Formel- ud Tellesmmlug zum Aturielle Grudwisse Schdeversicherugsmthemti A. Zufllsvrile X, Y seie (disrete oder stetige Zufllsvrile. Verteilugsfutio: F( = P( X (Verteilugs-Dichte: f ( F ( = ei differezierrer Verteilugsfutio (stetige Zufllsvrile Zähldichte, Frequez- oder Mssefutio: f = P X = ei disrete Zufllsvrile Lyer-Idetität: ( X h = ( X + h - ( X = ( X - - ( X -( + h mi m ; ; mi ; mi ; m ; m ; Momete vo Zufllsvrile -tes Momet: zw. (, = E X df E X = f( d ei differezierrer Verteilugsfutio = f ei disreter Verteilugsfutio E X Erwrtugswert: E X = E X = erstes Momet vo X Für de Fll, dss m es mit eier Mischform stetiger ud disreter Verteiluge zu tu ht, eiget sich die folgede Formel: = F( E X -tes zetrles Momet: E ( X E[ X] d, we X ichtegtiv ist. Vriz: vr[ X ] = E ( X E[ X] = E X ( E[ X] =. zetrles Momet vo X Stdrdweichug: σ [ X] = vr[ X] Zufllsvrile
Vritiosoeffiziet: v[ X] Asolute Schiefe: (Reltive Schiefe: γ [ X ] ( [ X ] [ X ] σ vr = = > E X E X E X E X (( ( vr [ X ] E X E X = ( für E[ X] =. zetrles Momet vo X I s gestutztes -tes Momet: ( s, df E X X > s =, s F s Trsformierte vo Zufllsvrile itx Chrteristische Futio: ( t CF ( t E e t i = imgiäre Eiheit ϕ X = X = tx Mometerzeugede Futio: MEF ( t = E e t X t MEFX ( t = e f ( d ei differezierrer Verteilugsft. (Whrscheilicheits-Erzeugede Futio: X mx ( t = EFX ( t = E t t [,] m t = t f ei disreter Verteilugsfutio X ( Ugleichuge Mrov: P( X c c> Tscheyschev: Ctelli: E X c E h( X P( X c c>, h: + + streg mooto wchsed h c [ X ] vr P( X E X c c> c vr[ X ] P( X E X + c c c + vr X > Zufllsvrile
Wechseleziehuge ei Zufllsvrile Sid A ud B Ereigisse mit P(B, d gilt für die edigte Whrscheilicheit ( A B Die Zufllsvrile Y X P ( A B ( A B P( B P =. = ht die vo hägige Verteilugsfutio (, = P( X = PY yx y F y = P Y y X = =. P : Die Verteilug vo Y, gegee X=, wird ls edigte Verteilug ud mit P YX = ezeichet. Fsst m ds edigede Ereigis ls Zufllsvrile X uf, so sid die Momete der edigte Verteilug vo Y, gegee X, trsformierte Zufllsvrile vo X ud für diese öe eeflls Momete erechet werde: E EY X E Y X Y E vr Y X + vr E Y X = vr [ Y]. Itertivität der Erwrtugswerte: =, Kovriz: cov [ X, Y] = E ( X E[ X] ( Y E[ Y] = E[ X Y] E[ X] E[ Y] Korreltio(soeffiziet: ρ XY, cov XY, X EX Y EY = = cov,, vr X vr Y vr X vr Y Summe vo Zufllsvrile Fltug: Sid X ud Y stochstisch uhägig, so ist die Verteilug der Summe X+Y durch die Fltug PX P Y der Verteiluge P X ud P Y gegee: Stetige Fltugsformel: ( PX PY( A = f X ( fy ( z ddz A, A we X, Y stetige Zufllsvrile mit Dichte fx zw. f Y sid ( X Y ({ } Disrete Fltugsformel: P P = P X + Y = = P X = P Y =, = we X, Y disrete Zufllsvrile uf = {,,,...} sid Zufllssumme N sei eie disrete Zufllsvrile uf {,,, } ud S eie Zufllssumme mit prweise stochstisch uhägige, idetisch wie X verteilte Xi, die stochstisch uhägig vo N sid:. Gleichug vo Wld: E[ S] = E[ X] E[ N] N S = X i= i Zufllsvrile
. Gleichug vo Wld: vr[ S] = E[ N] vr [ X] + vr[ N] ( E[ X] Fudmetlformel(: ϕs ( t mn ϕx ( t t S ( N X ( { } = MEF t = m MEF t t m t = m m t t, ; N, X disret uf, Δ, Δ,..., Δ> S N X Zusmmegesetzte Poisso-Verteilug = Spezilfll eier Verteilug eier Zufllssumme (, mit mit ~, ~ ( ZPV P P S X X P N X S i i X i= N = = = E[ X] E X E S vr S = E S E S = E X E X γ [ S] = ( E X π 4 4 ( = + E S E S E X E X Norml-Power-Approimtio μ = σ = γ = γ > Es sei U eie Zufllsvrile U mit eistierede Momete EU, vr [ U], [ U] ( u PU u -μ γ 6γ 9 γ σ Φ + + Apssugsoeffiziet ud Ruiwhrscheilicheit Zu gegeee Prmeter c (Prämie, = E[N]> ud Schdehöheverteilug Q erechet sich der Apssugsoeffiziet R ls positive Lösug der Gleichug R + Rc= e Q( d. c μ Für Q = Ep(/μ ist mit θ = μ θ R =. μ + θ I diesem Fll ergit sich für die Ruiwhrscheilicheit ψ(s zum Strtpitl (Afgsreserve s s θ ( ψ s = ep. + θ μ + θ Zufllsvrile 4
Disrete Verteiluge Bezeichug/ Kurz~/Prmeter Zähldichte p = P N = ({ } Reursio Erwrtugswert Vriz Schiefe (Whrscheilicheits- Erzeugede Futio disrete Gleichverteilug m + U( m ( m ( =,,..., m m m ( m+ s m+ ( m+ ( s Poissoverteilug π ( ( > e! ( p = p (, p = e e ( s Biomilverteilug B( m, θ ( m, θ (, m ( m θ θ ( =,,..., m p m + θ = p θ ( =,,..., m p ( θ = m m θ ( θ m θ θ ( θ m θ θ s + ( θ m Negtive Biomil- Verteilug NB( β, θ ( β >, θ (, β + β ( θ θ ( p β + = θ p, p = ( θ β θ β θ β θ ( θ + θ β θ θ θ s β gemischte Poissoverteilug GΠ Λ ( Λ > Zv e PΛ ( d! ( E[ Λ ] + vr E Λ [ Λ] ( E[ Λ ] + vr[ Λ] β Λ + vr[ Λ ] + E[ Λ] β [ Λ ] = E ( Λ E[ Λ] MEF Λ (s Verteiluge 5
Stetige Verteiluge Bezeichug/ Kurz~/Prmeter Dichte Verteilugsfutio Erwrtugswert Vriz Schiefe Mometerzeugede Futio Gestutzte Momete E X X > s stetige Gleichverteilug U(, ( < (, ( ( (, ]( + (, ( ( + ( t = t t e e t t ( s + + ( + ( s s (, Gmmverteilug Γ (, ( >, e Γ ( > t Γ ( ;, = e t dt Γ( ( t ( t < ( ( ( s;, Γ ( Γ( s;, Γ + Γ + Epoetilverteilug Ep =Γ, ( > e ( > e ( ( t < t! = ( s! Weiull verteilug e W(, ( > ( >, e ( Γ + ( ( ( Γ + Γ + Logorml- e verteilug πσ LN ( μ, σ ( μ, σ > ( > ( l( μ σ Φ l( ( μ σ ( > e σ μ+ μ+ σ σ e ( e σ σ e ( e + ( s l μ Φ σ μ+ σ σ e l( s μ Φ σ Verteiluge 6
Bezeichug/ Kurz~/Prmeter Dichte Verteilugsfutio Erwrtugs- Wert Loggmm l( t dt verteilug l( + Γ( Γ LΓ(, t ( > ( >, ( ( > ( > um verschoee l( t+ Loggmmvtlg. ( + l( + dt LΓ (, + Γ Γ ( t + ( > ( >, ( ( > ( > Preto-Verteilug + Pr(, ( >, ( ( ( > ( ( > ( > um verschoee Preto-Verteilug Pr (, ( >, Iverse Guß- Verteilug IG(, μ (, μ > + ( > e π ( > + ( μ μ + ( μ Φ e + + Φ μ μ ( > ( > μ Vriz Schiefe Mometerzeugede Futio ( > ( ( μ ( + ( ( > ( + ( ( > μ Eistiert icht Eistiert icht Eistiert icht Eistiert icht μ t μ e ( t < μ Gestutzte Momete E X X > s s ( s >, > s + = ( s >, > Verteiluge 7
u / Telle: Dichtefutio der Stdrd-Normlverteilug N(, : ϕ( u = e ; ϕ( u = ϕ( u π u,,,,,4,5,6,7,8,9, u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elle 8
u t / Telle: Verteilugsfutio der Stdrd-Normlverteilug N(, : Φ ( u e dt ; Φ ( u = Φ ( u = π u,,,,,4,5,6,7,8,9 u,,5,5989,57978,5967,5595,5999,59,579,588,55856,,,5988,54795,547758,5577,55567,55968,56559,567495,5744,57545,,,5796,5866,58764,59954,59485,59876,6568,664,66,649,,,679,679,6556,69,67,668,64576,6449,6487,657,,4,6554,65997,66757,6664,67,67645,6774,688,68486,6879,4,5,6946,694974,698468,7944,754,7884,76,7566,794,745,5,6,75747,7969,77,7565,7894,7454,7457,74857,75748,7549,6,7,7586,7648,7648,7675,775,777,7767,7795,785,7856,7,8,78845,79,7989,7967,799546,88,856,8785,857,867,8,9,8594,88589,84,884,869,88944,847,8977,86457,889,9,,8445,8475,8466,848495,858,854,85548,85769,85999,864,,,8644,8665,86864,8776,87857,87498,876976,878999,88,88977,,,8849,88686,888767,8965,895,8945,89665,897958,89977,9475,,,999,949,9658,984,99877,949,985,94656,967,9776,,4,994,97,996,964,9566,9647,97855,999,956,9888,4,5,99,94478,95744,9699,98,9949,946,9479,94947,9448,5,6,945,946,94784,948449,949497,9559,9554,9554,955,954486,6,7,95545,95667,95784,95885,9597,95994,96796,9666,9646,967,7,8,9647,96485,9656,96675,9676,96784,968557,96958,969946,976,8,9,9784,979,9757,9797,978,9744,975,97558,97648,97675,9,,9775,977784,9788,9788,9795,97988,98,98774,987,9869,,,986,9857,98997,9844,988,984,98464,984997,9857,98578,,,98697,986447,98679,9876,987455,987776,98889,98896,988696,988989,,,98976,989556,9898,9997,9958,996,9986,996,9944,99576,,4,998,994,994,9945,99656,99857,995,9944,994,996,4,5,9979,9996,994,99497,994457,99464,994766,99495,9956,995,5,6,9959,99547,9956,9957,995855,995975,9969,9967,9969,99647,6,7,9965,99666,99676,9968,99698,997,997,99797,9978,99765,7,8,997445,9975,997599,99767,997744,99784,99788,997948,998,99874,8,9,9984,9989,9985,9985,99859,9984,99846,9985,998559,99865,9,,99865,998694,99876,998777,99887,998856,99889,9989,998965,998999, Telle 9
Telle: Chi-Qudrtverteilug χ α ; f Qutile (Schwellewerte der χ -Verteilug zur sttistische Sicherheit -α i Ahägigeit vom Freiheitsgrd f Telle
Telle: t-verteilug Qutile (Schwellewerte der t-verteilug zur sttistische Qutile (Schwellewerte der t-verteilug zur sttistische t α ; f t α / ; f Sicherheit S = -α (ei eiseitiger Agrezug i Ahägigeit Sicherheit S = -α (ei zweiseitiger Agrezug i Ahägigeit vom Freiheitsgrd f; = - vom Freiheitsgrd f; = - t α ; f t α ; f t α / ; f tα / ; f Telle