1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 1 1. oolesche lgebra und Schaltalgebra 1.1 Was ist Informatik? Definition des egriffs Informatik Die Informatik ist die Wissenschaft, die sich mit der systematischen nalyse, eschreibung und Gestaltung von informationsverarbeitenden Prozessen beschäftigt. Unter Prozessen werden hier Vorgänge zur Umformung und Übertragung von Informationen verstanden.
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 2 Informatik Theoretische Informatik Technische Informatik Praktische Informatik ngewandte Informatik - utomatentheorie - Theorie der Formalen Sprache - Theorie der erechenbarkeit - Komplexitätstheorie - lgorithmenanalyse - Theorie der Programmierung - utomatische Programmsynthese - Formale Semantik - Künstliche Intelligenz (Methoden) - Hardware: o Prozessoren, o Schaltkreise, o augruppen o usw. - Firmware, Mikroprogrammierung - Rechnerorganisation, Rechnerarchitektur - Schnittstellen - Kommunikation, Rechnernetze - Kommunikationssysteme: LN, MP, Telekommunikation: ISDN - lgorithmen, Datenstrukturen, Programmiermethoden - Programmiersprachen, Compiler - etriebssysteme - Software-Engineering - Mensch-Maschine- Kommunikation - Prozeßdatenverarbeitungsysteme, utomatisierungssysteme - Cxx-Verfahren, z.. CE, CD, CIM - Simulation und Modellierung - Computergraphik - Künstliche Intelligenz (nwendungen) - Spezifische nwendungen in: o Ingenieurwesen, o Wirtschaft, o Verwaltung, o Naturwissenschaften, o Medizin, o Sozialwissenschaften, o Geisteswissenschaften o Kunst usw.
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 3 1.2 Einführung Eine ussage ist ein sprachliches Gebilde, von dem es sinnvoll ist, zu sagen, es sei wahr oder falsch. (ristoteles) Definition 1-1: ussage Eine ussage bezeichnet ein sprachliches Gebilde, dem in sinnvoller Weise genau eine der beiden Eigenschaften wahr oder falsch zugeordnet werden kann. Definition 1-2: ussageform Eine logische ussage kann auf verschiedene rt und Weise dargestellt werden. Sie kann sprachlich formuliert werden oder durch Verwendung bestimmter Formalismen beschrieben werden (oolesche lgebra). ber auch innerhalb einer festgelegten eschreibungsform gibt es meist mehrere Darstellungsmöglichkeiten, die alle zueinander äquivalent sind. Eine ussage kann also durch mehrere zueinander äquivalente ussageformen beschrieben werden.
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 4 1.3 Definition der ooleschen lgebra Definition 1-3: oolesche lgebra Gegeben sei eine Menge M mit den Elementen,, C,.... Zwischen den Elementen der Menge seien zweistellige Operationen φ und ψ und eine einstellige Operation (der Negationsoperator) derart definiert, dass durch nwendung der Operationen wiederum eindeutig Elemente von M entstehen. 1 : Kommutativgesetz φ φ ψ ψ 2 : Distributivgesetz φ ( ψ C) (φ ) ψ (φ C) ψ ( φ C) ( ψ ) φ ( ψ C) 3 : Neutrale Elemente Es gibt zwei neutrale Elemente e (Einselement 1), n (Nullelement 0) M, so dass für alle M gilt: φ e bzw. ψ n 4 : Komplement ψ e bzw. φ n
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 5 us diesen 4 xiomen lassen sich weitere Theoreme ableiten, z..: T 1 : ssoziativgesetz ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C ψ ψ ψ ψ φ φ φ φ T 2 : Idempotenzgesetz ψ φ T 3 : bsorptionsgesetz ( ) ( ) ψ φ φ ψ T 4 : De Morgan sche Regel ψ φ φ ψ
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 6 eispiele boolescher lgebra: a) Die Potenzmenge M P(S) einer Menge S wird mit Durchschnitt und Vereinigung zu einer ooleschen lgebra: S { 1, 2, 3 } P(S) { { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, { 1, 2 }, { 1, 3 }, { 2, 3 }, n { } { 1, 2, 3 } } e { 1, 2, 3 } { 2, 3} φ e { 2, 3} { 2, 3} ψ n { 2, 3} { 1 } { 2, 3 } { 1, 2, 3 } { 1 } b) Zwei-elementige oolesche lgebra M {, } φ min ψ max 1 (,) (,)
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 7 1.4 Schaltalgebra 1.4.1 Technische Grundlagen Definition 1-4: Schaltalgebra Die ussagenalgebra, im technischen Kontext Schaltalgebra genannt, ist eine spezielle oolesche lgebra, die die zweielementige Menge M {0,1} benutzt. Die Operation ψ wird dabei als ODER-Verknüpfung bzw. Disjunktion (+, ) und die Operation Φ als UND-Verknüpfung bzw. Konjunktion (, ) erklärt. Die beiden Elemente e 1 und n 0 werden als Wahrheitswerte wahr bzw. falsch beliebiger ussagen interpretiert. Die Komplementbildung bezeichnet man in der Schaltalgebra auch als Negation (, ).
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 8 Y 0 mit Y f() Y I U Umax ereich von logisch 1 0 positive Logik t undefinierter ereich ereich von logisch 0
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 9 U U Umax positive Logik Umax negative Logik Umin Umin logisch 0 logisch 1 t logisch 0 logisch 1 t
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 10 1.4.2 Logische Grundfunktionen 1.4.2.1 Logische Grundfunktionen für eine Variable Identität Wahrheitstabelle Y 0 0 I I Karnaugh-Veitch-Diagramm Venn-Diagramm
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 11 Negation Wahrheitstabelle Y 0 I I 0 Karnaugh-Veitch-Diagramm Venn-Diagramm Symbol nach DIN/IEC 1 Y Symbol nach NSI/IEEE Y
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 12 Impulsdiagramm
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 13 Logische Konjunktion (UND-Verknüpfung) Y Wahrheitstabelle 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Karnaugh-Veitch-Diagramm Venn-Diagramm (Durchschnitt)
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 14 Symbol nach DIN/IEC & Y Symbol nach NSI/IEEE Y Impulsdiagramm
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 15 Logische Disjunktion (ODER-Verknüpfung) Y + Wahrheitstabelle + 0 0 0 0 I l I 0 l I I I Karnaugh-Veitch-Diagramm Venn-Diagramm + (Durchschnitt)
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 16 Symbol nach DIN/IEC >1 Y Symbol nach NSI/IEEE Y Impulsdiagramm
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 17 1.4.3 Gesetze der Schaltalgebra 1.4.3.1 xiome für die logischen Werte Grundlegender Zusammenhang zwischen den Elementen: 1 : 0 g.d.w 1 nur zweiwertige Variablen zugelassen, 1 g.d.w 0 Dualität (s.u.) erkennbar. us xiom 1 und der Regeln der Negation gilt entsprechend: 2 : 0 I I 0 us der Definition der UND- und ODER-Verknüpfung resultieren die folgenden xiome: 3 : 0 0 0 UND I + I I ODER 4 : I I I UND 0 + 0 0 ODER 5 : I 0 0 I 0 UND 0 + I I + 0 I ODER
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 18 1.4.3.2 Theoreme für eine Variable T 1 : Formulierung des xioms 1 der Schaltalgebra für eine Variable ( ) T 2 : Definition der neutralen Elemente + 0 I T 3 : Folgerung aus der Definition von UND und ODER + I I 0 0 T 4 : Idempotenzgesetz + T 5 : Komplement + I 0
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 19 1.4.3.3 Theoreme für zwei Variablen T 6 : Kommutatives Gesetz + + T 7 : Expansionsformel ( ) ( ) + ( ) ( ) + + T 8 : Reduktionsformeln 1 (bsorptionsgesetz) ( ) + ( ) + T 9 : Reduktionsformeln 2 ( ) + ( ) + + 1.4.3.4 Theoreme für drei Variablen T 10 : Distributives Gesetz ( ) ( ) ( ) C C + + ( ) ( )( ) C C + + + T 11 : ssoziatives Gesetz ( ) ( ) ( ) C C C C + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) C C C C
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 20 1.4.3.5 Theoreme für n N Variablen T 12 : De Morgansche Regel C D... + + C + D + ( )... ( + + C + D +...) C D... T 13 : Verallgemeinerung des Gesetzes von de Morgan (Satz von Shannon) f (,,C,...,,,C,..., +, ) f(,,c,...,,,c,..., +, ) f(,,c,...,,,c,...,, + )
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 21 1.4.4 Funktionen der Schaltalgebra Varia ble Funktionen f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f 15 0 0 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 I 0 0 I I 0 0 I I 0 0 I I 0 0 I I I 0 0 0 0 0 I I I I 0 0 0 0 I I I I I I 0 0 0 0 0 0 0 0 I I I I I I I I
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 22 f 0 (,) 0 Nullfunktion, Kontradiktion f 1 (,) + NICHT-ODER, NOR, Pierce- Funktion f 2 (,) Inhibition, Nicht-Implikation, / usschluss,wenn dann f 3 (,) Negation, Inversion, Invertierung, Komplement, NICHT, NOT (nur für def.) f 4 (,) Inhibition, Nicht-Implikation, / usschluss, Wenn dann f 5 (,) Negation, Inversion, Invertierung, Komplement, NICHT, NOT (nur für def.) f 6 (,) + ntivalenz, Exklusiv-ODER, XOR, EXOR, modulo 2 / ddition (,) f 7 + NICHT-UND, NND, Sheffer-Funktion (,) f 8 (,) f 9 UND, ND, Konjunktion + Äquivalenz, Inklusiv-Oder f 10 (,) Identität, Tautologie (nur für definiert)
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 23 (,) f 11 + Implikation, Wenn dann f 12 (,) Identität, Tautologie (nur für definiert) (,) f 13 (,) f 14 + Implikation, Wenn dann + ODER, OR, Disjunktion f 15 (,) I Einsfunktion, Tautologie (immer)
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 24 1.5 Systeme vollständiger Verknüpfung Varia ble Funktionen f 1 (,) f 3 (,) f 7 (,) f 8 (,) f 14 (,) NOR(,) NOT () NND(,) ND(,) OR(,) 0 0 I I I 0 0 0 I 0 I I 0 I I 0 0 0 I 0 I I I 0 0 0 I I 1.5.1 NEGTION Realisierung einer NEGTION mit Hilfe von NND- oder NOR- Verknüpfungen. + I & >1
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 25 1.5.2 UND & & >1 >1 >1
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 26 1.5.3 ODER & & & + >1 >1 +
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 27 1.5.4 Zusammenfassung NND bzw. NOR können jeweils unter alleiniger Verwendung dieses Operators alle Funktionen der Schaltalgebra darstellen. ber: Weder für den NOR- noch für den NND-Operator gilt das ssoziativgesetz! ( ) C ( C) ( ) C ( C) Folge: In einer ooleschen Funktion dürfen die Pierce- und Sheffer-Operator immer nur auf genau zwei Operanden angewandt werden. Dieser Nachteil kann nur behoben werden, wenn bei der schaltungstechnischen Realisierung Gatter mit entsprechend großer Eingangsanzahl (> 2) vorausgesetzt werden können ("allgemeine NND- und NOR-Funktionen").
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 28 1.6 Darstellungsformen 1.6.1 Kurzzeichen eispiele für die Darstellung der Grundoperationen in den verschiedenen Logikformen: Verknüpfung Mengenalgebra ussagenalgebra Schaltalgebra Darstellung nach DIN 66000 Konjunktion Diskonjunktion Negation Neutrale Elemente Die Konjunktion dreier Variablen, und C wird wie folgt geschrieben: ei der Konjunktion ist es möglich für eine verkürzte Schreibweise das Konjunktionssymbol wegzulassen: nalog sieht die Disjunktion der Variablen wie folgt aus: Für die Negation wird ein horizontaler Strich über die Variable geschrieben: Definition 1-12: Schaltfunktion Die Darstellungsweise der logischen Funktionsweise einer Schaltung mittels einer ooleschen Funktion wird als Schaltfunktion bezeichnet. Hierbei werden die in der Spalte "Schaltalgebra" angegebenen Kurzzeichen verwendet.
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 29 1.6.2 Wahrheitstabelle Definition 1-13: Wahrheitstabelle In einer Wahrheitstabelle werden alle Kombinationen der Eingangsvariablen für die zulässigen Werte logisch 0 und logisch I eingetragen. Jede Eingangsvariable sowie die usgangsvariable erhalten dabei eine eigene Spalte. Die usgangsvariable erhält entsprechend der Verknüpfung einen eindeutigen Wert. eispiele: Konjunktion (ND) Disjunktion (OR) Negation (NOT) X X + X X X X 0 0 0 0 0 0 I 0 I I I 0 I 0 I I I I
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 30 1.6.3 Mengendiagramm Für die anschauliche Darstellung logischer Funktionen mit wenigen Eingangsvariablen ( 4) eignen sich Mengendiagramme. Diese Darstellungsweise wurde aus der mathematischen Mengenlehre abgeleitet. Die gefüllte Fläche stellt den Funktionswert dar, für die die Funktion X den Wert I annimmt. eispiele: Konjunktion (ND) Disjunktion (OR) Negation (NOT) X X + X
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 31 1.6.4 Schaltzeichen DIN / IEC NSI / IEEE Funktion ND & X f 8 OR >1 X + f 14 NOT 1 X f 3 NND & X f 7 NOR >1 X + f 1 ntivalenz XOR 1 X + f 6 Äquivalenz X + f 9 ei diesen Schaltzeichen ist es möglich einen invertierten Eingang durch einen Kreis zu kennzeichnen. eispiel: <>
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 32 1.6.5 Impulsdiagramm eispiele: Konjunktion (ND) Disjunktion (OR) Negation (NOT) X X + X
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 33 1.7 Normalformen Definition 1-14: Normalform Eine Normalform ist eine ussageform, die als Repräsentant einer Menge von ussageformen dient, die sich zwar in ihrer Darstellung unterscheiden, aber nicht in ihrer Funktionalität. Letzteres bedeutet, dass alle ussageformen aus dieser Menge von ussageformen für eine beliebige Eingangskombinationen die selbe Ergebnisgröße liefern.
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 34 1.7.1 Wahrheitstabelle mit Min- und Maxtermen Werden alle Eingangsvariablen oder deren Negation konjunktiv (UND) miteinander verknüpft, so ergibt sich eine Vollkonjunktion, welche als Minterm bezeichnet wird. Definition 1-15: Minterm Eine konjunktive Verknüpfung aller Eingangsvariablen (in negierter oder nicht negierter Form) heißt Minterm (oder Vollkonjunktion). m k n i 1 b i i b 1 1 b 2 2 b 3 3 L b n n mit b i i i für b i für bi i I 0 Desweitern gilt:
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 35 Werden hingegen alle Eingangsvariablen oder deren Negation disjunktiv miteinander verknüpft, so ergibt sich eine Volldisjunktion, welche als Maxterm bezeichnet wird. Definition 1-16: Maxterm Eine disjunktive Verknüpfung aller Eingangsvariablen (in negierter oder nicht negierter Form) heißt Maxterm (oder Volldisjunktion). n b 1 M i 1 + 2 + 3 + L + k i 1 b i b 2 b 3 b n n mit b i i i für b i für bi i I 0
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 36 eispiel: C Minterme, m k Maxterme, M k 0 0 0 0 0 I 0 I 0 0 I I I 0 0 I 0 I I I 0 I I I
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 37 1.7.2 Disjunktive Normalformen Definition 1-17: Disjunktive Normalform (DNF) Jede oolesche Funktion f( 1, 2,... n ) lässt sich durch disjunktive Verknüpftung bestimmter Minterme darstellen: f( 1, 2,... n ) k m c k k mit m c k k m 0 k für für c c k k I 0 und c k Funktionswert f in der k-ten Zeile der Wahrheitstabelle von f. eispiel: Gegeben sei Funktion f durch die folgende erweiterte Wahrheitstabelle. C f Minterme, m k 0 0 0 I 0 0 I 0 0 I 0 0 0 I I 0 I 0 0 I I 0 I I I I 0 I I I I I Damit lautet die DNF der gegebenen Funktion:
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 38 1.7.3 Konjunktive Normalformen Definition 1-18: Konjunktive Normalform (KNF) Jede oolesche Funktion f( 1, 2,... n ) lässt sich durch konjunktive Verknüpfung bestimmter Maxterme darstellen: f( 1, 2,...n) Mk k c Π k c Mk für ck 0 mit Mk k I für c I k eispiel: Für selbige Funktion f lautet die KNF: C f Maxterme, M k 0 0 0 I 0 0 I 0 0 I 0 0 0 I I 0 I 0 0 I I 0 I I I I 0 I I I I I Damit lautet die KNF der gegebenen Funktion:
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 39 1.7.4 Unvollständig definierte oolesche Funktionen eispiel: Die folgende Wahrheitstabelle sei die ausreichende Definition der Funktion f(,,c). C f 0 0 I I 0 I 0 0 I 0 0 I Für alle in dieser Wahrheitstabelle nicht aufgeführten Eingangsbelegungen ist der Funktionswert f beliebig. Ein solch beliebiger Funktionswert wird bei der Schaltungssynthese als "don't care" bezeichnet und durch ein "X" symbolisiert. C f f 1 f 2 f 3 0 0 0 X 0 0 I I 0 I 0 0 0 I I X I 0 0 I I 0 I X I I 0 X I I I X Dabei kann für das "X" sowohl I als auch 0 angesetzt werden. Die Funktionen f 1 bis f 3 zeigen mögliche Vervollständigungen der unvollständig definierten Funktion f.
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 40 1.8 Vereinfachung von Funktionen Warum wird eine oolesche Funktion vereinfacht? X CD + CD + CD + CD + CD + CD X C + C Die folgende bbildung stellt die schaltungstechnische Realisierung der beiden im obigen eispiel aufgeführten usdrücke für die Funktion X dar. Es existieren drei Gruppen von systematischen Minimierungsverfahren: - algebraische Minimierungsverfahren - grafische Minimierungsverfahren - tabellarische Minimierungsverfahren
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 41 1.8.1 Karnaugh-Veitch Diagramm 1.8.1.1 llgemeines ufbauprinzip Der Grundaufbau eines KV-Diagramms mit einer Variablen ist in der folgenden bbildung gegeben: 0 1 1 Variable: 2 Felder Um ein besseres Verständnis des KV-Diagramms zu gewährleisten, sei der ufbau kurz an einem einfachen eispiel des Euler-Venn-Diagramms erläutert. kombiniert mit ergibt kombiniert mit ergibt
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 42 Ein KV-Diagramm für (n+1) Variablen entsteht, indem das KV- Diagramm für (n) Variablen an der unteren Kante gespiegelt wird, falls (n) ungerade ist, bzw. an der rechten seitlichen Kante gespiegelt wird, falls (n) gerade ist. C D C
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 43 D C Definition 1-19: benachbart Zwei Felder gelten als benachbart, wenn sie sich in genau einer Variablen unterscheiden, die beim einen Feld in negierter und beim anderen in nicht negierter Form auftritt. Jedes Feld des KV-Diagramms entspricht genau einem Minterm. 000I 0I0I II0I I00I I000 0000 0I00 II00 I000 0000 C I0I0 I0II I00I 00I0 0II0 III0 I0I0 00II 0III IIII I0II 000I 0I0I II0I I00I 00I0 00II 000I D 0000 0I00 II00 I000
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 44 chtung: ei KV-Diagrammen mit mehr als vier Variablen ergeben sich ab der fünften Variablen nicht mehr für alle Variablen zusammenhängende ereiche! D p2 E C p1 p1 p1 p1 p3 p3 p2 p2 p2 D. C. C eispiele: p1 D p2 C D p3 C D E
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 45 1.8.1.2 Minimierung eispiel: f C + C ( C + C) Dieser Vorgang wird im KV-Diagramm grafisch realisiert, indem benachbarte Felder, die beide mit einer I gekennzeichnet sind, zusammengefasst werden. Diese Zusammenfassung wird durch einen Kringel um dies Felder kenntlich gemacht. chtung: Ein "don t care"-funktionswert kann hierbei als I betrachtet werden, falls es für die Minimierung förderlich ist. eispiel: f C + C f
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 46 C C C C C C C C eispiel 1: DNF: f 1 C+ C+ C+ C+ C+ C + C
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 47 eispiel 2: DNF: f 2 C D + C D + C D + C D + C D + C D + C D + C D + C D + C D + C D > Disjunktive Minimalform: I I I I I I 0 I I I 0 I D 0 0 0 I C eispiel 3: DNF: f 3 C D + C D + C D + C D + C D + C D + C D + C D > Disjunktive Minimalform: I I I I I I I I 0 0 0 0 0 0 0 0 C D
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 48 eispiel 4: DNF: f 4 C D + C D + C D + C D + C D + C D 0 I 0 0 I 0 0 I I 0 0 I D 0 I 0 0 C > Disjunktive Minimalform: eispiel 5: DNF: f 5 C D + C D + C D + C D I 0 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 D I 0 0 I C > Disjunktive Minimalform:
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 49 1.8.2 Quine-McCluskey Schritt 1: Ermittlung der Primterme Gegeben: Die Funktion f in der DNF. Schritt 1.1: Umwandeln der Minterme in die inäräquivalente Die Darstellung der durch f gegebenen Minterme mittels des inäräquivalents ist für das weitere Vorgehen wesentlich übersichtlicher. Dabei gelten die folgenden Konventionen: i i 0 I Weder i noch i im Term enthalten Schritt 1.2: Sortieren und Gruppieren der inäräquivalente Für alle inäräquivalente der Minterme der gegebenen DNF wird die nzahl der enthaltenen "I"-en, der sogenannte Index, ermittelt. nschließend werden sie nach aufsteigendem Index geordnet in die erste Spalte der im Folgenden dargestellten Tabelle eingetragen. Dabei bilden inäräquivalente gleichen Index eine Gruppe. Die einzelnen Gruppen werden in der Tabelle durch einen Querstrich getrennt. eispiel: f CD+ CD+ CD+ CD+ CD+ CD+ CD+ CD+ CD+ CD + CD + CD
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 50 Spalte 1 Spalte 2 Spalte 3 Nr Index Term 0 0 0000 2 1 00I0 4 1 0I00 8 1 I000 5 2 0I0I 9 2 I00I 10 2 I0I0 12 2 II00 7 3 0III 11 3 I0II 13 3 II0I entstanden aus Index Term entstanden aus Term
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 51 Schritt 1.3: Zusammenfassen der Terme Jeder Term einer Gruppe (Index i) wird mit jedem Term der folgenden Gruppe (Index i+1) verglichen. Unterscheiden sich zwei Terme in genau einer Stelle, so werden sie mit einem Häkchen (" ") markiert und der zusammengefasste Term wird in der nächsten Spalte einschließlich der Nummern der Terme, aus denen er entstanden ist, notiert (s.tab.). Die Stelle bzw. Variable, in der sich die beiden zusammengefassten Terme unterscheiden, wird als notiert. Dieses Verfahren wird für alle Gruppenpaare der Spalte 1 durchgeführt. Nun wird mit Spalte 2 genauso verfahren wie mit Spalte 1 und so entsteht Spalte 3. Diese Vorgehensweise wird solange fortgesetzt, bis eine Spalte entsteht, in der keine Zusammenfassung mehr möglich ist. Schritt 1.4: Sammeln der Primterme Kann ein Term nicht mehr mit einem anderen aus seiner benachbarten Gruppe zusammengefasst werden, so handelt es sich hierbei um einen Primterm. Die Primterme werden mit P 1, P 2, u.s.w. bezeichnet. Diese ezeichnung wird an Stelle des Häkchen in der Tabelle eingetragen (vgl.tab.: P 1 in Spalte 2).
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 52 Schritt 2: estimmung einer minimalen DNF Schritt 2.1: ufstellung der Primterm-Minterm-Tabelle Zunächst stellt man eine Tabelle bzw. Matrix auf, in der jedem Minterm eine Spalte und jedem Primterm eine Zeile zugeordnet ist, Dh in der ersten Zeile der Primterm-Minterm-Tabelle werden die Ordnungsnummern der gegebenen Minterme in numerischer Reihenfolge aufgeführt. Die erste Spalte enthält die gefundenen Primterme P 1 bis P n. In der so entstandenen Primterm-Minterm-Tabelle werden alle Felder [i, k] mit einem Kreuz markiert, an denen ein Primterm P i einen Minterm m k überdeckt, d.h. der Primterm P i muss die selbe logische Funktion beschreiben wie die Disjunktion der von ihm überdeckten Minterm m k (P i Σm k ). Die Nummern der von einem Primterm überdeckten Minterme können direkt aus der Tabelle aus Schritt 1 aus der Spalte "entstanden aus" abgelesen werden. Für das obige eispiel ergibt sich die folgende Primterm- Minterm-Tabelle: P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 0 2 4 5 7 8 9 10 11 12 13
1 oolesche lgebra und Schaltalgebra Folie 53 Schritt 2.2: Ermittlen der Kernprimimplikanten Wird ein Minterme nur durch einen Primterm abgedeckt, so muss dieser Primterm auf jeden Fall in der minimalen DNF zur eschreibung von f verwendet werden. Solche Primterme werden als Kernprimimplikanten bezeichnet. Im KV-Diagramm ist ein Kernprimimplikant anschaulich ein lock, der eine (I) enthält, die in keinen anderen Primterm enthalten ist.ihr exklusiv abgedeckter Minterm wird in der Tabelle doppelt unterstrichen dargestellt. Für die weiteren Minimierungsüberlegungen müssen alle Minterme, die zusätzlich durch diesen Primterm abgedeckt werden, nicht mehr betrachtet werden. Dies wird kenntlich gemacht, indem sowohl die Zeile des entsprechenden Kernprimimplikanten, als auch die Spalte aller von ihm abgedeckter Minterme gestrichen werden. Nach Weglassen aller gestrichenen Zeilen und Spalten verbleibt die folgende Restmatrix: Schritt 2.3: Streichen von dominierten Zeilen Im letzten Teilschritt soll für die noch verbliebenen Minterme ein möglichst kurzer usdruck mittels der verbliebenen Primterme ermittelt werden. In diesem eispiel dominiert der Primterm P 4 über die Primterme P 3 und P 6, da er alle Minterme abdeckt, die vom jeweiligen dominierten Primterm (P 3 bzw. P 6 ) abgedeckt werden. Die dominierten Primterm werden durch Streichen der entsprechenden Zeile eliminiert.