mathematik Seite von 7
009 Mathematik rwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Teil- rwartete Teilleistung aufgaben. A = Grundseite Höhe = =,5F. 7 7 9 A=,5 f(,5) = = F 6.5.00.75.50.5.00.75.50.5.00.75.50.5.00 0.75 0.50 0.5 y P(/0) Q(/0) R(/f()) -0.5-0.5 0.5.0.5.0.5.0.5.0.5 5.0 5.5 6.0 6.5-0.50-0.75 -.00 -.5 -.50 -.75 B in AB rbrachte Teilleistung I II III B Begutachtung. Ansatz: A() = ( ) f() Zielfunktion: A() = ( ) f() = ( ) ( + 6 5) 7 5 = + +. Bedingung für ein Maimum: A'( ) = 0 und A ''( ) <0 A'() = + 7+ A ''() = + 7 A'( ) = 0= + 7 = 0 = und = = ist Stelle des Minimums mit A()=0 (Siehe Graph, Dreieck mit Seitenlänge 0 L). 009 Mathematik Seite 5 von 7
009 Mathematik rwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B A ''( ) = <0 Hochpunkt bei = Der Flächeninhalt des Dreiecks ist für = maimal. 7 5 8 A ma = + + = F 6 7 Summe 8 6 mögliche B 5 erreichte B Teilaufgaben. Ansatz: rwartete Teilleistung A= p( ) d = p( ) d = P() P(0) 0 B in AB rbrachte Teilleistung I II III B Begutachtung dabei ist P Stammfunktion von p und P() = ³ - P() = -56 A = 56 = 69. Differenzfunktion: f p g ( ) = ( ) ( ) = + 70 Nullstellen der Differenzfunktion: + = + 90 = 0 70 0 Lösungen: = 0 und = 9. Ansatz für Flächeninhalt: 9 A= f( ) d = F(9) F( 0) 0 dabei ist F die Stammfunktion von f und F( ),5 70 = + F( 0) = 850und F (9) = 579,5 A = 9,5 Anteil an Gesamtfläche: 9,5 9,6% 69 = 009 Mathematik Seite 6 von 7
009 Mathematik rwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B. Ansatz: f ( ) = + a0 f ( ) d = f ( ) d = F() = 0 0 dabei ist F die Stammfunktion von f und F( ) = + a0 Die Gleichung F () = 0 F () = 0 78 + a0 = 0 hat die Lösung a 0 = Die gesuchte Funktion hat die Funktionsgl. f ( ) = Man muss p um 88 inheiten nach oben schieben, um den Graphen von f zu erhalten. Skizze: y rklärung: weil A+ A = A f( ) d= A A + A = 0 Zwischensumme mögliche B 0 erreichte B 009 Mathematik Seite 7 von 7