4 Inhalt 1 Quadratwurzeln 6 2 Rechnen mit Quadratwurzeln 8 3 Wurzelgleichungen 10 4 Reinquadratische Funktionen 12 5 Gemischtquadratische Funktionen 14 6 Quadratische Gleichungen 16 7 Satz von Vieta und Faktorisierung 18 8 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen 20 9 Einfache Optimierungsprobleme 22 10 Potenzfunktionen 24 11 Quadratwurzelfunktion und höhere Wurzeln 26 12 Potenzen mit rationalen Exponenten und Potenzgesetze 28 13 Polynomdivision 30 14 Satz des Pythagoras 32 15 Kathetensatz und Höhensatz 34 16 Berechnung von Figuren und Körpern 36 17 Anwendungsaufgaben 38 18 Zentrische Streckung 40 19 Strahlensätze 42 20 Ähnlichkeit 44 21 Anwendungsaufgaben 46 22 Laplace- und Bernoulliexperimente 48 23 Kombinatorische Zählverfahren 50 24 Binomialkoeffizienten 52 25 Oberfläche und Rauminhalt von Prismen 54
5 26 Kreisfläche und Kreisumfang 56 27 Zylinder, Kegel und Pyramide 58 28 Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck 60 29 Sinus und Kosinus am Einheitskreis 62 Test 1 zu Kapitel 1 bis 7 (Wurzelfunktionen und Quadratische Funktionen) 64 Test 2 zu Kapitel 8 bis 13 (Anwendungen quadratischer Gleichungen und Potenzfunktionen) 66 Test 3 zu Kapitel 14 bis 21 (Anwendungen des Satzes von Pythagoras und der Ähnlichkeit) 68 Test 4 zu Kapitel 22 bis 24 (Kombinatorik) 70 Test 5 zu Kapitel 25 bis 29 (Körperberechnungen und Trigonometrie) 72 Lösungen zu den Übungen 74 Lösungen zu den Tests 116 Stichwortverzeichnis 126
6 1 Quadratwurzeln Eine Zahl x (mit x ^ 0), deren Quadrat die Zahl a ergibt, wird Quadratwurzel von a genannt, d. h. x 2 = a x = Ï a. Für Quadratzahlen ergibt die Quadratwurzel einen rationalen Wert, ansonsten erhält man für Ï a eine so genannte irrationale Zahl. Der Wert einer irrationalen Zahl kann näherungsweise durch eine Intervallschachtelung angegeben werden. Dabei gibt man jeweils schrittweise eine rechte und eine linke Zahlengrenze an, zwischen denen man die irrationale Zahl findet. Mit jedem Schritt wird diese Eingrenzung verfeinert und der Näherungswert entsprechend genauer. Die rationalen und die irrationalen Zahlen ergeben zusammen die Menge der reellen Zahlen R. Gib Ï 13 durch Intervallschachtelung auf zwei Nachkommastellen genau an. Ï 13 muss zwischen den ganzen Zahlen 3 und 4 liegen, da 3 = Ï 9 und 4 = Ï 16, also gilt 3 < Ï 13 < 4 Im Folgenden werden die Intervalle näherungsweise halbiert, das Ergebnis quadriert und mit 13 verglichen. Man erhält: 3,5 2 = 12,25 < 13 3,5 < Ï 13 < 4 3,7 2 = 13,69 > 13 3,5 < Ï 13 < 3,7 3,6 2 = 12,96 < 13 3,6 < Ï 13 < 3,7 3,65 2 = 13,3225 > 13 3,6 < Ï 13 < 3,65 3,62 2 = 13,1044 > 13 3,6 < Ï 13 < 3,62 3,61 2 = 13,0321 > 13 3,60 < Ï 13 < 3,61 1. Berechne ohne Taschenrechner. a) Ï 81 = b) Ï 169 = c) Ï 625 = d) Ï 0,49 = e) Ï 2,25 = f) Ï 1,96 = g) Ï 1 4 = h) Ï 16 25 = i) Ï 81 225 = j) Ï 9 4 9 =
7 2. Gib den Wert der Wurzel durch Intervallschachtelung auf zwei Nachkommastellen genau an. a) Ï 7 = b) Ï 12 = c) Ï 44 = d) Ï 105 = 3. Berechne ohne Taschenrechner. a) 5 Ï 49 = b) 1 2 Ï 144 = c) 20 Ï 0,25 Ï 0,16 = d) 1 Ï 6,25 2 3 = e) Ï 0,64 Ï 121 Ï 2,25 = f) 4 5 Ï 25 16 = g) Ï 5 2 2 = h) 2 Ï 196 324 = Ï 4. Wie lang ist die Seite eines Quadrats mit folgendem Flächeninhalt A? a) A = 81 cm 2 a = b) A = 12,25 m 2 a = c) A = 1 ha a = d) A = 0,64 mm 2 a = e) A = 2 1 4 a b = f) A = 1 324 km2 a = 5. Wie lang ist die Kante a eines Würfels mit dem Oberflächeninhalt O? a) O = 384 cm 2 a = b) O = 37,5 m 2 a = c) O = 0,54 dm 2 a = d) O = 8,64 mm 2 a = e) O = 25 6 m2 A = f) O = 0,06 cm 2 a = 6. Ende des letzten Jahrhunderts wurden Ackerflächen noch in Morgen gemessen. Dies war die Fläche, die man an einem Vormittag mit einem Ochsen pflügen konnte. 4 Morgen entsprachen etwa 1 ha. Wie lang ist die Seite eines Quadrats, dessen Fläche einen Morgen hat?
8 2 Rechnen mit Quadratwurzeln Für das Berechnen einer Wurzel gilt: 1 Ï a 2 2 = a (für a 0) und Ï a 2 = a. Für das Rechnen mit mehreren Wurzeln gelten folgende Gesetze: Ï a Ï b = Ï a b und Ï a Ï = b Ï a mit b 0. b Beide Gesetze ermöglichen auch das teilweise Wurzelziehen (teilweise Radizieren) oder das unter die Wurzel ziehen. Ï 7 2 = 7; Ï 49 = Ï 7 2 = 7; Ï ( 3) 2 = 3 = 3; Ï (x + y) 2 = x + y ; Ï 10 6 = Ï (10 3 ) 2 = 10 3 Zusammenfassen: Ï 8 Ï 2 = Ï 8 2 = Ï 16 = 4 Ï 8 : Ï 2 = Ï 8 : 2 = Ï 4 = 2 Teilweise Radizieren: Ï 150 = Ï 6 25 = Ï 25 Ï 6 = 5 Ï 6 5 Ï 5 9 = Ï 5 Ï = Ï 9 3 = 1 3 Ï 5 Unter die Wurzel ziehen: 8 Ï 2 = Ï 64 Ï 2 = Ï 64 2 = Ï 128 x Ï y = Ï x 2 Ï y = Ï x 2 y 1. Schreibe ohne Wurzelzeichen. a) Ï ( 9) 2 = b) Ï 3 8 = c) Ï 1 1 22 6 = d) Ï 5 2 = e) Ï ( x) 4 = f) Ï a 4 = g) Ï (2 x) 2 = h) 3 Ï a 2 b 2 =
9 2. Berechne mithilfe der Wurzelgesetze. a) Ï 3 Ï 12 = b) Ï 28 Ï 7 = c) Ï 3 2 : Ï 8 = d) Ï 405 : Ï 5 = 3 e) Ï a 3 b Ï b = f) Ï 2 x Ï 32 x = g) Ï p 5 r 3 : Ï r p = Ï 252 z h) 3 Ï 7 z = 3. Ziehe teilweise die Wurzel. Suche die größtmögliche Quadratzahl, die Teiler des Radikanden ist. a) Ï 162 = b) Ï 48 = c) Ï 7 4 = d) Ï 25 32 = e) Ï a 2 b = f) Ï 4 u x 4 = g) Ï k 3 = h) z Ï w 4 2 x 5 = 4. Fasse zu einer Wurzel zusammen. a) 2 Ï 15 = b) 3 Ï 8 = c) 2 Ï 7 4 = d) 4 Ï 3 32 = e) p Ï q = f) a b 2 Ï 3 k = 5. Begründe mithilfe der Skizze, dass die Diagonale in dem grünen Quadrat mit der Seitenlänge a die Länge Ï 2 a hat. a a 2 a 2 a
10 3 Wurzelgleichungen Gleichungen, in denen die Variable unter einer Wurzel steht, nennt man Wurzelgleichungen. Das Lösen einer Wurzelgleichung erfolgt in fünf Schritten: 1. Wurzel isolieren: Die Gleichung wird durch Äquivalenzumformungen so umgeformt, dass nur noch auf einer Seite eine Wurzel oder auf jeder Seite je eine Wurzel steht. 2. Beide Seiten der Gleichung werden anschließend quadriert. Lässt sich die Wurzel nicht in einem Schritt isolieren, werden Schritt 1 und 2 wiederholt. 3. Die quadrierte Gleichung wird durch Äquivalenzumformungen nach der Variablen aufgelöst. 4. Die Lösung wird durch eine zwingend erforderliche Probe überprüft. Durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung überprüft man, ob der Wert auf beiden Seiten der Gleichung identisch ist. 5. Nach der Prüfung wird die Lösungsmenge angegeben. Ergeben alle Lösungen bei der Probe falsche Gleichungen, ist die Lösungs menge leer. Löse: Ï 12 + x Ï x = Ï 4 x 12 1. Die Isolierung der Wurzel ist hier (noch) nicht möglich. 2. Quadrieren unter Beachtung der zweiten binomischen Formel [(a b) 2 = a 2 2 a b + b 2 ] ergibt: 12 + x 2 Ï 12 + x Ï x + x = 4 x 12 1. Wiederholung des Isolationsschritts: 12 + x 2 Ï 12 + x Ï x + x = 4 x 12 2 x 12 2 Ï 12 + x Ï x = 2 x 24 :( 2) Ï 12 + x Ï x = x + 12 2. Erneutes Quadrieren unter Beachtung der 1. binomischen Formel: (12 + x) x = x 2 24 x + 144 x 2 + 24 x 3. 12 x + x 2 x 2 + 24 x = 144 36 x = 144 : 36 x = 4 4. Probe: Ï 12 + 4 Ï 4 = Ï 4 4 12 4 2 = 2 (f) Die errechnete Lösung führt zu einer falschen Aussage! 5. L = { Überlege beim Quadrierungsschritt immer, ob die Anwendung der binomischen Formeln notwendig ist!
11 1. Löse im Kopf. a) Ï x 2 = 8; x = b) 4 + Ï x 1 = 13; x = c) Ï x = 8; x = d) Ï x = 5; x = e) Ï x = 11; x = f) Ï 4 x = 1; x = 2. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen mit einer Wurzel. a) 2 Ï x + 7 5 = 1 L = 5 6 b) 3 Ï x 2 + 15 = 6 L = 5 6 c) 3 2 = 5 8 Ï x 25 2 L = 5 6 d) 2,75 Ï 2 x 17 6,3 = 0,8 L = 5 6 e) Ï x 2 16 = x + 2 L = 5 6 f) 2 Ï x 2 + 3 5 = 2 x + 1 L = 5 6 g) Ï x 5 x + 11 + 2 3 = 1 L = 5 6 3. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungen mit mehreren Wurzeln. a) Ï 2 x + 7 = Ï x L = 5 6 b) Ï 6 x 3 = 3 Ï x 1 L = 5 6 c) Ï 5 x + 3 = 3 + Ï 3 x + 10 L = 5 6 d) 2 Ï x 3 = 6 2 Ï x L = 5 6 e) Ï x + 2 Ï x = 1 L = 5 6 f) Ï x 4 = 1 + Ï x 9 L = 5 6 g) Ï x + 3 Ï 9 x 1 = Ï 4 x + 2 L = 5 6
12 4 Reinquadratische Funktionen Die Funktion mit der Gleichung y = x 2 heißt Quadratfunktion. Ihr Graph heißt Normalparabel. Den tiefsten Punkt der Parabel nennt man Scheitelpunkt. Verschiebt man eine Normalparabel in Richtung der y-achse, so ändert sich ihre Funktionsgleichung zu y = x 2 + c, wobei c die Verschiebung angibt. Bei Verschiebungen nach unten wird c negativ. Funktionen mit der Gleichung y = x 2 + c heißen reinquadratische Funktionen. 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1 y 1 2 3 x 4 3 2 5 4 3 2 1 1 1 2 y 1 2 3 4 x In dem Schaubild sind drei reinquadratische Funktionen abgebildet. Anhand ihres Schnitt punkts mit der y-achse ermittelt man ihre Funktionsgleichungen: grün: y = x 2 + 1 rot: y = x 2 2 blau: y = x 2 3,5 3 1. Ergänze die Wertetabelle und zeichne (wenn möglich auf Millimeterpapier) eine Normalparabel. Wähle je Einheit 1 cm. a) x 3 2 1 0 1 2 3 y = x 2 b) Lies die fehlenden Koordinaten aus deinem Graphen ab. Überprüfe die Werte anschließend durch Rechnung. A 1 1,5 2 ; B 1 1 2 2 ; C 1 2,8 2 ; D 1 13 10 2 E 1 02 ; F 1 52 ; G 1 9 42 ; H 1 0,642
13 2. Zeichne die Funktionen in ein gemeinsames Koordinatensystem. Berechne dazu für die gegebenen x-stellen die zugehörigen y-werte. a) y = x 2 3 x 4 3 2 1 0,5 0 0,5 1 2 3 y b) y = x 2 + 2 x 4 3 2 1 0,5 0 0,5 1 2 3 y 3. Lies aus den Zeichnungen zu Aufgabe 1 und 2 die fehlenden Koordinaten der auf dem jeweiligen Funktionsgraphen liegenden Punkte ab. Überprüfe dein Ergebnis durch Rechnung. Bei manchen Punkten gibt es mehrere oder auch keine Lösungen. a) f (x) = x 2 A 1 42 B 1 12 C 1 02 b) f (x) = x 2 3 A 1 22 B 1 62 C 1 42 c) f (x) = x 2 + 2 A 1 42 B 1 02 C 1 22 4. Von einer in y-richtung verschobenen Normalparabel ist der Scheitelpunkt S bekannt. Gib die Funktionsgleichung an und berechne die fehlenden Koordinaten der Punkte P und Q. a) S (0 4) y = P 1 2 2 Q 1 1 2 b) S (0 3) y = P 1 1,5 2 Q 1 5,4 2 c) S 10 1 42 y = P 14,75 2 Q 1 1 2 2 d) S 10 2 32 y = P 1 1 3 2 Q 1 30 2 e) S (0 2,25) y = P 1 1,5 2 Q 1 7 2
14 5 Gemischtquadratische Funktionen Verändert man die Öffnung der Normalparabel, so erhält man Funktionen mit der Gleichung y = a x 2. Man spricht für 0 < a < 1 von einer Stauchung (vergrößerte Öffnung) und für a > 1 von einer Streckung (schmalere Öffnung) der Parabel. Bei negativem Vorzeichen von a ist die Parabel zudem noch nach unten geöffnet. Wird eine solche Parabel zusätzlich noch in x- und/oder y-richtung verschoben, so erhält man eine gemischtquadratische Funktion mit der Gleichung y = a (x d) 2 + e. Dabei bezeichnet a wieder den Stauch- bzw. Streckfaktor, d ist die x-koordinate und e die y-koordinate des Scheitelpunkts. Man nennt diese Schreibweise daher auch Scheitelpunktform einer Parabel. Die Scheitelpunktform lässt sich immer in die Normalform einer Parabel y = a x 2 + b x + c überführen (und umgekehrt). Funktionsgleichungen ermitteln rot: S (0 4), von dort eine Ein heit 5 y nach oben, also a = 2. y = 2 (x 0) 2 4 = 2 x 2 4 nach rechts und zwei Ein heiten 3 2 4 blau: S (3 1), a = 0,5 1 y = 0,5 (x 3) 2 + 1 x 4 3 2 1 1 2 3 4 5 grün: S ( 2 4), von dort eine Ein heit 1 nach rechts und drei Ein heiten nach unten, also a = 3. 2 3 y = 3 (x ( 2)) 2 + 4 = 3 (x + 2) 2 + 4 pink: S (2 2), a = 0,25; y = 1 4 (x 2)2 2 Umrechnung zwischen Scheitelpunktform (SF) und Normalform (NF) Zur Umrechnung in die NF wird die Klammer mithilfe der binomischen Formeln aufgelöst und zusammengefasst: y = 0,5 (x 3) 2 + 1 = 0,5 (x 2 6 x + 9) + 1 = 0,5 x 2 3 x + 4,5 + 1 = 0,5 x 2 3 x + 5,5 Zur Umrechnung in die SF wird die quadratische Ergänzung angewendet: y = 0,5 x 2 3 x + 5,5 Vorfaktor ausklammern: y = 0,5 [x 2 6 x + 11] Klammer so ergänzen, dass man die binomische Formel rückwärts anwenden kann (quadratische Ergänzung): y = 0,5 [x 2 2 3 x + 3 2 3 2 + 11] biomische Formel anwenden: y = 0,5 [(x 3) 2 3 2 + 11] = 0,5 [(x 3) 2 + 2] äußere Klammer wieder auflösen: y = 0,5 (x 3) 2 + 1
15 1. Bestimme die Gleichungen der Parabeln. blau: grün: rot: schwarz: 2. Überführe in die Normalform. a) f (x) = (x + 2) 2 + 3 = b) f (x) = 3 (x + 5) 2 7 = c) f (x) = 0,5 (x + 4) 2 + 12 = d) f (x) = 1 21 x 3 42 2 + 4 = 6 5 4 3 2 1 1 5 4 3 2 1 2 3 y 1 2 3 4 5 6 7 x 3. Überführe die Normalform in die Scheitelpunktform. a) f (x) = x 2 + 4 x 5 = b) f (x) = 2 x 2 6 x + 8 = c) f (x) = 3 4 x2 + 9 x 3 = d) f (x) = 0,8 x 2 16 x 4 = 4. Ergänze die Wertetabellen. a) f (x) = x 2 + 5 x 2 = (x + 2,5) 2 8,25 x 4 1,5 3 2 y 2* 454 8 * Rechenbeispiel: (x + 2,5) 2 8,25 = 2 (x + 2,5) 2 = 6,25 Ï b) f (x) = 2 (x 4) 2 + 1 x 13 5 4 100 x + 2,5 = ± 2,5 2,5 x = 5 oder x = 0 y 1 23,5 0,875
16 6 Quadratische Gleichungen Jede gemischtquadratische Gleichung lässt sich in die Form a x 2 + b x + c = 0 mit a 0 überführen. Diese Gleichung kann mit folgender Lösungsformel gelöst werden: x 1,2 = b ± Ï b 2 4 a c 2 a Es ist auch möglich, die Gleichung a x 2 + b x + c = 0 zunächst durch a zu dividieren. Dann erhält man eine Gleichung der Form x 2 + p x + q = 0. Für diese gilt die Lösungsformel (p-q-formel genannt): x 1,2 = p 2 ± Ï 1 p 2 2 2 q. Beide Lösungsverfahren sind gleichwertig, man kann sich eines der beiden Verfahren zur Lösung quadratischer Gleichungen aussuchen. Für b 2 > 4 a c hat die Gleichung zwei Lösungen, für b 2 = 4 a c eine und für b 2 < 4 a c keine Lösung. Das gilt entsprechend auch für die p-q-formel. Löse die Gleichung 5 x 2 2 x = 8 x + 40. 1. Umformen in die Normalform: 5 x 2 10 x 40 = 0 2. Einsetzen in die Lösungsformel mit a = 5, b = 10, c = 40 x 1,2 = ( 10) ± Ï ( 10) 2 4 5 ( 40) 10 ± Ï 900 10 ± 30 = = 2 5 10 10 3. Lösungsmenge angeben: x 1 = 40 10 = 4; x 2 = 20 = 2; L = { 2, 4 10 alternativ mit p-q-formel: 1. Umformen in die Normalform: 5 x 2 10 x 40 = 0 2. Division durch a = 5: x 2 2 x 8 = 0 3. Einsetzen in die Lösungsformel mit p = 2, q = 8 ( 2) x 1,2 = 2 ± Ï 1 2 2 2 2 ( 8) = 1 ± Ï 1 2 + 8 = 1 ± Ï 9 = 1 ± 3 4. Lösungsmenge angeben: x 1 = 1 + 3 = 4; x 2 = 1 3 = 2; L = { 2, 4 1. Löse mit einem der beiden Verfahren. a) 3 x 2 + 3 x 18 = 0 b) 4 x 2 6 x = 2 c) x 2 + x = 2 x 2 d) 1 2 x2 + 3 x 4 = 0 e) 2 x 2 + 6 x + 8 = 4 x f) 1 4 x2 2 x + 5 = 1
17 2. Forme zunächst in eine allgemeinquadratische Gleichung um und löse diese anschließend. a) 1 2 x2 1 = 2 x + 7 8 b) 3 ( 2 x + 5) = (12 x 2) x + 10 c) (x 3) 2 = 2 (x 2 9) d) (x + 1) 2 = 3 x (x + 1) + 7 e) 1 6 x (x + 3) + 6 = 2 3 f) x + 3 x + x x 2 = 5 3. Um die Tiefe eines Schachts zu messen, lässt man einen Stein in den Schacht fallen und misst die Zeit bis zum Aufschlag. Der fallende Stein fällt in x Sekunden eine Strecke von etwa 5 x 2 Meter. Wie tief ist ein solcher Schacht, wenn man den Aufschlag nach 4 Sekunden registriert und der Schall pro Sekunde 340 Meter zurücklegt? 4. Zahlenrätsel a) Das Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist 462. b) Zwei Zahlen unterscheiden sich um 17. Ihr Produkt ergibt 234. c) Multipliziert man das Dreifache einer Zahl mit der um 2 verkleinerten Zahl, so erhält man 297. d) Das Produkt aus einem Viertel einer unbekannten Zahl und dem um 3 vergrößerten Doppelten der Zahl ist 2096. e) Die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Zahlen ergibt 85. f) Welche Zahl kann man zum ersten Faktor des Produkts 33 45 addieren und zugleich vom zweiten Faktor subtrahieren, ohne dass sich der Wert des Produkts ändert? g) Welche Zahl ist um 0,16 größer als ihre Quadratzahl? 5. Wie lang ist die Seite eines Quadrats, dessen Flächeninhalt sich vervierfacht, wenn man seine Seitenlängen um 3 cm verlängert?
18 7 Satz von Vieta und Faktorisierung Einfachere quadratische Gleichungen lassen sich auch schnell mit dem Satz von Vieta lösen. Die beiden Lösungen x 1 und x 2 der quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 ergeben addiert den negativen Vorfaktor p und multipliziert die Konstante q. In Formelschreibweise lautet der Satz: x 1 + x 2 = p und x 1 x 2 = q. Mithilfe des Satzes von Vieta lassen sich auch ermittelte Lösungen von quadratischen Gleichungen auf ihre Richtigkeit überprüfen. Hat man die Lösungen x 1 und x 2 einer quadratischen Gleichung gefunden, kann man die Gleichung dann auch in der sogenannten faktorisierten Form schreiben. Es gilt: x 2 + p x + q = (x x 1 ) (x x 2 ). Prüfe die Richtigkeit der Lösungsmenge: x 2 11 x + 34 = 0 mit L = {4, 9. x 1 + x 2 = 4 + 9 = 11 = p (w) x 1 x 2 = 4 9 = 36 34 Die Lösungsmenge ist falsch! Ermittle die Lösungen ohne Lösungsformel und faktorisiere anschließend. x 2 + 6 x 40 = 0 Am negativen Vorzeichen von q erkennt man, dass eine der beiden Lösungen negativ ist. Die Summe der Lösungen muss ( 6), ihr Produkt ( 40) ergeben. Durch geschicktes Probieren erkennt man: 4 ( 10) = 40 und 4 + ( 10) = 6 Die Lösungen sind also x 1 = 10 und x 2 = 4. Faktorisieren ergibt: x 2 + 6 x 40 = (x + 10) (x 4) Denke bei einem Vorfaktor vor x 2 immer daran, die Gleichung zuerst durch diesen Faktor zu dividieren. 1. Prüfe mithilfe des Satzes von Vieta, ob die angegebene Menge die Lösungsmenge zur gegebenen quadratischen Gleichung ist. a) x 2 + 4 x 117 = 0; L = { 13; 9 w f b) x 2 + 5 2 x + 1 = 0; L = 5 2; 1 26 w f c) x 2 22 x + 121 = 0; L = {10; 11 w f d) 3 x 2 39 x + 120 = 0; L = {5; 8 w f e) 10 x 2 + 45 x 90 = 0; L = { 6; 1,5 w f f) 1 2 x2 2 x 48 = 0; L = { 8; 12 w f
2. x 1 und x 2 sind die Lösungen der Gleichung x 2 + px + q = 0. Gib mithilfe des Satzes von Vieta p und q und die Ausgangsgleichung an. a) x 1 = 3; x 2 = 5 p = q = b) x 1 = 4; x 2 = 7 p = q = 19 c) x 1 = x 2 = 3 5 p = q = d) x 1 = Ï 5 ; x 2 = Ï 5 p = q = e) x 1 = 2 (einzige Lösung) p = q = 3. Berechne die zweite Lösung x 2 sowie den fehlenden Wert für p bzw. q. a) x 2 + p x + 8 = 0; x 1 = 4 p = x 2 = b) x 2 + 11 x + q = 0; x 1 = 2 q = x 2 = c) x 2 + p x 1 4 = 0; x 1 = 2 p = x 2 = d) x 2 + p x 18 = 0; x 1 = 9 p = x 2 = e) x 2 + 7 40 x + q = 0; x 1 = 4 5 q = x 2 = 4. Löse ohne Anwendung einer Lösungsformel. a) x 2 4 x + 3 = 0 L = 5 ; 6 b) x 2 6 x 27 = 0 L = 5 ; 6 c) x 2 3 x + 2 = 0 L = 5 ; 6 d) x 2 10 x 24 = 0 L = 5 ; 6 e) x 2 + 2 x + 1 = 0 L = 5 ; 6 5. Faktorisiere die quadratische Gleichung und schreibe sie in der Form (x x 1 ) (x x 2 ). a) x 2 8 x + 15 = (x ) (x ) b) x 2 7 x 18 = (x ) (x ) c) x 2 + 7 x + 6 = (x ) (x ) d) x 2 + x 20 = (x ) (x ) e) x 2 x 12 = (x ) (x )
20 8 Gleichungen, die auf quadratische Gleichungen führen Viele Gleichungen sind nicht auf dem ersten Blick als quadratische Gleichungen zu erkennen, sondern werden erst nach einigen Umformungsschritten zu quadratischen Gleichungen, die dann mit einem der bekannten Verfahren gelöst werden können. Dazu gehören: Gleichungen höheren Grades, bei denen man Ausklammern kann Wurzelgleichungen (nach dem Quadrieren) Bruchgleichungen (nach dem Multiplizieren mit dem Hauptnenner) Biquadratische Gleichungen (nach der Substitution) Ausklammern bei Gleichungen ohne Absolutglied: 4 x 3 + 2 x 2 2 x = 0 2 x (2 x 2 + x 1) = 0 Ein Produkt wird dann 0, wenn einer seiner Faktoren null ist. x 1 = 0 oder 2 x 2 + x 1 = 0 : 2 x 2 + 1 2 x 1 2 = 0 x 2,3 = 1 4 ± Ï 1 16 + 8 16 = 1 4 ± 3 4 L = { 1; 0; 0,5 Wurzelgleichung: Ï x 1 + 3 = x 3 Ï x 1 = x 3 quadrieren x 1 = x 2 6 x + 9 x + 1 x 2 7 x + 10 = 0 x 1 = 5; x 2 = 2 Probe: Ï 5 1 + 3 = 5 (w); Ï 2 1 + 3 = 2 (f) L = {5 Bruchgleichung: 2 x + x x + 1 = 5 multiplizieren mit 3 x (x + 1) 3 6 (x + 1) + 3 x 2 = 5 x (x + 1) 6 x + 6 + 3 x 2 = 5 x 2 + 5 x 5 x 2 5 x 2 x 2 + x + 6 = 0 x 1,2 = 1 ± Ï 1 + 48 = 1 ± 7 4 4 x 1 = 2; x 2 = 3 2 L = 5 3 2 ; 2 6 Biquadratische Gleichung: x 4 + 4 x 2 5 = 0 Substitution: ersetze x 2 durch z z 2 + 4 z 5 = 0 z 1 = 1 z 2 = 5 Resubstitution: ersetze z durch x 2 x 2 = 1 x 2 = 5 Wurzel ziehen x 1,2 = ± Ï 1 x 3,4 = ± Ï 5 nicht definiert x 1 = 1; x 2 = 1 L = { 1; 1 Eine biquadratische Gleichung kann bis zu vier Lösungen haben.
21 1. Löse durch Ausklammern. a) 3 x 3 + 8 x 2 + x = 0 b) 6 x 3 = 6 x 2 1,5 x c) x 4 + 41 7 x3 = 8 x 2 d) 1,55 x 2 + 5 x = 0,09 x 3 2. Bestimme die Lösungsmenge der Wurzelgleichungen. a) Ï x 2 = x 4 b) 4 Ï x + 2 x = 6 c) 1 1 3 Ï 12 33 x = 2 x d) 7 2 x = Ï 4 x + 1 3. Löse die Bruchgleichungen. a) 12 x 6 x = 1 b) 5 x c) 5 x 2 = x + 3 x d) x = 8 6 x 1 x + 1 x 1 x 2 x + 2 = 9 5 4. Löse durch Substitution. a) x 4 5 x 2 + 4 = 0 b) x 4 10 x 2 + 9 = 0 c) 1 2 x4 + 4 x 2 8 = 0 d) 1,5 x 4 + 3 x 3 4,5 = 0
126 Stichwortverzeichnis 1. Strahlensatz 42 2. Strahlensatz 42 A Ähnlichkeit 44 Ähnlichkeitsabbildung 44 Allgemeines Zählprinzip 50 Ankathete 60 B Bernoulli-Experiment 48 Bernoullikette der Länge n 48 Binomialkoeffizient 52 Biquadratische Gleichungen 20 Bruchgleichungen 20 D Dreieckprisma 54 F Faktorisierung 18 G Gegenkathete 60 Gemischtquadratische Funktion 14 Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen 50 Gleichungen höheren Grades 20 H Hilfs- oder Stützdreiecke 38 Höhensatz 34 Hyperbel 24 Hypotenuse 32, 60 I Intervallschachtelung 6 Irrationale Zahl 6 K Kathete 32, 60 Kathetensatz 34 Kegel 58 Koeffizienten 30 Kosinus 60 Kreis 56 Kreisfläche 56 Kreisumfang 56 Kubische Funktion 24 L Laplace-Experiment 48 N Normalform 14 Normalparabel 12 P Permutationen 50 Polynomdivision 30 Polynom n-ten Grades 30 Potenzfunktionen 24 Potenzgesetze 28 Prismen 54 Probe 10 Pyramide 58 p-q-formel 16 Q Quader 54 Quadratfunktion 12 Quadratische Gleichungen 16 Quadratwurzel 6 Quadratwurzelfunktion 26
127 R Reelle Zahlen 6 Reinquadratische Funktionen 12 S Satz des Pythagoras 32 Satz von Vieta 18 Scheitelpunkt 12 Scheitelpunktform 14 Sechseckprisma 54 Sinus 60 Stichproben mit Zurücklegen 50 Strahlensatzfigur 42 Streckfaktor k 40 Streckzentrum 40 T Tangens 60 Teilweise Wurzelziehen 8 Trigonometrische Winkelfunktionen 60 U Unter die Wurzel ziehen 8 V Variationen 50 W Wurzelgleichungen 10, 20 Z Zentrische Streckung 40 Zylinder 58