Numerische Analysis. Mario Ohlberger

Numerische Anlysis Vorlesung vom WS 200/ Mrio Ohlberger Institut für Numerische und Angewndte Mthemtik Fchbereich Mthemtik und Informtik Westfälische Wilhelms-Universität Münster

ii Dieses Skript beruht uf meinen Vorlesungen Einführung in die Numerische Mthemtik und Höhere Numerische Mthemtik vom Wintersemester 2007/2008 und Sommersemester 2008 n der Westfälische Wilhelms-Universität Münster. Gegenüber den vorherigen Vorlesungen ht sich insbesondere die Zusmmenstellung der Lehrinhlte geändert. Die Teile zu Interpoltion und numerischer Qudrtur buen uf der Vorlesung vom WS 2007/2008 uf, während ds Kpitel zur Numerik gewöhnlicher Differentilgleichungen uf der Vorlesung vom SS 2008 bsiert. Es besteht keine Grntie uf Richtigkeit und/oder Vollständigkeit des Mnuskripts. Mrio Ohlberger

Inhltsverzeichnis 0 Einleitung Interpoltion 5. Polynominterpoltion.................................... 7.2 Funktionsinterpoltion durch Polynome......................... 0.3 Dividierte Differenzen................................... 3.4 Hermite Interpoltion................................... 7.5 Richrdson Extrpoltion................................. 9.6 Trigonometrische Interpoltion.............................. 23.6. Schnelle Fourier Trnsformtion (FFT)...................... 27.7 Spline-Interpoltion.................................... 32.7. Kubische Spline-Interpoltion........................... 35 2 Numerische Integrtion 43 2. Newton-Cotes Formeln................................... 48 2.2 Guß-Qudrturen..................................... 49 2.3 Romberg Verfhren..................................... 54 3 Numerik Gewöhnlicher Differentilgleichungen 59 3. Einleitung.......................................... 59 3.2 Exkurs zur Theorie gewöhnlicher Differentilgleichungen................ 6 3.3 Einschrittverfhren..................................... 66 3.4 Mehrschrittverfhren.................................... 82 3.4. Theorie der lineren Differenzengleichungen................... 82 3.4.2 Linere k-schrittverfhren............................. 86 3.4.3 Ds Extrpoltionsverfhren von Grgg..................... 97 3.4.4 Prädiktor-Korrektor-Verfhren.......................... 00 3.5 Steife Differentilgleichungen und Stbilitätsbegriffe................... 02 3.6 Numerische Lösung von Rndwertproblemen....................... 06 3.6. Sturm-Liouville Probleme............................. 08 3.6.2 Ds Ritz-Glerkin Vefhren............................ 3 3.6.3 Finite Elemente Verfhren............................. 6 4 Ausblick: Prtielle Differentilgleichungen 2 4. Die Wellengleichung.................................... 22 4.2 Die Poisson Gleichung................................... 23 4.3 Die Wärmeleitungsgleichung................................ 24 iii

iv INHALTSVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis. Spline-Interpoltion.................................... 6.2 Polynominterpoltion, Beispiel............................. 7.3 Interpoltion von Funktionen, Beispiel.6.........................4 Beispiel.3......................................... 27.5 Beispiel.34: Treppenfunktionen............................. 33.6 Beispiel.34: Gerde.................................... 34.7 B-Splines.......................................... 39.8 Unterschiede einiger Interpoltionen........................... 4 2. Beispiel 2.......................................... 44 2.2 Fehler der Qudrturen.................................. 58 3. Picrd-Lindelöf: Grfische Drstellung von K M..................... 63 3.2 Linere (AWP):Anwendung, Bkterienwchstum..................... 65 3.3 Runge-Kutt: Eulerverfhren............................... 72 3.4 Runge-Kutt: verbessertes Eulerverfhren........................ 72 3.5 Runge-Kutt: Verfhren von Heun............................ 73 3.6 Runge-Kutt: klssisch................................... 73 3.7 Schätzung mittels Extrpoltion............................. 80 3.8 spezielle linere Mehrschrittverfhren........................... 89 4. Erste und zweite Mode einer schwingenden Site..................... 23 4.2 Skizze eines Gebietes Ω mit glttem Rnd......................... 23 4.3 Skizze zu der Verträglichkeitsbedingung (4.9)....................... 24 v

Kpitel 0 Einleitung Ds Ziel dieser Vorlesung ist eine Einführung in die numerische Anlysis nhnd von Differentilgleichungsproblemen. Zentrle Themen werden sein, die Interpoltion von Funktionen, die numerische Integrtion und die numerische Differentition im Zusmmenhng mit der numerischen Behndlung von Rnd- und Anfngswertproblemen. Um ds Zusmmenspiel dieser Themen zu vernschulichen, wollen wir nhnd von Vritionsproblemen motivieren, wie diese Bereiche der numerischen Mthemtik zur Lösung konkreter Frgestellungen ineinndergreifen. Vritionsgleichungen und Glerkinpproximtion In der Physik, ber uch in nderen Anwendungsbereichen, spielt ds Prinzip der Energieminimierung eine wichtige Rolle. Dieses Prinzip ermöglicht uns z.b. die Beschreibung des Verhltens elstischer Körper. Dzu sei u(x, t) R d die Auslenkung/der Verschiebevektor eines elstischen Körpers im Punkt x zum Zeitpunkt t und ε(u) := 2 ( u + u ) der Verzerrungstensor. Dnn ist die potentielle Gesmtenergie eines belsteten, elstischen Körpers gegeben durch E(u) = 2 Ω σ : ε(u)dx fudx. Ω Dbei ist σ der symmetrische Spnnungstensor und f eine äußere Volumenkrft. Für idelisierte Mterilien ist der Spnnungstensor proportionl zum Verzerrungstensor, d.h. es gilt ds linere Mterilgesetz σ(u) = Aε(u) mit dem symmetrischen und positiv definiten Elstizitätstensor A. Zur Modellierung elstischer Körper mit prtiellen Differentilgleichungen wenden wir uf die Energie E(u) ds folgende Minimierungsprinzip n.

2 KAPITEL 0. EINLEITUNG Definition 0. (Energieminimierung/Vritionsprinzip) ) Physiklisches Prinzip Ein physiklisches System strebt immer in den Zustnd minimler Energie. b) Mthemtische Äquivlenz: Sei ū(x, t) eine Zustndsvrible und E(ū) die Energie eines Systems in Abhängigkeit von ū. Dnn strebt ū gegen einen optimlen Zustnd u = u(x), der die Energie minimiert, d.h. flls E genügend gltt ist gilt für beliebige zulässige Vritionen ϕ. Berechnen wir d dε E(u + εϕ) ε=0 = 0 d dε E(u + εϕ) ε=0 = 0 für die potentielle Energie elstischer Körper, so erhlten wir die Gleichung Aε(u) : ε(ϕ)dx = fϕdx Ω für lle zulässigen Vritionen ϕ. Nehmen wir n, dss u genügend oft differenzierbr ist, so folgt mit prtieller Integrtion für Testfunktionen (Vritionen) ϕ, die uf dem Rnd von Ω verschwinden: Ω ( ) (Aε(u)) f ϕdx = 0. Mit dem Huptstz der Vritionsrechnung folgt somit die Differentilgleichung oder in usführlicher Nottion d i= k,l= Ω (Aε(u)) = f. d xi A ijkl ε(u) kl = f i, j =,..., d. Im einfchsten eindimensionlen Fll, der Auslenkung eines dünnen Drhtes, reduziert sich diese Differentilgleichung zu x (A x u) = f, b.z.w. 2 xu = f, für A = Id. Im einfchsten mehrdimensionlen Fll, der Auslenkung einer dünnen Membrn, erhlten wir (A u) = f, b.z.w. u = f, für A = Id. Wir erhlten lso zur Beschreibung der Auslenkung elstischer Körper in Spezilfällen die Poisson-Gleichung. Glerkin Verfhren Idee: Energieminimierung in endlich dimensionlen Teilräumen

3 Die Idee der Glerkin Verfhren beruht uf dem Prinzip der Energieminimierung. Sei lso V ein Funktionenrum und E : V R ein Energiefunktionl. In Abschnitt. htten wir gesehen, dss die Lösung u vieler physiklischer Frgestellungen forml wie folgt definiert werden können: u = rg min v V E(v). Aus diesem kontinuierlichen Minimierungsproblem erhält mn ein diskretes Minimierungsproblem, wenn mn den Funktionenrum V durch einen endlichdimensionlen Teilrum V h V ersetzt. Somit lässt sich die Lösung u h V h eines llgemeinen Glerkin Verfhrens wie folgt schreiben u h = rg min v h V h E(v h ). Anlog zum kontinuierlichen Vritionsprinzip, ist die diskrete Lösung u h dnn chrkterisiert durch d dε E(u h + εv h ) = 0, für lle v h V h, ε=0 flls E genügend regulär ist. D V h endlichdimensionl ist können wir uns bei dieser Vrition uf eine Bsis von V h einschränken. Sei lso Φ := {ϕ i i =,, N eine Bsis von V h, d.h. N = dim(v h ) und u h = N i= u iϕ i die zugehörige Bsisdrstellung von u h, so folgt d ( N dε E ) ε=0 u i ϕ i + εϕ j = 0, für lle j =,..., N. i= Dies ist ein System von N lineren oder nichtlineren Gleichungen für die Unbeknnten u i, i =,..., N, ds mit numerischen Methoden gelöst werden knn. Glerkinpproximtionen erhält mn us diesem llgemeinen Prinzip durch spezielle Whl des endlichdimensionlen Teilrums V h und zugehöriger Bsis Φ mit der Eigenschft, dss d ( ) dε E ε=0 ϕ i + εϕ j 0 nur für eine kleine Anzhl von Pren (i, j) gilt. Beispiel in einer Rumdimension Wir betrchten ds Energiefunktionl eines elstischen Drhtes in einer Rumdimensuion, dss in der einfchsten Form gegeben ist durch: E(u) := Ein Minimierer dieses Funktionls erfüllt Wir berechnen Also folgt d ( ) dε E x u + εϕ 0 2 xu 2 + fu. d ( dε E ε=0 x u + ε x ϕ) = 0. = d dε = d dε 0 0 2 ( xu + ε x ϕ) 2 + f(u + εϕ) ( x u + ε x ϕ) x ϕ + fϕ. 0 = d ) (u dε E + εϕ ε=0 = d x u x ϕ + fϕ. dε 0

4 KAPITEL 0. EINLEITUNG Bezeichnen wir mit (, ) ds L 2 -Sklrprodukt uf dem Intervll (0, ), so lutet unser Problem lso: Finde eine Funktion u V, so dss für lle Testfunktionen ϕ V gilt ( x u, x ϕ) = (f, ϕ). () Dbei sei V ein geeigneter Funktionenrum. Sei nun V h V ein endlichdimensionler Teilrum von V der Dimension dim(v ) = N, dnn ist eine endlichdimensionle Approximtion u h von u gegeben durch : Finde eine Funktion u h V h, so dss für lle Testfunktionen ϕ h h gilt ( x u h, x ϕ h ) = (f, ϕ h ). (2) Ist (ϕ,..., ϕ N ) eine Bsis von V h, so können wir die Approximtion u h in dieser Bsis drstellen, d.h. N u h = u i ϕ i. i= Dbei sind u i die Koeffizienten der Bsisdrstellung von u h. D es in der Vritionsformulierung (2) usreicht mit den Bsisfunktionen von V h zu testen, folgt mit der Bsisdrstellung von u h für lle j =,..., N: ( x u h, x ϕ j ) = (f, ϕ j ), = N i= u i( x ϕ i, x ϕ j ) = (f, ϕ j ). Definieren wir die Mtrix S und Vektoren U, F durch S ji := ( x ϕ i, x ϕ j ), U i := u i, F j := (f, ϕ j ), so ist ds discrete Problem (2) lso äquivlent zur Lösung des lineren Gleichungssystems SU = F. Wir sehen n diesem Beispiel, dss wir zur numerischen Lösung des Vritionsproblem insbesondere numerische Methoden zur Berechnung der Integrle ( x u h, x ϕ j ), b.z.w. (f, ϕ j ) benötigen. Integrle beliebiger Funktionen können in der Regel nicht in geschlossener Form ngegeben werden. Andererseits ist es sehr einfch Polynome nlytisch zu integrieren. Eine Möglichkeit beliebige Integrle zu pproximieren besteht dher drin, diese Funktionen zunächst durch Polynome zu pproximieren und diese pproximierenden Polynome dnn zu integrieren. Dies motiviert, dss wir uns in Kpitel zunächst mit der Polynominterpoltion von Funktionen beschäftigen, um nschließend in Kpitel 2 die druf ufbuenden Methoden zur numerischen Integrtion zu studieren. Mit diesen Vorbereitungen werden wir uns dnn in Kpitel 3 mit der numerischen Lösung von Anfngswertproblemen und Rndwertproblemen beschäftigen. Zur Approximtion von Rndwertproblemen, werden wir die gerde vorgestellte Methode wieder ufgreifen.

Kpitel Interpoltion Sei {Φ(x, 0,..., n ) 0,..., n R} eine Fmilie von Funktionen mit x R, deren Elemente durch (n + ) Prmeter 0,..., n R gegeben sind. Aufgbe: Zu (x k, f k ) R 2, k = 0,..., n mit x i x k für i k, finde Prmeter 0,..., n, so dss Φ(x k, 0,..., n ) = f k für k = 0,..., n. Flls Φ liner von seinen Prmetern bhängt, spricht mn von einem lineren Interpoltionsproblem. (x k, f k ) sind zum Beispiel Messdten oder diskrete Werte us einem nderen numerischen Verfhren, oder f k = f(x k ) für eine Funktion f C 0 und x 0,..., x n sind die Stützstellen, n denen f interpoliert werden soll. Beispiel:(Polynominterpoltion) V C 0 (R) Vektorrum und dim(v ) = n +, ϕ 0,..., ϕ n Bsis von V. Setze Φ(x, 0,..., n ) := n k ϕ k (x). k=0 Sei etw V = P n, ϕ n (x) = x k, d.h. Φ(x, 0,..., n ) = n k x k. Problem: Finde ein Polynom höchstens n-ten Grdes, so dss p(x k ) = f k. Weitere wichtige Beispiele: Trigonomerische Interpoltion k=0 Φ(x, 0,..., n ) = 0 + e ix + 2 e 2ix + + n e nix = 0 + Exponentielle Interpoltion (nicht liner) Rtionle Interpoltion (nicht liner) Erweitertes Problem: Hermite-Interpoltion k k (cos(kx) + i sin(kx)) k= Φ(x, 0,..., n, λ 0,..., λ n ) = 0 e λ 0x + + n e λnx Φ(x, 0,..., n, b 0,..., b m ) = 0 + x + + n x n b 0 + b x + + b m x m 5

6 KAPITEL. INTERPOLATION Es werden nicht nur Funktionswerte f k n den Stützstellen x k vorgeschrieben, sondern uch Werte für die Ableitung von Φ. Beispiel: p(x) = N k x k, N = 2(n + ) mit p(x k ) = f k, p (x k ) = d k für gegebene (x k, f k, d k ) R 3 (k = 0,..., n). k=0 Spline-Interpoltion Sei q N fest. Gesucht: Φ C q mit Φ(x k ) = f k und Φ [xk,x k+ ] P r, d.h. Φ ist stücksweise polynomil. f f 0 f 2 f 3 x 0 x x 2 x 3 Abbildung.: Spline-Interpoltion Abbildung. zeigt ds Problem für q = 0 und r =, d.h. Φ C.

.. POLYNOMINTERPOLATION 7. Polynominterpoltion Gegeben: (x 0, f 0 ),..., (x n, f n ) R 2 mit x k x i (k i). Gesucht: p P N mit p(x i ) = f i (i = 0,..., n) mit N miniml. Beispiel: (x 0, f 0 ) = (0, 0), (x, f ) = (, ) (,) (0,0) Abbildung.2: Polynominterpoltion, Beispiel Abbildung.2 verdeutlich ds Beispiel, denn p(x) = x N erfüllt ds Interpoltionsproblem für lle N. Gesuchtes Polynom ist dnn: p(x) = x. Stz. Es existiert genu ein p P n mit p(x i ) = f i (i = 0,..., n). Beweis: Sei ϕ 0,..., ϕ n eine Bsis von P n. Dnn ist ds Interpoltionsproblem äquivlent dzu, einen Vektor = ( 0,..., n ) zu finden, welcher ds LGS A = f löst mit A = (α ik ) R (n+) (n+), α ik = ϕ k (x i ) und f = (f 0,..., f n ) R n+ Es gilt : A = f n α ik k = f k=0 n k=0 k ϕ k (x i ) = f i p(x i ) = f i mit p(x) = n k ϕ k (x) Existenz und Eindeutigkeit: Es reicht zu zeigen, dss A regulär ist. Sei lso = ( 0,..., n ) Lösung von p(x) = n k=0 0 = = n = 0. n k=0 k=0 k ϕ k (x i ) = 0 (i = 0,..., n). Dnn ht k ϕ k (x) P n die (n + )-Nullstellen x 0,..., x n. Folglich muß p 0 sein, und somit Also gilt A = 0 = = 0 = A injektiv = A regulär. Also ist ds Interpoltionsproblem eindeutig lösbr.

8 KAPITEL. INTERPOLATION Bemerkung: Der Beweis von Stz. erlubt es, Verfhren zur Lösung des Interpoltionsproblems zu konstruieren. Dzu muss mn eine Bsis ϕ 0,..., ϕ n von P n wählen und ds (n + ) (n + ) LGS A = f lösen. Wählt mn die Monombsis ϕ 0 (x) =, ϕ (x) = x, ϕ 2 (x) = x 2,..., ϕ n (x) = x n (lso ϕ i (x) = x i ), so gilt p(x) = n α i ϕ i (x) und es entsteht folgende Mtrix: i=0 A = ϕ 0 (x 0 ) ϕ n (x 0 )..... ϕ 0 (x n ) ϕ n (x n ) = x 0 x n 0...... x n x n n R (n+) (n+) A heißt die Vndermondsche Mtrix; sie ist sehr schlecht konditioniert und voll besetzt. Dher ist ds LGS A = f sehr ufwändig zu lösen. Die Drstellung des Interpoltionspolynoms n k x k heißt Normlform. Diese Drstellung wird k=0 in der Prxis nicht verwendet. Andere Drstellungen sind numerisch effizienter, uch wenn ddurch ds Interpoltionspolynom nicht verändert wird! ) Lgrnge-Form des Interpoltionsproblems Am einfchsten ist A = f zu lösen, flls A = I, d.h. ϕ k (x i ) = δ ki (0 k, i n). Wir erhlten mit ϕ k (x i ) = 0 für k i den Anstz ϕ k (x) = c n (x x i ). i=0 i k Aus ϕ k (x k ) = folgt dnn und somit erhlten wir ϕ k (x) = c = n i=0 i k n (x k x i ) i=0 i k (x x i ) x k x i, (k = 0,..., n). Definition.2 (Lgrnge-Polynome) Die Polynome l n k(x) := n i=0 i k (x x i ) x k x i heißen Lgrnge-Polynome. (l0 n,..., ln) n bilden eine Bsis von P n und p(x) = n f k lk n(x) ist ds Interpoltionspolynom zu (x 0, f 0 ),..., (x n, f n ). k=0 Für die Lgrnge-Polynome gilt l n i (x j ) = δ ij.

.. POLYNOMINTERPOLATION 9 Bemerkung: Diese Drstellung ist für die Theorie sehr bruchbr. Mit dieser Konstruktion zu rbeiten ist ngenehm, weil für p(x) = n f i li n (x) gilt i= p(x j ) = n f i lj n (x j ) = f j. i= Nchteil: Die Bsispolynome ändern sich bei Hinzunhme von weiteren Stützstellen. b) Newton-Form des Interpoltionsproblems Wähle eine Bsis von P n, so dss A eine untere -Mtrix wird k ϕ k (x) := (x x j ), (k = 0,..., n) = ϕ k P k. j=0 etw : ϕ 0 (x) = ( verwende Konvention ϕ (x) = (x x 0 ) ϕ 2 (x) = (x x 0 )(x x ). j n j=j 0 j = flls j n < j 0 ) Dmit ist A untere -Mtrix, d ϕ k (x i ) = 0 für i < k. Definition.3 (Newton-Polynome) Die Polynome k Nk n := (x x j ) heißen Newton-Polynome und ds Interpoltionspolynom p(x) = Newton-Form. j=0 n k=0 k Nk n (x) heißt in Es gilt : 0 = f 0 ϕ 0 (x 0 ) 0, = (f ϕ 0 (x ) 0 ) ϕ (x ) = f f 0 x x 0 =: f[x 0, x ], 2 = (f 2 ϕ 0 (x 2 ) 0 ϕ (x 2 ) ) = ϕ 2 (x 2 ) f 2 f x 2 x f f 0 x x 0 x 2 x 0 = f[x,x 2 ] f[x 0,x ] x 2 x 0 =: f[x 0, x, x 2 ] Diese Koeffizienten werden berechnet über die dividierten Differenzen f[x 0,..., x n ] (siehe Abschnitt.3).

0 KAPITEL. INTERPOLATION.2 Funktionsinterpoltion durch Polynome Gegeben: Stützstellen x 0,..., x n und f stetig. Gesucht: Interpoltionspolynom zu (x 0, f(x 0 )),..., (x n, f(x n )). Stz.4 (Fehlerdrstellung) Sei f C n+ (, b) und p P n ds Interpoltionspolynom zu den Stützstellen x 0,..., x n prweise verschieden. Dnn existiert zu jedem x (, b) ein ξ x (, b) mit ( ) f(x) p(x) = (n + )! f (n+) (ξ x ) n (x x k ) k=0 Beweis: Für x = x i (i = 0,..., n) ist nichts zu zeigen, d f(x i ) = p(x i ) und n (x x k ) = 0. Sei lso x x i : Setze und betrchte ω(t) := n (t x i ) i=0 Φ(t) := f(t) p(t) λω(t) mit λ = f(x) p(x) ω(x) R (bechte x fest). Es folgt Φ(x) = 0 und Φ(x i ) = 0 (i = 0,..., n) und somit ht Φ n + 2 Nullstellen. Nch dem Stz von Rolle folgt weiter: Φ ht n + Nullstellen und folglich Φ (n+) eine Nullstelle ξ x (, b) mit 0 = Φ (n+) (ξ x ) = f (n+) f(x) p(x) (ξ x ) (n + )! ω(x) k=0 Also hben wir ( ) bewiesen. Folgerung.5 Seien die Vorrussetzungen von Stz.4 erfüllt. Dnn gilt f p (n+)! f (n+) ω mit dem Knotenpolynom ω(x) = n (x x j ). j=0 Beweis: Folgt direkt us Stz.4. Bemerkung Folgerung.5 zeigt, dss die Approximtion durch Polynominterpoltion durch eine geeignete Whl der Stützstellen optimiert werden knn. Frge: Wird der Interpoltionsfehler bei wchsender Stützstellenzhl immer kleiner? Ds folgende Beispiel zeigt, dss dies i.a. nicht der Fll ist. Beispiel.6 (Runge) Betrchten wir f(x) =, 5 x 5 und x (n) +x 2 n (gleichmäßige Stützstellenverteilung). Sei p n (x (n) k ) = f(x(n) k ). := 5 + kh n, 0 k n mit h n := 0 n Mn knn zeigen (siehe Abb..3), dss es ein x 3, 6 gibt, so dss für x < x Konvergenz vorliegt, während der Interpoltionsfehler für x > x gegen unendlich geht.

.2. FUNKTIONSINTERPOLATION DURCH POLYNOME konvergent 5 3,68 3,68 5 Abbildung.3: Interpoltion von Funktionen, Beispiel.6 Allgemein gilt:. Für jede stetige Funktion f existiert eine Folge von Stützstellen mit p n f gleichmäßig. 2. Zu jeder Folge von Stützstellen gibt es eine stetige Funktion f, so dss p n f gleichmäßig. Optimle Whl von Stützstellen für ds Referenzintervll [, ] Idee: Wähle Stützstellen x 0,..., x n [, ], so dss w L ([,]) minimiert wird. Bemerkung: Ds Knotenpolynom ω(t) = n (t x k ) ist ein normiertes Polynom (n+)-tes Grdes k=0 (d.h. Koeffizient vor x n+ ) und die Stützstellen x 0,..., x n sind die Nullstellen von ω. Wir erreichen lso dnn eine optimle Whl der Stützstellen, wenn wir ein normiertes Polynom (n + )-tes Grdes finden, dss unter llen normierten Polynomen die -Norm minimiert. Definition.7 (Tschebyschev-Polynome) Wir definieren die Tschebyschev-Polynome uf [-,] durch T 0 (x) =, T (x) = x, T n+ (x) = 2xT n (x) T n (x), ˆTn (x) = 2 n T n (x). D.h. T 2 (x) = 2x 2, T 3 (x) = 4x 3 3x, ˆT 2 (x) = x 2 2, ˆT3 (x) = x 3 3 4 x. Stz.8 Für x [, ] gilt: Weiterhin gilt: T n (x) = cos ( n cos (x) ). ( ) (i) T n (x), ( )) (ii) T n (cos jπ n = ( ) j (0 j n), ( (iii) T n (cos π 2j 2n (iv) T n P n (, ), )) = 0 ( j n), (v) ˆT n P n (, ) mit Koeffizient vor x n (normiertes Polynom).

2 KAPITEL. INTERPOLATION Beweis: Nch Additionstheorem gilt Also folgt und Zusmmen erhlten wir cos(a + B) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b). cos((n + )Θ) = cos(nθ) cos(θ) sin(nθ) sin(θ) cos((n )Θ) = cos(nθ) cos(θ) + sin(nθ) sin(θ). cos((n + )Θ) + cos((n )Θ) = 2 cos(nθ) cos(θ). Setze Θ := cos (x), bzw. x := cos(θ), so folgt weiter cos ( (n + ) cos (x) ) = 2 cos(n cos (x))x cos((n ) cos (x)) d.h. F n := cos ( n cos (x) ) genügt der Rekursionsformel von Definiton.7. Weiter ist F 0 (x) =, F (x) = cos(cos (x)) = x und somit F n = T n, ws ( ) beweist. Die Eigenschften (i), (ii), (iii) folgen direkt us ( ); (iv) und (v) folgen us der Rekursionsformel für T n in Definition.7. Lemm.9 Sei p P n ein normiertes Polynom uf [, ]. Dnn gilt: p = mx p(x) 2 n und x ˆT n = 2 n. Beweis: Annhme: Es gibt ein normiertes Polynom p mit p(x) < 2 n x [, ]. Sei x i = cos ( ) iπ n. Nch Stz.8 (ii) folgt dnn ( ) i p(x i ) p(x i ) < 2 n = ( ) i ˆTn (x i ) und hierus ( ) ( ) i ˆT (xi ) p(x i ) > 0 für 0 i n. D.h. ds Polynom ˆT n p wechselt (n + )-Ml ds Vorzeichen im Intervll [, ]. D ˆT n und p normierte Polynome sind, ist dies ein Widerspruch dzu, dss ˆT n p vom Grd n ist. Weiter folgt us T n (x), dss T n (x) 2 n und mit T n (x i ) = 2 n ( ) i folgt die Behuptung. Folgerung.0 (Optimle Whl ( der ) Stützstellen) Mit den Stützstellen x k = cos π 2k 2(n+), k =,..., n + ls die Nullstellen von T n+ gilt, dss ds Knotenpolynom gerde ˆT n+ ist, d.h. die Mximumsnorm des Knotenpolynoms ist 2 (n+).

.3. DIVIDIERTE DIFFERENZEN 3.3 Dividierte Differenzen Wiederholung: Die Newton-Form des Interpoltionspolynom ist gegeben durch p(x) = n k N k (x) mit : k = 0 k N k (x) = (x x j ) : k. Gesucht: Algorithmus zur effizienten Berechnung von 0,..., n. Bemerkung: Setze p m (x) = m k=0 j=0 k N k (x) für m n, dnn gilt p m (x j ) = f j k=0 (0 j m) und p m P m, d N k P m für 0 k m. D.h. p m ist ds Interpoltionspolynom in P m zu den Dten (x 0, f 0 ),..., (x m, f m ). Insbesondere hängt k nur b von (x 0, f 0 ),..., (x k, f k ) für 0 k m. Es wird dher die Schreibweise f[x 0,..., x k ] für k benutzt. Bechte: m ist der Koeffizient vor dem x m im Polynom p m. Definition. (Dividierte Differenzen) Seien i o,..., i k {0,..., n} prweise verschieden und sei p i0,...,i k ds Interpoltionspolynom zu den Dten (x i0, f i0 ),..., (x ik, f ik ). Mit f[x i0,..., x ik ] bezeichnen wir den Koeffizienten vor x k im Polynom p i0,...,i k. f[i 0,..., i k ] wird ls dividierte Differenz der Ordnung k bezeichnet. Stz.2 (i) Die Polynome p i0,...,i k genügen der Rekursionsformel () p i0,...,i k (x) = (x x i 0 )p i,...,i k (x) (x x ik )p i0,...,i k x ik x i0. (ii) Die dividierten Differenzen genügen der Rekursionsformel (2) f[x i0,..., x ik ] = f[x i,...,x ik ] f[x i0,...,x ik ] x ik x i0, f[x il ] = f il. (iii) Die dividierten Differenzen sind unbhängig von der Reihenfolge ihrer Koeffizienten, d.h. ist x j0,..., x jn eine Permuttion von x i0,..., x in, so gilt f[x j0,..., x jn ] = f[x i0,..., x in ]. Bemerkung: Die dividierten Differenzen können in der Form eines Tbleus geschrieben werden. x 0 0 = f 0 = f[x 0, x ] 2 = f[x 0, x, x 2 ] 3 = f[x 0, x, x 2, x 3 ] x f f[x, x 2 ] f[x, x 2, x 3 ] x 2 f 2 f[x 2, x 3 ] x 3 f 3 Dbei ist z.b. f[x, x 2, x 3 ] = f[x 2,x 3 ] f[x,x 2 ] x 3 x. Bechte, f k = f[x k ] und p(x) = n f[x 0,..., x k ]N k (x) ist ds gesuchte Interpoltionspolynom. k=0 Beispiel.3 Wir betrchten die Dten

4 KAPITEL. INTERPOLATION Die dividierten Differenzen liefern: x 3 5 f 3 2 3 2 = 3 3 3 8 = 5/4 2 5 3 5 3 4 = 2 ( 3) 5 5 2 Ds Interpoltionspolynom ist lso p(x) = + 2(x 3) 3 8 (x 3)(x ). Fügen wir eine Stützstelle hinzu, so betrchten wir die Dten: x 3 5 6 f 3 2 4 Die dividierten Differenzen liefern durch hinzufuegen einer Digonlen : 3 2 3 8 5 3 3 4 20 5 2 2 6 4 Ds Interpoltionspolynom lutet: p(x) = + 2(x 3) 3 7 8 (x 3)(x ) + 40 (x 3)(x )(x 5) 7 40 Beweis: (von Stz.2) (i) Setze R(x) ls rechte Seite von (). Zu zeigen: p i0,...,i n = R(x). Nottion: p k = p i0,...,i k, p k = p i0,...,i k q k = p i,...,i k Dnn ist R(x) = (x x i 0 )q k (x) (x x ik )p k (x) x ik x i0 = R(x i0 ) = 0 (x i 0 x ik )f i0 x ik x i0 = f i0, R(x ik ) = (x i k x i0 )f ik 0 x ik x i0 = f ik, R(x il ) = (x i l x ik )f il (x il x ik )f il x ik x i0 = f il 0 < l < k. Also ist R ist ds Interpoltionspolynom zu (x i0, f i0 ),... (x in, f in ). Aufgrund der Eindeutigkeit folgt dnn p i0,...,i k = R. (ii) Aus (i) folgt, dss der Koeffizient vor x k in R(x) durch f[x i,...,x ik ] f[x i0,...,x ik ] x ik x i0 Nch Definition ist dieser Koeffizient gleich f[x i0,..., x ik ], lso folgt (ii). gegeben ist. Stz.4 (Weitere Eigenschften der dividierten Differenz) Sei f C 0 (, b), x 0,..., x n (, b) prweise verschieden und t fest gewählt mit t x k k = 0,..., n.

.3. DIVIDIERTE DIFFERENZEN 5 (i) Wenn p ds Interpoltionspolynom von f n den Stützstellen x 0,..., x n ist, so gilt: n f(t) p(t) = f[x 0,..., x n, t] (t x j ) j=0 (ii) Ist f C n (, b), so existiert ein ξ (, b) mit f[x 0,..., x n ] = n! f (n) (ξ). Beweis: (Siehe Übungsufgben) Algorithmus.5 (Dividierte Differenzen) Ziel: Ds gnze Tbleu soll berechnet und in eine Mtrix gespeichert werden. Wenn eine weitere Stützstelle hinzugefügt wird, dnn reicht es die Digonle der dividierten Differenzen uszurechnen. c i0 := f i Für j =,..., n Für i = 0, n j c ij := c i+,j c i,j x i+j x i = c ij = f[x i,..., x i+j ]. Nch Hinzunhme einer weiteren Stützstelle (x n+, f n+ ): c n+,0 := f n+ Für j =,..., n + c n+ j,j := c n+ j+,j c n+ j,j x n+ x n+ j Stz.6 (Auswertung des Interpoltionspolynoms). Fll: Die Koeffizienten 0,..., n seien beknnt. Dnn knn folgendes Schem zur Auswertung benutzt werden (Horner-Schem): p(x) = n k k (x x j ) k=0 j=0 }{{} :=χ j = ((( (( n χ n + n ) χ n 2 + n 2 ) χ n 3 ) χ + ) χ 0 + 0 ) Algorithmus: p := n Für k = n,..., 0 p := p(x x k ) + k 2. Fll: Ds Interpoltionspolynom p soll nur n einer Stelle usgerechnet werden ohne vorher die Koeffizienten zu berechnen (Neville-Schem): Sei p i0,...,i k P n ds Interpoltionspolynom zu (x i0, f i0 ),..., (x ik, f ik ). Ds Neville-Schem verwendet die Rekursion us.2 (i):

6 KAPITEL. INTERPOLATION x 0 f 0 = p 0 (x) p 0, (x) p 0,,...,n (x) x f = p (x) p,2 (x)... x n f n = p n (x) p n,n+ (x) p 0,,...,n (x) ist gesucht, lso der letzte Eintrg in der Tbelle. Beispiel.7 Gegeben: Gesucht: p(0) x i 3 5 6 f i 3 2 4 (i) Mit dividierten Differenzen erhält mn p(x) = + 2(x 3) 3 8 (x 3)(x ) + 7 (x 3)(x )(x 5) 40 Mit dem Horner-Schem folgt nschließend: p(0) = ((( 7 40 (0 5) 3 ) ) ) 8 ( ) + 2 ( 3) + = (( 5 4 + 2) ( 3) + ) = ( 39 4 + ) = 35 4 (ii) Mit dem Neville-Schem erhält mn x 0 f 0 3 3 5 2 6 4 (0 3)( 3) (0 ) 3 = 5 79 8 35 4 (0 )2 (0 5)( 3) 5 = 7 4 7 2 = 8 (0 5)4 (0 6)2 6 5

.4. HERMITE INTERPOLATION 7.4 Hermite Interpoltion Gegeben: x 0,..., x m prweise verschieden und für jede Stützstelle x i Werte c ij R für 0 j m i. Gesucht: Ein Polynom p mit p (j) (x i ) = c ij, i = 0,..., m, j = 0,..., m i. Die Anzhl der Bedingungen ist n + := m 0 + m + + m m, d.h. es mcht Sinn p P n zu suchen. Stz.8 Es existiert genu ein p n P n, welches die Bedingungen des Hermite Interpoltionspolynoms erfüllt. Beweis: (nlog zu Stz.) Stz.9 (Fehlerdrstellung für Hermite Interpoltion) Seien f C n+ (, b) und x 0 <... < x m b. Mit m 0,..., m m {,..., n + } und n + = n m j j=0 Sei p n P n ds Hermite Interpoltionspolynom zu den Dten (x 0, f(x 0 )),..., (x 0, f (m0 ) (x 0 )) (x, f(x )),..., (x, f (m ) (x )).. (x m, f(x m )),..., (x m, f (mm ) (x m )) Dnn existiert für lle x [, b] ein ξ x [, b] mit wobei Ω(x) := n (x x k ) m k. k=0 Beweis: (nlog zu Stz.4) f(x) p n (x) = f (n+) (ξ x ) Ω(x) (n + )! Beispiel.20 (Newton-Form und dividierte Differenzen) Gesucht: p P 2 mit p(x 0 ) = c 00, p (x 0 ) = c 0, p(x ) = c 0 Durch dividierte Differenzen: x i f i x 0 c 00 f[x 0, x 0 ] f [ x 0, x 0, x ] x 0 c 00 f[x 0, x ] x c 0 Nch Stz.4 gilt für t (, b) : ξ (x 0, t) mit f[x 0, t] = f (ξ). Ist f C 0 (, b) so gilt: lim f[x 0, t] = f (x 0 ) t x 0 Dher mcht es Sinn f[x 0, x 0 ] = f (x 0 ) zu setzen. Im Beispiel folgt dnn: x 0 c 00 c 0 f[x 0,x ] f[x 0,x 0 ] x x 0 x 0 c 00 c 0 c 00 (x x 0 ) x c 0

8 KAPITEL. INTERPOLATION Wir erhlten lso im Beispiel f[x 0, x 0, x ] = c 0 c 00 in der Newtonform n: (x x 0 c ) 2 0 x x 0 und setzten ds Interpoltionspolynom p(x) = f[x 0 ] + f[x 0, x 0 ](x x 0 ) + f[x 0, x 0, x ](x x 0 ) 2. Dieser Anstz läßt sich verllgemeinern zu: p n (x) = n k=0 k f[z 0,..., z k ] (x z j ) j=0 mit z 0 = = z m0 = x 0, z k0 = = z m0 m = x,. usw. Stz.2 (Rekursionsformel für dividierte Differenzen) Sei i 0,..., i n {0,..., n} und o.b.d.a z i0 z i z ik. Dnn gilt f[z i0,..., z ik ] = f[z i,...,z ik ] f[z i0,...,z ik ] z ik z i0 : z ik z i0 k! f (k) (z i0 ) : z ik = z i0 Bemerkung.22 (i) Bei der Hermite Interpoltion werden gerde die Werte vorgeschrieben, die bei den Dividierten Differenzen Tbleu nicht durch die Rekursion gegeben sind. (ii) Interpoltionsprobleme, bei denen nicht für lle j = 0,..., m i die Werte p (j) (x i ) vorgeschrieben werden, sind nicht so einfch zu lösen (vergleiche Birkoff-Interpoltion in den Übungsufgben).

.5. RICHARDSON EXTRAPOLATION 9.5 Richrdson Extrpoltion Gegeben: Eine Funktion : (0, ) R. Gesucht: (0) = lim h 0 (h). Idee: Wähle h 0,..., h n, setze k = (h k ) und bestimme ds Interpoltionspolynom zu (h 0, 0 ),..., (h n, n ) und pproximiere (0) durch p(0). Beispiel.23 (i) Regel von L Hospitl Berechne lim x 0 cos(x) sin(x), d.h. (h) = cos(h) sin(h). Setze : h 0 = 8, 0 = 6.2585 0 2 h = 6, = 3.2608 0 2 h 2 = 32, 2 =.562627 0 2 = p(0) =.02... 0 2 cos(h) sin(h) Es ist (0) = lim h 0 sin(h) = lim h 0 cos(h) = 0. (ii) Numerische Verfhren (etw Differentition von f C ) Wähle (h) = f(h) f( h) 2h. Ist f nlytisch, so gilt die symptotische Entwicklung und (h) = (0) + α 2i h 2i mit (0) = f (0) i= f(h) = f(0) + f (i) (0)h i, i= f( h) = f(0) + f (i) (0)( h) i = f (i) (0)( ) i h i. i= i= Ds heißt, (h) ist eine gerde Funktion ((h) = ( h)) und ds Interpoltionspolynom solle nur h 2k -Terme enthlten. Sei f(x) = sin(x) = (h) = sin(h) sin( h) 2h = sin(h) h, so folgt für p(x) = q(x2 ), q P : = p(0) = 0.999999926. h 0 = 8, 0 = 0.9973 h 0 = 6, 0 = 0.99934 h 0 = 32, 0 = 0.99983

20 KAPITEL. INTERPOLATION Stz.24 (Extrpoltionfehler) Gelte für : (0, ) R die symptotische Entwicklung (h) = (0) + n α j h qj + n+ (h)h q(n+) j= mit q > 0 und n+ (h) = α n+ + o(). Dbei seien α,..., α n+ R unbhängig von h. Sei (h k ) k N eine monoton fllende Folge, h k > 0 und h k+ h k ρ < für ρ > 0 unbhängig von k. Mit p (k) n P n bezeichnen wir ds Interpoltionspolynom in h zu den Dten (h q k, (h k)),..., (h q k+n, (h k+n)). Dnn gilt: (0) p (k) n (0) = O(h q(n+) k ) für k. Beweis: Setze z = h q, z k = h q k. In der Lgrnge Drstellung ist ds Interpoltionspolynom gegeben durch p n (k) (z) = n (h k+i )L n k,i (z) mit Ln k,i (z) = n z z k+l z k+i z k+l. Mit der symptotischen Entwicklung i=0 von folgt p (k) n (0) = n i=0 ( = (0) n (0) + n L n k,i i=0 j= l=0 l i α j z j k+i + α n+z n+ k+i + o()zn+ k+i n+ (0) + α j j= i=0 ) n z j k+i Ln k,i (0) + o() n i=0 L n k,i (0) z n+ k+i Ln k,i (0). Um die Summnden z r L n k,i (0) zu berechnen, verwenden wir die Fehlerdrstellung us Stz.4 mit f(z) = z r, r = 0,..., n+ und dem Interpoltionspolynom q n (k) zu den Dten (z k, f(z k )),..., (z k+n, f(z k+n )), d.h. q n (k) (z) = n f(z k+i )L n k,i (z), bzw. q(k) n (0) = n zk+i r Ln k,i (0). i=0 i=0 Es gilt f(0) q n (k) (0) = (n+)! f (n+) (ξ 0 ) n (0 z k+i ) und somit folgt n zk+i r Ln k,i (0) = (n+)! f (n+) (ξ 0 )( ) n+ n z k+i f(0) i=0 i=0 : r = 0 0 : r =,..., n = ( ) n+ n z k+i : r = n + Dmit erhlten wir Es gilt: Außerdem gilt p (k) n i=0 i=0 (0) = (0) + α n+ ( ) n α n+( ) n L n k,i (0) = n l=0 l i n i=0 z k+i z k+l n z k+i + i=0 z k+i α n+ n i=0 n i=0 = α n+ h q(n+) k o()z n+ k+i Ln k,i (0). z k = α n+ z (n+) k = O(h q(n+) k ). C(ρ, n, q), unbhängig von k:

.5. RICHARDSON EXTRAPOLATION 2 = n i=0 o()l n i,k (0)zn+ k+i C(ρ, n, q)o()z n+ k C(ρ, n, q)o()h q(n+) k = O(h q(n+) k ), = p (k) n (0) (0) = O(h q(n+) k ). Algorithmus: (Richrdson Extrpoltion) Zur Berechnung von p (k) n (0) eignet sich ds Neville Schem: p (k) n (0) = p (k+) p(k+) n (0) + n (0) p(k) z k z k+n mit p (k) n (z) = p k,k+,...,k+n (z). Mit k,n := p n (k n) (0) erhält mn ls Rekursion für k,n : n (0) k,n = k,n + k,n ( ) k,n hk n q. h k Als Tbleu mit Strtwert k,0 = (h k ) ergibt sich dnn h 0 0,0 h,0, h 2 2,0 2, 2,2....... h k k,0 k, k,2 k,k. Beispiel.25 Berechnung von e = lim n ( + n )n = lim h 0 ( + h) h, d.h. (h) = ( + h) h. Wähle h k = 2 k = k,0 = (h k ) = ( + 2 k ) 2k. = 0,0 = 2,,0 = 9 4, 2,0 = 625 256 2.44. Als Tbleu: n = 0 n = n = 2 k = 0 : h 0 = 2 k = : h = 9 5 2 4 2 k = 2 : h 2 = 625 337 257 4 256 28 96 2.67708.. Es folgt lso z.b. 22 2.67708 ls Approximtion von e 2.7828828. Bereits 5,5 liefert 5,5 2.7827, während 5,0 2.6769 22. Nebenrechnung:, =,0 +,0 0,0 h0 h 2, = 2,0 + 2,0,0 2 = 337 28 Allgemein: h k n h k = 9 4 + 9 4 2 2 = 5 2 = 2 k+n+k = 2 n..

22 KAPITEL. INTERPOLATION 2,2 = 2, + 2,, = 257 2 2 96 Aufwnd: Die Richrdson Extrpoltion eignet sich vor llem, flls (h) sehr teuer zu berechnen ist, etw flls für den Aufwnd A(h) gilt A(h) = O(/h). In unserem Beispiel folgt dnn für (/32) der Aufwnd A(h) = 32, während der Aufwnd zur Berechnung von 22 gegeben ist durch A() + A(/2) + A(/4) = 7.

.6. TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION 23.6 Trigonometrische Interpoltion Gegeben: (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ), x k prweise verschieden, x k [0, ω), ω > 0. Gesucht: Periodische Funktion t n : R R mit Periode ω, welche die Dten interpoliert, d.h. x R : t n (x + ω) = t n (x) und t n (x k ) = y k, k = 0,..., n. Annhme (O.B.d.A): ω = 2π. Die Fourier Anlysis legt nhe, die gesuchte Funktion t n us Funktionen der Form zusmmensetzen. Anstz: Suche Koeffizienten ( k, b k ) mit, cos(x), cos(2x),... sin(x), sin(2x),... t n (x) = 0 m 2 + ( k cos(kx) + b k sin(kx)) + Θ 2 m+ cos((m + )x), k= wobei 0 : n gerde Θ := : n ungerde, m := n 2 : n gerde n 2 : n ungerde. Viele Aussgen der diskreten Fourier Anlysis lssen sich kompkter über C formulieren, wobei die Eulersche Formel e iz = cos(z) + i sin(z) benutzt wird. Definition.26 (Trigonometrische Polynome) Wir definieren den Rum der Trigonometrischen Polynome vom Grd n durch { } T n := t n : C C t (z) = c k e ikz k=0 Mit w := e iz gilt t (z) = n c k w k. k=0 Lemm.27 (i) Seien ( k ) k=0, (b k) k=0 reelle Folgen. Setze b 0 = 0, k = k, b k = b k und c k = 2 ( k i b k ) für k Z. Dnn gilt: 0 m 2 + ( k cos(kx) + b k sin(kx)) = k= m k= m c k e ikx.

24 KAPITEL. INTERPOLATION (ii) Sei (c k ) m k= m, c k C. Setze k = c k + c k, b k = i (c k c k ), k = 0,..., m. Dnn gilt: 2 0 + m ( k cos(kx) + b k sin(kx)) = k= m k= m c k e ikx. Beweis: (Ohne Beweis) Vorussetzungen und Nottionen für diesen Abschnitt Äquidistnte Stützstellen, d.h. x k = 2π n+k, k = 0,..., n. w(x) := e ix, E k (x) := e ikx = w k (x) (k Z). 2π 2π i ŵ := e n+ C, ik wk := w(x k ) = e n+ = ŵ k (k Z). Lemm.28 (i) (E k ) k Z bilden ein Orthonormlsystem, d.h. E k, E l = δ kl. (ii) w n+ k =, d.h. w 0,..., w n sind die (n + ) Einheitswurzeln und w 0,..., w n sind prweise verschieden. (iii) w l k = wk l, wl n+ k = wl k, w l k = wl k. (iv) n+ n j=0 (v) Für festes j N: w k l j = δ kl, 0 k, l n. n sin(jx k ) = 0, k=0 n n + : (n + ) j cos(jx k ) = 0 : sonst k=0. Beweis: (Siehe Übungsufgben) Stz.29 (Trigonometrische Interpoltion in C) Zu gegebenen Dten y 0,..., y n C existiert genu ein t n T n mit t n(x k ) = y k für k = 0,..., n. Die Koeffizienten c k sind gegeben durch: c k = n + n j=0 y j e ijx k = n + n j=0 y j w j k. Beweis: Um die Existenz und Eindeutigkeit zu zeigen, verwenden wir Stz., der uch im Komplexen gezeigt werden knn. Es existiert dher genu ein p P n mit p(x) = und p(w k ) = y k (k = 0,..., n) (Interpoltionspolynom zu (w 0, y 0 ),..., (w n, y n )). Mit t n(x) = n c k e ikx gilt: t n(x l ) = n c k e ikx l = n c k wl k = p(w l ) = y l. k=0 k=0 k=0 n k=0 c k x k mit c k C

.6. TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION 25 Um die explizite Drstellung der Koeffizienten zu zeigen, verwenden wir Lemm.28: n j=0 y j w j k = n j=0 = n l=0 Also folgt c k = n+ p(w j )w j k ( n c l n j=0 j=0 w l k j = n ( n ) c l wj l wj k ) j=0 l=0 = n c l (n + )δ lk = (n + )c k. l=0 y j w j k. Stz.30 (Trigonometrische Interpoltion in R) n 2 : n gerde 0 : n gerde Für n N gegeben, setze m =, und Θ = n 2 : n ungerde : n ungerde Zu gegebenen Dten y 0,..., y n R existiert genu eine Funktion mit t n (x k ) = y k, k = 0,..., n. t n (x) = 0 m 2 + ( k cos(kx) + b k sin(kx)) + Θ 2 m+ cos((m + )x) k= Für die Koeffizienten k, b k gilt: k = 2 n + b k = 2 n + n y j cos(jx k ), j=0 n y j sin(jx k ). j=0. Beweis:. Sei t n ds komplexe Interpoltionspolynom zu (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ). Nch Stz 2.29 gilt: t n(x) = n k=0 c k e ikx mit c k = n + n j=0 y j w j k. Setze c k = c n+ k, k =,..., m, d.h. c = c n, c 2 = c n,..., c m = Setze k = c k + c k, b k = i (c k c k ), k = 0,..., m und m+ = Nch Lemm.27 gilt dnn: ( ) 0 m 2 + ( k cos(kx) + b k sin(kx)) = k= m k= m { cm+ : n gerde c m+2 : n ungerde. { 0 : n gerde 2c m+ : n ungerde. c k e ikx.

26 KAPITEL. INTERPOLATION Es folgt y l = n c k w k l = m c k wk l + m c k wn+ k l + Θc m+wm+ l k=0 k=0 k= m = c k wk l + Θc m+wm+ l. k= m Für n ungerde gilt: m + = n+ 2 und dher w l m+ = cos((m + )x l ) + i sin((m + )x l ) = cos((m + )x l ) + i 0, d (m + )x l = n+ 2 l 2π n+ = lπ. = y l = m k= m ( ) = 0 2 + m = t n (x l ). c k w l k + Θc m+w l m+ k= ( k cos(kx l ) + b k sin(kx l )) + Θ 2 m+ cos((m + )x l ) 2. Eindeutigkeit folgt, d ds LGS, welches die Koeffiziente k, b k bestimmt, für jede rechte Seite y 0,..., y n lösbr ist. Dher ist die Mtrix regulär. 3. Die explizite Drstellung der Koeffizienten folgt us: c k = c n+ k = n + n j=0 y j w j n+ k = n + n y j w j k. j=0 Wir erhlten: k = c k + c k = n + b k = i (c k c k ) = n j=0 i n + ( y j e ijx k + e ijx ) k = 2 n + n j=0 n y j cos(jx k ), j=0 ( y j e ijx k e ijx ) k = 2 n + n y j sin(jx k ). Bemerkung: t n (x l ) = t n(x l ), ber im Allgemeinen ist t n (x) t n(x) für x x l (l = 0,..., n). Es gilt sogr t n (x) Re(t n(x)). j=0 Beispiel.3 Gegeben: n = 2, x 0 = 0, x = 2 3 π, x 2 = 4 3 π. Es gilt: cos(x ) = cos(x 2 ) = 2, sin(x ) = sin(x 2 ) =: ξ, 2x = x 2 und 2x 2 x mod 2π. c 0 = 3 c = 3 c 2 = 3 ( y0 e i0 + y e i0 + y 2 e i0) = 3 (y 0 + y + y 2 ), ( y 0 e i0 + y e i 2 3 π + y 2 e i2 2 3 π) = 3 y 0 6 (y + y 2 ) + i ξ 3 (y y 2 ), ( y 0 e i0 + y e i 4 3 π + y 2 e i2 4 3 π) = 3 y 0 6 (y + y 2 ) + i ξ 3 (y 2 y ). Im Reellen: (m =, Θ = 0)

.6. TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION 27 x (x) 2 Re(t (x)) 2 *.5 0 x x 2 Abbildung.4: Beispiel.3 2 0 = 2 3 (y 0 + y + y 2 ), = 2 3 b = 2ξ 3 (y y 2 ) ( y0 2 y 2 y 2) Seien y 0 = 0, y = y 2 = 3 2, so erhlten wir t 2 (x) = cos(x). Dhingegen erhlten wir ls Relteil des komplexen Interpoltionspolynoms (siehe uch Abb..4): Re(t 2(x)) = (cos(x) + cos(2x)). 2.6. Schnelle Fourier Trnsformtion (FFT) Die Schnelle Fourier Trnsformtion wird uch FFT (Fst Fourier Trnsformtion) gennnt. Ziel: Effiziente Berechnung von c 0,..., c n. ( k, b k ) können dnn im zweiten Schritt schnell bestimmt werden. Idee: Divide nd Conquer-Verfhren: Ds Problem der Größe n wird in 2 äquivlente Probleme der Größe n 2 ufgeteilt und seprt gelöst, dnn werden die beiden Lösungen wieder zu einer gesmmten Lösung zusmmengefügt. Am einfchsten ist die FFT drstellbr, flls n = 2 Q, d.h. für 2 Q Dten y 0,..., y n. Sei n ungerde und seien m = n 2, l {0,..., n} fest. Dnn folgt c l = = n + n + n y j wj l = m y 2j w2j l n + + m y 2j+ w l 2j+ j=0 j=0 j=0 m m y 2j w l y 2j+ w l, mit ŵ = e i 2π j=0 2j + ŵ l j=0 2j n+.

28 KAPITEL. INTERPOLATION D n + = 2(m + ) folgt: c l = 2 m + m j=0 y 2j w l 2j + ŵ l m + m y 2j+ w l. Sei l l mod (m+), d.h. l {0,..., m} und l = λ(m+)+l λ N. Dnn folgt l = 2 λ(n+)+l und somit w2j l 2π = e il2j n+ = e iλj2π i l 2j 2π n+ = e iλj2π w l 2j = w l 2j mit = c l = 2 ( c even l j=0 + c odd l ŵ l) 2j c even l = c odd l = m + m + m j=0 y 2j w l 2j, m y 2j+ w l 2j, l {0,..., n + }. 2 j=0 Dbei sind c even l, c odd l gerde die Koeffizienten des komplexen trigonometrischen Polynoms zu den Dten (x 0, y 0 ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ), bzw. zu (x 0, y ), (x 2, y 3 ),..., (x n, y n ).

.6. TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION 29 Idee des Algorithmus: Stützstellen (Q = 3) x 0, x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 x 0, x 2, x 4, x 6 x 0, x 4 Rechenufwnd: 0 8 2 4 4 2 8 Dten y 0, y, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 20 p 8 y 0, y 2, y 4, y 6 y, y 3, y 5, y 7 20 p 4 20 p 4 y 0, y 4 y 2, y 6 y, y 5 y 3, y 7 20 p 2 20 p 2 y 0 y 4 y 2 y 6 y y 5 y 3 y 7 48 = (3 2 (n + )) Allgemein: Pro Level 2(n + ) Opertionen bei log 2 (n) Levels = Anzhl der Opertionen zur Berechnung von c 0,..., c n beträgt 2(n + ) log 2 (n) = O(n log 2 n). Stz.32 Sei n = 2m +, m N und y 0,..., y n gegeben. t n(x) = n c j e ijx sei ds komplexe trigonometrische Interpoltionspolynom zu (x 0, y 0 ),..., (x n, y n ). Sei t even n (x) = m c even j e ijx ds Interpoltionspolynom zu (x 0, y 0 ), (x 2, y 2 )..., (x 2m, y 2m ) und t odd n (x) = m j=0 j=0 j=0 c odd j e ijx zu (x 0, y ),, (x 2, y 3 )..., (x 2m, y 2m+ ). Dnn gilt ( ) t n(x) = 2 ( + e i (m+)x) t even n (x) + ( e i (m+)x) ( t odd n x π ) 2 m + und es ist c l = 2 ( c even l + ŵ l c odd ) l, cl+m+ = ( 2 c even l ŵ l c odd l ) für l = 0,..., m und ŵ = e i π m+.

30 KAPITEL. INTERPOLATION Beweis: Sei r n die rechte Seite von ( ), d.h. r n (x) = 2 m j=0 m = 2 j=0 m = 2 j=0 [ ( + e i(m+)x ) c even j [ c even j e ijx + ( e i(m+)x) c odd j e ij(x π m+) ] ( e ijx + e i(j+m+)x) + c odd ( j e ijx e i(j+m+)x) e ij π m+ ) m+ c odd j e ijx + 2m+ ( 2 c even π ( c even j + e ij π = n ĉ j e ijx T n. j=0 j=m+ ) j (m+) l e ij m+ c odd j (m+) eijx ] Wegen der Eindeutigkeit des Interpoltionspolynom folgt t n = r n, flls r n die Interpoltionsbedingung erfüllt. Für x l = 2π n+ l gilt: e i(m+)x l = e i 2π 2n+ (n+)l = e ilπ = = r n (x l ) ( ) = = : l gerde : l ungerde t even n (x l ) : l gerde ( t odd n x l ) π m+ t even n (x l ) : l gerde : l ungerde t odd n (x l ) : l ungerde Also ist r n (x l ) = y l und dmit t n r n = ĉ j = c j. D e ij π m+ = ŵ j, folgt die Formel für c l us der Definition von ĉ l.

.6. TRIGONOMETRISCHE INTERPOLATION 3 Algorithmus: Für q = 0,..., Q sei t q k (x) = 2q j=0 c q k,j eijx, k = 0,..., 2 Q q ds Interpoltionspolynom zu ( ) 2 x j2 Q q, y q j2 Q q +k j=0. Sei q : Nch Stz.32 mit m = 2 q, bzw. n = 2 q+ und den Dten (x j2 Q q, y j2 Q q +k) 2q j=0 gilt für k = 0,..., 2 Q (q+) : c q+ k,l = 2 (c q k,l c q+ k,l+2 q = 2 (c q k,l 2π + e i 2 q+ l c q k+2 Q q,l e i 2π 2 q+ l c q k+2 Q q,l ) ). l = 0,..., 2 q, Strt der Itertion (q=0): c 0 k,0 = y k für k = 0,..., 2 Q. Speicherbedrf: Für q und q + müssen Mtrizen berechnet werden: C q = (c q k,l ), Cq+ = (c q+ k,l ) C q C 2Q q 2 q bzw. C q+ C 2Q q 2 q+ Beide Mtrizen sind von der selben Dimension: 2 Q q 2 q = 2 Q = n + und 2 Q q 2 q+ = 2 Q = n + Dher sollen die Koeffizienten c q k,l, cq+ k,l in Vektoren der Dimension n + gespeichert werden C[2 q k + l] := c q k,l, D[2 q+ k + l] := c q+ k,l. 2π i Es gilt: e 2 q+ l 2π il = e 2 Q 2Q q l =: W [2 Q q 2π i l], wobei der Vektor W [l] := e 2 Q l, l = 0,..., 2 Q vorb nur einml berechnet werden muss. 2π i Mit ŵ := e 2 Q erhlten wir dnn folgenden Algorithmus:

32 KAPITEL. INTERPOLATION Algorithmus.33 (FFT) Für l = 0,..., 2 Q : q = 0 C[l] = y l W [l] = ŵ l Für q = 0,..., Q Für k = 0,..., 2 Q (q+) Für l = 0,..., 2 q u = C[2 q k + l] v = W [2 ( ) Q q l]c[2 q (k + 2 Q q ) + l] q q + D[2 q+ k + l] = (u + v) 2 D[2 q+ k + l + 2 q ] = (u v) 2 Für l = 0,..., 2 Q C[l] = D[l] Aufwnd: ( ) benötigt 3 Opertionen. Anzhl der Durchläufe von ( ) Dher ist der gesmte Aufwnd gleich Q2 Q q 2 q = Q2 Q = log 2 (n + ) n +. 2 3 log 2 (n + ) n + 2 = O(n log 2 n). Bemerkung: Der Algorithmus knn so umgeschrieben werden, dss der Vektor D nicht gebrucht wird. Es existieren uch Vrinten für den Fll n 2 Q..7 Spline-Interpoltion Motivtion: Bei großen Werten von n führt die Polynominterpoltion zu strk oszillierenden Interpoltionspolynomen, d p n C (I). Ds Problem tritt besonders dnn uf, wenn die Stützstellen vorgegeben sind. Dher verwendet mn häufig stückweise polynomielle Funktionen, d.h. P [xi,x i ] P r mit r n. Die Interpoltionsbedingung p(x i ) = y i führt zu p C 0 (I), ber p ist i.. nicht in C (I), sondern p C q (I). Die Prmeter (r, q) sind geeignet zu wählen:

.7. SPLINE-INTERPOLATION 33 y 3 y y 2 y 0 y 4 x 0 I I x 2 I x 3 I 2 x 4 3 x 4 Abbildung.5: Beispiel.34: Treppenfunktionen p (x) : x (x 0, x ] p 2 (x) : x (x, x 2 ] P [xi,x i ] P r, p(x) =. p n (x) : x (x n, x n ] p i P r ht die Interpoltionsbedingungen p i (x i ) = y i, p i (x i ) = y i p(x k ) = y k, k = 0,..., n. Nottion: = (x 0,..., x n ) ist eine Zerlegung von I = [, b] mit x 0 =, x n = b, x i < x i ( i n). Mit h i := x i x i > 0 bezeichnen wir die Länge des Teilintervls I i := (x i, x i ), I 0 := {}, i =,..., n. Die Feinheit der Zerlegung ist gegeben durch: h = mx i n h i. Für r, q N definieren wir den Rum der Splines durch { } S r,q := P C q (I) P I i =: p i P r für i n Gegeben: Zerlegung, Dten y 0,..., y n und r, q N. Gesucht: P S r,q mit P (x k ) = y k, k = 0,..., n. Beispiel.34 r = 0: Die einzig mögliche Interpoltion durch stückweise konstnte Funktionen ist gegeben durch P (x) = y i für x I i bzw. p i (x) = y i. Für q 0 ist ds Problem nicht lösbr. Abbildung.5 zeigt die entstndene Treppenfunktion. In diesem Fll ist P nicht stetig! r = : Es soll gelten: p i P und p i (x i ) = y i, p(x i ) = y i. Abbildung.6 zeigt die eindeutig bestimmten Funktionen p i definiert durch p i (x) = y i + y i y i h i (x x i ). Dmit gilt: P S,0.

34 KAPITEL. INTERPOLATION r = 3: Annhme: y k = f(x k ) mit f C 4 (I) (i) Fll: Wähle für i =,..., n Werte x ij I i für j =, 2 und definiere p i ls Interpoltionspolynom zu (x i, y i ), (x i, f(x i )), (x i2, f(x i2 )), (x i+, f(x i+ )) = p i P 3 und P S 3,0. Nch Stz.4 gilt: f(x) P (x) = f(x) p i (x) = f (4) (ξ x ) 4! h4 i für x I i f (4) 4! h4. (ii) Fll: Wähle p i P 3 durch Hermiteinterpoltion zu (x i, y i ), (x i, f (x i )), (x i, y i ), (x i, f (x i )) = P S 3, und f P h 4 4! f (4). Frge: Existiert ein P S 3,2? Bemerkung: Für n > r ist ds Interpoltionsproblem in S r,q nicht lösbr): für q r i.. schlecht gestellt (d.h. Freiheitsgrde: p i P r führt uf (r + ) Koeffizienten, lso: n(r + ) Freiheitsgrde. Anzhl der Bedingungen: Auf I : 2 Interpoltionsbedingungen I 2 : 2 Interpoltionsbedingungen + q Stetigkeitsbedingungen in x. I n : 2 Interpoltionsbedingungen + q Stetigkeitsbedingungen in x n = 2n + q(n ) = n(q + 2) q Bedingungen. Ist q r so folgt: 2n + q(n ) 2n + r(n ) = n(r + ) + n r > n(r + ). Für n r > 0 existieren lso mehr Bedingungen ls Freiheitsgrde und ds Problem ist i.a. nicht lösbr. Spezilfll: q = r (Eigentliche Spline-Interpoltion ) Bedingungen: n(q + 2) q = n(r + ) q, d.h. es müssen noch q = r Freiheitsgrde zusätzlich festgelegt werden. p 3 p p 2 p 4 p x 0 x x 2 x 3 x 4 Abbildung.6: Beispiel.34: Gerde

.7. SPLINE-INTERPOLATION 35.7. Kubische Spline-Interpoltion Gegeben: = (x 0,..., x n ) Zerlegung des Intervlls I = [, b] und Dten y 0,..., y n R. Gesucht: P S 3,2 mit P (x i ) = y i (0 i n) und eine der Bedingungen ) bis d): ) P () = M, P (b) = M b für M, M b R gegeben. Im Fll M = M b = 0 spricht mn von ntürlichen kubischen Splines. b) p () = g, p (b) = g b für g, g b R gegeben. c) P sei periodisch fortsetzbr in C 2 (R), d.h. y 0 = y n und p () = p (b), p () = p (b). d) not--knot-bedingung: P [I I 2 ] P 3, P [In In] P 3, d.h. die Zustzbedingungen werden verwendet, um die Sprünge in P für x = x, x = x n zu eliminieren. Stz.35 (Existenz und Eindeutigkeit) Zu gegebener Zerlegung und Dten y 0,..., y n existiert genu ein P S 3,2 mit p(x k) = y k, welches eine der Bedingungen ), b), c), oder d) erfüllt. Im Fll c) muss gelten: y 0 = y n. Beweis: Idee: Stelle LGS für die Momente M j := P (x j) uf. D p j liner uf I j = (x j, x j ] ist, muß gelten: p j (x) = h j (M j (x x j ) + M j (x j x)). Durch zweimlige Integrtion folgt für geeignete Integrtionskonstnten j, b j R: p j (x) = ( Mj (x x j ) 3 + M j (x j x) 3) ( + b j x x ) j + x j + j. ( ) 6h j 2 Aus den Interpoltionsbedingungen p j (x j ) = y j, p j (x j ) = y j folgt: Dies ist ein 2 2 LGS für j, b j mit der Lösung y j = 6h j M j h 3 j b j 2 h j + j, y j = 6h j M j h 3 j + b j 2 h j + j. ( ) j = 2 (y j + y j ) 2 h2 j (M j + M j ), b j = h j (y j y j ) 6 h j (M j M j ). Dmit hängen die p j nur von den Momenten M 0,..., M n b. Es bleiben noch die n Bedingungen p (x j ) = p j+ (x j) für j =,..., n : Aus ( ) und ( ) folgt: p j (x) = 2h j (M j (x x j ) 2 M j (x j x) 2) + h j (y j y j ) 6 h j (M j M j ). Dher ist p j (x j) = p j+ (x j) äquivlent zu 2 M j (h j+ + h j ) + 6 h j+ (M j+ M j ) 6 h j (M j M j ) = h j+ (y j+ y j ) h j (y j y j ) für j =,..., n, bzw. 6 h jm j + 3 (h j + h j+ ) M j + 6 h jm j+ = y[x j, x j+ ] y[x j, x j ].

36 KAPITEL. INTERPOLATION Mit der zweiten dividierten Differenz y[x j, x j, x j+ ] = y[x j,x j+ ] y[x i x j ] x j+ x j und x j+ x j = h j + h j+ folgt: µ j M j + M j + λ j M j+ = 3y[x j, x j, x x+ ] mit µ j = h j 2(h j +h j+ ), λ j = h j+ 2(h j +h j+ ). Wir erhlten ein (n ) (n ) LGS für die (n+) Momente M 0,..., M n. Fll ) M 0 = M, M n = M b. Dies führt uf ds (n ) (n ) LGS für M,..., M n der Form 3y[x M 0, x, x 2 ] µ M 3y[x, x 2, x 3 ] A. =. M n 3y[x n 2, x n, x n ] λ n M b mit A = λ 0 µ 2............ λn 2 0 µ n. A ist regulär nch dem folgenden Lemm.36, d µ j + λ j = /2 < und λ <, µ n <. Die Fälle b),c),d) führen nlog uf einfch strukturierte LGS mit regulären Mtrizen, d.h. p,..., p n eindeutig duch ( ), ( ) festgelegt. Lemm.36 Sei A R n n eine tridigonle Mtrix, d.h. c 0. A = tridig(b i, i, c i ) = b..... 2...... cn 0 b n n Es gelte: > c > 0 und n > b n > 0 und i b i + c i, b i 0, c i 0, 2 i n. Dnn gilt: (i) A ist regulär. (ii) A = LR mit L = tridig(b i, α i, 0) und R = tridig(0,, γ i ) mit α =, γ = c α und für 2 i n : α i = i b i γ i, γ i = c i αi. Dher knn Ax = b in O(n) Opertionen gelöst werden. Beweis: Siehe Übungsufgben Lemm.37 Die Spline-Interpoltion mit kubischen Splines und einer der Zustzbedingungen ), b), c) oder d) knn mit O(n) Opertionen gelöst werden.

.7. SPLINE-INTERPOLATION 37 Beweis: ) folgt us.35,.36. b), c), d): (siehe z.b. Schbck,Werner: Numerische Mthemtik, Berlin, Springer, 992.) Historisch: Interpoltion durch biegsmen Stb (engl: spline) und Brett mit Nägeln bei (x k, y k ). Der Stb ht minimle Krümmung, d.h. die Funktion minimiert (y (t)) 2 dt über lle gltten +(y I (t)) 2 Funktionen y mit y(x k ) = y k. Für den Fll kleiner erster Ableitungen entspricht dies näherungsweise y (t) 2 dt. I Stz.38 (Minimierungseigenschft kubischer Splines) Sei = (x 0,..., x n ) eine Zerlegung von I = [, b] und y 0,..., y n R gegeben. Sei P S 3,2 ein kubischer Spline mit P (x k ) = y k und einer der Bedingungen ), b), oder c): ) P () = 0, P (b) = 0, b) P () = g, P (b) = g b, c) P periodisch fortsetzbr in C 2 (R). Dnn gilt für lle f C 2 (, b) mit denselben Interpoltionsbedingungen, d.h. mit f(x k ) = y k und ), b) oder c) und f 2 : f (x) 2 dx P (x) 2 dx. Beweis: Zum Beweis dieser Aussge benötigen wir ds folgende Lemm. Lemm.39 (Holldy Identität) Sei f C 2 (, b) mit f P 2 = 2 f 2 < und P S 3,2, dnn gilt: f 2 P 2 ( [(f (x) P (x))p (x) ] b x= n Dbei wurden die folgenden Abkürzungen benutzt: i= [ (f(x) P (x))p (x) ] x i x=x + i ). [g(x)] b x= = g(b) g(), [g(x)] x i x=x + i = lim g(x) lim g(x). Bechte : P ist unstetig! x xi x x i

38 KAPITEL. INTERPOLATION Beweis: Es ist f P 2 = = = f 2 2 f 2 f 2 P f P b + 2 2 P 2 2 n P 2 (f P i= )P (f p i )p i I } i {{} =:A i. Mit prtieller Integrtion folgt für A i : A i = x i (f p i )p i = [(f p i )p i ]x i x i x=x i = [(f p i )p i ]x i x=x i [(f p i )p i ]x i x + i + x i (f p i )p i x i x i (f p i )p (4) x i i. Es ist p (4) i n i= 0, d p i P 3 und [(f p i )p i ]x i = n p i C0 x=x i = i= n i= = n i= [(f P ]P ]x i x=x i [(f (x i ) p (x i))p (x i) (f (x i P (x i ))P (x i )] = (f (x n ) P (x n))p (x n) f (x 0 ) P (x 0))P (x 0) = [(f (x) P (x))p (x)]b x=. A i = [(f (x) P (x))p (x)]b x= n [(f(x) p i (x))p i (x)]x i x=x i. i= Also folgt die Holldy Identität. Beweis: (Fortsetzung des Beweises von Stz.38) In den 3 Fällen ), b), c) verschwindet der Term 2( ) in der Holldy Identität = 0 f P 2 = f 2 P 2. Stz.40 (Fehlerbschätzung) Sei eine Zerlegung von I mit h Kh i ( i n) für ein K > 0. Sei f C 4 (, b) mit f (4) < L für x (, b). Sei P S 3,2 mit P (x k ) = f(x k ) und P () = f (), P (b) = f (b). Dnn gilt für l = 0,, 2, 3 : Also insbesondere f (l) (x) P (l) (x) 2LKh 4 l. f(x) P (x) 2LKh 4. Beweis: (Ohne Beweis. Siehe z.b. Stoer, Bulirsch. Numerische Mthemtik. Berlin, Springer 2007.) Bsiswhl für den Splinerum S r,r : B-Splines

.7. SPLINE-INTERPOLATION 39 Ziel: Konstruktion einer einfchen Bsis von S r,r mit. positiven Bsisfunktionen für numerische Stbilität, 2. möglichst kleinem Träger. Definition.4 (B-Splines) Sei (t i ) i Z eine monoton nicht-fllende Folge mit lim t i = ±. Dnn sind die B-Splines i ± B i,k : R R vom Grd k N rekursiv definiert durch { : ti < x t B i,0 (x) = i+ 0 : sonst und mit B i,k = ω i,k (x)b i,k (x) + ( ω i+,k (x))b i+,k (x) ω i,k (x) = { x ti t i+k t i : t i < t i+k 0 : sonst. Beispiel: (k=0) B i,0 B i+,0 t i t i+ t i t i+ (k=) B i, B i+, t i t i+ t i+2 t i+3 t i t i+ t i+2 t i+3 t i+ = t i+2 n dieser Stelle unstetig B i, B i+, t i t i+ t i+2 = t i+3 t i t i+ = t i+2 t i+3 Abbildung.7: B-Splines Die Abb..7 zeigt 6 verschiedene Beispiele, die bei den B-Splines uftreten können.

40 KAPITEL. INTERPOLATION Stz.42 (Eigenschften der B-Splines) Sei (t i ) i Z eine monoton nicht-fllende Knotenfolge, wie in Definition.4. Dnn gilt: (i) B i,k [tj,t j+ ] P k i, j Z, k N, (ii) supp(b i,k ) [t i, t i+k+ ], flls t i < t i+k+ und B i,k 0, flls t i = t i+k+, (iii) B i,k 0, B i,k (x) =, x R (Zerlegung der ). i Z (iv) Flls i Z : t i < t i+, dnn ist B i,k C k und (B i,k ) i Z bildet eine Bsis von S k,k. ist in Abb..8 drge- Beweis: (Ohne Beweis) Beispiel Ein Vergleich der ngesprochenen Interpoltionen für f(x) = stellt. Die Spline-Interpoltion ergibt hier ds beste Ergebnis. x 2 +

.7. SPLINE-INTERPOLATION 4 2./(x*x+.) 2.5.5 0.5 0.5 0 0-0.5 0 2 3 4 5 x Polynomielle mit gleichmäßig verteilten Stützstellen -0.5 0 2 3 4 5 x Fehler der Interpoltion.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0./(x*x+.) 0.2 0. 0.08 0.06 0.04 0.02 0-0.02-0.04-0.06-0.08-0.2 0 2 3 4 5 x Tschebyschev-Interpoltion -0. 0 2 3 4 5 x Fehler der Interpoltion 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0../(x*x+.) 0.04 0.03 0.02 0.0 0-0.0-0.02-0.03 0 0 2 3 4 5 x Trigonometrische Interpoltion -0.04 0 2 3 4 5 x Fehler der Interpoltion 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0../(x*x+.) 0.025 0.02 0.05 0.0 0.005 0-0.005-0.0 0 0 2 3 4 5 x Spline-Interpoltion -0.05 0 2 3 4 5 x Fehler der Interpoltion Abbildung.8: Unterschiede einiger Interpoltionen

42 KAPITEL. INTERPOLATION

Kpitel 2 Numerische Integrtion Ziel: Approximtion von I(f) := ω(x)f(x)dx für f C k (, b) und für eine gegebene Gewichtsfunktion ω L (, b). Anstz: Approximiere I(f) durch eine Summe I n (f) := m j=0 m j Definition 2. (Qudrtur) Eine Funktionl I n : C k (, b) R der Form l=0 f (l) (x j )ω l j I n (f) := m j=0 m j l=0 f (l) (x j )ω l j heißt Qudrturformel mit den Stützstellen x j [, b] und den Gewichten ωj l R. Dbei ist m N und m j {,..., k + } und n + = m m j. j=0 Die Qudrtur heißt exkt für P n (bezüglich ω), g.d.w.. ist ds zu I n gehörende Fehlerfunktionl. I n (p) = I(p) p P n R(f) = I(f) I n (f) Bemerkung: Für die llgemeine Definition der Qudrtur vergleiche mit der Definition der Hermite Interpoltion. Im folgenden betrchten wir meistens Qudrturen der Form I n (f) = n ω l f(x l ), d.h. m j =. l=0 43

44 KAPITEL 2. NUMERISCHE INTEGRATION +b 2 b 0 00 000 000 000 +b 2 b Abbildung 2.: Beispiel 2. Beispiel 2.2 (ω ) Die Abbildung 2. verdeutlicht diese Beispiele: (i) Mittelpunktregel: I 0 (f) = (b )f ( ) +b 2. (ii) Trpezregel: I (f) = b 2 (iii) Simpsonregel: I 2 (f) = b 6 (f() + f(b)). ( ( f() + 4f +b ) ) 2 + f(b). Stz 2.3 Gegeben seien ω L (, b) und prweise disjunkte Stützstellen x 0,..., x n. Dnn existiert genu eine Qudrturformel der Form n I n (f) = ω j f(x j ), welche exkt ist uf P n. Dbei sind die Gewichte gegeben durch wobei L n j (x) = n l=0 l j (x x l ) (x j x l ) ω j := j=0 ω(x)l n j (x)dx, die Lgrnge Polynome sind. Beweis: I n exkt uf P n I n (p) = I(p) p P n I n (L n l ) = I(Ln l ) für l = 0,..., n; d I n, I liner und L n l Bsis von P n ω(x)l n l (x) = n ω j L n l (x j) = ω l, d L n l (x j) = δ lj. Bemerkung: Es ist Ij=0 n (f) = I(p n ), wobei p n P n ds eindeutig bestimmte Interpoltionspolynom zu (x 0, f(x 0 )),..., (x n, f(x n )) ist:

I n (f) = n ω l f(x l ) = n = l=0 ω(x) l=0 n L n l (x)f(x l) dx = l=0 } {{ } p n(x) Definition 2.4 Eine Qudrturformel I n (f) = ω(x)l n l (x)f(x l)dx n l=0 ω(x)p n (x)dx = I(p n ). 45 ω l f(x l ) zu gegebenen Stützstellen x 0 < x <... < x n b und Gewichtsfunktion ω L (, b) heißt Interpoltionsqudrtur, wenn sie uf P n exkt ist. Nch Stz 2.3 ist sie eindeutig. Stz 2.5 Seien x 0,..., x n [, b] und ω L (, b) gegeben mit den Symmetrieeigenschften (i) x j = b x n j (0 j n) (Symmetrie bzgl. +b 2 ) (ii) ω(x) = ω( + b x) (x [, b]) (gerde Funktion bzgl. +b 2 ) Dnn gilt ω n j = ω j (0 j n), d.h. die Interpoltionsqudrtur ist symmetrisch. Flls n gerde ist, so ist I n exkt uf P n+. Beweis: Sei Ĩn(f) := n ω n j f(x j ). Dnn gilt Ĩn(p) = I n (p) p P n. Dmit ist ber Ĩn exkt uf j=0 P n und nch Stz 2.3 gilt Ĩn = I n und folglich ω n j = ω j. Sei nun n = 2m und dmit x m = +b 2 wegen i). Sei p n P n ds Interpoltionspolynom zu (x 0, f(x 0 )),..., (x n, f(x n )) und sei q n+ P n+ ds Hermite Interpoltionspolynom zu (x 0, f(x 0 )),..., (x m, f(x m )), (x m, f(x m )), (x m, f (x m )), (x m+, f(x m+ )),..., (x n, f(x n )). Mit und N(x) = n (x x l ) P n+ definiere l=0 c := f (x m ) p n(x m ) n (x m x l ) l=0 l m q n+ (x) := p n (x) + cn(x). Dnn ist q n+ P n+ und q n+ (x l ) = p n (x l ) + cn(x l ) = f(x l ) + 0. Weiter folgt q n+(x m ) = p n(x m ) + c n (x m x l ) = f (x m ). l=0 l m Wegen der Eindeutigkeit der Hermite Interpoltion gilt dher q n+ = q n+. Es gilt wegen i): N(x) = m (x x l ) ( x +b ( ) n+ N(x) = N(x). l=0 2 ) m (x ( + b x l )) und somit folgt N( + b x) = l=0

46 KAPITEL 2. NUMERISCHE INTEGRATION Wegen ii) gilt dmit: ω(x)n(x)dx = t=+b x = = x m ω(x)n(x)dx + ω(x)n(x)dx x m x m ω(x)n(x)dx ω( + b t)n( + b t)dt x m x m x m ω(x)n(x)dx + ω(t)( N(t))dt = 0. Wir erhlten: f. q n+ (x)ω(x)dx = p n (x)ω(x)dx = I(p n ) = I n (f), d p n Interpoltionspolynom zu Sei nun f P n+ = f = q n+ und dher I n (f) = I(q n+ ) = I(f). Stz 2.6 (Fehlerbschätzung) Sei I n eine Interpoltionsqudrtur (I.Q.) uf P n (, b) mit Gewichtsfunktion ω. R n (f) := I n (f) I(f) sei ds zugehörige Fehlerfunktionl. Dnn gilt: (i) R n (f) f (n+) (n+)! (b ) n+2 für lle f C n+ (, b), flls n ungerde ist, (ii) R n (f) f (n+2) (n+2)! (b ) n+3 für lle f C n+2 (, b), flls n gerde ist und die Bedingung i) us Stz 2.5 erfüllt ist. Beweis: (i) Es ist I n (f) = I(p n ), wobei p n P n ds Interpoltionspolynom zu den Dten (x i, f(x i )), i = 0,..., n ist. = R n (f) = Stz 4.4 = b (f p n ) f(x) p n (x) dx (x x k ) dx f (n+) (ξ x) n (n+)! k=0 f (n+) (n+)! (b ) n+2 (ii) Aus dem Beweis vom Stz 2.5 folgt: I n (f) = I(q n+ ). Dnn folgt die Behuptung mit Stz 4.9. Bemerkung:. Die Abschätzungen lssen sich leicht verllgemeinern uf den Fll ω L (, b). n 2. Die Abschätzung (x x k ) (b )n+2 knn für gegebene x 0,..., x n deutlich verbessert k=0 n werden zu (x x k ) K(b )n+2 mit K. k=0

47 Stz 2.7 (Koordintentrnsformtion) Sei În( ˆf) = durch n k=0 ˆω k ˆf(tk ) mit t k [, ] eine I.Q. uf dem Einheitsintervll [, ]. Dnn wird I n (f) := n ω k f(x k ) mit ω k = b ˆω k, x k = b 2 2 t k + b + 2 eine I.Q. uf dem Intervll [, b] definiert. Gilt für ds Fehlerfunktionl ˆR n zu În die Abschätzung R n (f) K zu I n : R n (f) = K f (m) (b ) m+. k=0 ˆf (m) 2 m+, so gilt für R n Beweis: Sei p P n und ˆp(t) = p(x(t)) mit x(t) := b 2 t + b+ 2. D x(t) liner ist, gilt ˆp P n und I(p) = p(x)dx = Dher ist I n exkt uf P n und I n (f) = b 2 = (b )2 2 = n k=0 p(x(t))x (t)dt ˆp ( t)dt = b 2 În(ˆp) b 2 ˆω k ˆp(t k ) = n ω k p(x k ) = I n (p). k=0 Iˆ n ( ˆf) mit ˆf(t) = f(x(t)). Es ist dnn ˆf (t) = x (t)f (x(t)) = b 2 f (x(t)) und induktiv ˆf (m) (t) = ( ) b m 2 f (m) (x(t)). Also folgt ˆf (m) = 2 m (b ) m f (m) (x(t)). = R n (f) = Bemerkung: = b 2 [ ˆf)] f(x)dx I n (f) = b 2 ˆf(t)dt În( ˆR n ( ˆf) b ˆf (m) K2 m+ = (b ) m+ f (m) K. 2. Es reicht lso us I.Q.en uf [, ] zu konstruieren. Zu t 0 <... < t n wird durch ˆω j := n k=0 k j t t k t j t k dt die I.Q. für ω = uf [, ] zu P n definiert. Mit (ω j, x j ) n j=0 I.Q. uf [, b] definiert. wie im Stz 2.7 wird dnn die

48 KAPITEL 2. NUMERISCHE INTEGRATION 2. D für jede I.Q. I n () = (b ) gilt, muss n ω k = (b ) gelten. k=0 3. Wie bei der Polynominterpoltion treten Probleme für große Werte von n uf, wie z.b. negtive Gewichte. Dher geht mn dzu über, Qudrturen uf Teilintervllen ufzusummieren: k=0 f(x)dx = N i= i i f(x)dx = 0 <... < N = b Stz 2.8 (Zusmmengesetze Qudrturen) Sei În( ˆf) = n ˆω k ˆf(tn ) eine I.Q. uf [, ] mit ˆR n ( ˆf) K ˆf (m) 2 m+. Zu < b, N N setze l := + lh, l = 0,..., N mit H := b N. Dnn ist I h (f) := H N n ˆω k f 2 l= k=0 eine Qudrturformel mit der Abschätzung R h (f) := I(f) I h (f) K f (m) (b )H m. ( ) H 2 (t k ) + + lh Beweis: Wir wenden Stz 2.7 uf [ l, l ] n: = I l n(f) := n = H 2 k=0 l l n k=0 2 ˆω k f Also gilt I h (f) = N In(f) l und es folgt: l= ( ) l l 2 t k + l+ l 2 ŵ k f ( H 2 (t k ) + + lh ). R h (f) N Rn(f) l Stz 2.7 K f (m) N ( l l ) m+ l= 2. Newton-Cotes Formeln = K f (m) NH }{{} H m. =(b ) Die Newton-Cotes Formeln sind I.Q.en mit äquidistnten Stützstellen x k = + kh, h = b n. Als offene Newton-Cotes Formeln bezeichnet mn I.Q.en zu äquidistnten Stützstellen x k = + (k + )h, h = b n+2, d.h. die Rndpunkte, b sind keine Stützstellen.. n = (Trpezregel) x 0 =, x = b, ω 0 = T (f) = I (f) = b 2 R T (f) f 2 = f 2 x b b bdx = 2, ω = b 2, (f() + f(b)) (vgl. Abb. 2.). x x b (b ) 3 6 = f 2 (b ) 3. l=

2.2. GAUß-QUADRATUREN 49 2. n = 2 (Simpson-Regel) x 0 =, x = +b 2, x 2 = b, ω 0 = ω 2 = b 6, ω = 2(b ) S(f) = I 2 (f) = b ( ( 6 f() + 4f +b ) ) 2 + f(b), R S (f) f (4) 2880 (b ) 5 3, Zusmmengesetze Newton-Cotes Formeln. Zusmmengesetze Trpezregel (Stz 2.8, n =, h = H) T h (f) = h 2 ( N [f( + lh h) + f( + lh)] = h 2 f() + 2 N ) f( + lh) + f(b), l= R h (f) f 2 (b )h 2. 2. Zusmmengesetze Simpson-Regel (Stz 2.8, n = 2, h = H 2, x i := + ih) ( S h (f) = h 3 f() + 2 N f(x 2l ) + 4 N l= R n (f) f (4) 80 (b )h 4. l= ) f(x 2l ) + f(b), Bemerkung: Bei den Newton-Cotes Formeln bleiben die Gewichte bis n = 6 positiv. Dei den offenen Newton-Cotes Formeln nur bis n = 2. 2.2 Guß-Qudrturen l= Idee: Wir suchen eine Qudrtur Q n, welche für P m mit möglichst großem m exkt ist. Dies ist nicht möglich für m = 2n + 2 (Gegenbeispiel konstruierbr). Aber für m = 2n + wird dies mit der Guß-Qudrture (G.Q.) erreicht. Definition 2.9 (Guß-Qudrturen) Sei ω L (, b) gegeben. Eine Qudrturformel Q n : C([, b]) R, Q n (f) := n heißt Guß-Qudrtur, flls Q n exkt ist uf P 2n+. k=0 ω k f(x k ) Stz 2.0 Sei ω L (, b) und eine Qudrtur Q n (f) := Dnn sind äquivlent: (i) Q n ist Guß-Qudrtur. (ii) Q n ist Interpoltionsqudrtur und n k=0 ω k f(x k ) gegeben. Setze p n+ (x) := ω(x)p n+ (x)q(x)dx = 0 q P n. n k=0 (x x k ).

50 KAPITEL 2. NUMERISCHE INTEGRATION Beweis: (i) = (ii) : Sei q P n. Dnn ist ω(x)p n+ (x)q(x)dx = Q n (p n+ q) = n k=0 ω k p n+ (x k ) }{{} q(x k ) = 0. =0 nch Def. (ii) = (i) : Sei p P 2n+. Mit Polynomdivision gilt: p = qp n+ + r mit q, r P n. Dmit folgt Definition 2. ω(x)p(x)dx = ( ω(x) q(x)p n+ (x) }{{} =0 Vor. (ii) = 0 + ω(x)r(x)dx = 0 + Q n (r) = Q n (p n+ q) + Q n (r) = Q n (p). ) +r(x) dx (i) Eine Funktion ω L (, b) heißt zulässige Gewichtsfunktion, flls gilt ω 0 und w(x)dx > 0. (ii) Ist ω eine zulässige Gewichtsfunktion, so wird durch p, q ω := ein Sklrprodukt uf P n definiert. ω(x)p(x)q(x)dx Stz 2.2 Sei ω eine zulässige Gewichtsfunktion. Dnn liefert die durch ds Grm-Schmidtsche Orthogonlisierungsverfhren definierte Folge (p n ) n N x n+, p i p n+ (x) = x n+ n i=0 ω p i, p i ω p i (x), p 0 = ds eindeutig bestimmte normierte Polynom p P n+ der Form n ( ) p(x) = (x x k ) x k C, 0 k n mit k=0 ( ) p, q ω = 0 q P n. Außerdem ist {p 0, p,..., p n+ } eine Orthogonlbsis von P n+ bezüglich, ω.

2.2. GAUß-QUADRATUREN 5 Beweis: (Induktion über n) n = 0 : klr. n n : Sei {p 0,..., p n } eine Orthogonlbsis von P n. Setze } P n := {p P n+ p, q ω = 0 q P n = dim(p n ) =. D ( ) verlngt, dss der Koeffizient vor x n+ gleich ist, gibt es genu ein p P n+, welches ( ) und ( ) erfüllt. Nch Konstruktion ist p = p n+, d p n+, p k ω = 0 0 k n. Also folgt p n+, q ω = 0 q P n. Stz 2.3 Sei ω eine zulässige Gewichtsfunktion. Dnn gilt: die Nullstellen x 0,..., x n von p n+ us Stz 2.2 sind reell, einfch und liegen im Intervll (, b). Beweis: Wir setzen: q(x) =, k =, flls es keine reelle Nullstelle ungerder Vielfchheit von p n+ in (, b) gibt, q(x) = k (x x j ) ndernflls, wobei x j, 0 j k lle solche Nullstellen sind. j=0 Zu zeigen: k = n und somit q = p n+. Annhme: k < n: Nch Definition ht p := p n+ q kein Vorzeichenwechsel in (, b). D k < n, folgt q P n und somit p n+, q ω = 0 = ωp n+ q = 0 (fst überll) und somit ω = 0 (fst überll). Dies ist ein Widerspruch zur Definition von ω. Stz 2.4 Sei ω eine zulässige Gewichtsfunktion. Dnn gibt es genu eine G.Q. Q n für ω, nämlich die, deren Stützstellen x 0,..., x n die Nullstellen von p n+ us Stz 2.2 sind und deren Gewichte definiert sind durch mit Es gilt ω j > 0 j. ω j := L j (x) := ω(x)l j (x)dx n k=0 k j (x x k ) (x j x k ) Beweis: Folgt us den Sätzen 2.0, 2.2, 2.3 und us dem Stz 2.3. Noch zu zeigen: ω j > 0 j : D L 2 j P 2n ist, folgt: 0 < ω(x)l 2 j(x)dx = Q n (L 2 j) = k=0 n ω k L 2 j(x k ) = ω j.

52 KAPITEL 2. NUMERISCHE INTEGRATION Stz 2.5 (Deutung der Guß-Qudrtur ls Interpoltionsqudrtur) Seien p ds eindeutige bestimmte Polynom in P 2n+ mit den Eigenschften p(x i ) = f(x i ), p (x i ) = f (x i ) für i = 0,..., n und x i die Nullstellen von p n+. Dnn gilt: Q n (f) = Q n (p) = I(p). Beweis: (Übungsufgbe) Folgerung 2.6 Für f C 2n+2 (, b) gibt es ein ξ (, b) mit I(f) Q n (f) = f (2n+2) (ξ) (2n+2)! p n+, p n+ ω Beweis: (Übungsufgbe) Bemerkung: Die G.Q.en sind für stetige Funktionen uf kompkten Intervllen konvergent bei Grderhöhung, d.h. I(f) Q n (f) n 0. Beispiel 2.7. Guß-Legendre-Qudrtur ω(x) =, [, ]. Es gilt p n (x) =, P (x) = x, und Es gilt: I(f) Q n (f) = 22n n+ Für n = : Q (f) = f n = 2 : Q 2 (f) = 9 (2n)! 2 n (n!) 2 P n (x), wobei P n (x) die Legendre-Polynome sind mit P 0 (x) = P n+ (x) = 2n + n + xp n(x) n n + P n (x). 2n+2 (n!) 4 ((2n+)!) 3 f (2n+2) (ξ). ( ) ( ) 3 + f 3 ( 2-Punkt-Guß-Qudrtur ). ( ( 5f 3 5 ) ( + 8f(0) + 5f 3 5 )). Die G.Q. uf [, b] erhält mn durch Koordintentrnsformtion (vgl. 2.7). 2. Guß-Tschebyscheff-Qudrtur ω(x) = x 2, [, ]. p n (x) = 2 n T n (x) und T n die Tschebyscheff-Polyome. Art mit T 0 (x) =, T (x) = x und = T n (x) = cos(n rccos(x)). Nullstellen von p n+ : x (n) j Gewichte: ω (n) j = π n+. Fehler: I(f) Q n (f) = = cos T n+ (x) = 2xT n (x) T n (x), ( ) 2j+ 2n+ π π 2 2n+ (2n+2)! f (2n+2) (ξ). j = 0,..., n.

2.2. GAUß-QUADRATUREN 53 3. Guß-Lguerre-Qudrtur ω(x) = e x, [0, ). p n (x) = ( ) n L n (x) und L n Lguerre-Polynome mit L 0 (x) =, L (x) = x und Fehler: I(f) Q n (f) = n+ 2 4. Guß-Hermite-Qudrtur L n+ (x) = ( + 2n x)l n (x) n 2 L n (x). (n!) 2 (2n+)! f (2n+2) (ξ). ω(x) = e x2, (, ). p n (x) = 2 n H n (x) und H n die Hermite Polynome mit H 0 (x) =, H (x) = 2x und Fehler: I(f) Q n (f) = 5. Guß-Jcobi-Qudrtur H n+ (x) = 2xH n (x) 2nH n (x). πn! 2 n+ (2n+)! f (2n+2) (ξ). α, β >, ω(x) = ( x) α ( + x) β, [, ]. p n (x) = J n (x, α, β) und J n (x, α, β) sind die Jcobi-Polynome, definiert durch J n (x, α, β) := ( (x 2 2 n n!ω(x) dx n ) n ω(x) ). d k Definition 2.8 (Zusmmengesetze Guß-Qudrturen) Zu < b, N N setze l := + lh, l = 0,..., N mit H := b. Sei N Ql n(f), n N eine Guß-Qudrtur uf [ l, l ], dnn ist durch Q h (f) := N Q l n(f) l= eine zusmmengesetzte Guß-Qudrtur definiert. Beispiel: (Zusmmengesetze 2-Punkt G.Q. mit n =, ω = ) Setze h = b N, l = + lh für l = 0,..., N. Dnn ist die zusmmengesetze 2-Punkt G.Q. gegeben durch Q h (f) = h N ( f(j + h ) + f( j+ h ) ) 2 mit h = h 2 ( 3 ). j=0

54 KAPITEL 2. NUMERISCHE INTEGRATION 2.3 Romberg Verfhren Idee: Anwendung der Richrdson Extrpoltion uf eine zusmmengesetze Qudrturformel, d.h. (h) = T h (f) wobei h k = h 0 2 k gewählt wird (Romberg Folge). Besonders geeignet ist die zusmmengesetze Trppezregel T h (f), d sie eine sympotische Entwicklung in h 2 erlubt, d.h. q = 2 in Stz 4.23. Um dies zu beweisen, führen wir zunächst die Bernoulli Polynome ein. Definition 2.9 (Bernoulli Polynome/Zhlen) Die durch B 0 (t) = und x B k(t) = B k (t), heißen Bernoulli Polynome. Es ist lso 0 B k (t)dt = 0, k, definierten Polynome B 0 (t) =, B (t) = t 2, B 2(t) = 2 t2 2 t + 2,... Die Bernoulli Zhlen sind gegeben durch B k := k! B k (0). Lemm 2.20 (Eigenschften der Bernoulli Polynome) Für die Bernoulli Polynome gilt: (i) B k (0) = B k () für k 2, (ii) B k (t) = ( ) k B k ( t) für k 0, (iii) B 2k+ (0) = B 2k+ ( 2) = B2k+ () = 0 für k. Beweis: (ohne Beweis) Stz 2.2 (Euler-McLurin sche Summenformel) Sei f C 2m (, b), m N und h := b n, n N. Dnn gilt: T h (f) = m f(x)dx + h 2k B ( ) 2k f (2k ) (b) f (2k ) () + O(h 2m ). (2k)! k=

2.3. ROMBERG VERFAHREN 55 Beweis: Sei ϕ C 2m (0, ) beliebig. Dnn gilt mit B = B 0, B () = 2, B (0) = 2 : 0 ϕ(t)dt = 0 B 0 (t)ϕ(t)dt = [B (t)ϕ(t)] t=0 B (t)ϕ (t)dt 0 = 2 (ϕ() + ϕ(0)) [B 2(t)ϕ (t)] t=0 + B 2 (t)ϕ (t)dt 2.20.i 0 = 2 (ϕ() + ϕ(0)) B 2(0) (ϕ () ϕ (0)) + [ B 3 (t)ϕ (t) ] B t=0 3 (t)ϕ (t)dt }{{} 0 =0 2.20.iii = m (ϕ() ϕ(0)) B 2k (0) ( ϕ (2k ) () ϕ (2k ) (0) ) + B 2m (t)ϕ (2m) (t)dt = 2 k= Setze ϕ j (t) := hf(x j + th), j n, dnn gilt: x j ϕ j (t)dt = f(x)dx, 0 x j ϕ (k ) j (t) = h k f (k ) (x j + th), ϕ j () = hf(x j ) = ϕ j+ (0), ϕ (2k ) j () = ϕ (2k ) j+ (0). 0 Dher gilt: x j f(x)dx = n f(x)dx = n j=x j j= = n j= + n = n j= 2 (ϕ j(0) + ϕ j ()) n j= 0 + n 0 B 2m (t)ϕ (2m) j (t)dt ϕ j (t)dt m j= k= h 2 (f(x j) + f(x j )) m j= 0 k= ( B 2k (0) ( B 2k (0) B 2m (t)h 2m+ f (2m) (x j + th)dt ϕ (2k ) j ϕ (2k ) k = T h (f) m B 2k (0) ( f (2k ) (b) f (2k ) () ) h 2k [ k=0 ] +h 2m h m B 2m (t)f (2m) (x j + (h))dt. j= 0 ) () ϕ (2k ) j (0) ) () ϕ (2k ) k (0) Der letzte Term ist O(h 2m ), flls [ ] durch eine Konstnte unbhängig von h bgeschätzt werden knn. Wir erhlten h n B 2m (t)f (2m) (x j (h))dt h n B 2m j= 0 f(2m) j= = n h B 2m f (2m) = (b ) B 2m f (2m) = konstnt.

56 KAPITEL 2. NUMERISCHE INTEGRATION Bemerkung: Die Summenformel zeigt die ssymptotische Entwicklung und dss die Trpezregel uch ohne Extrpoltion sehr gut für die Integrtion periodischer Funktionen geeignet ist.

2.3. ROMBERG VERFAHREN 57 Definition 2.22 (Experimentelle Konvergenzordnung (EOC )) Sei f C k (, b) und I : C k (, b) R ein Funktionl, I h eine Qudrturformel, die I uf einer Zerlegung der Feinheit h pproximiert. Gelte h > h 2. Die experimentelle Konvergenz EOC (e h h 2 ) (engl. experimentl order of convergence) für den Fehler e h := I(f) I h (f) ist definiert durch EOC (e h h 2 ) := ( eh log ( ). h log h 2 e h2 ) Bemerkung: Für h 0 verhält sich der Fehler wie h p, wobei p vom ngewndten Verfhren bhängt. Mit der EOC ht mn die Möglichkeit, p numerisch zu bestimmen. Beispiel 2.23 (Fehler der Approximierung der Integrtion) Gegeben seien I = [0, ] und f(x) := x+, g(x) := 3 2 x. Es gilt 0 x+ dx = ln(2), 0 3 2 xdx =. Die Abbildung 2.2 ziegt ds Verhlten des Approximtionsfehlers von 4 Verfhren: Trpezregel (rot), Simposon-Regel (grün), zwei-punkt Qudrtur (blu) und Romberg Verfhren (lil). Typ ist der Fehler im Vergleich zu der Anzhl der Funktionuswertungen, im Prinzip ein Mß für den Berechnungsufwnd. Typ 2 ist der Fehler im Vergleich zu h, d.h. zu der Unterteilung bei den zusmmengesetzen Qudrturen. Typ 3 ist die EOC im Verhältnis zu h.

58 KAPITEL 2. NUMERISCHE INTEGRATION 0.0 0.000 Trpezregel Simpsonregel 2. Pkt. Guss Romberg 0.0 0.000 e-06 e-06 error e-08 error e-08 e-0 e-0 e-2 e-4 e-6 0 00 000 Function evlutions e-2 Trpezregel e-4 Simpsonregel 2. Pkt. Guss Romberg e-6 0.00 0.0 0. f Typ f Typ 2 h 0 9 Trpezregel Simpsonregel 2. Pkt. Guss Romberg 8 7 eoc 6 5 4 3 2 0.00 0.0 0. h f Typ 3 0. 0.0 Trpezregel Simpsonregel 2. Pkt. Guss Romberg 0. 0.0 0.00 0.00 error error 0.000 0.000 e-05 e-06 0 00 000 Function evlutions e-05 Trpezregel Simpsonregel 2. Pkt. Guss Romberg e-06 0.00 0.0 0. g Typ g Typ 2 h.7.65 Trpezregel Simpsonregel 2. Pkt. Guss Romberg.6 eoc.55.5.45.4 0.00 0.0 0. h g Typ 3

Kpitel 3 Numerik Gewöhnlicher Differentilgleichungen 3. Einleitung Viele Frgestellungen us den Nturwissenschften, der Ökonomie und Medizin führen uf mthemtische Probleme, die numerisch gelöst werden müssen. In dieser Vorlesung wird die Theorie und Prxis grundlegender numerischer Algorithmen zur Behndlung gewöhnlicher Differentilgleichungen behndelt. Dzu gehören Einschritt- und Mehrschrittverfhren zur Approximtion von Anfngswertproblemen, sowie Finite Differenzen und Finite Elemente Verfhren zur Diskretisierung von Rndwertproblemen. Weitere Themen sind Grdientenverfhren, Eigenwertprobleme und Grundzüge der Approximtion. Beginnen wir mit ein pr Grundbegriffen und Beispielen zu gewöhnlichen Differentilgleichungen: Definition 3. (Gewöhnliche Differentilgleichung) Seien n N und I R ein Intervll und F : I R n+ R gegeben. Unter einer sklren gewöhnlichen Differentilgleichung (DGL) n-ter Ordnung für eine Funktion y C n (I) versteht mn eine Gleichung der Form F (x, y(x), y (x), y (x),..., y (n) (x)) = 0, (x I). (3.) Flls eine Funktion f : I R n R existiert, so dss (3.) in der Form y (n) (x) = f(x, y(x), y (x), y (x),..., y (n ) (x)), (x I) (3.2) geschrieben werden knn, so heißt (3.) explizit (sonst implizit). Ein Funktion y C n (I), die (3.) erfüllt, heißt Lösung der gewöhnlichen Differentilgleichung. Beispiel 3.2 (Freier Fll/Grvittion) Sei t I := [0, ] die Zeit, x(t) R der Ort eines Mssepunktes zur Zeit t, v(t) = x (t) die Geschwindigkeit des Mssepunktes und (t) = v (t) = x (t) die Beschleunigung des Mssepunktes, sowie K = K(t, x(t), v(t)) eine äußere Krft, die uf den Mssepunkt wirkt. 59

60 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Newtonsches Krftgesetz: mx (t) = K(t, x(t), x (t)), = x (t) = m K(t, x(t), x (t)). (3.3) Für gegebene Krft K ist (3.3) eine explizite DGL zweiter Ordnung. A) Freier Fll ohne Luftwiderstnd: Erbeschleunigung: g = 9.8 m s 2 Einsetzen in (3.3) ergibt: = K(t, x(t), x (t)) = mg. x (t) = mg = g, m = x (t) = gt + c, = x(t) = 2 gt2 + c t + c 2, mit c, c 2 R. Die Lösung dieser DGL ist lso nicht eindeutig bestimmt. B) Freier Fll mit Luftwiderstnd: Hier ist die Krft gegeben durch: K(t, x(t), x (t)) = σx (t) mg, mit σ > 0. Wir erhlten die DGL: x (t) = σ m x (t) g. Mit x (t) = v(t) ergibt sich eine DGL erster Ordnung für v: Die Funktionen v(t) = c exp( σ mg mt) σ v (t) = σ v(t) g. (3.4) m sind für lle c R Lösungen von (3.4), denn v σ (t) = c m exp( σ m t), und σ m v(t) g = c σ m exp( σ mt) + g g. Bemerkung: Mn knn zeigen, dss lle Lösungen von (3.4) von dieser Form sein müssen. Für die Lösung von (3.3) gilt nch Integrtion: Auch hier ist die Lösung nicht eindeutig. m x(t) = c σ exp( σ mg t) m σ t + c 2. C) Freier Fll us großer Höhe: D sich die Grvittion mit der Höhe ändert, müssen wir in diesem Fll ds Grvittionsgesetz nsetzen ls: K(t, x(t), x (t)) = mg R2 x 2 (t) Dbei bezeichnet R den Erddurchmesser. Wir erhlten die explizite DGL zweiter Ordnung: x (t) = g R2 x 2 (t). (3.5)

3.2. EXKURS ZUR THEORIE GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 6 Anst zur Lösung: x(t) = t b. Dmit erhlten wir: x (t) = bt b und x (t) = b(b )t b 2. Einsetzen in (3.5) ergibt: b(b )t b 2 = gr 2 2 = gr2 t2b 2 t 2b. Also muß gelten:.) b 2 = 2b = b = 2 3, 2.) b(b ) = gr2 2 = = ( ) 9gR 2 /3. 2 Also ist eine Lösung von (3.5). ( 9gR 2 x(t) = 2 ) /3t 2/3 Beispiel 3.3 Für die explizite DGL erster Ordnung y (x) = x 2 + (y(x)) 2 knn keine lösung in geschlossener Form ngegeben werden. Es existieren jedoch Lösungen! Bemerkung: Wir hlten fest:. Die Bestimmung einer Lösung (in Formelgestlt) ist sehr oft nicht möglich. 2. Flls eine lösung existiert, ist sie i.a. nicht eindeutig. 3. Die freien Konstnten (c, c 2,... ) können durch zusätzliche Bedingungen festgelegt werden: Anfngswerte oder Rndwerte. In diesem Kpitel werden wir uns mit numerischen Verfhren zur Lösung von gewöhnlichen Differentilgleichungen beschäftigen. Dbei werden wir uns zunächst mit Anfngswertproblemen useinndersetzen. 3.2 Exkurs zur Theorie gewöhnlicher Differentilgleichungen Definition 3.4 (Anfngswertproblem (AWP)) Sei folgende Vorussetzung erfüllt: (V) Seien I := [, b], b <, G R n zusmmenhängende und offene Teilmenge (Gebiet), S := I G und f : S R n stetig und y 0 G. Dnn heißt y : I R n Lösung des AWP, g.d.w. (i) y C (I, R n ) und y(i) G (ii) y (x) = f(y, y(x)) x I (iii) y() = y 0

62 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Stz 3.5 Unter der Vorussetzung (V) sind folgende Aussgen äquivlent: ) y : I R n löst (AWP). b) y C 0 (I, G) und y(x) = y 0 + x f(s, y(s))ds x I. Beweis: siehe Ü.A. Definition 3.6 (Picrd-Lindelöf Itertion) Definiere Opertor T : C 0 (I, R n ) C 0 (I, R n ) durch (T y)(x) := y 0 + Dnn ist 3.2 b) äquivlent zu T y = y. x f(s, y(s))ds. Fixpunktitertion: y (0) C 0 (I, R n ) gegeben, y (n+) = T y (n). Frge: Wnn konvergiert diese Itertion? Stz 3.7 (Picrd-Lindelöf, lokle Version) Es gelten die Vorussetzungen (V). Erfüllt f uf S die Lipschitzbedingung (L) f(x, y) f(x, z) L y z (x, y), (x, z) S, so ht ds AWP lokl eine eindeutige Lösung ỹ, d.h. ε > 0, ỹ C (I ε, R n ) mit ỹ löst AWP uf I ε := [, + ε]. Beweis: Es ist (T y)(x) (T z)(x) (L) x L y(s) z(s) ds L y z (x ) Lε y z, für x I ε. Wähle ε > 0, so dss Lε <. Dnn folgt, dss T Kontrktion ist und die Aussge folgt mit dem Bnchschen Fixpunktstz. Stz 3.8 (Picrd-Lindelöf, globle Version) Gelte (V) und (L). Erfüllt f uf S die Bedingung (M) f(x, y) M (x, y) S und G erfülle zusätzlich G B σ (y 0 ) := {x R n x y 0 σ}, wobei σ (b )M sei. Dnn gilt: ) Ds AWP ht uf I genu eine Lösung ỹ. b) x I gilt (x, ỹ(x)) K M = K M (, y 0 ) := {(x, y) R R n y y 0 M x } S (siehe Abb. 3.)).

3.2. EXKURS ZUR THEORIE GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 63 y 0 00 000 0000 000000 K 0000000 M 00000000 000000000 000000000 000000000 0000000 000000 0000 00 x Abbildung 3.: Picrd-Lindelöf: Grfische Drstellung von K M. c) Die Fixpunktitertion von Picrd-Lindelöf konvergiert gleichmäßig uf I gegen ỹ. Für den Fehler gilt: ỹ(x) y (k) (x) Lk (x ) k e L(x ) x I. k! Beweis: siehe Ü.A. Stz 3.9 (Stz von Peno) Sei S ein Rechteckgebiet, ds K M (, y 0 ) enthält und es gelten (V) und (M). Dnn ex. eine Lösung ỹ des AWP uf I. Beweis: (siehe z.b. Wlter [9]) Lemm 3.0 (Lemm von Gronwll) Sei p, q C 0 ([, b]) mit p, q 0. Erfüllt die Funktion e : [, b] R die Integrlbedingung so gilt: 0 e(x) p(x) + 0 e(x) p(x) + x x q(s)e(s)ds x [, b], ( x ) q(s)p(s) exp q(t)dt ds. s Beweis: siehe Ü.A. Stz 3. (Stetigkeitsstz für AWP) Es gelten die Vor. (V) und (L). Sei ỹ Lösung des AWP und z sei Lösung des gestörten AWP: z (x) = f(x, z(x)) + ε(x), z() = z 0 G. Gelte z 0 y 0 ε und sei ε(x) C 0 (I, R n ) mit ε(x) ε x I. Dnn gilt: z(x) ỹ(x) ( ε + ε(x ))e L(x ).

64 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Beweis: Folgt direkt us 3.7 mit e(x) := z(x) ỹ(x). x x = e(x) = z 0 + f(τ, z(τ)) ε(τ)dτ y 0 f(τ, ỹ(τ))dτ x z 0 y 0 + ε(x ) + L e(τ)dτ Aus dem Lemm von Gronwll folgt: t = p(t) + q(τ)e(τ)dτ mit p(τ) = ε + ε(x ), q(τ) = L e(x) ε + ε(x ) + L x ( ε + ε(τ ))e L(τ ) dτ. Durch Berechnung des Integrls folgt die Behuptung. Stz 3.2 Methode der Trennung der Vriblen Läßt sich die Differentilgleichnung y = f(x, y) ls y = p(x) q(y) gilt: y(x) ist gegeben durch F (x, y(x)) = konst dq schreiben und ist dx = dp dy erfüllt, so mit F (x, y) = x y p(t)dt + q(s)ds. y 0 Beweis: Nchrechnen. Definition 3.3 (Linere AWP) Sei I = [, b]. Gesucht y C (I, R): (L-AWP) y (x) = αy(x) + β, y() = y 0 α, β R Die Lösung des homogenen AWPs z = αz, z() = z 0 ist dnn gegeben durch z(x) = z 0 e α(x ). Durch Vrition der Konstnten folgt: Anstz: y(x) = z(x)v(x) = y(x) = ( β α + y 0)e α(x ) β α. Anwendung: Bkterienwchstum y 0 ˆ= # Bkterien m Anfng, β > 0 Sterberte, α > 0 Wchstumsfktor. Ds qulittive Verhlten der Lösung ist in Abb. 3.2 drgestellt.

3.2. EXKURS ZUR THEORIE GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 65 y b "kritische Popultion" y 0 Abbildung 3.2: Linere (AWP):Anwendung, Bkterienwchstum. x Definition 3.4 (Systeme linerer AWP) Sei I = [, b] und A R n n digonlisierbr, y 0, B R n. Gesucht y C (I, R n ): (SL-AWP) y (x) = Ay(x) + B y() = y 0 Wir definieren die Mtrixexponentielle exp(a) durch exp(a) := k=0 A k k!. Dnn löst uch hier z(x) = z 0 exp(a(x )) ds homogene System z = Az, z() = z 0. Eine Lösung von SL-AWP erhält mn durch Vrition der Konstnten mit dem Anstz: y(x) = exp(a(x ))v(x). Definition 3.5 (Differentilgleichungen höherer Ordnung) Geg: I = [, b] ; G R m Gebiet; S = I G, f : S R. Ges: y C m (I, R n ) ; y (k) (I) P k (G) ; P k Projektion y (m) (x) = f(x, y (x),..., y (m ) (x)) x I, y (k) () = y (k) 0 P k (G), k = 0,..., m. Reduktion uf System. Ordnung: Setze y k := y (k) ; k = 0,..., m und F (x, y 0,..., y m )=(y 0,..., y m, f(x, y 0,..., y m )) T. Dnn folgt mit y = (y 0,..., y m ) T : y = F (x, y), Generlvereinbrung: y() = (y (0) 0,..., y(m ) 0 ) T. ) Alle Sätze werden im Folgenden für sklre AWP. Ordnung formuliert. 2) Sollte ein Stz für Systeme nicht gelten, so wird dies explizit ngegeben.

66 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3.3 Einschrittverfhren Wir betrchten ds sklre AWP: (AWP) y (x) = f(x, y), y() = y 0. Es seien stets die Bedingungen (V), (M), (L) erfüllt und es sei stets S K M (, y 0 ) ein Rechteckgebiet, wobei K M = K M (, y 0 ) := {(x, y) I R y y 0 M(x ) + ε 0 }, ε 0 > 0. Wir bezeichnen mit ỹ die eindeutig bestimmte Lösung von (AWP). Definition 3.6 (Diskretes Verfhren zur Lösung von (AWP)) Definiere Gitter I h = {x 0,..., x n } I, x j+ = x j + h j, h j > 0, j = 0,..., n. Setze x 0 =, x n = b. Schrittweitenvektor: h = (h 0,..., h n ) T. I h heisst zulässiges Gitter uf I. Definiere h := mx j=0,...,n h j ls Feinheit von I h. Ein numerisches Verfhren Φ - findet ein Gitter I h - ordnet I h eine Gitterfunktion u h : I h R zu. u h ist uf I h diskrete Näherungslösung von ỹ. Definition 3.7 (Globler Fehler von Verfhren Φ) Für x I h setze e h (x) := ỹ(x) u h (x) ( Fehlerfunktion ). Definiere ) e i := e h (x i ), x i I h, 2) e h h := mx x Ih e h (x). e h h heist Diskretisierungsfehler von Φ uf I h. Definition 3.8 (Konvergenz/Konvergenzordnung) ) Φ heisst konvergent uf I, flls e h h 0 für h 0. 2) Φ ht uf I die Konvergenzordnung p > 0, flls für genügend glttes f gilt: e h h = O(h p ) für h 0.

3.3. EINSCHRITTVERFAHREN 67 Definition 3.9 (Explizite Einschrittverfhren (ESV)) Ein Verfhren Φ heisst explizites Einschrittverfhren, flls es eine Verfhrensfunktion ϕ = ϕ(x, u, h), (x, u) K M (, y o ), h (0, b ], ϕ(x, u, h) [ M, M] gibt, so dss u h uf zulässigem Gitter I h definiert ist durch: u 0 := y 0 + ε 0, u j+ := u j + h j ϕ(x j, u j, h j ), j = 0,... n, u h (x j ) := u j, x j I h. Beispiel 3.20 ) Eulerverfhren (explizit): ϕ(x, u, h) = f(x, u). 2) Verbessertes Eulerverfhren: ϕ(x, u, h) = f(x + h 2, u + h 2 f(x, u)). Definition 3.2 (Abschneidefehler/Konsistenz) ) Für h (0, b ], x [, b h], y : [x, x + h] R mit y (ξ) = f(ξ, y(ξ)) für ξ [x, x + h] sowie (x, y(x)) K M, heißt τ h (x, y) := y(x + h) y(x) h ϕ(x, y(x), h) lokler Abschneidefehler oder Diskretisierungsfehler von ϕ. 2) ϕ heißt konsistent mit (AWP), flls gilt τ h (x, ỹ) h 0 0 x I \ {b}. ϕ ht Konsistenzordnung p N, flls für genügend glttes f gilt: τ h (x, ỹ) = O(h p ), h 0 x I \ {0} 3) Ds ESV Φ heißt konsistent mit (AWP), flls e 0 h 0 0 und ϕ konsistent mit (AWP) ist. Φ ht Konsistenzordnung p N, flls und ϕ die Konsistenzordnung p ht. e 0 = O(h p ), h 0 Lemm 3.22 (Diskretes Lemm von Gronwll) Seien (p n ) n N, (q n ) n N, (e n ) n N positive Folgen mit e n+ ( + q n )e n + p n für n < N. Dnn gilt: e n ( n ) e 0 + p j exp j= ( n ) q j j=0 für n < N. Beweis: Durch vollständige Induktion.

68 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Stz 3.23 (Konvergenzstz für ESV) Φ sei ESV mit Verfhrensfunktion ϕ = ϕ(x, u, h). ϕ sein bzgl. u uf K M globl Lipschitz stetig. Dnn gilt: Ist Φ mit (AWP) konsistent (mit Ordnung p), so ist Φ uf I konvergent (mit Ordnung p). Beweis: Sei x < x + h b. Es ist ỹ(x + h) ỹ(x) = ϕ(x, ỹ(x), h) + τ h (x, ỹ). h Für ỹ j = ỹ(x j ) ; x j I h ; τ j := τ h (x j, ỹ) gilt lso ỹ j+ ỹ j = h j ϕ(x j, ỹ j, h j ) + h j τ j ; j = 0,..., n Ist L die Lipschitzkonstnte von ϕ bzgl. u, so gilt: e j+ e j ( + h j L) + τj h j 3.22 = e h h ( e 0 + (b ) mx τ (b ) L j )e j=0,...,n Nch Vorussetzung ist Φ konsistent (Ordnung p), lso folgt ) mx j=0,...,n τ j 0 (= O(h p )) 2) e 0 0 (= O(h p )) = Behuptung. Beispiel 3.24 ) Ds Eulerverfhren ist konvergent mit der Ordnung. (ϕ(x, u, h) = f(x, u)) 2) Ds verbesserte Eulerverfhren ist konvergent mit Ordnung 2. Definition 3.25 (Implizites ESV) Ein Verfhren Φ zur Lösung von (AWP) heiß implizites ESV, flls es eine Verfhrensfunktion ϕ = ϕ(x, u, v, h), (x, u), (x + h, v) K M, h (0, b ], ϕ(x, u, v, h) [ M, M] gibt, so dss für zulässige Gitter I h mit genügend kleiner Feinheit h u h definiert ist durch: u 0 = y 0 + ε 0, u j+ = u j + h j ϕ(x j, u j, u j+, h j ), j = 0,..., n, u h (x j ) := u j, x j I h. Beispiel 3.26 ) Implizites Eulerverfhren: ϕ(x, u, v, h) = f(x + h, v) = u j+ = u j + h j f(x j+, u j+ ). Dies entspricht der Rechteckregel: h x+h x f(t, y(t))dt f(x + h, y(x + h)).

3.3. EINSCHRITTVERFAHREN 69 2) Crnk-Nicholson-Verfhren oder Trpezverfhren: ϕ(x, u, v, h) = [f(x, u) + f(x + h, v)]. 2 Dies entsricht einer Integrtion mit der Trpezregel. Stz 3.27 Sei Φ ein implizites ESV mit ϕ = ϕ(x, u, v, h) Lipschitz-stetig bzgl. u und v uf dem Definitionsbereich von ϕ. Dnn existiert für genügend kleines h eine bzgl. u globl Lipschitz-stetige Funktion v(x, u, h), so ds gilt: u j+ = u j + h j ϕ(x j, u j, v(x j, u j, h j ), h j ) j = 0,..., n. D.h. Φ ist mit ϕ(x, u, h) := ϕ(x, u, v(x, u, h), h) lokl ein explizites ESV im Sinne von 3.6. Beweis: ) Für feste x, u, h sei T u definiert ls T u : R R, v u + h ϕ(x, u, v, h) Sei L die Lipschitzkonstnte von ϕ bzgl v. T u v T u v 2 h L }{{} v v 2 <, flls h klein genug = T u ist kontrhierende Selbstbb. uf R. Nch Bnchschen Fixpunktstz existiert genu ein ṽ, so dss T u ṽ = ṽ = ṽ = ṽ(x, u, h) ist wohldefiniert und (x + h, ṽ) K M. 2) Seien v, v 2 die eindeutigen Fixpunkte von T u, T u2. L 2 sei die Lipschitzkonstnte von ϕ bzgl. u. Dnn gilt: v v 2 = T u v T u2 v 2 T u v T u v 2 + T u v 2 T u2 v 2 hl v v 2 + u u 2 + h L 2 u u 2 = v v 2 = + hl 2 u u 2. hl }{{ } := L H Also folgt für v = v(x, u, h), v 2 = v(x, u 2, h): v(x, u, h) v(x, u 2, h) L H u u 2, h H < L. Definition 3.28 Tylorverfhren Ds Tylorverfhren der Ordnung p ist gegeben durch: ϕ p (x, u(x), h) := f(x, u(x)) + h 2 d hp d p f(x, u(x)) +... + f(x, u(x)). dx p! dxp

70 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Stz 3.29 Sei f C p (S) mit p N. Dnn ist ds Tylorverfhren Φ p mit Verfhrensfunktion ϕ p konvergent mit Ordnung p, flls e 0 = O(h p ), h 0. Beweis: ) Für x, y, h folgt mit der Tylorentwicklung mit Integrlrestglied: τ h (x, y) = y(x+h) y(x) h ϕ p (x, y(x), h) = h = hp p! 0 ( t)p y (p+) (x + th)dt = O(h p ) p! x+h x (x ξ) p y (p+) (ξ)dξ 2) dk f(x, u, h) hbe Lipschitz-Konstnte L dx k k, k = 0,..., p. Dnn gilt: p (b ) j ϕ p (x, u (x), h) ϕ p (x, u 2 (x)h) L j u (x) u 2 (x). j! j=0 }{{} =:L Aus ) und 2) folgt die Behuptung mit Stz 3.23. Bemerkung: ) Stz 3.26 zeigt, dss es ESV mit beliebig hoher Konvergenzordnung gibt. 2) Tylorverfhren sind in der Prxis unbedeutend, d - ϕ p nicht unbhängig vom Richtungsfeld f ist, - höhere Ableitungen von f teuer uszurechnen sind.

3.3. EINSCHRITTVERFAHREN 7 Definition 3.30 (Explizite Runge-Kutt Verfhren) Ds ESV Φ mit Verfhrensfunktion ϕ heißt explizites Runge-Kutt Verfhren, flls gilt: u 0 := y 0 + ε 0, u j+ := u j + h j ϕ(x j, u j, h j ), j = 0,..., n, ϕ(x, u, h) := m i= γ ik i (x, u, h) mit γ i R, m i= γ i =, k (x, u, h) := f(x, u), k 2 (x, u, h) := f(x + α 2 h, u + β 2, k (x, u, h),. k m (x, u, h) := f ( x + α m h, u + h m l= β m,lk l (x, u, h) ), mit α i [0, ]. Die Koeffizienten α i, γ i, β m,l sind von x, u, h unbhängig und so gewählt, dss die Konsistenzordnung von ϕ mximl wird. m heißt Stufenzhl des Runge-Kutt-Verfhrens und k i heißt i-te Stufenfunktion des Verfhrens Φ. Nottion: (Butcher-Tbleu) α 0 0. α 2 β 2,.......... α m β m,... β m,m 0 γ γ m γ m bzw. α β γ t Bemerkung 3.3 ) m i= γ i = Konsistenz des entsprechenden R.-K. Verfhrens. 2) Oft wird zusätzlich gefordert, dss l i=0 β l,i = α l l = 2,..., m gilt, dmit k l (x j, u j, h j ) bei genügend glttem f die Ableitung ỹ (x j + α l h) bis uf Größen der Ordnung O(h 2 ) nnähert. Beispiel 3.32 0 0 ) Eulerverfhren: m = p = = k (x, u, h) = f(x, u) ; ϕ(x, u, h) = k (x, u, h) = f(x, u) 2) Verbessertes Eulerverfhren: m = p = 2 0 2 2 0 k (x, u, h) = f(x, u) k 2 (x, u, h) = f(x + 2 h, u + 2 hk (x, u, h)) ϕ(x, u, h) = k 2 (x, u, h) = f(x + h 2, u + h 2 f(x, u))

72 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN y u j+ u j k x j x j+ x Abbildung 3.3: Runge-Kutt: Eulerverfhren y u j+ u j ( ) x u j+ j x j x j+/2 x j+ x Abbildung 3.4: Runge-Kutt: verbessertes Eulerverfhren 3) Verfhren von Heun: m = p = 3 k (x, u, h) = f(x, u) k 2 (x, u, h) = f(x + 3 h, u + 3 hk ) k 3 (x, u, h) = f(x + 2 3 h, u + 2 3 hk 2) ϕ(x, u, h) = 4 k + 3 4 k 3 0 3 2 3 2 3 0 3 3 4 0 4 4) Klssisches R.-K. Verfhren: m = p = 4 0 2 2 2 0 2 0 0 6 3 3 6 Bemerkung 3.33 ) Im Spezilfll f(x, y) = f(x) werden expl. R.-K. Verfhren zu zusmmengesetzten Qudrturen uf I: z.b.

3.3. EINSCHRITTVERFAHREN 73 y u j+ Mittelung /4 3/4 u j ( ) x u j+ j+ x j x +h/3 j x +2/3h j x j+ x Abbildung 3.5: Runge-Kutt: Verfhren von Heun y 2 u j+ u j 5 3 ( ) x u j+ j+ 4 x j x j+/2 x j+ x Abbildung 3.6: Runge-Kutt: klssisch Eulerverfhren Rechteckregel verb. Eulerverfhren Tngententrpezregel klss. R-K. Verfhren Simpsonregel xj+ Idee: h j x j f(t) dt wird ersetzt durch 6 f(x j) + 2 3 f(x j + h j 2 ) + 6 f(x j+). 2) Zur Konstruktion von R.-K. Verfhren genügt es Spezilfälle f(x, y) = f(y) zu betrchten (utonome Differentilgleichungen). Denn (i) Koeff. von R.-K. Verfhren bleiben für Systeme von Differentilgleichungen. Ordnung unverändert. (ii) Jede sklre Differentilgleichung. Ordnung lässt sich ls utonomes System schreiben: y (x) = f(x, y(x)), y() = y 0 y (x) = f(y 2, y ), y () = y 0 y 2 (x) =, y 2() = Hinweis: i) gilt nur wenn l i=0 β e,i = α l. 3) Stufenzhl m und Konsistenzordnung p = p(m) sind im Allgemeinen nicht korreliert: m 2 3 4 5 6 7 8 9 0 p(m) 2 3 4 4 5 6 6 7 7 8

74 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Für m 0 gilt immer p(m) m 3. z.b. m = 7, p = 0. 3.34 Konstruktion von R.-K. Verfhren mit zwei Stufen Es gilt für ESV: τ h (x, y) := y(x+h) y(x) h ϕ(x, y(x), h). Anstz für m = 2 und f(x, y) = f(y) : ϕ(x, y(x), h) = γ k (x, y(x), h) + γ 2 k 2 (x, y(x), h) = γ f(y(x)) + γ 2 f (y(x) + hβ 2, f(y(x))) T ylor = ϕ(x, y, h) = (γ + γ 2 )f(y) + hβ 2, γ 2 (ff )(y) + h2 2 γ 2β 2 2, (f 2 f )(y) + O(h 3 ) wobei y = y(x), (f g)(y) = f(y)g(y) ; f (k) = dk dy k f(y). Andererseits folgt uch mit Tylorentwicklung Also folgt: y(x + h) y(x) h τ h (x, y) = = f(y) + h 2 (ff )(y) + h2 6 (f f 2 + f 2 f)(y) + O(h 3 ) ( ) ( ) (γ + γ 2 ) f(y) + h 2 β 2,γ 2 (f f)(y) ( 3 (f f 2 + f 2 f) γ 2 β 2, (f 2 f )) (y) + O(h 3 ) + h2 2 Bedingungen: Für p = : γ + γ 2 = Für p = 2: 2 β 2,γ 2 = 0 Für p = 3: nicht möglich. Wähle α 2 = β 2, [0, ] frei! Spezilfälle: ) γ = 0, γ 2 = = β 2, = 2, 2) γ = γ 2 = 2 = β 2, =. Bemerkung 3.35 Die Vorgehensweise für m > 2 ist nlog, wobei für den Aufwnd gilt: Ordnung p 2 3 4 5 6 7 8 9 0 # Bedingungen 2 4 8 6 37 85 200 486 205 Diese Bedingungen sind nichtlinere Gleichungen! Systemtisch Behndlung von Butcher 964: grfische Methode. Stz 3.36 ) Ht ein Runge-Kutt Verfhren die Konsistenzordnung p, so gilt für hinreichend glttes f: τ h (x, y) = h p τ(x, y) + O(h p+ ), h 0 wobei τ(x, y) = k ε kd k f(x, y) mit D k f ˆ= Produkt prtieller Ableitungen, ε k ˆ= Fehlerkoeffizient.

3.3. EINSCHRITTVERFAHREN 75 2) Explizite R.-K. Verfhren mit Konistenzordnung p sind konvergent mit Ordnung p. Beweis: ) Klr nch Konstruktion in 3.3. 2) Es genügt zu zeigen, dss die k l, l =,..., n Lipschitz-stetig sind (dnn folgt die Beh. mit Stz 3.23). Beweis durch Induktion über l: I.A. l = : k (x, u, h) = f(x, y) = L = L I.S. l l + : Seien k,..., k l Lipschitz-stetig mit Konstnten L,..., L l. Dnn folgt: k l+ (x, u, h) k l+ (x, u 2, h) = f(x + α l+ h, u + h l j= k j(x, u, h)β l+,j ) I.V. Dmit folgt die Behuptung. f(x + α l+ h, u 2 + h l j= k j(x, u 2, h)β l+,j ) L u u 2 + Lh l j= β l+,j L j u u 2 l L( + (b ) β l+,j L j ) u u 2. j= } {{ } =:L l+ Definition 3.37 (Implizite Runge-Kutt Verfhren) Φ sei ESV mit Verfhrensfunktion ϕ gegeben durch ϕ(x, u, h) := m γ i k i (x, u, h) mit i= m γ i =. i= Φ heißt implizites R.-K. Verfhren mit m Stufen, flls ( ) m k j (x, u, h) = f x + α j h, u + h β j,l k l (x, u, h) l=, j =,..., m wobei γ j, α j, β j,l für optimle Runge-Kutt Verfhren so gewählt sind, dss ϕ mximle Konsistenzordnung ht. Stz 3.38 ) Ds implizite R.-K. Verfhren mit m Stufen ist wohldefiniert, flls für die Schrittweite h gilt: hl mx k=,...,m j= wobei L die Lipschitz Konstnte von f bzgl. y ist. m β k,j <,

76 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN b) Sei f(x, y) = f(x). Dnn stimmt ds optimle implizite R.-K. Verfhren mit m Stufen überein mit zusmmengesetzten Guß schen Qudrturformeln uf I mit jeweils m Knoten in den Teilintervllen [x j, x j+ ], j = 0,..., n. c) Optimle m-stufige implizite R.-K. Verfhren hben Konsistenz- und Konvergenzordnung 2m, m. Beweis: ) folgt us der Kontrktionseigenschft im Bnch schem Fixpunktstz. b) & c) siehe Deuflhrd/Bornemnn 6.2 und 6.3. Bemerkung 3.39 (Vorteil impliziter R.-K. Verfhren) Qulittive Eigenschften der Lösung von (AWP), wie etw ds Monotonieverhlten, werden bei gröberen Gittern bereits wiedergegeben und die Konvergenzordnung ist sehr hoch. (Nchteil: Es ist ein System von m gekoppelten nicht-lineren Gleichungen zu lösen). Ein Kompromiss zwischen Vor- und Nchteilen sind die sogennnten digonl impliziten Rung- Kutt Verfhren (DIRK-Verfhren). Sie zeichnen sich ddurch us, dss gilt β j,l = 0 für l > j, d.h. es muessen nur m sklre nicht-linere Gleichungen gelöst werden. Beispiel 3.40 ) m =, p = 2: 2 2 2) m = 2, p = 4 : 2 2 4 4 2 2 + 2 4 + 2 4 2 2 Nächstes Ziel: Schrittweitensteuerung bei ESV. Dzu ist es notwendig eine genuere Abschätzung des globlen Fehlers zu erhlten, ls diejenige, die durch ds Lemm von Gronwll entsteht (vgl. Beweis von Stz 3.23). Wir benötigen eine symptotische Entwicklung von e h, um.) den ttsächlichen Fehler zu schätzen, 2.) Extrpoltion nwenden zu können, 3.) Schrittweiten steuern zu können. Stz 3.4 (Huptterm der symptotischen Fehlerentwicklung bei ESV) Φ Sei ein ESV uf äquidistntem Gitter I h. Φ hbe Konsistenzordnung p mit e 0 = ρ 0 h p + O(h p+ ) (h 0),

3.3. EINSCHRITTVERFAHREN 77 τ h (x, y) = τ(x)h p + O(h p+ ). ϕ und f seien uf ihrem Definitionsbereich in C 2, y sei die eindeutig bestimmte Lösung der lineren Störgleichung (SG) y (x) = ρ(x)y(x) τ(x), y() = ρ 0, mit ρ(x) := f y (x, ỹ(x)) x I Dnn gilt für x j I h : u j = ỹ(x j ) + y(x j )h p + O(h p+ ) (h 0). Beweis: Für e j := u j ỹ(x j ), τ j = τ(x j ) gilt (vgl 3.23) Mit Tylorentwicklung folgt: e j+ = e j + h(ϕ(x j, u j, h) ϕ(x j, ỹ j, h)) h p+ τ j + O(h p+2 ). ϕ(x j, u j, h) = ϕ(x j, ỹ j + e j, h) = ϕ(x j, ỹ j, h) + e j ϕ y (x j, ỹ j, h) + 2 e2 jϕ yy (x j, η j, h) für ein η j I(ỹ j, ỹ j + e j ). Wegen der Konsistenz gilt weiter: lim ϕ(x, y, h) = f(x, y) h 0 = ϕ y (x, y, 0) = f y (x, y) = ϕ y (x j, ỹ j, h) T ylor = ϕ y (x j, ỹ j, 0) + O(h) = f y (x j, ỹ j ) + O(h) V or. = ρ(x j ) + O(h). Einsetzen in die Gleichung für e j+ ergibt: Setze e j = h p e j, so folgt e j+ = e j ( + hρ(x j )) h p+ τ j + O(h 2 e j ) + O(he 2 j) + O(h p+2.) ē j+ = ē j ( + hρ(x j )) h τ j }{{} Euler V erfhren ngewendet uf (SG) Konsistenz des Euler-Verfhrens = ē j = ȳ(x j ) + O(h). +O(h 2 ē j ) + O(h p+ ē 2 j) + O(h 2 ) Also folgt e j = u j ỹ(x j ) = h p ē j = h p ȳ(x j ) + O(h p+ ). Beispiel 3.42 Sei Φ ds Eulerverfhren und f(x, y) = λy, λ R y 0 gegeben. Sei I = [0, b], b > 0 und u 0 = y 0. = ỹ(x) = y 0 e λx. ( )

78 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Für den Abschneidefehler gilt: sowie ρ(x) = f y (x, ỹ) = λ und ρ 0 = 0. Also lutet (SG): ȳ (x) = λȳ(x) y 0 λ2 2 eλx y(0) = 0 λ Lösung von (SG) ist ȳ(x) = y 2 0 2 xeλx Mit Stz 3.4 folgt: τ h (x, ỹ) = h 2 ỹ (x) + O(h 2 ) ( ) = h 2 λ2 y 0 e λx +O(h 2 ) }{{} =: τ(x) u j = ỹ j + ȳ(x j )h + O(h 2 ) = λ ỹ j y 2 0 2 x je λx j h + O(h 2 ) Direkte Verifiktion: Nch dem Euler-Verfhren ist u j+ = ( + λh)u j. Induktion = u j+ = ( + λh) j y 0 für j =,..., n. Weiter ist Tylor für e ( + hλ) = λh e λh h2 2 λ2 + O(h 3 ) = ( + hλ) j Binomi = e λx j λ x 2 j 2 eλx j h + O(h 2 ) = ( + hλ) j λ 2 y }{{} 0 = e λxj y }{{} 0 y 0 x j 2 eλx j h + O(h 2 ). }{{} =u j =ỹ(x j ) =ȳ(x j ) Folgerung 3.43 Gilt spezieller ls in Stz 3.4 und e 0 = ρ 0 h p + ρ h p+ +... + ρ k h p+k + O(h p+k+ ) τ n (x, y) = τ o (x)h p + τ (x)h p+ +... + τ k h p+k + O(h p+k+ ), so gibt es Funktionen ȳ 0,..., ȳ k, so dss u j = ỹ(x j ) + ȳ 0 (x j )h p +... + ȳ k (x j )h p+k + O(h p+k+ ). Die Funktionen ȳ 0,..., ȳ k genügen den Störgleichungen (SG i ) ȳi(x) = ρ(x)ȳ i (x) τ i (x), i = 0,..., k. ȳ i () = ρ i, Beweis: Die Behuptung folgt induktiv unter Verwendung von 3.4. 3.44 Extrpoltion Seien I h, I h zwei äquidistnte Gitter uf I mit h = qh, 0 < q <. Sei weiter x I h I h und es gelten die Vorussetzungen von Stz 3.4. Seien u h, u h die Nährungslösungen des gleichen Verfhrens Φ uf I h bzw. I h. Dnn gelten:

3.3. EINSCHRITTVERFAHREN 79 ) u h (x) = ỹ(x) + ȳ(x)h p + O(h p+ ), 2) u h (x) = ỹ(x) + ȳ(x)q p h p + O(h p+ ). Setzt mn nun u () h := αu h(x) + βu h (x) mit α = qp q p (Dies ist die Idee der Richrdson-Extrpoltion!) u () h (x) = ỹ(x) + O(hp+ ). und β = α, so folgt 3.45 Schrittweitensteuerung beim ESV Φ sei ESV mit Verfhrensfunktion ϕ, I h Gitter uf I und u h : I h Nch Beweis von Stz 3.23 gilt: R Näherungslösung. e h h L τel(b ) + e 0 e L(b ), wobei τ obere Schrnke für den Abschneidefehler ist. Sei e 0 ε. Ist dnn τ L ε 2 =: η und e e L(b ) 0 ε 2, so gilt: e L(b ) e h h ε. Idee: Wähle in jedem Schritt die Gitterweite h j > 0 so, dss h j mximl ist und τ η erfüllt ist! Drstellung des Verfhrensfehlers: ŷ genüge dem loklen AWP y = f(x, y), y(x ) = z, wobei f die Vorussetzungen us Stz 3.4 erfülle. Dnn gilt für x {x, x + h} u h = ŷ(x) + ȳ 0 (x)h p + ȳ (x)h p+ + O(h p+2 ). Es folgt: τ h (x, y) = ȳ 0 (x + h)h p ȳ (x + h)h p + O(h p+ ) Tylor = h p ȳ 0 (x ) + O(h p+ ). Anstz: Berechne h näherungsweise durch h p ȳ o(x ) = η (A).Vrinte: Schätzung von h mittels Extrpoltion..) Bestimme Näherungslösung v in x + h usgehend von (x, z ) bei Schrittweite h. 2.) Bestimme Näherungslösung v 2 in x + h usgehend von (x, z ) bei Schrittweite h 2. Mit 3.4 folgt () ŷ(x + h) v = ȳ o(x ) h p+ + O( h p+2 ), (2) ŷ(x + h) v 2 = ȳ o(x ) ( h 2 ) p+ + O( hp+2 ).

80 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN y ^ * ~ y (x + h) v 2 v z* x * x * + h 2 _~ x * + ~ h x Abbildung 3.7: Schätzung mittels Extrpoltion (2) () = h p+ ȳ 0 (x ) = v v 2 + O( h p+2 ), 2 (p+) = ȳ 0 (x ) = h (p+) v v 2 + O( h). 2 (p+) Einsetzen in (A) ergibt für h die Schätzung h = h 2 p+ η h p 2 p+ v v 2. Empfehlung: [ ] Ist h h 2, 2 h, so rbeite weiter mit h j := h, ndernflls führe eine neue Schätzung mit h := h durch. Grund: Die Schrittweite soll nicht zu strk schwnken. Sinnvoll: Abbruchbedingung: Wenn h < 0 d, d > 0, dnn Abbruch. 2. Vrinte: Schätzung von h mit Verfhren höherer Konsistenzordnung. Seien Φ, Φ Verfhren mit Konsistenzordnung p, q, q > p und seien für Φ, Φ die Vorussetzungen von Stz 3.4 erfüllt..) Berechne v in x + h usgehend von (x, z ) mit Φ und Schrittweite h. 2.) Berechne v 2 in x + h usgehend von (x, z ) mit Φ und Schrittweite h. Mit Stz 3.4 folgt: () ŷ(x + h) v = ȳ 0 (x ) h p+ + O(h p+2 ), (2) ŷ(x + h) v 2 = ȳ 0 (x ) h q+ + O(h q+2 ). (2) () = ȳ 0 (x ) = h (p+) v v 2 + O( h. h q p Einsetzen in (A) ergibt: hη( h = h hq p ) p. v v 2

3.3. EINSCHRITTVERFAHREN 8 Aufwndsvergleich: Vrinte : 00% Mehrufwnd (Zwischenpunkt) Vrinte 2: Bei verschiedenen Verfhren i.a. Summe us Aufwnd von Φ und Φ (für die Prxis besser!). Relisierung von Vrinte 2 mit eingebetteten R.-K. Verfhren Idee: m-stufen 0 α 2 β 2,..... α m β m,... β m,m γ... γ m γ m γ... γ m γ m wobei Φ definiert durch γ i, i =,..., m die optimle Konsistenzordnung und Φ definiert durch γ i, i =,..., m eine um kleinere Konsistenzordnung liefert. Vorteil: Die Stufenfunktionen k i müssen für Φ und Φ nur einml berechnet werden. Beispiel: Ds Verfhren von Dormnd-Prince (m = 7) 0 5 3 0 5 3 40 9 40 4 5 8 9 44 45 56 5 9372 656 25360 287 32 9 64448 656 22 729 907 368 355 33 46732 5247 49 76 530 8656 35 348 0 500 3 25 92 287 6784 84 γ 579 57900 0 757 6695 393 640 92097 339200 87 200 40 γ 35 348 0 500 3 25 92 287 6784 84 0 = p(γ) = 4, p( γ) = 5.

82 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3.4 Mehrschrittverfhren Um Mehrschrittverfhren zu untersuchen benötigen wir einige Sätze us der Theorie linerer Differenzengleichungen, die wir im folgenden Abschnitt formulieren. 3.4. Theorie der lineren Differenzengleichungen Definition 3.46 (Differenzengleichung) Sei U := {u : N 0 C} die Menge der komplexen Zhlenfolgen mit u i = u(i). Seien k N 0, f U, α i C, i = 0,..., k gegeben. Dnn heißt: (DG k ) u n+k + α k u n+k +... + α 0 u n = f n ; n N 0 Differenzengleichung der Ordnung k. (DG k ) heißt homogen, flls f = 0, sonst inhomogen. Lemm 3.47 Sei eine homogene Differenzengleichung mit Ordnung k gegeben. ) Seien u 0,..., u k C gegebene Anfngswerte einer Folge u U. Dnn gilt: Es gibt genu eine Folge u U mit diesen Anfngsdten, welche der Differenzengleichung genügt. 2) Die Menge ller Lösungen der Differenzengleichungen bildet einen k-dimensionlen Unterrum von U. Bsislösungen sind definiert durch: u (j) = (u (j) n ) n N0, u (j) n = δ nj 0 n, j k, u (j) erfüllt die Differenzengleichung für 0 j k, Beweis: ) Durch vollständige Induktion, 2) nchrechnen. Definition und Stz 3.48 (Chrkterisisches Polynom) Für (DG k ) homogen heißt ρ(t) = t k + α k t k +... + α 0 chrkterisisches Polynom. Seien λ,..., λ m Nullstellen des Poloynoms ρ mit Vielfchheit m,..., m m mit m i= m i = k. Dnn sind äquivlent: ) u ist eine Lösung von (DG k ), 2) u = (u n ) n N0, u n = m i= p i(n)λ n i, n N 0, wobei p i P mi sind für i =,..., m. Beweis:

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 83 ) 2) u 0,..., u k seien Anfngswerte einer gegebenen Lösung von (DG k ). Setze 0 0...... A:= 0 0 Ck k Begleitmtrix von ρ α 0...... α k und u n := Dnn gilt: u n. u n+k C k Folgenbschnitt n. u n = A u n Induktion = u n = A n u 0. Nch linerer Algebr ex. eine invertierbre Mtrix S, so dss A = SJS, wobei J die Jordnsche Normlform von A ist. λ i 0 J 0 Also J =......... mit J i =... 0 J Cm i m i. n 0 λ i Dnn folgt induktiv: A n = SJ n S, wobei Ji n = ( n ( ) λ n n ( i 2) λ n 2 i... n ) m i λ n m i + i. 0.. ( n ) λ n i.............. 0...... 0 λ n i λ n i mit ( n j) = 0 für j > n. ( n ) j ist für festes j und n N0 ein Polynom vom Grd j in n. = Ji n enthält Koeffizienten nur vom Typ p i (n)λ n i mit Grd von p i m i. Also ht u n die ngegebene Form. 2) ) Ü.A. Beispiel 3.49 u n+3 4u n+2 + 5u n+ 2u n = 0 mit Strtwerten u 0 =, u = 2, u 2 =. Ds chrkteristische Polynom ist: ρ(t) = t 3 4t 2 + 5t 2 = (t ) 2 (t 2), = λ = mit m = 2, λ 2 = 2 mit m 2 =. Mit Stz 3.45 folgt: u n = p (n) n + p 2 (n)2 n. Mit p (n) = α + βn und p 2 (n) = γ folgen die Bedingungen: = u 0 = α + γ α = 5 2 = u = α + β + 2γ = β = 5 = u 2 = α + 2β + 4γ γ = 4

84 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Also ist die eindeutige Lösung der Differenzengleichunggegeben durch: u n = 5( + n) 2 n+2. Bemerkung 3.50 Für die Mtrix A gilt stets Rg(A λi) k für λ C. Ist λ Eigenwert von A, so gilt dim Eig(λ) = dim ker(a λi). = Für jeden Eigenwert λ gibt es höchstens einen Jordnblock. Stz 3.5 (Wurzelbedingung von Dhlquist) Sei (DG k ) eine homogene, linere Differenzengleichung mit chrkteristischem Polynom ρ. Dnn sind äquivlent: ) Jede Lösung von (DG k ) ist beschränkt. 2) Die Nullstellen λ i von ρ erfüllen (i) λ i, (ii) λ i = = λ i ist einfche Nullstelle. Beweis: 2) ) Die Behuptung folgt direkt us Stz 3.48, d lim u n = lim n n m p i (n) λ i n C. ) 2) Sei u n = λ n i. Dnn folgt us lim u n C uch lim λ i n C und somit λ i. n n Sei weiter λ i NST mit Vielfchheit m i 2. Dnn ist u n = nλ n i eine Lösung und mit Stz 3.48 folgt: lim u n C = lim n n n λn i C = λ i <. i= Definition 3.52 (Verschiebeopertoren) E : U U, u Eu mit (Eu) n = u n+ = (u 0, u, u 2,...) (u, u 2, u 3,...) { E : U U, u E u mit (E un, n u) n = 0, n = 0 = (u 0, u, u 2,...) (0, u 0, u, u 2,...) Bemerkung 3.53

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 85 ) EE u = u, ber E Eu = u u 0 e (0) mit e (j) n := δ jn für j, n N 0. 2) Es ist E j := E... E }{{} j ml = ρ(e)u = f Differenzengleichung (DG k ). Lemm 3.54 Sei (DG k ) gegeben. Definiere v (j) := E j u (k ) mit u (k ) Bsislösung von ρ(e)u = 0. Dnn gilt: ρ(e)v (j) = e (j), für j N 0. Beweis: Ü.A. Stz 3.55 Sei ρ(e)u = f inhomogene Differenzengleichung der Ordnung k. Dnn gilt: (i) ū := n=0 f nv (n) ist eine Lösung. (ii) Alle Lösungen hben die Gestlt: u = ũ + ū mit ũ ist Lösung von ρ(e)u = 0. ( = Lösungsmenge ist k-dimensionle Untermnnigfltigkeit von U) (iii) Für gegebenes AWP ρ(e)u = f mit u i = β i für i = 0,..., k gilt: u = ũ + ū, wobei ũ Lösung von ρ(e)u = 0 ist mit ũ i = β i, i = 0,..., k. Beweis: Nchrechnen. Bemerkung 3.56 Es gilt v n (j) = 0 für n k + j, lso insbesondere ū n := n k j=0 f ju (k ) n j. Beispiel 3.57 ) Sei ρ(t) = t 2 ; f = (f n ) n N mit f n := n = NST von ρ(t) : λ /2 = ± ) Homogene Lösung: ũ n = α n + β( ) n (nch Stz 3.48). b) Spezielle Lösung des inhomogenen Problems:. Anstz: ū n = An + B = n = f n = (ρ(e)ū) n = ū n+2 ū n = A(n + 2) + B An B = 2A Anstz schlägt fehl, d A unbhängig von n gewählt werden muss!

86 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. Anstz: ū n = An 2 + Bn = n = f n = ū n+2 ū n = A (n + 2) 2 + B(n + 2) An 2 Bn Sortiere Terme mit Fktor n 2, n,. Dnn folgt durch Koeffizientenvergleich: Terme mit n 2 : Terme mit n : 4A + B B = Terme mit : 4A + 2B = 0 Eine spezielle Lösung ist lso: = A = 4 B = 2 ū n = 4 n2 2 n c) Wir erhlten eine llgemeinere Lösung: u = ũ + ū u n = 4 n2 2 n + α + β( )n 2) Sei ρ(t) = t 2 und f n = n + 2 n ) Homogene Lösung wie in ). b) Inhomogene Lösung: Anstz: ū n = An 2 + Bn + C2 n Koeffizientenvergleich: c = 3, A = 4, B = 2 c) Allgemeine Lösung: u n = 4 n2 2 n + 3 2n + α + β( ) n Lösung von Differenzengleichungen im Huptfll: Seien f n := i j= q j(n)µ n j mit µ j C q j P mit Grd(q j ) =: g j. µ j sei m j -fche NST von ρ mit 0 m j k (m j = 0 = µ j keine NST von ρ). Anstz: ū n = i j= nmj q j (n)µ n j mit q j llgemeines Polynom vom Grd g j. In Beispiel ): i = ; µ = ; q (n) = n. In Beispiel 2): i = 2 ; µ = ; µ 2 = 2 ; q (n) = n ; q 2 (n) =. 3) Weiteres Beispiel: f n = n 2 ( ) n + n 4 + n 5 2 n. = i = 3; µ = ; µ 2 =, µ 3 = 2, q (n) = n 2, q 2 (n) = n 4, q 3 (n) = n 5. 3.4.2 Linere k-schrittverfhren Es gelten die Vorussetzungen us Abschnitt 3.3 für (AWP) und zusätzlich sei I h äquidistnt, d.h. h j = h j.

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 87 Definition 3.58 (k-schrittverfhren) ) Ein Verfhren Φ zur Lösung des (AWP) uf I heißt k-schrittverfhren mit k N, flls es eine Verfhrensfunktion ϕ = ϕ(x, v 0, v,..., v k, h) mit (x + hi, v i ) K M i = 0,..., k, h (0, b ], ϕ(x, v k 0, v,..., v k, h) [ M, M] gibt, so dss für (äquidistnte) zulässige Gitter I h mit genügend kleiner Feinheit die Näherungslösung u h (x j ) =: u j durch die Differenzengleichung k-ter Ordnung k i u j+i = hϕ(x j, u j, u j+,..., u j+k, h) i=0 wohldefiniert ist für geeignete Strtwerte, u 0,..., u k. b) Ein k-schrittverfhren heißt liner, flls ϕ die Form ϕ(x, v 0, v,..., v k, h) = k b i f(x + ih, v i ) i=0 ht. Definition und Bemerkung 3.59 ) Ist ρ(t) = k i=0 it i ds sogennnte. chrkteristische Polynom von Φ, so schreiben wir Φ = (ρ, ϕ). Ist ds Verfhren liner und σ(t) := k i=0 b it i ds so gennnte 2. chrkteristische Polynom von Φ, so schreiben wir Φ = (ρ, σ). 2) Implizitheit ist grundsätzlich zulässig. 3) Für k = erhlten wir dei Definition von Einschrittverfhren. Definition 3.60 (Abschndeidefehler und Konsistenz) ) Für h (0, b k ], x [, b kh] und y C (I) : y ξ) = f(ξ, y(ξ)) uf [x, x + kh] mit (x + hi, y(x + hi)) K M, j = 0,..., k heißt τ h (x, y) := h k i y(x + hi) ϕ(x, y(x), y(x + h),..., y(x + kh), h) i=0 der lokle Abschneidefehler. b) Ist τ h (x, ỹ) = o() für h 0, so heißt Φ konsistent mit (AWP), flls die Anfngswerte h 0 u 0,..., u k konsistent sind, d.h. u i y 0 für i = 0,..., k. Ist τ h (x, ỹ) = O(h p ), p N für h 0, so ht Φ die Konsistenzordnung p, flls die Anfngswerte die Konsistenzordnung p hben, d.h. u i y 0 = O(h p ) für i = 0,..., k.

88 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3.6 Mehrschrittverfhren resultierend us Qudrturen Anstz: Interpoltionsqudrtur des Richtungsfeldes. Aus y = f(x, y) folgt für x j, x j+k [, b] y(x j+k ) = y(x j+q ) + für 0 q k. xj+k x j+q f(t, y(t))dt Idee: Approximtion mit geeigneter Qudrturformel (siehe Abb. 3.8). Approximiere x j+k x j+q f(t, y(t))dt h s b i f(x j+i, u j+i ) mit 0 s k. i=0 }{{} =:f j+i Erhlte MSV: u j+k = u j+q + h Ist s < k, oder b k = 0 = Verfhren ist explizit. Ist s = k und b k 0 = Verfhren ist implizit. s b i f j+i. i=0 Anstz zu Bestimmung der b i : Ersetze f(t, y(t) durch Polynom p j vom Grd s, 0 s k, so dss p j die Dten (x j+i, f j+i ) i = 0,..., s interpoliert. Berechne die Koeffizienten b i durch Lgrnge-Anstz: p j (t) = s i=0 L ij(t)f j+i mit L ij (t) = s Dnn ist: l=0,l i b i = h t x j+l x j+i x j+l = L ij (x j+l ) = δ il xj+k x j+q L ij (t)dt. Bemerke: Auf äquidistnten Gittern hängen die b i nicht von h und j b. Im Sinne von 3.58 und 3.59 folgt: mit ϕ(x, v 0, v i,..., v k, h) = s i=0 b if(x + ih, v i ). u j+k u j+q = hϕ(x j, u j,..., u j+k, h) = ρ(t) = t k t q. chrkteristisches Polynom, = σ(t) = s b i t i 2. chrkteristisches Polynom, i=0 = Φ = (ρ, σ). Stz 3.62 Seien f C s+ (S) und Φ = (ρ, σ) ein k-schrittverfhren der Klsse 3.6. Dnn ht Φ die Konsistenzordnung s +, flls die Anfngswerte diese Konsistenzordnung hben. (Für k gerde, q = 0 und s = k gilt sogr s+2!) Beweis: Setze t i = x + ih, i = 0,..., s. Sei p(t i ) = y (t i ) = f(t i, y(t i )) = p(t) f(t, y(t)) Stz.4 = (s + )! s (t t i ) y (s+2) (ξ t ) ( ) i=0

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 89 f Integrtionsgebiet x j......... x j+q x j+s x j+k x Interpoltionsgebiet Abbildung 3.8: spezielle linere Mehrschrittverfhren für ein ξ t (t 0, t s ). = τ h (x, ỹ(x)) = h [ỹ(x + kh) ỹ(x + qh)] h = h = h ( ) = h (s+)! s b i f(x + ih, ỹ(x + ih)) i=0 x+kh x+qh ỹ (t)dt x+kh h x+qh p(t)dt ( ) x+kh x+qh f(t, ỹ(t)) p(t) dt x+kh x+qh s (t t i ) ỹ (s+2) (ξ t )dt, i=0 = τ h (x, ỹ(x)) h (s+)! ỹ (s+2),i (sh) s+ (k q)h C(ỹ, s) h s+. }{{} konstnt 3.63 Berechnung der Koeffizienten b i ( i r) b i, 0 r s mit b i = k s q k Es ist b s r = ( ) r s i=r Mit := q k, b := k s entstehen die b i = b i bei der Entwicklung um z = 0, wobei ( t+i ) i dt. (, b) ls Tylorkoeffizienten der Funktion g(z,, b) g(z,, b) := ( z) ln( z) ( z) b ln( z) = g(z,, b) = i=0 b i (, b)zi mit < b, z R <. g heißt erzeugende Funktion für b i.

90 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Definition 3.64 ) q = k Adms-Verfhren 2) q = k, s = k Adms-Bshforth-Verfhren, explizit 3) q = k, s = k Adms-Moulton-Verfhren, implizit 4) q = k 2, s = k Nyström-Verfhren, explizit 5) q = k 2, s = k Milne-Simpson-Verfhren, implizit 3.65 MSV resultierend us Differentitionsformeln (BDF-Verfhren) Anstz: Interpoliere die Dten (x j, u j ),..., (x j+k, u j+k ) mit p(x) und verwende p (x j+q ) ls Approximtion für y (x j+q ) = f(x j+q, y(x j+q )). q = k = implizites Verfhren 0 q k = explizites Verfhren Lgrngenstz für p(x): h p (x j+q ) = k L ij(x j+q )h u j+i = h f(x j+q, u j+q), }{{}}{{} =: i =:ϕ i=0 wobei i unbhängig von j und von h ist. = ρ(t) = k i=0 it i, σ(t) = t q, = Φ = (ρ, σ) BDF-k Verfhren. Stz 3.66 Sei f C k (S). Dnn gilt für ds BDF-k Verfhren us 3.65: Die Konsistenzordnung ist p = k bei hinreichend konsistenten Strtwerten. Beweis: Ü.A. Stz 3.67 (Chrkterisierung der Konsistenz von MSV) Sei Φ(ρ, ϕ) k-schrittverfhren mit k. Seien u 0,... u k Strtwerte. Dnn sind äquivlent: ) Φ ist konsistent mit (AWP). 2) ) u i y 0 für h 0; i = 0,..., k, b) ρ()ỹ(x) = 0, c) ϕ(x, ỹ(x),..., ỹ(x + kh), h) ρ ()f(x, ỹ(x)) 0 für h 0. Beweis: ) = 2)

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 9 ) folgt direkt us der Definition von Konsistenz. b) & c): Es folgt: k i ỹ(x + ih) = k i (ỹ(x) + ihỹ (x) + o(h)) i=0 i=0 = ρ()ỹ(x) + ρ ()hỹ (x) + o(h) τ h (x, ỹ(x)) = [ ρ()ỹ(x) + ρ ()hỹ(x) ] ϕ(x, ỹ(x),..., ỹ(x + kh), h) + o() ( ) h τ h (x, ỹ(x)) + ρ ()f(x, ỹ(x)) ϕ(...) + o() ρ()ỹ(x) h C unbhängig von h Also folgt ρ()ỹ(x) = 0. Einsetzen in (*) ergibt dnn: ρ ()f(x, ỹ(x)) ϕ(x, ỹ(x),..., ỹ(x + kh), h) = o() (h 0). = 2c). 2) = ) Folgt direkt us (*). Folgerung 3.68 Ist Φ = (ρ, σ) ein lineres k-schrittverfhren, so gilt: Φ ist konsistent mit (AWP), genu dnn wenn 3.67 2) und ρ() = 0, ρ () = σ() erfüllt ist. Beweis: Zu zeigen: ρ () = σ() 3.67 2c) gilt ( 2) und 2b) gelten sofort). D ϕ(x, ỹ(x),..., ỹ(x + kh), h) = k k b i f(x + ih, ỹ(x + ih)) f(x, ỹ(x)) i=0 }{{} =σ() für h 0, d f, ỹ stetig. = 2c) ist erfüllt ρ () = σ(). Bemerkung 3.69 Konsistenz und Lipschitzstetigkeit von ϕ bzgl. v 0,..., v k ist nur für k = hinreichend für die Konvergenz! (vgl. Übungsufgbe). i=0 b i Definition 3.70 (Asymptotische Stbilität) Sei Φ = (ρ, ϕ) k-schrittverfhren mit k. Sei C h := {u : I h R} der Funktionenrum der Gitterfunktionen. Sei F h : C h C h für v C h definiert durch (F h (v)) i := v i u i, i = 0... k, u i Strtwerte, k (F h (v)) j+k := h i v i+j ϕ(x j, v j,..., v j+k, h) für j = 0,..., n k. i=0 F h heißt Defektfunktion. Ds Verfhren Φ heißt symptotisch stbil, genu dnn wenn K, H > 0: h (0, H) und v, w C h : v w h K F h (v) F h (w) h.

92 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Bemerkung 3.7 ) Durch F h (u) = 0 wird die Verfhrenslösung des k-schrittverfhrens Φ für (AWP) implizit beschrieben, flls u 0,..., u k Strtwerte sind. 2) Ist F h (v h ) = ε h mit ε h Störtertm (etw durch Rundungsfehler), so folgt us der Stbilität: 3) F h (ỹ j+k ) = τ h (x j+k, ỹ) u h v h h K F (u h ) F (v }{{} h ) }{{} h = K ε h h =0 =ε h Stz 3.72 (Chrkterisierung stbiler k-schrittverfhren) Sei Φ = (ρ, ϕ) k-schrittverfhren mit k. Gelte: (i) f = 0 = ϕ = 0 (bei lineren Verfhren stets erfüllt), (ii) ϕ sei Lipschitzstetig bzgl. v o,..., v k, d.h. es ex. ein L > 0 mit ϕ(x, v o,..., v k, h) ϕ(x, w o,..., w k, h) L mx 0 i k v i w i (bei lineren Verfhren erfüllt, flls L-Bedingung gilt.) Dnn sind äquivlent: ) Φ ist symptotisch stbil. b) ρ erfüllt die Wurzelbedingung von Dhlquist (vgl. Stz 3.5). Beweis: Gelte stets (i), (ii). ) = b) Sei Φ symptotisch stbil. Dnn folgt für f = 0 ϕ = 0 nch (i) und es ist (F h (v)) i = v i u i, i = 0,..., k, k (F h (v)) j+k = h i v j+i, j = 0,..., n k. Nch ) K, H > 0 : i=0 u v h K F h (u) F h (v) h = K F h (u v) h h (0, H) und u, v C h. Also gilt für lle w C h : w h K F h (w) h. Für die Lösung ũ der Gleichung F h (ũ) j+k = 0, j = 0,..., n k (homogene Gleichung) folgt: ũ h K mx ũ i. 0 i k = Für beliebige Strtwerte ũ 0,..., ũ k ist die Lösung der homogenen k-stufigen Differenzengleichung k i=0 iv j+i = 0 und v i = ũ i für i = 0,..., k beschränkt. Also folgt mit Stz 3.5, dss ρ die Wurzelbedingung von Dhlquist erfüllt.

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 93 b) = ) Seien v, w C h, dnn gilt: (F h (v) F h (w)) i = v i w i, i = 0,..., k (F h (v) F h (w)) j+k = h k i=0 i(v j+i w j+i ) ϕ(x j, v j,..., v j+k, h) + ϕ(x j, w j,..., w j+k, h) für j = 0,..., n k. Setze δ µ := v µ w µ, µ = 0,..., n und d µ := (F h (v) F h (w)) µ, µ = 0,..., n sowie Dnn gilt k i=0 ( ) η µ := d µ+k + ϕ(x µ, v µ,... v µ+k, h) ϕ(x µ, w µ,... w µ+k, h) i δ i+j = hη j für j = 0,..., n k. Sei δ µ vorgegeben für µ = 0,..., k. Mit Stz 3.55 folgt k ( ) δ j+k = δ i u (i) j+k + i=0 j µ=0 hη µ u (k ) j+k µ, wobei u (ν) für ν = 0,..., k Bsislösung der homogenen Differenzengleichung ist, d.h. k i=0 iu (ν) j+i = 0 und u(ν) n = δ n,µ für 0 n, µ k. Nch Vorussetzung ) und Stz 3.5 folgt u (ν) n η µ (ii) d µ+k + L mx δ µ+i. 0 i k }{{} =:ε µ Also folgt us (**) und δ i = d i für i = 0,..., k : δ j+k Mdk + Mh M, n N 0, 0 ν k. Mit (*) gilt j (d + Lε µ ) = Md(k + (j + )h) + Mh L µ=0 mit d := F h (v) F h (w) h = mx 0 µ n d µ. Bechte: Die rechte Seite ist monoton wchsend in j. Also folgt ε j Md(k + (j + )h) + hm L = ε j ( hm L) Md(k + (j + )h) + hm L j µ=0 ε µ. Für h H := 2M L ist hm L 2 und wir erhlten Mit diskretem Lemm von Gronwll folgt: Mit K := ce D(b ) folgt hierus schließlich j ε µ, µ=0 j ε j 2M(k + (b )) d + 2M }{{} L }{{} hε µ. =:c =:D µ=0 ε j ce D(b ) d, für j = 0,..., n k. v w h K F h (v) F h (w) h. j ε µ, µ=0

94 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Folgerung 3.73 (i) Für L-stetige ϕ sind ESV stbil. (ii) Φ(ρ, ϕ) und ϕ L-stetig, dnn gilt: Φ stbil Φ 0 = (ρ, 0) stbil. Stz 3.74 (Konvergenzstz von Dhlquist) Sei Φ = (ρ, ϕ) k-schrittverfhren mit k. Sei Φ konsistent mit (AWP) von der Ordnung p und seien die Vorussetzungen us Stz 3.72 erfüllt. Dnn sind äquivlent: (i) Φ ist konvergent mit Ordnung p. (ii) Φ ist symptotisch stbil. Beweis: (i) = (ii) Indirekter Beweis. Annhme: Φ ist nicht stbil. Dnn folgt mit den Sätzen 3.5 und 3.72, dss ρ die Wurzelbedingung nicht erfüllt. Folglich ht ρ(e)u = 0 eine unbeschränkte Lösung. Wähle f = 0, ϕ = 0 und konsistente Strtwerte, so dss u n divergiert für h 0.Dies ist ein Widerspruch zu (i). (ii) = (i) Sei ỹ h := ỹ Ih Dnn gilt: (F h (ỹ h )) i = ỹ(x i ) u i, 0 i k, (F h (ỹ h )) j+k = τ h (x j, ỹ), j = 0,..., n k. Also folgt: F h (ỹ h ) F h (u h ) = F h (ỹ h ) 0 und somit ỹ u h h Φstbil K F h (ỹ h ) F h (u h ) h = K F h (ỹ h ) h = (O(h p )), d Φ konsistent von der Ordnung p ist. Bemerke: Aus dem Beweis des Konvergenzstzes von Dhlquist folgt für ein symptotisch stbiles k-schrittverfhren Φ = (ρ, ϕ) die Fehlerbschätzung ( k ) ỹ u h h K mx mx ỹ i u i, mx n k τ h(x i, ỹ). i=0 i=0 Folgerung 3.75 ) Für MSV der Klsse 3.6 gilt: Ist 0 q < k und k s k, so ist ds Verfhren konvergent mit Ordnung s +.

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 95 2) Für BDF-Verfhren (3.65) gilt: Die Verfhren sind konvergent, flls ) q = k 6 (implizit), b) q = k (explizit). Beweis: ) Nch Stz 3.62 sind die MSV mit Ordnung s + konsistent für f C s+ (S) und es ist ρ(t) = t k t q = t q (t k q ). = NST von ρ sind: λ = 0 (q-fche NST) und λ j+2 = e i 2π k q j für j = 0,..., k q (einfche NSTen). = ρ erfüllt die Wuzelbedingung. 3.72 = Verfhren ist symptotisch stbil. 3.74 = Konvergenz mit Ordnung s +. 2) Ü.A. Beispiel 3.76 (Milne-Simpson für k = 2) Verfhren: u j+2 u j = h 3 [f(x j+2, u j+2 ) + 4f(x j+, u j+ ) + f(x j, u j )] Betrchten wir dieses Verfhren für y = λy, λ < 0, y(0) = : = ỹ(x) = e λx. Für t := λh folgt für ds Verfhren: u j+2 ( t 3 ) 4 3 tu j+ ( + t 3 )u j = 0, Nullstellen: = ρ t (µ) = µ 2 ( t 3 ) µ 4 3 t ( + t 3 ). µ = + t + O(t 2 ) = e t ( + O(t 2 )), µ 2 = + t 3 + O(t2 ) = e t 3 ( + O(t 2 )) Mit den Strtwerten u 0 =, u = + t folgt: u j = [ + λh 2 + O(λ2 h 2 )] e λx j }{{} ( + O(λh)) guter T erm (konvergent) +[ λh 2 + O(λ2 h 2 )] e λx j ( ) j ( + O(λh)). }{{} przitärer T erm (divergent) Der przitäre Term wird für λ < 0 exponentiell groß und dominiert ds Verhlten.

96 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Stz 3.77 (Konsistenzordnungskriterien für linere MSV) Sei Φ = (ρ, σ) lineres MSV mit k, d.h. k i u j+i = h i=0 k b i f j+i mit f j+i := f(x j+, u j+i ). i=0 Für g C (Ĩ), Ĩ = [0, b ] definiere Opertor K(g, h) := h Sei f C p (S). Dnn sind äquivlent: k ( i g(ih) hb i g (ih)). i=0 (i) τ h (x, ỹ) = O(h p ), (ii) K(t s, ) = 0 für s = 0,..., p, (iii) λ = 0 ist (p + )-fche NST von ρ(e λ ) λσ(e λ ), (iv) λ = ist p-fche NST von ρ(λ) ln(λ) σ(λ) (v) Die Konsistenzordnung für y = y, y(0) = ist p. (vi) Die Konsistenzordnung für y = sx s, y(0) = ist p für lle s = 0,..., p. Beweis: Wir zeigen die Äquivlenz von (i), (ii) und (iii). Für die Äquivlenz zu (iv), (v) und (vi) siehe Ü.A. (i) (ii): Ist f C p (S), so folgt ỹ C p+ (I) Tylorentwicklung von ỹ und ỹ liefert: ỹ(x + ih) = p ỹ (s) (x) (*) s=0 s! i s h s + O(h p+ ), ỹ (x + ih) = p ỹ (s) (x) s= s! si s h s + O(h p ). Mit x i = x + ih folgt für den Abschneidefehler: hτ h (x, ỹ) = Also folgt die Behuptung. (ii) (iii): Nch Teil gilt: k i ỹ(x i ) hb i ỹ (x i ) i=0 ( y (s) (x) ( ) p = ρ()ỹ(x) + s! h s ( k s= i=0 Def. K(g,h) p = h s ỹ (s) (x) s! K(ts, ) + O(h p+ ). s=0 hτ h (x, e x ) = e x p s=0 ) ( i i s b i si s )) h s s! K(ts, ) + O(h p+ ). + O(h p+ )

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 97 Andererseits folgt us der Definition: Also folgt hτ h (x, e x ) = hk(e x+t, h) = e x k ( i e ih hb i e ih ) ρ(e h ) hσ(e h ) = }{{} =:I(h) p s=0 Entwicklung von I in h = 0 ergibt die Behuptung. i=0 = e x (ρ(e h ) hσ(e h )). h s s! K(ts, ) + O(h p+ ). Folgerung 3.78 ) Ist g(t) = y(x + t), so folgt K(g, h) = τ h (x, y). 2) Ist f C q (S) und q p, p Konsistenzordnung, so gilt: τ h (x, ỹ) = q s=p+ K(t p+, ) heißt Huptfehlerkoeffizient. h s ỹ(s) (x) K(t s, ) + O(h q ). s! Bemerkung 3.79 ) Für spezielle Klssen von lineren MSV knn nlog zu Stz 3.4 eine symptotische Entwicklung des globlen Fehlers ngegeben werden. 2) Insbesondere gilt bei MSV: Die Existenz einer symptotischen Entwicklung hängt von der Whl der Strtwerte b. Siehe hierzu uch Stoer/Bulirsch: Numerische Mthemtik II [8]. 3.4.3 Ds Extrpoltionsverfhren von Grgg Idee: Anwendung der Richrdsonextrpoltion uf Mehrschrittverfhren. Definition 3.80 (Mittelpunktverfhren) Sei u h : I h R definiert durch u h (x i ) = u i, i = 0,..., n mit u 0 = y 0, u = u 0 + hf(x 0, u 0 ), u i+ u i = 2hf(x i, u i ), i =,..., n.

98 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Stz 3.8 (Stz von Grgg) Für genügend glttes f gilt für den globlen Fehler des Mittelpunktverfhrens: u j = ỹ(x j ) + N i= h 2i (v 2i (x j ) + ( ) j w 2i (x j ) ) + O(h 2N+2 ) }{{} oszillierender T erm mit n N und v 2i, w 2i unbhängig von h. (ohne Beweis) Problem: Der oszillierende Term führt zu numerischer Auslöschung. Definition 3.82 (Grggsche Funktion) Setze s j := S(x j, h) := 2 [u j + u j + hf(x j, u j )], wobei u j Lösung des Mittelpunktverfhrens ist. Dnn folgt us Stz 3.8: s j = ỹ(x j ) + h 2 [v 2 (x j ) + 4ỹ (x j )] + O(h 4 ) D.h. die Grggsche Funktion glättet den oszillierenden Term.

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 99 Algorithmus 3.83 (Algorithmus von Grgg) Seien f(x, y), x 0, y 0, H > 0 und n N gegeben. Setze x = x 0 + H, h := H n, x i := x 0 + ih, lso x n = x. Gesucht ist eine Näherung für ỹ( x). Definiere dzu: u 0 = y 0, u = u 0 + hf(x 0, u 0 ), u i+ = u i + 2hf(x i, u i ). Dnn ist S( x, h) = 2 [u n u n + hf(x n, u n )] eine gute Näherung von ỹ( x). Extrpoltionsschem: Sei (n i ) i N eine Folge mit 0 < n 0 < n < n 2 <..., z.b. Rombergfolge n i := 2 i. Setze h i = H n i für i N 0 Berechne: S( x, h 0 ), S( x, h ), S( x, h 2 ),... Mit dem Neville-Aitken Schem berechnet mn dnn S( x, h 0 ) = T 00 S( x, h ) = T 0 T..... S( x, h i ) = T i0 T i... T ii T ij = h i jt i,j + h i T i,j h i h i j T ii ist Extrpoltion in h = 0 = T ii ỹ( x).

00 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3.4.4 Prädiktor-Korrektor-Verfhren Definition 3.84 Sei Φ = (ρ, σ ) ein explizites lineres k-schrittverfhren k k i u j+i = h b i f j+i i=0 mit k =. Φ heißt Prädiktorformel. Sei Φ = (ρ, σ) implizites lineres k-schrittverfhren k i u j+i = h i=0 mit k =, b k 0. Φ heißt Korrektorformel Algorithmus: i=0 k b i f j+i i=0 (P ) u (0) j+k + k i=0 i u j+i = h k i=0 b i f j+i Für µ =,..., l: (E) f (µ ) j+k := f(x j+k, u (µ ) j+k ) (C) u (µ) j+k + k i=0 iu j+i = hb k f (µ ) j+k (E) Setze u j+k := u (l) j+k ; f j+k := f(x j+k, u (l) j+k ) + h k i=0 b if j+i Ds Verfhren heißt P (EC) l E-Verfhren. (P ) ˆ= explizite Näherung, (EC) l ˆ= Fixpunktitertion für ds implizite Verfhren. Bemerkung 3.85 ) Die P (EC) l E-Verfhren sind explizite, i. A. nichtlinere Mehrschrittverfhren. 2) Alterntiv zum letzten E-Schritt knn mn setzen: u j+k := u (l) j+k, f j+k := f(x j+k, u (l ) j+k ) = f (l ) j+k. Dieses Verfhren heißt P (EC) l -Verfhren und ist für die Prxis wichtiger. Stz 3.86 Sei Φ explizites k-schrittverfhren mit Konsistenzordnung p und Φ sei implizites k-schrittverfhren mit Konsistenzordnung p. Dnn gilt für ds zugehörige P (EC) l E-Verfhren: ) P (EC) l E ist konsistent mit Ordnung p := min{p + l, p} 2) Erfüllt ρ die Wurzelbedingung, so ist ds P (EC) l E- Verfhren konvergent mit Ordnung p, flls die Strtwerte konvergent mit Ordnung p sind.

3.4. MEHRSCHRITTVERFAHREN 0 3) Ist p < p + l, so ht ds P (EC) l E-Verfhren den Huptfehlerkoeffizienten des Korrektorverfhrens. (ohne Beweis) Bemerkung 3.87 ) Eine nloge Aussge zu Stz 3.86 gilt uch für die P (EC) l -Verfhren. 2) In der Prxis wählt mn häufig Adms-Bshforth (P) und Adms-Moulton (C) der gleichen Konsistenzordnung und führt nur l = Itertionen durch. Mn profitiert von dem deutlich kleineren Huptfehlerkoeffizienten. 3) Kennt mn die Huptfehlerkoeffizienten zu (P) und (C), so knn mn nlog zum Vorgehen bei ESV eine Schrittweitenkontrolle für die P (EC) l E erhlten.

02 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3.5 Steife Differentilgleichungen und Stbilitätsbegriffe Beispiel 3.88 Betrchte AWP y (x) = q(y g(x)) + g (x) y( = 0) = y 0 ; g 0 := g() Sei q < 0, q 0, g (x). Dnn ist die exkte Lösung gegeben durch: ỹ(x) = g(x) + e qx (y 0 g 0 ). Für ỹ j := ỹ(x j ) ; g j := g(x j ) folgt: ỹ j+ g j+ = }{{} e qh (ỹ j g j ). < = Für die exkte Lösung wird der Abstnd von ỹ und g monoton kleiner. Ziel: Ds numerische Verfhren soll dieses Verhlten reproduzieren. ) Euler explizit: Strtwert u 0 = y 0 und h > 0: = u j+ g j+ = ( + hq)(u j g j ) + O(h 2 ) Bei der Näherung erhält mn nur dnn eine Dämpfung, wenn + hq < = Bedingung n h (h < /q). b) Euler implizit: Strtwert u 0 = y 0 und h > 0: = u j+ g j+ = = Immer Dämpfung, unbhängig von h! (u j g j ) + O(h 2 ) hq }{{} <, h>0 Allgemeine Sitution 3.89 Seien u und v Lösungen des Systems mit u() = u 0, v() = v 0. Dnn ist: y = f(x, y) im R n u (x) v (x) = J(x)(u(x) v(x)) mit J(x) = f y (x, tu(x) + ( t)v(x))dt. 0

3.5. STEIFE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN UND STABILITÄTSBEGRIFFE 03 [ Für n =, z.b. f(x, y) = qy, v(x) = g(x) (siehe Beispiel 3.85) ] Definition 3.90 (Steife Differentilgleichung) Ds AWP y = f(x, y) heißt steife Differentilgleichung rechts von, flls gilt: ) λ EW von J(x) = Re λ < 0. 2) Für n 2 gilt: EW λ mit λ < 0und λ 0 und EW λ 2 mit λ 2 λ. Beispiel 3.9 y i i =, 2, 3 seien Konzentrtionen von Substnzen zur Zeit t, k i seien Rektionsrten: y = k y + k 2 y 2 y 3, y 2 = k y k 2 y 2 y 3 k 3 y 2 2, y 3 = k 3y 2 2. Seien y (0) =, y 2 (0) = y 3 (0) = 0. Dnn folgt für die EW von J(x) x λ λ 2 λ 3 0 0 0 0, 04 0 2 0 0, 36 280 00 0 0, 0048 4240 0 0 0 4 = sehr steifes System

04 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Definition 3.92 ((Absolute Stbilität)) Sei y = qy Testgleichung. Sei Φ = (ρ, σ) lineres k-schrittverfhren, d.h. ( ) k ( i hqb i )u j+i = 0 ; j = k,..., n k i=0 und u 0,..., u k gegeben. Definiere ds Stbilitätspolynom ρ t (λ) = ρ(λ) t σ(λ) D.h. ρ t (λ) ist chrkteristisches Polynom von ( ) mit t = hq. Φ heißt bsolut stbil für t C flls gilt: t D s := {t C ρ t (λ) = 0 für ein λ C = λ < }. D s heißt Stbilitätsgebiet von Φ. Für ESV Φ = ϕ der Form u j+ = g(t)u j ist ds Stbilitätspolynom gegeben durch ρ t (λ) = λ g(t). Beispiel 3.93 (Stbilitätsgebiete für explizite Runge-Kutt-Verfhren) Siehe Folie us Deuflhrd, Bornemnn [4, Seite 230]. Beispiel 3.94 Ds Verfhren von Milne-Simpson ist symptotisch stbil, ber nicht bsolut stbil. Dies wurde in Beispiel 3.73 gezeigt. Weitere Forderung n gute numerische Verfhren: A) Ein fllender Exponentilterm der Lösung von y = qy soll stets (für lle h) fllend genähert werden Dies führt uf den Begriff der A-Stbilität Definition 3.95 ((A-Stbilität)) Φ heißt A-stbil, gdw. D s H = {t C Re t < 0}. Abschwächungen dzu sind: A(α)-Stbilität: D s {t C rg( t) < } A(0)-Stbilität: D s R

3.5. STEIFE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN UND STABILITÄTSBEGRIFFE 05 Stz 3.96 Sei Φ = (ρ, σ) lineres MSV mit k 2 und Φ sei A-stbil. Dnn gilt ) Φ ist implizit, 2) Φ ht Konvergenzordnung 2. Ds Trpezverfhren ht unter llen A-stbilen MSV die kleinste Fehlerschrnke. (ohne Beweis) Stz 3.97 ) Die BDF-k Verfhren sind A-stbil für k = s 2. 2) Implizite Runge-Kutt Verfhren sind A-stbil. (ohne Beweis)

06 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3.6 Numerische Lösung von Rndwertproblemen Beispiel 3.98 (Wärmeleitender Stb) Gegeben: Stb ˆ= [, b] Wärmequellendichte f(x), x [, b] Rndwerte: y() = y l, y(b) = y r Wärmleitfähigkeitskoefffizient k(x), x [, b] Gesucht: Tempertur y(x) mit ( ) (k(x)y (x)) = f(x) x (, b), y C 2 ((, b)) C 0 ([, b]), y() = u l, y(b) = u r. Formulierung ls System. Ordnung: Setze y = y(x), y 2 (x) = y (x) y ( ) = (x) = y 2(x), y 2 (x) = k (x) k(x) y 2(x) f(x) k(x) mit y () = u l, y (b) = u r. Definition 3.99 (Linere Rndwertprobleme) Seien B, B b R n n, A C 0 (I, R n n ), I := [, b], f C 0 (I, R n ), g R n. Dnn heißt y : I R n Lösung des lineren Rndwertproblems (RWP), flls gilt: ) y C (I, R n ), 2) y (x) = Ay + f in I, 3) B y() + B b y(b) = g. Beispiel 3.00 Die Differentilgleichung y (x) + y(x) = 0, x [0, π] y (x) y 2(x) = 0 y 2 (x) + y (x) = 0 ht die llgemeine Lösung y(x) = c sin(x) + c 2 cos(x). Für verschiedene Rndbedingungen ergibt sich unterschiedliches Vehlten: ) y(0) = y(π); y (0) = y (π) = ergibt die eindeutige Lösung y 0. 2) y(0) = y(π) = 0 = ergibt unedlich viele Lösungen y(x) = c sin(x). 3) y(0) = 0, y(π) = = ergibt keine Lösung. Ziel: Bedingung für eindeutige Lösbrkeit!

3.6. NUMERISCHE LÖSUNG VON RANDWERTPROBLEMEN 07 Definition 3.0 (Fundmentlsystem) Für ( ) y = Ay + f in I definiere ds Fundmetlsystem {y,..., y n }, y i : I R n, durch Die Mtrix ) y i C (I, R n ), 2) y i = Ay i in I, 3) y i () = e i, mit e i i-ter Einheitsvektor im R n. y (x)... y n (x) Y (x) :=..... y n (x)... y nn (x) heißt Fundmentlmtrix. Ist y 0 C (I, R n ), y 0 () = 0 eine spezielle Lösung von ( ), so läßt sich jede Lösung von ( ) drstellen ls y(x) = y 0 (x) + Y (x) s mit einem Vektors R n. Stz 3.02 (Existenz und Eindeutigkeit linerer RWPe) Die folgenden Aussgen sind äquivlent: ) (RWP) besitzt eine eindeutige Lösung. 2) Ds zugehörige homogene RWP mit f = 0, g = 0 besitzt nur die trivile Lösung. 3) Die Mtrix B + B b Y (b) R n n ist regulär. Beweis: Seien y 0 (x) und Y (x) wie in Definition 3.98 definiert. Dnn gilt y 0 () = 0 und Y () = I. Also ist y(x) = y 0 (x) + Y (x)s genu dnn Lösung von (RWP), wenn gilt [B + B b Y (b)]s = g B b y 0 (b) Also ist s R n genu dnn eindeutig bestimmt, wenn 2) oder 3) gelten.

08 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3.6. Sturm-Liouville Probleme Definition 3.03 (Sturm-Liouville Probleme) Seien p C (I), q, f C 0 (i), I = [, b] gegeben mit q(x) 0 x I, p(x) p 0 > 0 x I Dnn heißt y C 2 ((, b)) C 0 ([, b]) C ((, b]) Lösung des Sturm-Liouville Problems (SLP) mit homogenen Dirichlet und Neumnn Rndwerten, flls gilt: (SLP ) (p(x)y (x)) + q(x)y(x) = f(x) x I y() = 0; y (b) = 0 Bemerkung: Allgemein Rndbedingungen sind: α y () + α 0 y() = g β y (b) + β 0 y(b) = g b Definition 3.04 (Vritionsproblem) Für v X := {u C ([, b]) u() = 0} definiere ds sogennnte Energiefunktionl I : X R durch I(v) = 2 p(x)(v (x)) 2 dx + 2 q(x)(v(x)) 2 dx y X heißt Lösung des mit Vritionsproblems, flls gilt I(y) = inf v X I(v). f(x)v(x)dx. Lemm 3.05 (Eulergleichung und ntürliche Rndbedingung) Ist y X, so dss I(y) I(v) v X, so gilt ϕ X: ( ) py ϕ + qyϕ = ( ) heißt schwche Formulierung der Eulergleichung. Ist zusätzlich y C 2 ((, b)), so folgt weiter: ( ) (py ) + qy = f in I, y() = 0; y (b) = 0. fϕ Beweis: Teil : Sei y X mit I(y) I(v) v X. = I(y) I(y + εϕ) ε R ; ϕ X. = G(0) G(ε) ε R, wobei G(ε) := I(y + εϕ). D G differezierbr in ε is, folgt G (0) = 0. Es ist

3.6. NUMERISCHE LÖSUNG VON RANDWERTPROBLEMEN 09 G(ε) = 2 p(y + εϕ ) 2 + q(y + εϕ) 2 2f(y + εϕ) = I(y) + ε py ϕ + qyϕ fϕ + ε 2 (I(ϕ) + fϕ) = G (0) = py ϕ + qyϕ fϕ =! 0, ϕ X. Teil 2: Ist y C 2 ((, b)), so folgt mit prtieller Integrtion Einsetzen in ( ) ergibt ( ) Also folgt für lle ϕ C 0 ((, b)): py ϕ = (py ) ϕ + (py ) ϕ + [ ] b py ϕ. qyϕ fϕ + [py ϕ] b = 0. [ (py ) + qy f]ϕ = 0. = (py ) + qy = f. Durch Einsetzen in ( ) erhält mn für lle ϕ X: =, so folgt y (b) = 0, d p(b) > 0. y (b) = 0 heißt ntürliche Rndbedin- Wähle ϕ(b) 0 gung. 0 = [py ϕ] b = p(b)y (b)ϕ(b) p()y () ϕ() = p(b)y (b)ϕ(b) }{{} =0 Nächstes Ziel: Existenz einer schwchen Lösung, d.h. Dzu benötigen wir folgenden Hilfsstz. y X mit I(y) = inf v X I(v). Stz 3.06 (Poincré Ungleichung) Für lle v X gilt mit einer Konstnten c p 2 (b )2 : (v(x)) 2 dx c p (v (x)) 2 dx Beweis: Es ist v(x) = v(x) v() x }{{} v (s) ds. =0 = (v(x)) 2 ( x v (s) ds ) 2 x (x ) v (s) 2 ds. = (v(x))2 dx (x ) v (s) 2 ds = 2 (b )2 v (s) 2 ds. Lemm und Definition 3.07 Definiere uf X die Norm ( v X := (v(x)) 2 + (v (x)) dx) 2 2. 0

0 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Sei (v n ) n N, v n X eine Minimlfolge, d.h. Dnn ist (v n ) n N eine Cuchyfolge in X, d.h. lim I(v n) = inf I(v). n v X v n v m X 0 (n, m ). Beweis: Setze d := inf v X I(v).. Schritt: Zeige d > : Es ist Vor. in (SLP) I(v) p 0 2 (v (x)) 2 dx Mit der Ungleichung b δ 2 2 + 2δ b2 p 0 ( ) ( b (f(x))2 2 ) b (v(x))2 2 2 (v (x)) 2 dx ( ) ( c p (f(x)) 2 2 b ) (v (x)) 2 2. } {{ }} {{ } =: =:b, b R folgt ( p0 I(v) 2 δ ) (v (x)) 2 cp dx 2 2δ f 2 L 2 (,b). cp Für δ = p 0 folgt: I(v) 2p 0 f 2 L 2 (,b). Also folgt d >, d f C0 ([, b]). 2. Schritt: Sei (v n ) n N Folge in X mit lim n I(v n) = d >. Zeige: (v n ) ist Cuchyfolge in X. Nottion: Definiere die Bilinerform B : X X R durch B(v, w) := pv w + Dnn gilt B(v, v) = p (v ) 2 + qv2 p 0 (v (x)) 2 dx. Aufgrund der Poincré Ungleichung gilt weiter: qvw. Dmit folgt: B(v, v) p 0 ( (v (x)) 2 dx + c p (v (x)) 2 dx) +c p p 0 +c p v 2 X. p 0 +c p v n v m X B(v n v m, v n v m ) Prllelogrmmidentität = 2B(v n, v n ) + 2B(v m, v m ) 4B( vn+vm I(v)= 2 B(v,v) R b fv Also ist (v n ) n N Cuchyfolge. = 4[I(v n ) + I(v m ) 2I( vn+vm 2 )] 4[I(v n ) + I(v m ) 2d] 4[d + d 2d] = 0 für n, m. 2, vn+vm 2 )

3.6. NUMERISCHE LÖSUNG VON RANDWERTPROBLEMEN Problem: Der Rum (X, X ) ist nicht vollständig! Lösung: Vervollständige X bzgl. der Norm X und erhlte vollständigen Rum X X. Beispiel us der Anlysis III: Ist Y = C 0 ([, b]), so ist Ȳ = L2 ((, b)) die Vervollständigung ( 2 von Y bzgl. v Y =. v2 ) Um X zu chrkterisieren, benötigen wir den Begriff der schwchen Ableitung. Definition 3.08 (Schwche Ableitung) v L (, b) besitzt eine schwche Ableitung k-ter Ordnung D k v L (, b), flls für lle ϕ C0 (, b) gilt: v(x)ϕ (k) (x)dx = ( ) k (D k v)(x)ϕ(x)dx. Beispiel 3.09 Sei v(x) = x mit x [, ]. Dnn gilt: D (v)(x) = sign(x), denn für ϕ C0 (, ) gilt: v(x)ϕ (x)dx = 0 ( x)ϕ (x)dx + 0 xϕ(x)dx = [( x)ϕ(x)] 0 + 0 ϕ(x)dx + [xϕ(x)] 0 0 ϕ(x)dx = 0 ( )ϕ(x)dx 0 ϕ(x)dx = sign(x)ϕ(x)dx. Allgemein gilt in einer Rumdimension: Stückweise differenzierbre Funktionen, die globl stetig sind, sind schwch differenzierbr. Die schwche Ableitung ist durch die stückweise definierte Ableitung gegeben. Stz 3.0 (Eindimensionle Sobolevräume) ) Der Sobolevrum H m (, b) := {v L 2 (, b) v ht schwche Ableitungen D k v L 2 (, b) k = 0,..., m} ist mit dem Sklrprodukt (u, v) H m (,b) := m k=0 D k ud k v ein Hilbertrum. Durch u H m (,b) (u, := u) H m (,b) erhlten wir eine Norm uf H m (, b). 2) u H m (, b) ist fst überll gleich einer Funktion ũ C m ([, b]) und es ist ũ C m ([,b]) c u H m (,b). 3) Zu u H m (, b) gibt es eine Folge (u j ) j N, u j C m ([, b]), so dss u u j H m (,b) 0 (j ). Ist ũ() = 0, so knn mn u j so wählen, dss u j () = 0 ist.

2 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Beweis: z.b [Alt. Linere Funktionlnlysis, Springer, 992]. Folgerung 3. Die Vervollständigung von X bzgl. X ist gegeben durch X = {v H (, b) v() = 0}. Stz 3.2 (Existenz und Eindeutigkeit einer schwchen Lösung von (SLP)) Seien die Vorussetzungen us Definition 3.00 erfüllt. Dnn gibt es genu ein y ϕ X gilt: py ϕ + qyϕ = fϕ. X, so dss Beweis: Existenz: Sei (v n ) n N Minimlfolge in X (nstelle von X). Anlog zu Lemm 3.04 folgern wir, dss (v n ) n N Cuchyfolge in X ist. D X vollständig ist (Stz 3.07) y X mit v n y X 0 (n ). Zeige: I(y) = d (= inf v X I(v)). Es ist I( y ) I(v n ) = = 2 p((y ) 2 (v n) 2 ) + q(y 2 vn) 2 f(y v n) 2 p y 2 v n 2 + 2 q y 2 vn 2 b + f y v n 2 p y v n ( y + v n ) + 2 q y v n ( y + v n ) + f y v n [( C.S. 2 p + ) ] 2 q ( y X + v n X) + f L 2 (,b) y v n }{{ X }}{{} 0 (n ) C< Also folgt I(y) = lim n I(v n) = d und dmit die Existenz der Lösung. Eindeutigkeit: Seien y, y 2 Lösungen, so folgt für v = y y 2 : pv ϕ + qvϕ ϕ X. Wähle ϕ = v: = 3.06 0 = B(v, v) p 0 + c p v X = v X = 0 = v = 0 = y = y 2.

3.6. NUMERISCHE LÖSUNG VON RANDWERTPROBLEMEN 3 Stz 3.3 (A priori Abschätzung) Für jede schwche Lösung y X von (SLP) gilt: ) y L 2 (,b) C f L 2 (,b). 2) Ist y H 2 (, b), so gilt y L 2 (,b) C 2 f L 2 (,b). Dbei sind C = cp p 0, C 2 = 3 p 0 ( cp p 0 ) p + cp p 0 q + Beweis: Ü.A. 3.6.2 Ds Ritz-Glerkin Vefhren Definition 3.4 (Ritz-Glerkin Verfhren für (SLP)) Sei X := {v H (, b) v() = 0} und I : X R ds Energiefunktionl us Definition 3.0. Sei X h X ein endlichdimensionler Teilrum. Dnn heißt u h X h Ritz-Glerkin Approximtion der schwchen Lösung y X von (SLP), g.d.w I(u h ) = inf I(v h ). v h X h Idee: Minimierung von I uf endlichen Teilräumen. Folgerung 3.5 (Schwche diskrete Differentilgleichung) ) D X h X ist, folgt I(u) I(u h ). 2) Ist u h X h Ritz-Glerkin Approximtion von (SLP), so gilt: (D SLP ) B(u h, ϕ h ) = mit B(u, v) := pu v + quv. fϕ h, ϕ h X h Beweis: Anlog zum kontinuierlichen Fll in Lemm 3.02. Bemerkung 3.6 (Formulierung von (D-SLP) ls lineres Gleichungssystem) Seien N := dim(x h ) und {ϕ,..., ϕ N } eine Bsis von X h. Dnn läßt sich u h drstellen ls mit Koeffizienten u j R, j =,..., N. Dmit ist (D-SLP) äquivlent zu u h (x) = N B(ϕ j, ϕ k )u j = j= N u j ϕ j (x) j= fϕ k k =,..., N.

4 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Mit den Definitionen u := (u,..., u N ); S kj := B(ϕ j, ϕ k ), k, j =,..., N; b k := fϕ k; b := (b,..., b N ) ist somit (D-SLP) äquivlent zu dem lineren Gleichungssystem Die Mtrix S wird Steifigkeitsmtrix gennnt. Su = b Stz 3.7 (Abstrkte Fehlerbschätzung) Seien X ein normierter Rum, X h X ein Teilrum. Weiter sei f X = L(X; R) ein lineres Funktionl uf X. Gilt dnn u X : B(u, ϕ) = f(ϕ), ϕ X, u h X h : B(u h, ϕ h ) = f(ϕ h ) mit einer Bilinerform B : X X R die koerziv ist, d.h. und stetig, d.h. so gilt die Fehlerbschätzung ϕ h X h C 0 > 0, so dss ϕ X : B(ϕ, ϕ) C 0 ϕ 2 X C 0, so dss ϕ, ψ X : B(ϕ, ψ) C ϕ X ψ X, u u h X C inf u v h C X 0 v h X h und es ist B(u u h, ϕ h ) = 0 ϕ h X h. Glerkin-Orthogonlität Beweis: Wegen X h X, folgt ϕ h X h B(u, ϕ h ) = f(ϕ h ) und B(u h, ϕ h ) = f(ϕ h ) = B(u u h, ϕ k ) = 0 ϕ h X h (Glerkin-Orthogonlität ). Mit Koerzivität und Stetigkeit von B folgt nun: C 0 u u h 2 X B(u u h, u u h ) = B(u u h, u) B(u u h, u h ) }{{} =0 v h X = h B(u uh, u) B(u u h, v h ) }{{} =0 = B(u u h, u v h ) stetig C u u h X u v h X Also folgt: u u h X C C 0 u v h X v h X h. Bemerkung 3.8 Für (SLP) ist B(u, v) = pu v + quv

3.6. NUMERISCHE LÖSUNG VON RANDWERTPROBLEMEN 5 und f(v) := Ist X := {v H (, b) v() = 0}, so ist f X, flls f L 2 (, b), d v X gilt f(v) f L 2 (,b) v L 2 (,b) f L 2 (,b) v X. fv. Beispiel 3.9 (Whl von X h ) ) Polynompproximtion: X h = P k ( ˆ= Polynome von Grd k) = N = dim(x h ) = k +. 2) Eigenräume: X h := spn{ϕ,..., ϕ N }, wobei ϕ,..., ϕ N die ersten N normierten Eigenfunktionen des Opertors Lu := (pu ) + qu, u() = 0, u (b) = 0 sind, d.h. Lϕ j = λ j ϕ j ; 0 < λ λ 2... λ N. 3) Stückweise Polynome: X h = {ϕ h C 0 ([, b]) ϕ h () = 0, ϕ h [xj,x j+ ] P k } wobei = x 0 < x <... < x n = b eine Zerlegung von [, b] ist. = Finite Elemente!

6 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 3.6.3 Finite Elemente Verfhren Definition 3.20 (Finite Elemente Verfhren) ) Sei I := [, b] und I h := {x 0,..., x n } I ein Gitter mit x 0 =, x n = b, x j+ = x j + h j, h j > 0. Definiere I j := (x j, x j+ ) und h := mx j. Für festes k N j=0,...,n wählen wir X h := {ϕ h C 0 ([, b]) ϕ h () = 0, ϕ h Ij P k j = 0,..., n }. Ein u h X heißt Finite Elemente Approximtion von (SLP), flls für lle ϕ h X h gilt: B(u h, ϕ h ) = f(ϕ h ) ϕ h X h. Dbei sind B, f wie in Bemerkung 3.5 definiert. 2) (Finite Elemente Bsis für k = ) Sei k =. Für j =,..., n sei ϕ j X h definiert durch ϕ j (x i ) = δ ij x i I h. D.h. für j =,..., n ist x x j h j x I j x ϕ j (x) = j+ x h j x I j 0 sonst. Es ist supp(ϕ j ) = I j I j und somit folgt für die Steifigkeitsmtrix S kj := B(ϕ j, ϕ k ) = 0, flls j k 2. 3) (Fehlerbschätzung für k = ) Sei k =. Definiere Interpolierende ũ h X h zu y X durch ũ h (x j ) := y(x j ) j = 0,..., n = ũ h (x) = n y(x j )ϕ j (x). j= Dnn gilt die Fehlerbschátzung (nch Stz 3.4) y u h X C inf y v h C 0 v h X X C y ũ h h C X. 0 D.h. der Fehler der Finite Elemente Approximtion ist durch den Interpoltionsfehler bgeschätzt. Stz 3.2 (Interpoltionsfehler uf dem Einheitselement) Für v H (0, ) sei ṽ h P die linere Interpolierende zu v, d.h. ṽ h P, ṽ h (0) = v(0), ṽ h () = v(). Dnn gilt: ) v ṽ h L 2 (0,) c p v L 2 (0,), 2) ṽ h L 2 (0,) v L 2 (0,). Ist zusätzlich v H 2 (0, ), so ist

3.6. NUMERISCHE LÖSUNG VON RANDWERTPROBLEMEN 7 3) v ṽ h L 2 (0,) c p v L 2 (0,), 4) (v ṽ h ) L 2 (0,) c p v L 2 (0,). Beweis: Anlog zu Hilfsstz 3.03 (Poincré Ungleichung) zeigt mn, dss für lle w H (0, ) mit w(0) = w() = 0 gilt ( ) w 2 L 2 (0,) c p w 2 L 2 (0,), wobei c p 2 ist. Setze w = v ṽ h. Dnn folgt us ( ) unter Verwendung von ( ) ṽ h (x) = v() v(0) = v (s)ds : v ṽ h 2 L 2 (0,) c p v ṽ h ) 2 L 2 (0,) = c p 0 (v (x) ṽ h (x))2 dx = c p 0 (v (x)) 2 2ṽ h (x)v (x) + (ṽ h (x))2 dx ( ) = c p Also hben wir ) gezeigt. 2) folgt direkt us ( ), d 0 0 (v (x)) 2 dx 2(v() v(0)) 2 + (v() v(0)) 2 = c p 0 (v (x)) 2 dx (v() v(0)) 2 c p 0 (v (x)) 2 dx ṽ h L 2 (0,) = v() v(0) v L 2 (0,) 3) folgt us ) und ( ), d ( ) uch für w H (0, ) mit 0 w(x)dx = 0 gilt. 4) folgt nlog zur Herleitung von Gleichung 2), wenn mn bechtet, dss ṽ h = 0 gilt. Folgerung 3.22 (Interpoltionsbschätzung) Sei y X und ũ h X h die Interpolierende von y für k = us Definition 3.7, 3). Dnn gilt, flls y H 2 (, b): ) y ũ h L 2 (,b) c ph 2 y L 2 (,b), 2) (y ũ h ) L 2 (,b) c p h y L 2 (,b). Beweis: (Folgt us 3.8 mit Sklierungsrgument) zu ): Es ist y ũ h 2 L 2 (,b) = n j=0 y ũ h 2 L 2 (I j ). Durch die Trnsformtion x = F ( x) = h j x + x j und ȳ( x) = y(f ( x)) folgt I j = F ((0, )) und ũ h Ij = y(x j ) + x x j h j (y(x j+ ) y(x j )) = ȳ(0) + x(ȳ() ȳ(0)) =: hy( x)

8 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Also gilt wegen F ( x) = h j und ȳ ( x) = y (F ( x)) (F ( x)) 2 Also ist ) gezeigt. zu 2): (Anloge Vorgehensweise!) y ũ h 2 L 2 (I j ) = h j ȳ ȳ h 2 L 2 (0,) 3.8 3) c 2 ph j ȳ 2 L 2 (0,) = y ũ h 2 L 2 (,b) c 2 p c 2 ph 4 j y 2 L 2 (I j ). n j=0 h 4 j ȳ 2 L 2 (I j ) c 2 ph 4 y 2 L 2 (,b). (y ũ h ) 2 n L 2 (,b) = (y ũ h ) 2 L 2 (I j ). j=0 (y ũ h ) 2 L 2 (I j ) = h j (ȳ ũ h ) 2 L 2 (0,) 3.8 4) c p h j ȳ 2 L 2 (0,) = c p h 2 j y 2 L 2 (I j ). = (y ũ h ) 2 n L 2 (,b) c p j=0 h 2 j y 2 L 2 (I j ) c p h 2 y 2 L 2 (,b). Stz 3.23 (Fehlerbschätzung für linere Finite Elemente) Sei y X die schwche Lösung von (SLP) und es gelten die Vorussetzungen us Definition 3.00. Sei zusätzlich f L 2 (, b), p, p, q L (, b) und es gelte y H 2 (, b). Dnn existiert eine Konstnte c > 0, so dss für die stückweise linere Finite Elemente Approximtion u h X h (mit k = ) gilt: y u h X c h f L 2 (,b) Beweis: Nch 3.7, 3) gilt y u h X c c 0 y ũ h X, wobei ũ h die Interpolierende von y in X h ist und c := mx{ p, q }, c 0 := p 0 + c p. Dnn folgt weiter mit Interpoltionsfehlerbschätzung 3.9: y u h X 3.9 3.0 ) c c 0 ( y ũ h 2 L 2 (,b) + (y ũ h) 2 2 L 2 (,b) c c 0 (c 2 ph 4 + c p h 2 ) /2 y L 2 (,b) c c 2 cp (c p h 2 + ) /2 h f c L 2 (,b). } 0 {{} C (z.b. für h h mx)

3.6. NUMERISCHE LÖSUNG VON RANDWERTPROBLEMEN 9 Bemerkung 3.24 ) Mn knn zeigen, dss mit den Vorussetzungen p C (, b), q, f C 0 (, b); p, p, q L (, b) und f L 2 (, b) folgt, dss y H 2 (, b) ist. 2) Für k > glit die Fehlerbschätzung: y u h X c h k y (k+) flls p, q, f und y regulär genug sind. L 2 (,b) 3) Weiteres zu Finiten Elementen findet mn z.b. in den Büchern von Cirlet [3] oder Bress [2]. Bemerkung 3.25 (Weitere Diskretisierungsverfhren für (SLP)) ) Finite Differenzenverfhren: Idee: Ersetze Ableitungen durch Differenzenquotienten, z.b. y y j y j, y y j+ 2y j + y j h h 2. 2) Schießverfhren: Berechne mit ESV oder MSV Approximtionen der Anfngswertprobleme für y 0, Y us Definition 3.98 und erhlte y 0,h, Y h. Wie im kontinuierlichen Fll ist dnn wobei s h Lösung des Gleichnungssystems ist (vgl. Stz 3.99 mit Beweis). y h := y 0,h + Y h s h [B + B b Y h (b)]s h = g B b y 0,h (b)

20 KAPITEL 3. NUMERIK GEWÖHNLICHER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

Kpitel 4 Ausblick: Prtielle Differentilgleichungen Prtielle Differentilgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit mehreren Vriblen mit ihren prtiellen Ableitungen in Beziehung setzt. Beispiel: (Wärmeleitungsgleichung in drei Rumdimensionen) Gesucht ist die zeitbhängige Temperturverteilung T = T (x, t) in einem Gebiet Ω R 3 und Zeitintervl [0, Tmx]. Im folgenden sei Ω R n ein Gebiet. Wir beschränken und uf sklre prtielle Differentilgleichungen zweiter Ordnung vom lineren Typ für u C 2 (Ω). Definition 4. (Prtielle Differentilgleichung zweiter Ordnung) u C 2 (Ω) heißt klssiche Lösung einer lineren prtielle Differentilgleichung zweiter Ordnung, flls gilt: n ij (x)u xi,x j (x) + i,j= n b i (x)u xi (x) + c(x)u(x) = f(x), x Ω. (4.) i= Dbei sind ij, b i, c, f C 0 (Ω) für i, j =,..., n, x = (x,..., x n ) Ω und u xi := u x i (x). D u C 2 (Ω)ist, gilt u xi,x j (x) = u xj,x i (x) und wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit nnehmen, dss ij (x) = ji (x) gilt. Dnn ist ( ) A(x) = ij (x) symmetrisch und ht n reelle Eigenwerte. Wir setzen b(x) := (b (x),..., b n (x)). i,j=,...,n 2

22 KAPITEL 4. AUSBLICK: PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Definition 4.2 (Klssifizierung für Prtielle Differentilgleichungen zweiter Ordnung) (i) Die Prtielle Differentilgleichung (4.) heißt hyperbolisch in x Ω, flls n Eigenwerte von A(x) gleiches Vorzeichen besitzen und ein Eigenwert ds entgegengesetzte Vorzeichen ht. (ii) Die Prtielle Differentilgleichung (4.) heißt elliptisch in x Ω, flls lle Eigenwerte von A(x) ds gleiche Vorzeichen besitzen. (iii) Die Prtielle Differentilgleichung (4.) heißt prbolisch in x Ω, flls n Eigenwerte von A(x) gleiches Vorzeichen hben, ein Eigenwert verschwindet und zusätzlich gilt: Rg(A(x), b(x)) = n. Bemerkung 4.3 Definition 4.2 deckt nicht lle denkbren Typen b. Allerdings sind die definierten Typen die wichtigsten in den Anwendungen. 4. Die Wellengleichung Definition 4.4 (Wellengleichung) Seien u 0, u, R und g, h : [0, π] R mit g(0) = u 0, g(π) = u, h(0) = 0, h(π) = 0. (4.2) u : [0, π] R 0 R heißt Lösung der Wellengeichung, flls gilt: und u tt (x, t) = 2 u xx (x, t), (x, t) (0, π) (0, ) (4.3) u(0, t) = u 0, u(π, t) = u, t 0, (4.4) u(x, 0) = g(x), x [0, π], (4.5) u t (x, 0) = h(x), x [0, π]. (4.6) Die Wellengleichung beschreibt für u 0, u = 0 die Auslenkung einer in x = 0 und x = π fest eingespnnten Site: Bemerkung 4.5 Die Wellengleichung ist hyperbolisch. Es ist A(x, t) = ( 2 0 0 ). Die Bedingungen (4.2) heißen Verträglichkeitsbedingungen.

4.2. DIE POISSON GLEICHUNG 23 Abbildung 4.: Erste und zweite Mode einer schwingenden Site. 4.2 Die Poisson Gleichung Sei Ω R 2 ein Gebiet mit glttem Rnd Ω und Ω = Ω Ω. Abbildung 4.2: Skizze eines Gebietes Ω mit glttem Rnd. Definition 4.6 (Poisson Gleichung) Seien f : Ω R und g : Ω R gegebene Funktionen. Dnn heißt eine Funktion u C 2 (Ω) C( Ω) Lösung des Dirichletproblems für die Poisson Gleichung, flls gilt u(x) := i=,2 u x i,x i = f(x), x Ω, (4.7) und u(x) = g(x), x Ω. (4.8) Flls f 0 gilt, so heißt Gleichung (4.7) uch Lplce Gleichung. Bemerkung 4.7 Die Poisson Gleichung ist elliptisch. Es ist A(x) = ( 0 0 ).

24 KAPITEL 4. AUSBLICK: PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Neben dem Dirichlet-Problem betrchtet mn uch ds Neumnn-Problem, d.h. (4.8) wird ersetzt durch u(x) n(x) = g(x), x Ω. Dbei ist n(x) die äußere Normle n den Rnd von Ω. Die Poisson Gleichung modelliert z. B. die sttionäre Wärmeverteilung, oder die Verteilung eines elektrischen Potentils. 4.3 Die Wärmeleitungsgleichung Sei Ω R 2 ein Gebiet mit glttem Rnd Ω. Definition 4.8 (Wärmeleitungsgleichung) Seien u 0 : Ω R und g : Ω [0, ) R mit folgender Verträglichkeitsbedingung gegeben: u 0 (x) = g(x, 0), x Ω. (4.9) Weiter seien > 0 und f : Ω [0, ) R gegeben. Dnn heißt eine Funktion u C 2 (Ω (0, )) C( Ω (0, )) Lösung der Wärmeleitungsgleichung, flls gilt und u t (x) = u(x) + f(x), x Ω (0, ) (4.0) u(x, 0) = u 0 (x), x Ω, (4.) u(x, t) = g(x, t), (x, t) Ω [0, ). (4.2) Abbildung 4.3: Skizze zu der Verträglichkeitsbedingung (4.9). Bemerkung 4.9 Die Wärmeleitungsgleichung ist prbolisch. Es ist 0 0 A(x) = 0 0 0 0 0

4.3. DIE WÄRMELEITUNGSGLEICHUNG 25 und Rg(A, (0, 0, ) t ) = 3.

Index P (EC) l E-Verfhren, 00 2-Punkt-Guß-Qudrtur, 52 A priori Abschätzung, 3 A-Stbilität, 04 Absolute Stbilität, 04 Abstrkte Fehlerbschätzung, 4 nlytisch, 9 Anfngswertproblem Definition, 6 Diskretes Lösungsverfhren, 66 globler Fehler numerischer Verfhren, 66 liner, 64 linere Systeme, 65 Stetigkeitsstz, 63 symptotische Entwicklung, 9 B-Splines, 38, 39 Bernoulli Polynome, 54 Bernoulli Zhlen, 54 Birkoff-Interpoltion, 8 Butcher-Tbleu, 7 Dhlquist Konvergenzsstz, 94 Defektfunktion, 9 Differentilgleichungen Theorie, 6 utonome, 73 höherer Ordnung, 65 Reduktion uf System. Ordnung, 65 Differenzengleichung Definition, 82 Differenzengleichungen Theorie der lineren, 82 Divide nd conquer, 27 dividierte Differenz, 3 - der Ordnung k, 3 Algorithmus, 5 weitere Eigenschften, 4 dividierte Differenzen, 9, 3 Rekursionsformel für -, 8 Dormnd-Prince Verfhren, 8 Eindimensionle Sobolevräume, Einschrittverfhren, 66 symptotische Fehlerentwicklung, 76 explizite, 67 implizites, 68 Konvergenzstz, 68 Schrittweitensteuerung, 79 Energiefunktionl, 08 Energieminimierung, Euler-McLurin sche Summenformel, 54 Eulergleichung und ntürliche Rndbedingung, 08 Eulersche Formel, 23 Eulerverfhren, 67 exkt, 43 Experimentelle Konvergenzordnung, 57 Extrpoltion, 9, 78 Richrdson Extrpoltion, 9, 54 Extrpoltionfehler, 20 Fehlerfunktionl, 43 FFT, 27 Finite Elemente Verfhren, 6 Fundmentlsystem, 07 Funktionsinterpoltion durch Polynome, 0 Guß-Hermite-Qudrtur, 53 Guß-Jcobi-Qudrtur, 53 Guß-Lguerre-Qudrtur, 53 Guß-Legendre-Qudrtur, 52 Guß-Qudrtur, 49 zusmmengesetzt -, 53 Guß-Qudrturen, 49 Guß-Tschebyscheff-Qudrtur, 52 Gebiet, 6 Gewöhnliche Differentilgleichung, 59 Gewichstfunktion Sklrprodukt, 50 Gewichte, 43 Gewichtsfunktion zulässige -, 50 26

INDEX 27 Grgg Algorithmus, 99 Extrpoltionsverfhren, 97 Funktion, Grggsche, 98 Stz von, 98 Grm-Schmidtsches Orthogonlisierungsverfhren, 50 Gronwll, Lemm von, 63 diskret, 67 Hermite Interpoltion, 7 Holldy Identität, 37 Horner-Schem, 5 Interpoltion, 5 exponentielle -, 5 Hermite -, 5, 7 Kubische Spline-, 35 ntürlicher kubischer Spline, 35 rtionle -, 5 Spline -, 6, 32 Trigonometrische -, 23 trigonometrische -, 5 Interpoltionsbschätzung, 7 Interpoltionspolynom Normlform, 8 Interpoltionsproblem Lgrnge-Form des -, 8 Newton-Form des -, 9 Interpoltionsqudrtur, 45, 49 k-schrittverfhren Chrkterisierung stbiler, 92 Knotenpolynom, 0 ω, 0 Konditioniert schlecht konditioniert, 8 Konsistenz, 67 Konvergenz numerischer Verfhren für AWP, 66 Konvergenzordnung, 66 EOC, 57 Experimentelle, 57 Koordintentrnsformtion, 47, 52 Korrektorformel, 00 Lgrnge-Polynome, 8 Legendre-Polynome, 52 linere k-schrittverfhren, 86 linere Mehrschrittverfhren Konsistenzordnungskriterien, 96 lineres Interpoltionsproblem, 5 Mtrix Vndermondsche Mtrix, 8 Mtrixexponentielle, 65 Mehrschrittverfhren, 82 Mehrschrittverfhren, linere Abschndeidefehler, 87 BDF-Verfhren, 90 Konsistenz, 87 spezielle, 88 Methode der Vriblentrennung, 64 Milne-Simpson Verfhren, 95 Mittelpunktverfhren, 97 Neville-Aitken Schem, 99 Neville-Schem, 5 Newton-Cotes Formel Simpson-Regel, 49 zusnnegesetze -, 49 Trpezregel, 48 zusmmegesetze -, 49 Newton-Cotes Formeln, 48 Newton-Form, 9 Newton-Polynome, 9 Normlform, 8 not--knot-bedingung, 35 Numerische Integrtion, 43 Romberg Verfhren, 54 Numerische Intergrtion Mittelpunktregel, 44 Simpsonregel, 44 Trpezregel, 44 Orthogonlbsis, 50 Orthonormlsystem, 24 Peno, Stz von, 63 periodisch fortsetzbr, 35 Picrd-Lindelöf Itertion, 62 Stz globl, 62 Stz lokl, 62 Poincré Ungleichung, 09 Poisson Gleichung, 23 Polynom 2. chrkteristisches, 87 Polynom, chrkterisisches, 82 Polynominterpoltion, 7 Prädiktor-Korrektor-Verfhren, 00 Prädiktorformel, 00

28 INDEX Qudrtur, 49 Guß-, 49 Qudrturformel, 43, 57 exkte -, 43 Gewichte, 43 Zusmmengesetze Trpezregel, 49 Zusmmengesetze Trppezregel, 54 Rndewertprobleme, linere, 06 Ritz-Glerkin Verfhren für (SLP), 3 Romberg Verfhren, 54, 57 Runge-Kutt Verfhren eingebettete, 8 explizit, 7 implizite, 75 Konstruktion, 74 Vorteil impliziter, 76 Schnelle Fourier Trnsformtion, 27 schwche Ableitung, Schwche diskrete Differentilgleichung, 3 Simposon-Regel, 57 Simpson-Regel, 49 zusnnegesetze -, 49 Stützstellen, 5 Stbilität symptotische, 9 steife Differentilgleichung, 03 Sturm-Liouville Probleme, 08 Tylorverfhren, 69 Trpezregel, 48, 57 zusmmengesetze -, 49, 54 Tridigonle Mtrix, 36 Trigonometrische Interpoltion, 23 Trigonometrische Polynome, 23 Tschebyschev-Polynome, Vndermondsche Mtrix, 8 Vritionsgleichungen und Glerkinpproximtion, Vritionsproblem, 08 Verschiebeopertoren, 84 Wärmeleitungsgleichung, 24 Wellengleichung, 22 Wurzelbedingung von Dhlquist, 84 Zhlenfolgen komplexe, 82 zulässige Gewichtsfunktion, 50 Zusmmengesetze Newton-Cotes Formeln, 49 Zusmmengesetze Qudrturen, 48 Zusmmengesetze Simpson-Regel, 49

Literturverzeichnis [] M. Bollhöfer und V. Mehrmnn.Numerische Mthemtik, Vieweg Verlg, Wiesbden 2004. [2] P. Bress. Finite Elemente, Springer, Berlin 992. [3] P.G. Cirlet.The finite element methods for elliptic problems, North-Hollnd, Amsterdm 987. [4] P. Deuflhrd und F. Bornemnn. Numerische Mthemtik II, 3. Auflge, Wlter de Gruyter, Berlin 2002. [5] R. D. Grigorieff. Numerik gewöhnlicher Differentilgleichungen, 2 Auflge, Teubner, Stuttgrt 977. [6] W. Hckbusch. Itertive Lösung großer schwchbesetzter Gleichungssysteme. Leitfäden der Angewndten Mthemtik und Mechnik, 69, Teubner Studienbücher Mthemtik, Teubner, Stuttgrt 99. [7] G. Hämmerlin und K.-H. Hoffmnn.Numerische Mthemtik, Springer, Berlin 989. [8] J. Stoer und R. Bulirsch. Einführung in die Theorie der Numerischen Mthemtik I & II, Heidelberger Tschenbücher, Springer, Berlin 2000. [9] W. Wlter. Gewöhnliche Differentilgleichungen, 5. Auflge, Springer, Berlin, 993. 29