Kapitel 6. Elektromagnetische Wellen. 6.1 Lösung der Maxwellschen Gleichungen in einem Isolator

Kapitel 6 Elektromagnetische Wellen 6.1 Lösung der Maxwellschen Gleichungen in einem Isolator In diesem Abschnitt wollen wir uns mit der Lösung der Maxwell Gleichungen in einem Isolator beschäftigen. Wir betrachten also ein Medium, in dem es keine freien Ladungen gibt (Ladungsdichte ρ = 0) und auch keine elektrischen Ströme (Stromdichte j = 0). Damit nehmen also die Maxwell Gleichungen die Form rote + d B dt roth d D dt div D = 0 = div E (6.1) div B = 0 = div H (6.2) = 0 (6.3) = 0 = rot H ε 0 ε d E dt an und werden ergänzt durch die Materialgleichungen (6.4) D = εε 0 E und B = µµ0 H. (6.5) Die jeweils zweite Gleichung in (6.1), (6.2) und (6.4) ergibt sich weil wir ein homogenes Medium betrachten wollen, in dem die Dielektrizitätskonstante ε und die Permeabilität µ nicht vom Ort abhängen. Multiplizieren wir die Gleichung (6.4) mit µ 0 µ und wenden ausserdem den Rotationsoperator an, so erhalten wir Benutzen wir dann die Identität ( rot rotb ) ( rot rotb ) drote µµ 0 εε 0 dt und ersetzen rot E gemäß (6.3), so erhalten wir = 0. = grad (divb) } {{ } B =0 siehe 6.2 B µµ 0 εε 0 d 2 B dt 2 = 0, (6.6) 211

212 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN also partielle Differenzialgleichungen zweiter Ordnung in den Ortskoordinaten (x, y, z) sowie in der Zeit t für die drei kartesischen Komponenten der Magnetischen Induktionsdichte B. In ganz analoger Weise können wir auch für das elektrische Feld E verfahren. Wir wenden den Rotationsoperator auf die Maxwellgleichung (6.3) an und erhalten ( rot rote ) + drot B dt = grad(div E) E + µµ 0 drot H dt = 0 Wegen (6.1) ist div E = 0. Ersetzen wir rot H gemäß (6.4), so erhalten wir E µµ 0 εε 0 d 2 E dt 2 = 0. (6.7) Diese Differenzialgleichung für das elektrische Feld hat also die gleiche Struktur wie Gleichung (6.6) für das B-Feld und wir wollen uns deshalb zunächst mit den mathematischen Eigenschaften der Lösungen der sogenannten homogenen Wellengleichungen vom Typ (6.6) und (6.7) beschäftigen. Um die Eigenschaften der Lösungen der homogenen Wellengleichungen zu verdeutlichen, wollen wir die Gleichungen zunächst in zweifacher Hinsicht vereinfachen: An Stelle der vektorwertigen Funktionen E und B in (6.7) bzw. (6.6) betrachten wir eine skalarwertige Funktion f. Außerdem nehmen wir an, dass diese Funktion nicht im 3-dimensionalen Raum, also als Funktion von r, definiert ist, sondern nur von einer Raumkoordinate x abhängt: f(x, t). Damit vereinfacht sich also die Differenzialgleichung vom Typ (6.6) auf die Form d 2 f dx 2 1 c 2 d 2 f dt 2 = 0. (6.8) Ausserdem haben wir dabei µµ 0 εε 0 1 c 2 (6.9) ersetzt. Diese Gleichung entspricht der Wellengleichung, die wir in der Mechanik behandelt haben. Damals haben wir gefunden, dass jede zweimal stetig differenzierbare Funktion f, die nicht von den zwei unabhängigen Variablen x und t sondern nur von den Linearkombination f(x, t) = f(u ± ) mit u ± (x, t) = x ± ct (6.10) eine Lösung liefert. In diesem Fall bezeichnet die Funktion f eine beliebige Struktur, die sich im Lauf der Zeit in Richtung x oder aber in Richtung x mit der Geschwindigkeit c ausbreitet. Ein Spezialfall dieser Lösungen sind die ebenen Wellen in der Form f(x, t) = Real {A exp(ik(x ct))} = A cos(kx k ct + ϕ). (6.11) Bei dem Übergang zur zweiten Zeile haben wir benutzt, daß man die komplexe Amplitude A durch den Betrag A und eine Phase ϕ (A = A e iϕ ) darstellen kann. Die ebenen

6.1. LÖSUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN IN EINEM ISOLATOR 213 Wellenvektor k Wellenebenen Abbildung 6.1: Darstellung einer ebenen Welle Wellen sind von besonderem Interesse, da sie ein vollständiges Funktionensystem bilden, so dass man jede beliebige andere Funktion nach diesen ebenen Wellen mit verschiedenen Wellenzahlen k entwickeln kann. Die ebenen Wellen in einer Dimension sind charakterisiert durch die Wellenzahl k, beziehungsweise die Wellenlänge λ. Diese Wellenlänge λ bezeichnet dabei den Abstand zweier Koordinaten x, für die sich die Cosinus Funktion in (6.11) periodisch wiederholt. Es gilt also: kλ = 2π bzw. k = 2π λ. (6.12) Die Funktion (6.11) ist also bei festgehaltenem Parameter Zeit eine periodische Funktion in x mit der Periodizitätslänge oder Wellenlänge λ. Bei festgehaltener Ortskoordinate ist (6.11) aber auch eine periodische Funktion in der Zeit. Für die Periodendauer T oder Schwingungsdauer gilt mit der Winkelgeschwindigkeit kct = 2π also T = 2π kc = 2π ω, (6.13) ω = kc. (6.14) Ausserdem ist noch der Begriff Frequenz der Schwingung gebräuchlich, wobei die Frequenz durch ν = 1 T, (6.15) mit der Schwingungsdauer verbunden ist und in Einheiten von Hertz, das entspricht der Zahl der Schwingungen pro Sekunde, angegeben wird. Als nächstes betrachten wir nun die Lösung der Differentialgleichung vom Typ (6.7) für eine skalare Funktion f, die in 3 Raumdimensionen definiert ist f( r, t) 1 c 2 d 2 f dt 2 = 0. (6.16) Man überzeugt sich leicht davon, daß auch in diesem Fall die ebenen Wellen { f( r, t) = Real A exp(i( } k r ωt)), (6.17)

214 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN spezielle Lösungen sind. Diese Lösungen sind jetzt durch 3 Wellenzahlen, k x, k y und k z, beziehungsweise einen Wellenvektor k definiert. Die Differenzialgleichung wird genau dann gelöst, wenn (6.13) entsprechend der Zusammenhang ω = ±c k (6.18) gewährleistet ist. Als Funktion des Ortsvektors r ist die Funktion f( r, t) an allen Orten identisch, für die gilt r k = const. Die entsprechenden Gebiete, an denen also f( r, t) z.b. einen Maximalwert annimmt sind Flächen senkrecht zu dem Wellenvektor k, wie das auch in der Abb. 6.1 dargestellt ist. Als Funktion der Zeit bewegen sich dann diese Ebenen konstanter Funktionswerte in Richtung des Wellenvektors k. Deshalb spricht man auch von ebenen Wellen mit der Ausbreitungsrichtung k. Nach dieser Vorbereitung kehren wir nun zu der Lösung der Differentialgleichungen (6.6) und (6.7) zurück. Aus dem vorhergehenden Abschnitt ist klar, dass z.b. die Differenzialgleichung (6.7) für das elektrische Feld E( r, t) gelöst wird durch ebene Wellen für die 3 kartesischen Komponenten von E E x E 0 x E( r, t) = E y ( r, t) = E 0 y cos( k r ωt), (6.19) E z Ez 0 wobei wieder (6.18) erfüllt sein muss. Die Differenzialgleichung (6.7) hatten wir aus den Maxwellgleichungen für einen Isolator (6.1) - (6.4) hergeleitet. Wir untersuchen nun, ob die Maxwellgleichungen noch weitere Bedingungen an die elektromagnetischen Felder stellen. Dazu wenden wir (6.1) auf den Ansatz (6.19) an dive = de x dx + de y dy + de y dy = ( k x E 0 x k ye 0 y k ze 0 z) sin( k r ωt) = 0 Diese Gleichung kann nur dann für alle r und Zeiten t erfüllt sein, wenn der Amplitudenvektor E 0 und damit auch der Vektor des elektrischen Feldes E in (6.19) stets senkrecht zum Ausbreitungsvektor k steht: k E = 0. In ganz entsprechender Weise können wir auch für die magnetische Induktionsdichte B mit (6.2) zeigen, dass auch B senkrecht zu dem Wellenvektor k stehen muss. Deshalb bezeichnet man die elektromagnetischen Felder in einem Isolator, als transversal polarisiert. Im Gegensatz dazu steht der Feldvektor von longitudinal polarisierten Wellenfeldern parallel zum Wellenvektor k. Es gibt aber auch noch eine weitere Bedingung für die Polarisierung der elektromagnetischen Felder. Zur Herleitung dieser Bedingung wenden wir die Maxwellgleichung (6.3)

6.1. LÖSUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN IN EINEM ISOLATOR 215 auf den Ansatz der ebenen Wellen für E( r, t) und B( r, t) an rote x Ex 0 ( ( )) = y Ey 0 exp i k r ωt z = ik x ik y ik z = i k E 0 exp ( i E 0 z E 0 x E 0 y E 0 z exp ( k r ωt )) ( ( )) i k r ωt und d dt B( r, t) = d B dt ( ) 0 exp(i k r ωt ) ( ) k r ωt ) = iω B 0 exp(i = iω B( r, t) Somit erhält man rot E + B = i k E( r, t) iω B( r, t) Mit der Maxwellgleichung (6.3) ergibt sich also B( r, t) = 1 ω k E( r, t). (6.20) Also steht B immer senkrecht auf k und E : k, E und B bilden ein rechtshändiges Dreibein. Mit diesen Beziehungen können wir nun Energie und Impuls der elektromagnetischen Wellenfelder berechnen. Als erstes betrachten wir den Poynting Vektor S. Nach (4.38) ergibt sich ( ) S = E H = 1 µ 0 µ E B ê k. (6.21) Bei dem Übergang zur zweiten Zeilen wurde ausgenutzt, daß E, B und k ein Dreibein bilden (6.20). Der Poyntingvektor und damit die entsprechende Energieflussdichte weist also in Richtung des Wellen- oder Ausbreitungsvektors k. Betrachten wir nun eine linear polarisierte Welle und benutzen ausserdem (6.20) so ergibt sich für den Betrag des Poyntingvektors S = k ωµµ 0 E 2 0 cos2 ( k r ωt ) Benutzt man nun (6.18) und den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c und den Materialkonstante µ und ε aus (6.9) so ergibt sich S = cε 0 εe 2 0 cos 2 ( k r ωt )

216 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Hält man also die Position fest und berechnet den zeitlich gemittelten Energiefluß, so ergibt sich S = c 2 ε 0εE 2 0 (6.22) Zum Vergleich können wir auch die zeitlich gemittelete Energiedichte der elektromagnetischen Felder berechnen. Nach (4.37) ergibt sich H B ) W = 1 2 ( E D+ = 1 2 ( ε0 ε 2 E2 0 + 1 2µ 0 µ B2 0 ) = 1 2 ε 0εE 2 0 (6.23) Auch hier stehen die Querstriche für die zeitliche Mittelung der entsprechenden Größen. Bei dem Übergang zur letzten Zeile wurde wieder (6.20) benutzt, wodurch sich ergab, dass die Energiedichte durch die Magnetfelder genau so groß ist wie die der elektrischen. Vergleicht man (6.22) und (6.23) so ergibt sich S = c W, die gemittelte Energieflußdichte S der elektromagnetische Welle entspricht gerade ihrer Energiedichte W multipliziert mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c. Die Geschwindigkeit c ist also die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Energiedichte. An dieser Stelle wollen wir verschiedene Beispiele für elektromagnetische Wellen betrachten. Dazu rufen wir uns in Erinnerung, dass die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum oder allgemein in einem Medium mit µ = ε = 1 den Wert (siehe (6.9)) c = 1 = 3 10 8 m (6.24) µ0 ε 0 s besitzt. Zusammen mit (6.14) bedeutet dies, dass es einen festen Zusammenhang zwischen der Wellenlänge λ und der Frequenz ν einer elektromagnetischen Welle gibt: c = ω k = 2π T λ 2π = νλ = 3 108 m s. (6.25) Wir wollen diese Beziehung an verschiedenen Formen der elektromagnetischen Wellen verifizieren. Elektromagnetische Wellen im Frequenzbereich zwischen etwa 10 5 Hertz und 10 8 Hertz bezeichnet man als Radiowellen. So kennen wir auf einem normalen Radio- Empfänger die sogenannte Mittelwelle mit Frequenzen zwischen 500 khz und 1.6 MHz. Nach (6.25) entspricht dabei ν = 1.5 10 6 Hz = 1.5 MHz einer Wellenlänge von 200 Metern. Höhere Frequenzen im Bereich der Kurzwelle oder im UKW (Ultra- Kurz-Wellen) Bereich (ν 100 MHz) entsprechen kürzeren Wellenlängen (hier also etwa λ 3 m).

6.1. LÖSUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN IN EINEM ISOLATOR 217 Den sich hier anschließenden Bereich höherer Frequenzen (etwa 3 10 8 Hz < ν < 3 10 12 Hz also 1m > λ > 10 4 m) bezeichnet man als den Bereich der Mikrowellen. In diesem Bereich von Frequenzen ist auch von Interesse, dass bei der Taktfrequenz heutiger Computer (etwa 3 GHz als 3 10 9 Hz), die Wellenlänge λ 1 Meter beträgt. Bei höheren Frequenzen muss man also darauf achten, dass die Abmessungen der Bauteile so klein gehalten werden, dass über die Ausmaße der Bauteile sich die Feldstärken nicht signifikant ändern. Im Frequenzbereich zwischen etwa 3 10 12 Hz < ν < 4 10 14 Hz spricht man vom Bereich des infraroten Lichts. Das für unser Auge sichtbare Licht umfasst der sehr kleinen Frequenzbereich zwischen ν = 4 10 14 Hz (rotes Licht, λ = 750 nm) und ν = 8 10 14 Hz (blaues Licht, λ = 375 nm). Bei höheren Frequenzen (10 15 Hz < ν < 10 18 Hz) findet man das Ultraviolette Licht. Den Bereich 10 16 Hz < ν < 10 20 Hz bezeichnet man auch als Röntgenstrahlen. Noch höhere Frequenzen (ν > 10 18 Hz) fasst man als γ-strahlung zusammen. Dabei ist zu beachten, dass die Frequenzbereiche für die verschiedenen Typen von elektromagnetischen Wellen oder Strahlen überlappen. Abstrahlung von Radiowellen im Experiment Wir erzeugen durch einen Röhrenverstärker Schwingungen der Frequenz f = 150 MHz. Der Schwingkreis enthält eine kreisförmige Schleife. Das in der Schleife erzeugte B-Feld koppeln wir in eine stabförmige Antenne ein (s. Abb. 6.2(a)). Der Stab sei parallel zur x-richtung orientiert. Die Antenne strahlt elektromagnetische Wellen der Wellenlänge λ = c/f = 3 10 8 (m/s)/1.5 10 8 Hz = 2 m ab. Wir messen zunächst das elektrische Feld mittels einer stabförmigen Antenne. In die Mitte der Antenne fließt der induzierte Strom über eine Parallelschaltung eines Widerstands und einer Diode 1. Der zeitliche Mittelwert der über dem Widerstand abgegriffenen Spannung ist damit von Null verschieden und kann detektiert werden. Das detektierte elektrische Feld ist maximal, wenn die Empfangsantenne parallel zur Abstrahlantenne steht (d. h. Orientierung in x-richtung). Dreht man die Antenne um 90 aus der Abstrahlebene heraus (d. h. Orientierung in z-richtung) so geht das Signal (fast) auf Null zurück. Ebenso verringert sich das Signal stark, wenn Sende- und Empfangsantenne auf einer Achse liegen (Abb. 6.2(b)). Die Magnetfeldkomponente der abgestrahlten Welle messen wir mittels einer ringförmigen Antenne. Der den Ring durchsetzende magnetische Fluss induziert Wechselströme, die wir wiederum gleichrichten 2. Wir finden, dass B senkrecht zu E steht. 1 Die Diode lässt den Strom im Wesentlichen nur in einer Richtung passieren. 2 Es sei hier noch angemerkt, dass die detektierten Spannungen einige mv betrugen. Ähnliche Spannungen können durch die zahlreichen Radiosender in der Umgebung in einem unvorsichtig aufgebauten Laborexperiment auftreten, falls die Verbindungskabel beispielsweise Schleifen bilden. Der Effekt ist sehr gefürchtet, da er nicht nur Messungen sondern u. U. sogar die zu messende Probe zerstören kann.

218 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN - F B = C I = J A A *. A @ ) > I J H = D = J A A K I E = J H - F B = C I = J A A = N 5 E C = -. A @ ) > I J H = D = J A A = - F B = C I = J A A E 5 E C = > Abbildung 6.2: Abstrahlung von Radiowellen. (a) Ankoppelung an Oszillator; (b) Abstrahlcharakteristik Schließlich variieren wir die Länge der stabförmigen Empfangsantenne und der Abstrahlantenne. In beiden Fällen wird das Signal maximal, wenn die Stablänge λ/2 (d. h. 1 m) beträgt. Speziell im Fall der Abstrahlantenne finden wir, dass das Signal praktisch auf Null zurückgeht, wenn wir die Antenne entfernen, so dass die Abstrahlung nur noch über die Leiterschleife des Senders erfolgen kann.

6.2. ERZEUGUNG VON ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN 219 6.2 Erzeugung von elektromagnetischen Wellen In diesem Abschnitt soll die Entstehung und die Emission von elektromagnetischen Wellen beschrieben werden. Die Quelle dieser elektromagnetischen Welle sei eine auf einem kleinen Raum lokalisierte, oszillierende Ladungs- und Stromverteilung ρ( r, t) = ρ( r ) exp( iωt) j( r, t) = j( r ) exp( iωt) (6.26) Auch hier wird wieder die komplexe Schreibweise benutzt, damit einzelne Rechenschritte vereinfacht werden. Letztendlich interessiert natürlich nur der Realteil dieser Größen. Natürlich sind auch andere Zeitabhängigkeiten denkbar als die in (6.26) angenommene Oszillation mit einer konstanten Frequenz. Solche komplexeren Oszillationen können aber über die Fourierentwicklung stets als Überlagerung von den harmonischen Oszillationen aus (6.26) dargestellt werden. Realisierung solcher lokalisierten Quellen sind z.b. Antennen für Radiowellen oder aber auch einzelne Atome und Moleküle, die ja elektromagnetische Wellen in Form von Licht, Röntgenstrahlung oder auch in anderen Frequenzbereichen emittieren können. Zur Beschreibung der elektromagnetischen Felder, die durch die oszillierenden Ladungsund Stromverteilungen erzeugt werden, betrachten wir zunächst die elektromagnetischen Potenziale A( r, t) und Φ( r, t). Dabei wollen wir diese Potenziale in der Lorentzeichung betrachten, was bedeutet, dass 1 div µ dφ A + ε 0 0 dt = 0 (6.27) erfüllt sein muss und für das Potenzial Φ( r, t) die Differenzialgleichung ( ε 0 Φ + 1 ) dφ = ρ, (6.28) c 2 dt gilt. Dies ist eine Wellengleichung für das Potenzial Φ allerdings mit einer Inhomogenität ρ. Aus der Diskussion der homogenen Wellengleichung wissen wir, dass beliebige Funktionen eine Lösung dieser Gleichung liefern, die nicht unabhängig vom Ort r und der Zeit t abhängen sondern nur von der Linearkombination Φ(ct r ). (6.29) Nun interessiert uns eine lokalisierte Ladungs- und Stromverteilung. Das bedeutet, wenn wir in hinreichendem Abstand von dieser Quelle sind, wird die Ladungsdichte gleich null sein und wir können für diesen Bereich die homogene Form der Wellengleichung (6.28) verbunden mit der Eigenschaft (6.29) annehmen. Bei oszillierenden Ladungsverteilungen können wir ausserdem annehmen, dass nicht die Gesamtladung oszilliert, das würde ja der Ladungserhaltung widersprechen, sondern nur die räumliche Verteilung. Weit weg von der Ladungsverteilung sollte das elektromagnetische Feld durch die zeitlich oszillierende Dipolkomponente der Ladungsverteilung beschrieben sein. Wir betrachten deshalb noch

220 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN einmal das Potenzial, das durch eine statische Dipolverteilung am Koordinatenursprung d erzeugt wird Φ stat ( r) = 1 4πε 0 d r = 1 ε 0 N, (6.30) mit N = 1 d 4π r. Wir vesuchen jetzt dieses Ergebnis für das Potenzial im statischen Fall zu erweitern auf den zeitabhängigen Fall, bei dem wir eine oszillierende Dipolquelle der Form d(t) = d 0 exp( iωt) = d 0 exp( ikct), (6.31) am Koordinatenursprung ansetzen. Unsere Überlegungen zu (6.28) haben uns dazu geführt, im Falle der zeitabhängigen Quellen ein Potenzial der Form (6.29) zu betrachten. Wenn wir diese Überlegung auf das Potenzial übertragen, so liegt es nahe, den statischen Ansatz zu verallgemeinern auf die Form Φ( r, t) = 1 d(ct = ct r ) 4πε 0 r = 1 ε 0 N( r, t). (6.32) Dies bedeutet, dass das Potenzial am Ort r zur Zeit t dem Potenzial des Dipols zur Zeit t = t r/c entspricht. Dies ist natürlich kein Beweis dafür, dass die Form des Potenzials korrekt ist. Dazu müssen wir dieses Ergebnis in (6.28) einsetzen und diese Gleichung verifizieren, eine Rechnung, die wir uns an dieser Stelle ersparen wollen. Wir sehen aber, dass die Lösung im Grenzfall ω 0 das richtige Ergebnis des elektrostatischen Dipols liefert. Ausgehend von diesem Ausdruck für das Potenzial können wir aber auch das Vektorpotenzial bestimmen. Wir betrachten dazu die Gleichung (6.27) der Lorentzeichung in der Form A dφ = µ 0 ε 0 dt = µ 0 dn (6.33) dt wobei wir bei dem Übergang zur zweiten Zeile die Darstellung von Φ aus (6.32) übernommen haben. Aus dieser Gleichung ergibt sich als mögliche Lösung für A A = µ 0 d N dt. (6.34) Zurück zur Berechnung des Potenzials Φ nach (6.32). Unter Benutzung der Produktregel für die Ableitungen im Operator ergibt sich [ ] Φ( r, t) = 1 d + d 4πε 0 r 1. (6.35) r

6.2. ERZEUGUNG VON ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN 221 Zur Berechnung von d benutzen wir die Kettenregel d 0 exp( ik(ct r )) = ik d 0 exp( ik(ct r )) ( ê r ) = ikê r d, (6.36) wobei ê r wie üblich den Einheitsvektor in Richtung des Beobachtungspunktes r bezeichnet. Damit ergibt sich [ Φ( r, t) = 1 ik r d ] r d +. (6.37) 4πε 0 r 2 r 3 Damit und nach einer etwas längeren Rechnung ergibt sich für E( r, t) = Φ d dt A = 1 e (i(kr ωt)) { [(kr) 2 + ikr 1 ] d0 [ (kr) 2 + 3ikr 3 ] ( 4πε 0 r } d 3 0 ê r )ê r (6.38). Bei unseren Überlegungen spielen drei Längenskalen eine Rolle. Da ist einmal die Ausdehnung der Quelle, die z.b. durch einen Radius der Größe δ charakterisiert sein soll. Die zweite Längenskala ist der Abstand des Beobachtungspunktes von der Quelle. Nehmen wir an, dass die Quelle sich im Koordinatenursprung befindet, so ist dieser Abstand identisch mit dem Betrag des Vektors r. Die dritte Längenskala ist die Wellenlänge λ der elektromagnetischen Welle, die mit der Wellenzahl k oder auch der Winkelfrequenz ω verknüpft ist λ = 2π k = 2πc ω Wir nehmen an, dass die Ausdehnung der Quelle sehr klein ist gegenüber den beiden anderen Längen und unterscheiden dann Nahbereich: δ r λ Fernbereich: δ λ r (6.39) Wir wollen uns hier das Feld im Fernbereich ansehen für den also gilt 1 kr = 2π λ r so dass man in (6.38) die Terme proportional zu kr und zu 1 gegenüber den quadratischen Termen proportional zu (kr) 2 vernachlässigen kann. Damit ergibt sich E( r, t) = k2 exp(i(kr ωt)) { d0 ( d 4πε 0 r } 0 ê r )ê r. (6.40) Im Folgenden positionieren wir das Koordinatensystem so, dass der Dipolvektor d 0 = d 0 ê z in z-richtung orientiert ist und damit der Ortsvektor des Beobachters r mit der z-achse den Winkel θ bildet (Bezeichnung wie bei den Kugelkoordinaten), so dass d 0 ê r = cos θ

222 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Daraus ergibt sich E( r, t) = k2 d 0 exp(i(kr ωt)) 4πε 0 r = k2 d 0 exp(i(kr ωt)) 4πε 0 r 0 0 1 sin θ cosθ cosθ cosϕ cos θ sin ϕ sin θ sin θ cosϕ sin θ sin ϕ cosθ = k2 d 0 exp(i(kr ωt)) { sin θê θ }. (6.41) 4πε 0 r Dieses elektrische Feld, das auch häufig als elektrisches Feld eines Hertz schen Dipols (in der Fernfeldnäherung) bezeichnet wird besitzt also die folgenden Eigenschaften: Es handelt sich um eine Kugelwelle, die radial vom Punkt des oszillierenden Dipols im Koordinatenursprung nach aussen läuft. Dies wird durch den Faktor exp(i(kr ωt)) r zum Ausdruck gebracht. Der Wellenzahlvektor am Beobachtungsort r zeigt also radial in Richtung ê r nach aussen und besitzt den Betrag k. Das elektrische Feld ist in Richtung des Einheitsvektors ê θ, einem der Basisvektoren der Kugelkoordinaten, polarisiert. Da ê θ, senkrecht zur Richtung des Vektors ê r und damit senkrecht zum Wellenzahlvektor k steht, haben wir es mit einer transversal polarisierten Welle zu tun, was ja auch für elektromagnetische Wellen gegeben sein muss. Die Amplitude des elektrischen Feldes ist proportional zu sin θ und hängt damit von der Ausbreitungsrichtung ab. Sie ist identisch null in Richtung der z-achse, also in Richtung des Dipols und damit am Beispiel der Stabantenne in Richtung des Stabes. Die Amplitude ist maximal in der xy-ebene, also bei Ausbreitung senkrecht zum Dipol. Die Amplitude ist proportional zur Wellenzahl zum Quadrat, der Faktor k 2 in (6.41). Die abgestrahlte Energie wird durch den Pointing-Vektor beschrieben. Dieser zeigt im Fall der elektromagnetischen Wellen in Richtung des Wellenvektors k, also in Ausbreitungsrichtung, und ist proportional zum Quadrat der Amplitude des elektrischen Feldes. Damit ergibt sich als Funktion der Richtung die Abstrahlcharakteristik eines Dipolstrahlers, wie sie in Abb. 6.3 dargestellt ist. Es ist ausserdem interessant festzustellen, dass die abgestrahlte Energie proportional zu k 4 ω 4 λ 4 ist. Kurzwelliges Licht wird also mit größerer Intensität abgestrahlt und auch absorbiert, beziehungsweise gestreut. Dieser Mechanismus der sogenannten Rayleigh Streuung gilt für Sender, Absorber oder Streuzentren, die klein sind gegenüber der Wellenlänge λ, wie das ja hier angenommen wurde (siehe (6.39). Dementsprechend ist z.b. die Eindringtiefe von Sonnenlicht in unsere Atmosphäre l 160 λ 4

6.2. ERZEUGUNG VON ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN 223 0.4 0.8 1-1 -0.5 0.2 0 0 0-0.2 0.2 0.4 0.5 0.6 1-0.4 Abbildung 6.3: Abstrahlung eines elektrischen Dipols. Dargestellt ist ein Ausschnitt aus einer Fläche, auf der die abgestrahlte Energie konstant ist. mit λ angegeben in µm und l in Kilometer. Dies bedeutet l 4 km für violettes Licht (λ 0.4 µm) und 65 km für rotes Licht (λ 0.8 µm). Da die dichte Atmosphäre etwa 8 km hoch ist, wird tagsüber bei steilem Sonnenstand vor allem blaues Licht gestreut, was zu der blauen Farbe des Himmels führt. Bei auf- und untergehender Sonne ist der Weg des Lichtes durch die Atmosphäre entsprechend länger, so dass auch rotes Licht gestreut wird (Abendrot).

224 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 6.3 Überlagerung von elektromagnetischen Wellen Die Maxwellgleichungen im Vakuum oder in einem isolierenden Medium (ρ = 0, j = 0) sind Differenzialgleichungen, die sowohl linear sind, d.h. die zu berechnenden elektrischen und magnetischen Felder treten nur linear und nicht quadratisch oder in höherer Potenz auf, und sie sind homogen, was bedeutet, dass es keine Terme gibt, in denen die elektromagnetischen Felder nicht auftreten. Dies bedeutet aber, dass für die Lösungen das Superpositionsprinzip gilt. Sind also zwei Lösungen ( E 1 ( r, t), B 1 ( r, t)) und ( E 2 ( r, t), B 2 ( r, t)) bekannt, so ist auch die Linearkombination dieser beiden Lösungen E( r, t) = α E 1 ( r, t) + β E 2 ( r, t) B( r, t) = α B 1 ( r, t) + β B 2 ( r, t) (6.42) mit beliebigen Koeffizienten, also Zahlen, α und β, Lösungen dieser Maxwellgleichungen im Vakuum. Wir wollen verschiedene Beispiele betrachten und nehmen dazu an, dass die Ausbreitungsrichtung der beiden überlagerten Wellen identisch ist und das Koordinatensystem so orientiert ist, dass die z-achse in Ausbreitungsrichtung liegt Das elektrische Feld hat dann die Form ki = k i ê z. (6.43) E j ( r, t) = ê j E 0j e iϕ j e i(k jz ω j t) mit ω j k j = c (6.44) mit einer reellwertigen Amplitude E 0j und einer Phase ϕ j. Als Basisvektoren für die Polarisation des elektrischen Feldes kommen Vektoren ê j senkrecht zur Ausbreitungsrichtung in Frage, also z.b. ê x oder ê y. Realisiert wird von diesem elektrischen Feld natürlich nur der Realteil also Real E j ( r, t) = ê j E 0j cos (k j z ωt + ϕ j ) Nun zu verschiedenen Beispielen: Linear polarisierte Welle: Nehmen wir den Fall k 1 = k 2, und ϕ 1 = ϕ 2. Mit der Superposition (6.42) ergibt sich für den Realteil der Ergebniswelle E( r, t) = (αe 01 ê 1 + βe 02 ê 2 ) cos (k 1 z ω 1 t + ϕ 1 ) (6.45) Bei dieser Lösung (6.45) ändert sich die Polarisationsrichtung von E nicht als Funktion von Ort und Zeit, lediglich die Amplitude ist variabel. In diesem Fall spricht man von linear polarisierten Wellen. Das zugehörige Magnetfeld ergibt sich aus der Beziehung k1 E = ω B.

6.3. ÜBERLAGERUNG VON ELEKTROMAGNETISCHEN WELLEN 225 Zirkular polarisierte Welle Es gibt aber auch transversal polarisierte Wellen, die nicht linear polarisiert sind. Dazu betrachten wir die Superposition mit α = β = 1 und k 1 = k 2 = k, ϕ 1 = 0, ϕ 2 = π 2. In diesem Fall ergibt sich also für das elektrische Feld: E( r, t) = E 01 ê 1 cos (kz ωt) + E 02 ê 2 cos (kz ωt + π 2 ) = E 01 ê 1 cos (kz ωt) E 02 ê 2 sin (kz ωt) (6.46) Betrachtet man nun z.b. den Fall, dass ê 1 = ê x und ê 2 = ê y, sowie E 01 = E 02 so ist dieses elektrische Feld am Koordinatenursprung (z = 0) gegeben durch cosωt E(0, t) = E 0 sin ωt 0 Es handelt sich also um ein elektrisches Feld mit einer Amplitude, die vom Betrag her konstant ist, deren Richtung aber auf einem Kreis in der xy-ebene zirkuliert. Man spricht deshalb von einer zirkular polarisierten Welle. Die hier betrachtete Welle besitzt positive Helizität, da das Feld als Funktion des Ortes eine Rechtsschraube in Ausbreitungsrichtung bildet. Für ϕ 2 = π/2 erhält man eine Linksschraube bzw. negative Helizität. Sind die Amplituden E 01 und E 02 unterschiedlich, so beschreibt der Vektor des elektrischen Feldes als Funktion der Zeit eine Ellipsenbahn. Man spricht deshalb von elliptischer Polarisation. Stehende Welle Es soll nun der Fall der Überlagerung von linear polarisierten Wellen betrachtet werden, bei denen der Amplitudenvektor identisch ist, aber die Ausbreitungsrichtung der beiden Wellen gegenläufig ist, also k 2 = k 1. In diesem Fall ergibt sich für die Superposition der beiden Wellen das Ergebnis E( r, t) = E 0 e i(kz ωt) + E 0 e i( kz ωt+ϕ) = E 0 e i( ωt+ϕ/2) ( e i(kz ϕ/2) + e i(kz ϕ/2)) = 2 E 0 e i( ωt+ϕ/2) cos(kz ϕ/2). (6.47) Es handelt sich also um eine Welle mit einer Amplitude, die sich als Funktion des Ortes wie eine Kosinusfunktion verhält. Diese Amplitude ist dann multipliziert mit eine komplexwertigen Exponentialfunktion, die die zeitliche Schwingung beschreibt. Man spricht von einer stehenden Welle. An den Stellen, an denen cos(kz ϕ/2) den Wert null annimmt, ist das elektrische Feld für alle Zeiten identisch null. Dies sind die Knoten der stehenden Welle. An den Stellen, an denen die Kosinusfunktion den Wert 1 oder -1 annimmt, oszilliert das elektrische Feld als Funktion der Zeit mit maximaler Amplitude. Man bezeichnet diese Stellen als Schwingungsbäuche der stehenden Welle.

226 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Ausserdem sei der Fall betrachtet, bei denen Wellen mit verschiedenen Wellenzahlen (bei gleicher Ausbreitungsrichtung) überlagert werden. Hier kommt es wie wir bereits im Kurs Physik I diskutiert haben zu Amplitudenmodulationen der Welle, die wir auch unter den Stichworten Fourier-Zerlegung behandelt haben. Elektromagnetische Stehwellen im Experiment Wir stellen dem Sender der Abb. 6.2 einen metallischen Reflektor gegenüber, so dass sich eine Stehwelle ausbildet. Wenn wir die Stehwelle mit der Antenne abfahren so finden wir, dass sich die Bäuche bzw. Knoten der Stehwelle im Abstand λ/2 = 1 m wiederholen. Hieraus finden wir mit der Senderfrequenz von 150 MHz für die c einen Wert von 3 10 8 m/s, was zeigt, das sich auch diese elektromagnetische Welle mit Licht geschwindigkeit ausbreitet. Wenn wir des Experiment in Wasser wiederholen, finden wir λ/2 0.15 m. Mit c = c vak / εµ und µ = 1 für Wasser bestimmen wir hieraus ε 45, was geringer ist als der statisch bestimmte Wert von ε (ε statisch 81). Der Grund liegt schlicht darin, dass die permanenten Diplomomente der H 2 O-Moleküle nicht schnell genug dem elektrischen Wechselfeld folgen können. Die bei 150 MHz (oder auch bei höheren Frequenzen) gemessene Dielektrizitätskonstante ist also deutlich keiner als die statisch gemessene. Schließlich demonstrieren wir Stehwellen noch mit einem bei 9.7 GHz arbeitenden Sender. Wir finden λ/2 1.6 cm heraus und wiederum c = 3 10 8 m/s.

6.4. WELLEN IN EINEM LEITENDEN MEDIUM 227 6.4 Wellen in einem leitenden Medium Unter einem leitenden Medium verstehen wir ein System, in dem wir keine ruhenden Ladungen berücksichtigen, aber Ströme, die nach dem Ohmschen Gesetz durch ein elektrisches Feld verursacht werden. Wir nehmen also an ρ( r, t) = 0 j( r, t) = σ E( r, t) mit der Leitfähigkeit σ als charakteristische Materialkonstante. Nehmen wir außerdem an, dass die Materialparameter ε und µ Konstanten, also unabhängig von r und t, sind, so lassen sich die Maxwellgleichungen auf die Form bringen div D = ε 0 εdiv E = 0 div E = 0 div B = µµ 0 div H = 0 div H = 0 rot E = d B dt = µ 0 µ d H dt rot H = d D dt + j = ε 0 ε d E dt + σ E (6.48) Auch zur Lösung dieser Gleichung betrachten wir den Ansatz von Vektorfeldern, die als Funktion der Zeit harmonisch oszillieren Ansatz : E( r, t) = E( r) exp( iωt) H( r, t) = H( r) exp( iωt) (6.49) Die Maxwellgleichungen für die Wirbelstärken liefern mit diesem Ansatz rot E = iωµ 0 µ H rot H = iωε 0 ε E + σ E = iωη E (6.50) wobei wir definiert haben η = ε 0 ε + i σ ω (6.51) Die Maxwellgleichungen in einem leitenden Medium sind also fast identisch zu den Maxwellgleichungen in einem Isolator (σ = 0) mit den Unterschieden Die Dielektrizitätskonstante ε 0 ε ist zu ersetzen durch die komplexwertige Variable η, definiert in (6.51). Diese komplexwertige Dielektrizitätsfunktion η hängt ab von der Frequenz der oszillierenden Felder ω. Im Folgenden werden wir also ω festhalten und erwarten dann auch für die Lösungen der Maxwellgleichungen im leitenden Medium, Lösungen in der Form von ebenen Wellen E( r, t) = E 0 exp(i( k r ωt)) H( r, t) = H 0 exp(i( k r ωt)). (6.52)

228 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Aus den Maxwellgleichungen zur Quellstärke der Felder erhalten wir die Bedingungen div E = i k E = 0 k E div H = i k H = 0 k H (6.53) Auch in den leitenden Medien sind also die elektromagnetischen Felder senkrecht zum Wellenvektor k, sie sind also auch hier transversal polarisiert. Ein Unterschied tritt aber auf bei der Betrachtung der beiden anderen Maxwellgleichungen 1 i rot H = k H = ωη E 1 i rot E = k E = ωµµ 0 H (6.54) Multipliziert man die erste dieser beiden Gleichungen von links mit k so ergibt sich unter Einbeziehung der zweiten Gleichung k ( k H) = k ( kh) k 2 H } {{ } =0 = k ( ωη E) = ω 2 ηµµ 0 H Der erste Term auf der rechte Seite der ersten Zeile dieser Gleichung verschwindet wegen der Eigenschaft (6.53), dass H transversal polarisiert ist. Damit können wir diese Gleichung zusammenfassen zu k 2 H = ω 2 ηµµ 0 H beziehungsweise mit der Definition von η in (6.51) zu ) k 2 = µµ 0 εε 0 ω (1 2 σ + i ωε 0 ε (6.55) Das Quadrat der Wellenzahl, und damit natürlich auch die Wellenzahl k sind komplex, sodass man den Wellenzahlvektor schreiben kann k = êk (α + iβ), (6.56) mit α und β als Bezeichnung für den Real- und Imaginärteil von k, während ê k den Einheitsvektor in Richtung k bezeichnet. Aus dem Vergleich von mit (6.55) ergibt sich k 2 = (α 2 β 2 ) + i 2αβ (α 2 β 2 ) = µ 0 µε 0 εω 2 2αβ = µµ 0 ωσ (6.57)

6.4. WELLEN IN EINEM LEITENDEN MEDIUM 229 6.4.1 Der Skineffekt Mit der komplexen Wellenzahl erhält man z.b. für die Welle des elektrischen Feldes in (6.52) ( ) E( r, t) = E0 exp(i(αê k r ωt)) exp( βê k r) (6.58) und einen entsprechenden Ausdruck für das Magnetfeld H. Für positive Werte von β ergibt sich eine Welle, deren Amplitude entlang der Ausbreitungsrichtung ê k exponenziell abnimmt. Verfolgt man die Welle über eine Wegstrecke der Länge τ = 1 β (6.59) so fällt die Amplitude um den Faktor 1/e ab. Man bezeichnet die Größe τ deshalb als Eindringtiefe oder Skinkonstante, d.h. die Dicke der Haut ( Skin ) des leitenden Mediums, in die elektromagnetische Wellen in das leitende Medium eindringen können. Wie groß ist diese Skinkonstante und wie stark hängt sie von der Frequenz ab? Dazu die folgende Abschätzung: Im Fall von Materialien mit hoher Leitfähigkeit σ wird der Imaginärteil von k 2, der ja wie aus (6.57) ersichtlich proportional zu σ ist, sehr viel größer sein als der Realteil. Wir können also annehmen, daß α 2 β 2 0 α β (6.60) Damit ergibt sich also und für die Skinkonstante (6.59) 2αβ 2β 2 µ 0 µωσ τ = 2 σµµ 0 ω (6.61) Die Eindringtiefe ist also insbesondere bei Materialien mit sehr hoher Leitfähigkeit und bei hohen Frequenzen ω sehr klein. In diesem Fall wird die Energie der elektromagnetischen Welle sehr rasch auf das leitende Material übertragen und die Welle entsprechend gedämpft. Wegen dieses Skineffektes sind leitende Materialien weitgehend undurchlässig für elektromagnetische Wellen. Insbesondere lassen sie kein Licht durch (relativ großes ω) und dämpfen auch Wellen im Bereich der Radiofrequenzen sehr stark. Die komplexwertige Wellenzahl hat aber auch noch eine weitere Konsequenz. Nach (6.54) gilt 1 µµ 0 ω k(ê k E) = H Für die Amplitude des magnetischen Feldes in (6.52) gilt also damit H 0 = 1 µ 0 µω k exp(iφ)(ê k E 0 ) wobei wir die komplexe Zahl k über den Betrag und eine Phase φ dargestellt haben. Nach unseren Überlegungen zu (6.60) ist φ bei guten Leitern etwa gleich π/4 oder 45 Grad. Die Welle des Magnetfeldes ist also damit um diesen Winkel phasenverschoben zur Welle des elektrischen Feldes, sie hinkt entsprechend nach.

230 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN 6.4.2 Frequenzabhängige Dielektrizitätskonstante Bisher wurde der Einfluss des Mediums auf das elektrische Feld dadurch berücksichtigt, dass wir eine Polarisation des Mediums annahmen, P = ε 0 χ E und damit z.b. die dielektrische Verschiebung definiert haben als D = ɛ 0 E + P = ε0 ε E mit der Dielektrizitätskonstanten ε = 1 + χ. Dabei geht man davon aus, dass sich die Polarisation des Mediums zeitgleich mit dem elektrischen Feld ändert. Das elektrische Feld ändert sich also so langsam, dass die Elektronen im atomaren Bereich, die für die Polarisation verantwortlich sind, jeder Feldänderung instantan folgen können. Dies ist natürlich in der Elektrostatik eine vernünftige Annahme, die auch bei langsam variierenden Feldern noch gültig ist. Wie verhält es sich aber bei Feldern mit hohen Frequenzen ω? Zur Untersuchung dieser Frage betrachten wir die Bewegungen der atomaren Ladungen, also der Elektronen, um die Gleichgewichtslage in einem Atom ohne externes Feld. Die makroskopischen Felder bilden nur eine kleine Störung der starken atomaren Felder. Deshalb ist es eine gute Näherung die Auslenkung aus der Ruhelage in der harmonischen Näherung zu behandeln, also mit einer Rückstellkraft die proportional zur Auslenkung r mit einer Konstanten K beschrieben wird Rückstellkraft: F = K r = mω 2 0 r dabei bezeichnet m den Massenparameter der atomaren Ladung und ω0 2 = K/m entspricht der Frequenz dieser harmonischen Schwingung, ist also ein Charakteristikum des Materials. Außerdem können wir annehmen, dass es eine Reibungs- oder Dämpfungskraft proportional zur Geschwindigkeit der bewegten Ladung gibt und eben die Kraft durch das externe Feld, qe, mit q für die Ladung. Die Bewegungsgleichung ergibt sich also als m d2 r dt 2 = mω2 0 r γm d r dt + q E (6.62) Multipliziert man diese Bewegungsgleichung mit q/m und ersetzt q r durch das Dipolmoment d, so ergibt sich d 2 d dt + γd d 2 dt + ω2 0d = q2 E m (6.63) Im Fall der Elektrostatik (d d/dt = 0) erhält man also d = q2 ω 2 0 m E P = N d = Nq 2 ω 2 0 m E = χε 0 E mit N die Dichte der Atome. Damit ergibt sich also für die elektrische Suszebtibilität χ, beziehungsweise für die Dielektrizitätskonstante χ = ε 1 = Nq2 ε 0 ω 2 0 m (6.64) Im nächsten Schritt nehmen wir an, dass das externe elektrische Feld E mit einer Frequenz ω schwingt und auch der Ladungsverteilung beziehungsweise dem Dipolmoment d die entsprechende Frequenz aufzwingt (siehe Mechanik von erzwungenen Schwingungen) E = E 0 exp( iωt) und d = d 0 exp( iωt)

6.4. WELLEN IN EINEM LEITENDEN MEDIUM 231 4 3 Real χ Imag χ 2 χ [χ static ] 1 0 1 2 0 1 2 ω / ω 0 Abbildung 6.4: Real- und Imaginärteil der elektrischen Suszeptibilität nach (6.66). Geht man mit diesen Ansatz in (6.63) ( ω 2 iγω + ω0) 2 d q 2 = E m ergibt sich daraus nach Abspalten des gemeinsamen Faktors exp( iωt) d 0 = q2 1 E m ω0 2 ω 2 iγω 0 = χ(ω) E N 0 (6.65) Die elektrische Suszebtibilität χ und damit auch die Dielektrizitätskonstante ε nehmen komplexe Werte an und hängen von der Frequenz des elektrischen Feldes ω ab mit Realχ = N q2 ω0 2 ω2 ε 0 m (ω0 2 ω2 ) 2 + γ 2 ω 2 Imagχ = N q2 γω ε 0 m (ω0 2 ω 2 ) 2 (6.66) + γ 2 ω 2 Diese Abhängigkeit des Real- und Imaginärteiles von χ von der Frequenz ω sind in Abb. 6.4 dargestellt. Im Grenzfall ω = 0 ergibt sich wieder die reelle Suzebtibilität χ der Elektrostatik. Bei der Resonanzfrequenz ω = ω 0 ist der Imaginärteil von χ und damit auch der Imaginärteil von ε maximal. Weiter oben in diesem Abschnitt haben wir gesehen, daß ein komplexer Wert von ε ein Zeichen für die Dämpfung und Absorption der elektromagnetischen Welle ist. Also werden die elektromagnetischen Wellen stets dann in einem Material besonders stark absorbiert werden, wenn die Frequenz in der Nähe einer Resonanzfrequenz ω 0 des Materials ist. In diesem Bereich ω ω 0 zeigt auch der Realteil von χ eine ausgeprägte Frequenzabhängigkeit. Für ω = ω 0 gilt χ = 0. Für Werte von ω, die leicht oberhalb der Resonanzfrequenz liegen wird χ negativ, sodass ε Werte kleiner als 1 annimmt. Dies bedeutet aber daß die Phasengeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit ist. Auf dem ersten

232 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Blick scheint es also die Möglichkeit zu geben, daß Informationen mit Geschwindigkeiten oberhalb der Lichtgeschwindigkeit verbreitet werden können. An dieser Stelle soll zu diesem Thema nur angemerkt werden, daß für die Ausbreitung von Information nicht die Phasengeschwindigkeit, sondern die Gruppengeschwindigkeit eines Wellenpaketes relevant ist. Außerdem sei darauf hingewiesen, dass χ nur für solche Werte von ω negativ wird, für die die Absorption, dargestellt durch den Imaginärteil von χ, groß ist. Aus der Abb. 6.4 können wir weiter entnehmen, dass die Suszebtibilität χ und damit auch die Dielektrizizätskonstante ε und auch der Brechungsindex n = µε über weite Bereiche von ω mit ω und damit auch mit der Wellenzahl k anwächst. Es gilt also dn/dω > 0. Man spricht in diesem Fall von normaler Dispersion. Im Bereich der Resonanzfrequenzen ω 0 gibt es aber auch Bereiche anormaler Dispersion mit dn/dω < 0.

6.4. ERZEUGUNG, ÜBERTRAGUNG UND EMPFANG... 233 6.5 Erzeugung, Übertragung, Empfang von Radiound Mikrowellen Wir werden uns in diesem Abschnitt mit elektromagnetischen Wellen vom Radio- bis in den Ferninfrarotbereich beschäftigen. Eine Grobeinteilung der Wellenlängenbereiche haben wir bereits in Abschnitt 6.1 gegeben. Etwas genauer aufgeteilt spricht man von Langwellen für Frequenzen zwischen 30kHz und 300kHz (λ von 10km bis 1km), Mittelwellen für Frequenzen zwischen 0.3MHz und 3MHz (λ von 100m bis 1km), Kurzwellen für Frequenzen zwischen 3MHz und 30MHz (λ von 10m bis 100m), Ultrakurzwellen für Frequenzen zwischen 30MHz und 300MHz (λ von 1m bis 10m), Dezimeterwellen für Frequenzen zwischen 300MHz und 3GHz (λ von 10cm bis 1m), Zentimeterwellen für Frequenzen zwischen 3GHz und 30GHz (λ von 1cm bis 1m), Millimeterwellen für Frequenzen zwischen 30 GHz und 300 GHz (λ von 1 mm bis 1 cm), Ferninfrarot für Frequenzen zwischen 300GHz und 30THz (λ von 10µm bis 1mm). Radiowellen reichen bis 300 MHz; Mikrowellen 3 erstrecken sich je nachdem, ob Ferninfrarot als eigener Bereich ausgewiesen wird oder nicht, von 300 MHz bis 300 GHz bzw. von 300 MHz bis 3 THz. 6.5.1 Erzeugung Für die Erzeugung von Radiowellen haben wir bereits Schwingkreise mit integrierten Röhrenverstärkern oder Transistoren kennengelernt. Mit Feldeffekttransistoren können Frequenzen von einigen 10 GHz erreicht werden, wenngleich mit relativ geringer Leistungsabgabe. Für die Erzeugung von Mikrowellen kennt man eine Reihe von Methoden, von denen wir nur eine Auswahl kurz ansprechen wollen. Anregung von Hohlraumresonatoren durch Elektronenstrahlen Ein vielfach genutztes Prinzip besteht darin, Elektronenstrahl-Pakete durch einen oder mehrere Hohlraumresonatoren laufen zu lassen. Im Resonator oszilliert eine elektromagnetische Stehwelle, die einerseits Energie aus den Elektronenstrahlpaketen aufnimmt und andererseits die Elektronenpakete stabilisiert. Bevor wir die entsprechenden Oszillatoren genauer diskutieren, wollen wir zunächst kurz Hohlraumresonatoren ansprechen: Einschub: Hohlraumresonatoren Der einfachste Hohlraumresonator ist ein von metallischen Wänden begrenzter Quader. Die Länge des Quaders in x-, y- und z-richtung sei (L x,l y,l z ). Im Quader sei Luft. 3 Besonders erwähnenswert ist f = 2.45 GHz. Hier arbeiten die haushaltsüblichen Mikrowellenherde.

O N N 234 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Elektromagnetische Wellen bilden bzgl. allen Raumrichtungen Stehwellen aus, wobei das elektrische Feld jeweils wie im statischen Fall senkrecht auf den Metalloberflächen stehen muss. Wir betrachten zunächst den Fall, dass das E-Feld in die y-richtung zeigt, d. h. E = (0, E y, 0). Für E y gilt dann: ) ) E y = Ey 0 sin (n x π xlx sin (n z π zlz (6.67) Hierbei sind n x, n z ganze Zahlen > 0. E y bildet in x-richtung eine Stehwelle mit L x = n x λ/2, d. h. k x = n x π/l x. Analog ergibt sich k z = n z π/l z. E verschwindet an den 4 vertikalen Quaderwänden und steht senkrecht auf Boden und Deckel. Der kleinstmögliche Zahlenwert für n x und n z ist 1. Dies ergibt die TE101-Mode, wobei TE für transversal 4 elektrisch steht (das E-Feld hat keine Komponente in z-richtung) und die Zahlen die Zahl der Halbwellen in x-, y- und z-richtung zählen. Die Magnetfeldlinien bilden für diese Moden geschlossene Linien in der (x, z)-ebene. Im Fall der TE101-Mode ist der Betrag des B-Feldes an den Resonatorwänden maximal und hat eine Nullstelle in der Mitte des Resonators (vgl. Abb. 6.5). -. A @ O N *. A @ Abbildung 6.5: Elektrisches und magnetisches Feld im quaderförmigen Hohlraumresonator in der TE101-Mode. Analog definiert man Moden mit n x, n y, n z Halbwellen in (x, y, z)-richtung). Für n y 0 hat das elektrische Feld ebenfalls eine Komponente in x-richtung. Im quaderförmigen Hohlraumresonatoren sind ebenfalls Schwingungsmoden erlaubt, bei denen die z- Komponente des B-Felds verschwindet und die z-komponente des E-Felds endlich ist ( Transversal-magnetische Moden, TM-Moden ). Hier ist im wesenlichen gegenüber den TE-Moden E und B vertauscht; die Maxima der B-Felder liegen zudem an den Wänden (d. h. Vertauschung sin() cos() in 6.5). Wir wollen diese Nomenklatur hier nicht weiter vertiefen, Entscheidend ist aber, dass der Resonator analog zu den in Abschnitt 5.2 behandelten Schwingkreisen bei ganz bestimmten 5 Frequenzen schwingen kann (d. h. elektromagetische Stehwellen aufbauen kann). Die 4 Wir werden später Hohlleiter mit rechteckförmigem Querschnitt betrachten, bei denen sich die Welle in z-richtung ausbreiten kann. Transversal bedeutet in diesem Sinne senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des gedachten Rechteckkhohlleiters. 5 Bei Berücksichtigung der Dämpfung der Schwingungen durch Wirbelstromverluste in den Resonatorwänden erhält man eine endliche Frequenzbreite ω, die sich wie bei Schwingkreisen durch einen

6.5. ERZEUGUNG, ÜBERTRAGUNG UND EMPFANG... 235 Frequenzen sind gegeben durch: (πnx ) 2 ω = ck = c kx 2 + k2 y + k2 z = c + L x ( ) 2 ( ) 2 πny πnz +. (6.68) Analog schwingen auch anders geformte Hohlraumresonatoren bei bestimmten Frequenzen. L y L z Klystrons Beim Klystron lässt man im Prinzip zunächst einen Elektronenstrahl durch einen ersten Resonator laufen, in dem bereits elektromagnetische Wellen angeregt wurden. Das im Resonator oszillierende E-Feld bildet aus dem Elektronenstrahl Pakete (etwa in Analogie zu einer Ampel, die aus dem Fahrzeugstrom Pakete bildet). Die Pakete laufen in einen zweiten (oder weitere) Resonator und geben Energie an das dort oszillierende elektromagnetische Feld ab. Das Prinzip ist in Abb. 6.6 veranschaulicht. Abbildung 6.6: Prinzip des Klystrons (aus: Gerthsen Physik, Abb. 8.33) Beim Reflexklystron wird nur ein Hohlraumresonator verwendet, in den die Elektonenpakete zurückreflektiert werden (Abb. 6.7). Die Elektronen werden hierbei zunächst aus der Kathode in den Resonator hinein- bzw. durch ihn hindurchbeschleunigt, durchlaufen dann eine Gegenspannung und passieren wiederum den Resonator. Analog lassen sich Klystrons mit mehreren Resonatoren (z. B. Dreikammerklystron ) herstellen. Klystrons können Frequenzen im Bereich einiger GHz bis ca. 100 GHz erzeugen. Bei Wanderfeldröhren führt ein Elektronenstrahl ebenfalls Energie resonatorähnlichen Strukturen zu. Dabei wandert die elektromagnetische Welle entlang der Resonatoren. Beispiele sind der Rückwärtswellen-Oszillator (backward wave oszillator, BWO) Gütefaktor Q = ω/(2 ω) beschreiben lässt (die allgemeine Definition des Gütefaktors ist: Q = 2π (im Resonator gespeicherte Energie)/(Energieverlust pro Schwingungsperiode). Je höher der Gütefaktor ist, desto enger ist einerseits das Frequenzintervall, das angeregt werden kann, desto höher wird aber andererseits die Amplitude des elektrischen bzw. magnetischen Felds.

236 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN Abbildung 6.7: Prinzip des Reflexklystrons (aus: Gerthsen Physik, Abb. 8.34) oder das Magnetron. Beim BWO durchläuft der Elektronenstrahl eine Kette von resonatorähnlichen Elementen und regt dabei eine Welle an, die beim BWO entgegen der Elektronenstrahlrichtung den Oszillator verlässt (Abb. 6.8) Abbildung 6.8: Rückwärtswellen-Oszillator; Quelle: Arbeitsgruppe M. Dressel, Physikalisches Institut, Univ. Stuttgart, http://www.pi1.physik.uni-stuttgart.de/indexjs.html Mit BWO s können bei hoher Leistung Frequenzen bis ca. 1 THz erzeugt werden.

6.5. ERZEUGUNG, ÜBERTRAGUNG UND EMPFANG... 237 Beim Magnetron (Abb. 6.9) wird durch ein senkrecht zur Rotatinsachse stehendes Magnetfeld der Elektronenstrahl auf eine Kreisbahn gelenkt und gibt dort Energie an eine Serie von Resonatoren ab. Abb. 6.9(a) zeigt die Elektronenbahnen im Magnetron, Abb. 6.9(b) einige Bauformen von Magnetrons. Die rosettenförmige Bahn rotiert um die Achse des Magnetrons und regt in den Resonatoren des Magnetrons eine mit der gleichen Frequenz rotierende Welle an. Abbildung 6.9: Magnetrons (links) Elektronenbahn (dicke Linie) im Magnetron; (unten) technische Ausführungen von Magnetrons. Quellen: (links) aus Gerthsen Physik, Abb. 8.36; (unten) aus: http://www.fnrf.science.cmu.ac.th /theory/microwave Anregung durch Bauelemente mit negativem differenziellen Widerstand Einige Bauelemente in der Mikroelektronik besitzen Strom-Spannungs-Charakteristiken, bei denen Bereiche negativen differenziellen Widerstands r = du/di < 0 auftreten. Eine Kennlinie dieser Art ist schematisch in Abb. 6.10 gezeigt. Integriert man ein solches Bauelement in einen Schwingkreis und wählt man eine Vorspannung U 0 so, dass der statische Strom I 0 (U 0 ) sich gerade in einem Bereich r < 0 befindet, so sehen Stromänderungen I um diesen Wert I 0 diesen negativen Widerstand r, der auf Grund seinen Vorzeichens Schwingungen antreibt statt dämpft. Beispiele für Halbleiter-Bauelemente, die solche Strom-Spannungs-Charakteristiken besitzen, sind Schottky-, Gunn- oder Tunneldioden. Auf die Ursachen für das Auftreten des negativen differenziellen Widerstands können wir hier nicht im Detail eingehen. Für den Fall der Gunn-Diode (Material: GaAs) sei beispielhaft erwähnt, dass hier die Beweglichkeit der Ladungsträger im einem gewissen E-Feld- Bereich stark abnimmt und somit der mit wachsender Spannung U der Strom fällt statt ansteigt. In der Gunn-Diode bilden sich als Resultat domänenartige Zonen abwechselnd hoher und niedriger Elektronendichte aus, die sich durch die Diode bewegen.

1 7 238 KAPITEL 6. ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN H @ 1 @ 7 1 7 ) H > A E J I F K J Abbildung 6.10: Kennlinien mit negativem differenziellen Widerstand zur Erzeugung von Hochfrequenzoszillationen. Parametrische Verstärkung Das Prinzip der parametrischen Verstärkung hatten wir bereits in Abschnitt 5.2 kennengelernt. Wir besprechen hier ein Beispiel, bei dem die Kapazität eines Schwingkreises mit der Wechselspannung U pumpt. Man verwendet hierzu Varaktordioden (spezielle halbleitende pn-übergänge). Deren Kapazität hängt von der angelegten Spannung ab, C = C(U), s. Abb. 6.11. Man hat damit ein Bauelement, mit dem sich wiederum ein parametrischer verstärkender Schwingkreis realisieren lässt. Abbildung 6.11: Varaktordiode; Abb. aus: http://www.fnrf.science.cmu.ac.th/theory/microwave/ 6.5.2 Übertragung Trägerwellen: Akustische Signale A 0 (t) (z. B. ein Musikstück) nehmen einen Frequenzbereich von ca. 1 Hz bis einigen 10 khz ein. Im Prinzip kann man dieses Signal direkt übertragen (ein Mikrofon arbeitet auf diese Weise). Für die Übertragung auf lange Distanzen über freie elektromagnetische Wellen hat man aber zwei Schwierigkeiten: die Wellenlängen sind extrem groß; man würde äußerst hohe Sendemasten benötigen sind viele Sender vorhanden, so überlagern sich die Signale dieser Sender Die Lösung der obigen Probleme besteht darin, das Ausgangssignal A0(t) zu höheren Frequenzen auf eine Trägerwelle zu transformieren. Hierzu existieren zwei Möglichkeiten: Amplitudenmodulation: Man sendet ein Signal der Form A(t) = A 0 (t) cos(ω t t). Hierbei ist ω t bzw. f t = ω t /2π die Frequenz der Trägerwelle. Ein Fourierspektrum