Protokoll zum Doppelversuch M5/S1: Der freie Fall / Reversionspendel Bestimmung von g Tobias F Abgabedatum: 24. April 2007
INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Der freie Fall - Bestimmung von g (Versuch M5) 2 1.1 Klärung des physikalischen Zusammenhangs.............. 2 1.1.1 Gleichförmige und Gleichförmig Beschleunigte Bewegung.. 2 1.1.2 Gravitation und die Newtonschen Axiome........... 2 1.2 Versuchsaufbau.............................. 3 1.3 Durchführung............................... 3 1.4 Messwerte und Angabe der Fehler................... 3 1.5 Auswertung mit Rücksicht auf mögliche Fehler............ 4 2 Reversionspendel (Versuch S1) 5 2.1 Klärung des physikalischen Zusammenhangs.............. 5 2.1.1 Die Pendelschwingung als harmonische Schwingung...... 5 2.1.2 Das Hookesche Gesetz...................... 5 2.1.3 Der Steinersche Satz....................... 6 2.1.4 Das Mathematische Pendel................... 7 2.1.5 Das Physikalische Pendel.................... 7 2.1.6 Reversionspendel......................... 7 2.1.7 Güte der Näherung........................ 7 2.2 Versuchsaufbau.............................. 8 2.3 Durchführung............................... 8 2.4 Messwerte und Angabe der Fehler................... 8 2.5 Auswertung mit Rücksicht auf mögliche Fehler............ 10 3 Literaturverzeichnis 12 3.1 Quellennachweis............................. 12 4 Anhang 12 4.1 Diagramme in A4............................. 12 5 Bilder und Tabellen 16
1 DER FREIE FALL - BESTIMMUNG VON G (VERSUCH M5) 2 1 Der freie Fall - Bestimmung von g (Versuch M5) 1.1 Klärung des physikalischen Zusammenhangs Als Grundlagen für den Versuch dienen die Prinzipien der gleichförmigen und der beschleunigten Bewegung, ebenfalls darf das Grundverständnis der Gravitation vorausgesetzt werden. 1.1.1 Gleichförmige und Gleichförmig Beschleunigte Bewegung Um die Bewegung von Massepunkten zu verstehen, muss man Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Beziehung zueinander setzen. Die Geschwindigkeit v ist die Ortsänderung r über einen Zeitraum t 0, also r(t + t) r(t) v(t) := lim = d r t 0 t dt = r. (1) Nach demselben Prinzip ist die Beschleunigung a als Ableitung der Geschwindigkeit v definiert: Insgesamt gilt also v(t + t) v(t) a(t) := lim = d v t 0 t dt = v. (2) a = d v dt = v = d2 r dt = r. (3) In unserem Fallexperiment haben wir es mit einer eindimensionalen Bewegung zu tun, was eine Betrachtung der reinen Beträge der gemessenen Beschleunigungen rechtfertigt. Mit diesen Beziehungen ist es leicht, gleichförmige Bewegung als Bewegung mit v = const und gleichförmig beschleunigte Bewegung durch a = const zu definieren. Legt man ein Bezugssystem zu Grunde, in welchem x(t = 0) = x 0 = 0 und v(t = 0) = v 0 = 0, so ergibt sich nach einfacher bzw. zweifacher Aufleitung von a für die Geschwindigkeit v(t) = a t und für den Ort x(t) = 1 2 a t2. [vp05] 1.1.2 Gravitation und die Newtonschen Axiome Jeder Massepunkt hat ein radiales, konservatives Kraftfeld, welches bewirkt, dass zwischen allen Massepaaren m, M eine anziehende Kraft wirkt. Das grundsätzliche Verständnis erfordert nun den Begriff der Kraft. Am brauchbarsten sind die Newtonschen Axiome (nach Sir Isaac Newton, 1642-1727), welche die Basisdefinition der Wirkung von Kräften liefern. Das erste Axiom (Trägheitsprinzip) besagt, dass die Geschwindigkeit v eines Körpers konstant ist, wenn die Summe aller Kräfte F gleich 0 ist. Das ist im theoretischen Bild mit Massepunkten erst der Fall, wenn sämtliche Massen sich zu einer einzigen vereint haben, da hier Massen keine Ausdehnung haben. Wenn wir allerdings das Beispiel des freien Falls im Gravitationsfeld betrachten, sehen wir, dass, solange wir die Verformung der Körper außer Acht lassen, dieses Kräftegleichgewicht (Equilibrium) eingetreten ist, wenn der sprichwörtliche Apfel die Erde berührt. Nach dem zweiten Axiom sind Richtung der Kraft F und der Beschleunigung a gleich, ihr Betrag proportional und der Betrag von Masse und Kraft ebenfalls proportional, experimental hat Newton ermittelt, dass jenes Verhältnis F m a (4)
1 DER FREIE FALL - BESTIMMUNG VON G (VERSUCH M5) 3 gilt. Dieses Axiom werden wir im Experiment für ein Massestück und dessen Erdanziehung nachweisen können. Im SI gilt dann sogar F = m a. Das dritte Axiom, auch Actio-Reactio-Prinzip genannt, sagt, dass die Kraft, welche ein Massepunkt A auf den anderen Massepunkt B ausübt, auch von letzterem auf ersteren Körper wirkt. Also gilt F A B = F B A. Dadurch erst tritt die Gravitation zwischen Erde und den vielfach masseärmeren Körpern auf ihr ein. 1.2 Versuchsaufbau Abb. 1: Kugelfallmaschine [PP05] Für diesen Versuch benutzen wir eine Kugelfallmaschine. Die Vorrichtung ermöglicht es, die Fallzeit t einer Kugel abhängig von der Fallhöhe h elektronisch zu messen (siehe Abbildung 1). Die Fallhöhe darf bis zu 30 cm betragen. 1.3 Durchführung Wir haben elf verschiedene Fallhöhen frei gewählt (siehe Tabelle 1). Die Wahl dieser fiel nicht ganz äquidistant aus, da die Geschwindigkeit während des Falls zunimmt. Damit die gemessenen Zeiten also weit genug auseinanderliegen, erschien es sinnvoll, die höheren Fallhöhen großzügiger abzumessen. Für jede der elf Fallhöhen wurde fünfmal gemessen und an Ort und Stelle der Mittelwert für jede Fallhöhe bestimmt. 1.4 Messwerte und Angabe der Fehler Als Fehler kann man einerseits t = 0.05 ms der Zeitnahme als Genauigkeit des Geräts ablesen, andererseits haben wir unser h = 0.5 mm, den Fehler bei der
1 DER FREIE FALL - BESTIMMUNG VON G (VERSUCH M5) 4 Tab. 1: Messwertetabelle des Fallversuchs (exakte Abschrift des Originals) h/m t 1 /s t 2 /s t 3 /s t 4 /s t 5 /s 1 n ti /s 0.06 0.111 0.111 0.111 0.111 0.110 0.111 0.08 0.128 0.128 0.129 0.128 0.129 0.128 0.10 0.143 0.143 0.142 0.143 0.142 0.143 0.12 0.156 0.156 0.155 0.157 0.156 0.156 0.15 0.175 0.176 0.174 0.173 0.174 0.174 0.14 0.169 0.168 0.168 0.168 0.168 0.168 0.16 0.180 0.180 0.180 0.179 0.180 0.180 0.18 0.192 0.192 0.191 0.191 0.193 0.192 0.20 0.206 0.204 0.200 0.203 0.202 0.203 0.25 0.226 0.226 0.226 0.237 0.226 0.228 0.30 0.247 0.247 0.248 0.247 0.247 0.247 Einstellung der Fallstrecke, geschätzt, da am Gerät eine Skalierung angebracht ist, die auf den Millimeter genau einstellbar ist. Die Messwerte ergaben sich wie in Tabelle 1 1. 1.5 Auswertung mit Rücksicht auf mögliche Fehler Tab. 2: t und t 2 in einer Tabelle mit h und h t 2 = g t/s t 2 /s 2 h/m g/ m s 2 0.111 0.0123 0.06 9.74 0.128 0.0164 0.08 9.77 0.143 0.0204 0.10 9.78 0.156 0.0243 0.12 9.86 0.174 0.0303 0.15 9.91 0.168 0.0282 0.14 9.92 0.180 0.0324 0.16 9.88 0.192 0.0369 0.18 9.77 0.203 0.0412 0.20 9.71 0.226 0.0511 0.25 9.79 0.247 0.0610 0.30 9.83 Zur Auswertung trage ich jetzt die Fallstrecke h gegen t und t 2 in ein Diagramm ab. Erwartungsgemäß sollte der t 2 -h-ausgleichsgraph eine Gerade sein, da h t 2. Die Steigung dieser Gerade muss dann 1 2 g sein, excl. Fehler. Die Steigung der Ausgleichsgerade in Abb. 2 gibt Gnuplot mit 4.898 m s ±0.026 m 2 s an. 2 Das bedeutet, unser gemessenes g beträgt, den Standardfehler einberechnet, ungefähr 9.80(6) m s. Der Literaturwert liegt bei 9.81 m 2 s [Tip04], und damit erfreulich nahe 2 am berechneten Messergebnis. Der Offset der Ausgleichsgeraden ist sehr gering, er liegt in der Größenordnung von 10 4. 1 Da t 4 bei h = 25 cm offensichtlich ein Ausreißerwert ist und die anderen vier exakt gleich, entschließe ich mich, bei der Auswertung den Wert vom Durchschnitt der restlichen vier Messwerte zu verwenden, also 0.226 s.
2 REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1) 5 Abb. 2: Messwerte im t 2 - h - Diagramm mit Ausgleichsgerade 2 Reversionspendel (Versuch S1) 2.1 Klärung des physikalischen Zusammenhangs Um das Experiment zu verstehen, muss man wissen, was das Reversionspendel ist und wie es aufgebaut ist. 2.1.1 Die Pendelschwingung als harmonische Schwingung Da ein idealisiertes Pendel ungedämpft und harmonisch schwingt, lässt sich für kleine Anfangsauslenkungen ϕ 0 wegen sin ϕ 0 = ϕ 0 die Formel für die Schwingungsdauer allein abhängig von der Pendellänge L und der Gravitationskonstante g angeben. Als Grundlage für die Herleitung der Formel gilt das zweite Newtonsche Gesetz. Die Gleichung nebst Herleitung findet man im [Tip04], p. 441. Die Formel für T lautet: T = 2 π ω = 2 π L g (5) 2.1.2 Das Hookesche Gesetz Das Hookesche Gesetz beschreibt die Tatsache, dass im Proportionalitätsbereich eines elastischen Körpers (Beispiel: Schraubenfeder) sich der Körper proportional zur einwirkenden Kraft ausdehnt. Proportionalitätsbereich ist der Bereich bei»nicht zu großer Dehnung«([Bro02]). Außerhalb des Proportionalitätsbereichs tritt permanente, plastische Dehnung auf und irgendwann reißt die Feder (siehe Abb. 3). Gebräuchliche Gleichung für das Hookesche Gesetz ist F = D s, hier ist D eine körperabhängige Federkonstante.
2 REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1) 6 Abb. 3: Beispieldiagramm zur Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes [rwth05] 2.1.3 Der Steinersche Satz Abb. 4: Illustration zum steinerschen Satz [rwth05] Der Steinersche Satz liefert eine einfache Formel für die Berechnung des Trägheitsmoments eines Körpers um eine beliebige zur Schwerpunktachse parallele Achse unter der Voraussetzung, dass das Trägheitsmoment des Körpers bei Drehung um seinen Schwerpunkt bekannt ist. Die Herleitung ist einfach nachvollziehbar, wenn wir Abb. 4 betrachten. J A = = = r i 2 dm = ( r i d) 2 dm (6) r 2 i dm 2d r i dm + d 2 dm (7) }{{}}{{}}{{} (1) (2) (3) r 2 i dm + M d 2 (8) = J S + M d 2 (9) Hier ist mit S die Schwerpunktachse bezeichnet, und A ist eine beliebige Parallele dazu. A darf natürlich auch außerhalb des Körpers liegen, der Satz gilt dann immer noch. (1) ist das ursprüngliche J S mit Drehachse S, (2) fällt bei S als Ursprung des Systems weg und (3) ist das zusätzliche Trägheitsmoment, welches der rotierende Körper durch die Achsenänderung d erhält.
2 REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1) 7 2.1.4 Das Mathematische Pendel Abb. 5: Skizze des mathematischen Pendels [Wb05] Das mathematische Pendel ist das einfachste Modell für eine harmonische Pendelschwingung, das man sich vorstellen kann: Eine Punktmasse hängt an einem masselosen Faden. Wenn dieses Pendel ausgelenkt wird, beginnt es zu schwingen. Da es keine Luftreibung gibt, hat dieses Pendel immer die gleiche Schwingungsdauer L T = 2 π g. 2.1.5 Das Physikalische Pendel Das physikalische Pendel ist eine reale Annäherung an das mathematische Pendel. Es gestattet auch unter gewöhnlichen Bedingungen die Beobachtung einer harmonischen Schwingung. Die Masse ist hier keine Punktmasse, und die Schwingung muss gedämpft sein, da Reibung mit der Luft bzw. der Aufhängung des Pendels auftritt. 2.1.6 Reversionspendel Wenn das Reversionspendel (siehe Abb. 6) um eine Achse A 1 mit der Schwingungsdauer T 1 schwingt, gibt es auch eine Achse A 2, um die das Pendel ebenfalls mit T 1 schwingt. Der Abstand der in 2.1.2 beschriebenen Achsen heißt reduzierte Pendellänge l r. Wenn man diese Länge kennt und die Schwingungsdauer misst, so kann man dadurch mittels der Formel T = 2 π L g des harmonisch ungedämpft schwingenden Pendels die Gravitationskonstante g berechnen. Der Schwingungsmittelpunkt hat beim Reversionspendel die Eigenschaft des Mittelpunkts der schwingenden Masse beim mathematischen Pendel. Er liegt, je nachdem ob das Pendel um A 1 oder um A 2 schwingt, im Schnittpunkt von der Achse A 2 bzw. A 1 mit dem Pendel. 2.1.7 Güte der Näherung Die Näherung für g kann hier nicht so gut ausfallen wie im Versuch mit dem freien Fall, da die Zeit mit Stoppuhren gemessen wird und sich sowieso im Zentimeterbereich von l r nicht mehr genau genug messen lässt. Die Messgenauigkeit wird
2 REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1) 8 besser, wenn man den Beginn einer Schwingung ab dem Minimum an potentieller Energie misst, denn es lässt sich nur schwer erkennen, wann das Pendel gerade den maximalen Ausschlag erreicht hat. Wenn man von den Maximalausschlägen aus misst, wird die Messung noch weniger exakt ausfallen. Weiterhin kann die Messung präzisiert werden, indem immer 10 volle Schwingungen zusammen gemessen werden. Sicherheitshalber messen wir außerdem mit zwei Stoppuhren und nehmen zur Verbesserung des Messwertes immer den Mittelwert der gemessenen Zeiten. 2.2 Versuchsaufbau Das Reversionspendel (siehe Abb. 6) hat zwei Massestücke. Eines davon ist fixiert in 15 cm Abstand von der Schneide A 2, das andere, m 1, ist frei verschiebbar bis zu einem Abstand von 1 m von A 2. Außer dem Pendel gehören noch zwei Stoppuhren zum Aufbau. 2.3 Durchführung Der Abstand d zwischen Schneide A 1 und Masse m 1 wird in 10-cm-Schritten von 10 cm bis 90 cm variiert, es wird aufgrund größerer Genauigkeit jeweils zweimal die Schwingung um jede der beiden Schneiden mit zwei Stoppuhren gleichzeitig gemessen. Sinnvollerweise wird bereits vor Ort der Mittelwert der Stoppuhren genommen. Dann wird 10 T abhängig von d in ein Diagramm eingetragen, es werden Kurven gezogen, und um den ersten Schnittpunkt der Kurven wird nochmals gemessen. Aus Zeitgründen erfolgt nur noch eine Messung mit zwei Stoppuhren pro Schneide und Abstand d. 2.4 Messwerte und Angabe der Fehler Tab. 3: Messwerte und Durchschnittswerte des 1. Messzyklus von S1 D/m 10 T 1/1 /s 10 T 2/1 /s 10 T 1/2 /s 10 T 2/2 /s 1 2 (T 1/1 + T 1/2 ) 1 2 (T 2/1 + T 2/2 ) 0.1 20.3 20.8 20.5 20.8 2.04 2.08 0.2 20.2 20.2 20.2 20.3 2.02 2.03 0.3 20.0 20.0 20.0 19.9 2.00 2.00 0.4 20.0 19.5 19.9 19.5 2.00 1.95 0.5 20.0 19.4 19.9 19.3 2.00 1.94 0.6 20.0 19.5 19.9 19.4 2.00 1.95 0.7 20.1 20.3 20.2 20.3 2.02 2.03 0.8 20.3 20.8 20.1 20.8 2.02 2.08 0.9 20.3 21.6 20.5 21.6 2.04 2.16 Die Messwerte ergaben sich wie in den Tabellen 3 und 4. Außerdem wurde sowohl zu Anfang als auch zu Ende des Experiments eine Lufttemperatur ϑ = 20 C gemessen. Für die Fehler schätze ich d = 0.5 mm als Fehler der Abstandsmessung zwischen den Massen (Millimeterskala) und als Fehler t = 0.05 s bei der Zeitnahme. Der Fehler bei der Zeitnahme muss so hoch sein, da hier die Ablesegenauigkeit und die Reaktionszeit der Durchführenden mit einfließt. Eine elektronische Messung der Zeit wäre für diesen Versuch angebracht, um den Fehler zu begrenzen.
2 REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1) 9 Abb. 6: Reversionspendel [PP05]
2 REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1) 10 Tab. 4: Messwerte und Durchschnittswerte des 2. Messzyklus von S1 D/m 10 T 1 /s 10 T 2 /s T 1 /s T 2 /s 0.15 20.4 20.8 2.04 2.08 0.16 20.1 20.5 2.01 2.05 0.17 20.4 20.4 2.04 2.04 0.18 20.3 20.4 2.03 2.04 0.19 20.3 20.5 2.03 2.05 0.20 20.3 20.3 2.03 2.03 0.21 20.2 20.2 2.02 2.02 0.22 20.2 20.1 2.02 2.01 0.23 20.0 20.1 2.00 2.01 0.24 20.1 20.0 2.01 2.00 2.5 Auswertung mit Rücksicht auf mögliche Fehler Abb. 7: Messwerte des ersten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven Die d T Kurven sollten jeweils mit einem quadratischen Term der Form a (x + b) 2 + c anzunähern sein, da man die Schwingungsgleichung passend umformen kann. Über die Schnittstelle dieser Näherungskurven (siehe Abb. 7) lässt sich dann ein experimenteller Wert für g finden. Die Messungen der Zeit mit der Stoppuhr im zweiten Messzyklus waren allerdings so ungenau, dass das fitten jenes Diagramms kein brauchbares Ergebnis ergibt. Das Diagramm (siehe Abb. 8) führt hier vor Augen, wie beschränkt die Genauigkeit des Ergebnisses im Kleinen nur sein kann. Wenn ich für T 2.02 s annehme, und
2 REVERSIONSPENDEL (VERSUCH S1) 11 Abb. 8: Messwerte des zweiten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven d = 1 m einsetze, ergibt sich L T = 2 π g 1m 2.02s = 2 π g 2.02 2 s 2 = 4 π 2 1m g (10) (11) (12) g = 4π2 m 4.08s 2 = 9.76 m s 2 (13) Der Fehler geht in g allein über die Zeit ein, und zwar quadratisch, wie sich in Gleichung (13) erkennen lässt. Die Pendellänge ist konstant 1m, da das Gerät entsprechend gebaut wurde. Dass auch die Ausdehnung des Metalls keine Rolle spielt, ist im nächsten Absatz erklärt. Durch Einsetzen des geschätzten Fehlers t = 0.05s erhalten wir direkt die Extremergebnisse 10.17 m s und 9.21 m 2 s. Das bedeutet, dass 2 wir wegen des hohen Einflusses der Zeitmessgenauigkeit den Messwert für g nur mit 9.8(6) m s angeben dürfen. 2 Die Raumtemperatur muss im Experiment nicht berücksichtigt werden, sie betrug konstant 20 C. Da sich Eisen mit dem Faktor 1.11 10 5 K 1 [PP05] ausdehnt und die Temperatur auf keinen Fall mehr als 10 Kelvin geschwankt ist (und selbst das ist zu hoch angesetzt), liegt die Ausdehnung im Bereich von allenfalls Zehntelmillimetern. Das wird allein durch die Messgenauigkeit der Länge des Stabes egalisiert, und auch bezüglich der Schwingungsdauer ist die Auswirkung zu vernachlässigen.
3 LITERATURVERZEICHNIS 12 3 Literaturverzeichnis 3.1 Quellennachweis Bro02: Der Brockhaus Mathematik - Physik, F.A. Brockhaus, Leipzig/Mannheim 2002; PP05: Die Webseite des Phys. Praktikums der Universität Paderborn: http://physik.uni-paderborn.de/studieninfos/praktika/pmp-a/; rwth05: Die Physik-Seite der RWTH Aachen: http://www.physik.rwth-aachen.de/ hebbeker/lectures/ph1_0102/p112_l04.htm (Hoo kesches Gesetz); http://www.physik.rwth-aachen.de/group/iiiphys/infos/exscript/6kapitel/vi7kapitel.html (Steinerscher Satz); Tip04: P.A. Tipler, G. Mosca: Physics for Scientists and Engineers, 5th edition extended version, Freeman Verlag 2004; VP05: Alle so bezeichneten Abschnitte sind aus meinen Aufzeichnungen zur Physikvorlesung WS 2005/06 entstanden; Wb05: Die Webseite der Universität Würzburg: http://www.physik.uni-wuerzburg.de/physikonline/quickauf/mechanik/. 4 Anhang 4.1 Diagramme in A4
4 ANHANG 13 Abb. 9: M5: Messwerte im t 2 - h - Diagramm mit Ausgleichsgerade
4 ANHANG 14 Abb. 10: S1: Messwerte des ersten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven
4 ANHANG 15 Abb. 11: S1: Messwerte des zweiten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven
5 BILDER UND TABELLEN 16 5 Bilder und Tabellen Abbildungsverzeichnis 1 Kugelfallmaschine [PP05]........................ 3 2 Messwerte im t 2 - h - Diagramm mit Ausgleichsgerade........ 5 3 Beispieldiagramm zur Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes [rwth05]. 6 4 Illustration zum steinerschen Satz [rwth05].............. 6 5 Skizze des mathematischen Pendels [Wb05].............. 7 6 Reversionspendel [PP05]......................... 9 7 Messwerte des ersten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven 10 8 Messwerte des zweiten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven................................... 11 9 M5: Messwerte im t 2 - h - Diagramm mit Ausgleichsgerade..... 13 10 S1: Messwerte des ersten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven................................... 14 11 S1: Messwerte des zweiten Zyklus im d - T - Diagramm mit Ausgleichskurven............................... 15 Tabellenverzeichnis 1 Messwertetabelle des Fallversuchs (exakte Abschrift des Originals). 4 2 t und t 2 in einer Tabelle mit h und h t 2 = g............... 4 3 Messwerte und Durchschnittswerte des 1. Messzyklus von S1.... 8 4 Messwerte und Durchschnittswerte des 2. Messzyklus von S1.... 10