Lineare Abbildungen - I

Lineare Abbildungen - I Definition. Seien V und W K-Vektorräume (über demselben K). Eine Abbildung F : V W heißt K-linear, wenn L1) F (v + w) = F (v) + F (w) v, w V L2) F (λv) = λf (v) v V, λ K. Somit ist eine lineare Abbildung verträglich mit den Vektorraumstrukturen. Man sieht leicht, dass die Bedingungen L1) und L2) gleichbedeutend sind mit L) F (λv + µw) = λf (v) + µf (w) v, w V, λ, µ K Mittels vollständiger Induktion kann man dann zeigen, dass aus der Linearität von F : V W folgt, dass F (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ n v n ) = λ 1 F (v 1 ) + λ 2 F (v 2 ) +... + λ n F (v n ) gilt für v 1,..., v n V und λ 1,..., λ n K. In anderen Worten: eine lineare Abbildung führt eine Linearkombination von Vektoren in V in die entsprechende Linearkombination der Bildvektoren über. Grundlegende Eigenschafen. Sei F : V W linear. F (0) = 0, F (v w) = F (v) F (w) v, w V Beweis: Wähle v V. Wegen 0 = 0 v gilt dann F (0) = F (0 v) = 0 F (v) = 0. Weiters ist F (v w) = F (v + ( 1)w) = F (v) + ( 1)F (w) = F (v) F (w). (v i ) linear abhängig in V (F (v i )) linear abhängig in W Beweis: folgt sofort aus λ 1 v i1 +... + λ k v ik = 0 λ 1 F (v i1 ) +... + λ k F (v ik ) = F (0) = 0. 1

(F (v i )) linear unabhängig in W (v i ) linear unabhängig in V Beweis: folgt sofort aus der vorigen Aussage. V V F (V ) W Beweis: Seien w 1, w 2 F (V ) und λ 1, λ 2 K. Dann existieren v 1, v 2 V mit F (v 1 ) = w 1 und F (v 2 ) = w 2. Nun gilt λ 1 w 1 + λ 2 w 2 = λ 1 F (v 1 ) + λ 2 F (v 2 ) = F (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) F (V ), weil λ 1 v 1 + λ 2 v 2 V. W W F 1 (W ) V Beweis: Seien v 1, v 2 F 1 (W ) und λ 1, λ 2 K. Dann gilt F (v 1 ), F (v 2 ) W und damit auch F (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 F (v 1 ) + λ 2 F (v 2 ) W. Dies bedeutet aber, dass λ 1 v 1 + λ 2 v 2 F 1 (W ). dimf (V ) dimv Beweis: folgt unmittelbar aus der dritten Aussage. Man beachte weiters, dass aus der linearen Unabhängigkeit von (v i ) i.a. nicht folgt, dass (F (v i )) linear unabhängig ist (siehe Nullabbildung). Beispiele. 1) Die Nullabbildung F : V W mit F (v) = 0 v V ist linear. 2) Die identische Abbildung F : V V mit F (v) = v v V ist linear. 3) Sei λ K fest. Dann ist die Abbildung F : V V mit F (v) = λ v linear. 4) Sei X eine beliebige Menge, V = Abb(X, R) und ϕ : X X eine beliebige Abbildung. Dann ist F : V V mit F (f) = f ϕ linear. 5) Die Abbildung D(R) Abb(R, R) mit f f ist linear. 2

6) Für festes x 0 R ist die Abbildung Abb(R, R) R mit f f(x 0 ) linear. Eine Schreibweise. : Für v = (v 1,..., v n ), w = (w 1,..., w n ) K n wir v, w = v 1 w 1 + v 2 w 2 +... + v n w n = n v j w j K Dann sind offenbar folgende Eigenschaften erfüllt: v, 0 = 0, v, w = w, v v, w K n v + v, w = v, w + v, w λv, w = v, λw = λ v, w v, v, w K n v, w K n, λ K setzen Mit dieser Notation können nun folgende wichtige Beispiele für lineare Abbildungen angegeben werden. 1) Für jedes feste w K n ist die Abbildung F : K n K mit F (v) = v, w = n v j w j linear. 2) Sei A M(m n; K). Wir wollen damit eine Abbildung F : K n K m definieren. Für v = (x 1,..., x n ) K n sei F (v) = ( n n a 1j x j,..., a mj x j ) = ( a 1, v, a 2, v,..., a m, v ) wobei a 1, a 2,..., a m die Zeilenvektoren von A bezeichnen. Dann ist F : K n K m linear und somit kann jeder m n Matrix auf natürliche Weise eine lineare Abbildung F : K n K m zugeordnet werden! F (v + v ) = ( a 1, v + v, a 2, v + v,..., a m, v + v ) = ( a 1, v + a 1, v, a 2, v + a 2, v,..., a m, v + a m, v ) = ( a 1, v, a 2, v,..., a m, v ) + ( a 1, v, a 2, v,..., a m, v ) = F (v) + F (v ) F (λv) = ( a 1, λv, a 2, λv,..., a m, λv ) = (λ a 1, v, λ a 2, v,..., λ a m, v ) = λ( a 1, v, a 2, v,..., a m, v ) = λf (v) 3

3) Sei nun F : K n K m linear und (e 1, e 2,..., e n ) die kanonische Basis von K n. Für j = 1,.., n sei F (e j ) = (a 1j, a 2j,..., a mj ) und bilde damit eine m n- Matrix A, wobei offenbar die j-te Spalte von A gleich F (e j ) ist. Damit kann einer linearen Abbildung F : K n K m eine m n Matrix A zugeordnet werden. auf natürliche Weise Für v = (x 1,..., x n ) K n gilt v = x 1 e 1 +... + x n e n und damit F (v) = x 1 F (e 1 ) +... + x n F (e n ) = x 1 (a 11,..., a m1 ) + x 2 (a 12,..., a m2 ) +... + x n (a 1n,..., a mn ) = ( n n n a 1j x j, a 2j x j,..., a mj x j ) Dies bedeutet aber, dass die dieser Matrix A nach 2) zugeordnete lineare Abbildung genau jene Abbildung ist, von der wir gestartet sind! Zur Bestimmung von linearen Abbildungen F : V W ist folgende Aussage von Bedeutung, welche besagt, dass eine lineare Abbildung bereits dadurch eindeutig bestimmt ist, wenn die Bilder von Basisvektoren bekannt sind. Satz. Seien V und W K-Vektorräume, (v i ) eine Basis in V und (w i ) eine beliebige Familie in W. mit der Eigen- Dann gibt es genau eine lineare Abbildung F : V W schaft F (v i ) = w i i I. Beweis. (Verwende die Schreibweise v = λ i v i ) i) Eindeutigkeit: Seien F, G : V W mit F (v i ) = G(v i ) = w i i I. Für v = λ i v i gilt dann G( λ i v i ) = G(v). Also ist F = G. F (v) = F ( λ i v i ) = λ i F (v i ) = λ i w i = λ i G(v i ) = 4

ii) Existenz: Sei v V. Dann ist v = λ i v i. Definiere nun F (v) = λ i w i. Für v, v V seien v = λ i v i und v = µ i v i. Dann ist v+v = (λ i + µ i )v i und damit F (v+v ) = F ( (λ i + µ i )v i ) = (λ i + µ i )w i = λ i w i + µ i w i = F (v) + F (v ). Analog zeigt man, dass F (λv) = λf (v). F ist somit linear und hat offenbar die Eigenschaft, dass F (v i ) = w i alle i I. für Bemerkung. Ist dimv = n und (v 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V, (w 1, w 2,..., w n ) eine beliebige Familie aus W, dann gilt für v V mit v = n λ i v i damit F (v) = n λ i w i. i=1 i=1 Bemerkung. Unter den Voraussetzungen des vorigen Satzes gilt weiters a) F (V ) = Span(w i ) b) F ist injektiv (w i ) ist linear unabhängig Beweis. zu a) : Offenbar ist F (V ) Span(w i ). Sei nun w Span(w i ), etwa w = λ i w i. Setze v = λ i v i V. Dann ist F (v) = w, also ist auch Span(w i ) F (V ) und damit F (V ) = Span(w i ). zu b) : : Sei λ 1 w i1 +... + λ r w ir = 0. Setze v = λ 1 v i1 +... + λ r v ir. Dann ist F (v) = 0. Weil F injektiv ist und bereits F (0) = 0 ist, muß v = 0 sein. Weil (v i1,..., v ir ) linear unabhängig ist, muß λ 1 =... = λ r = 0 sein. Also ist (w i ) linear unabhängig. : Sei F (v) = 0 und v = λ 1 v i1 +... + λ r v ir. Dann ist λ 1 w i1 +... + λ r w ir = 0, und laut Voraussetzung folgt damit λ 1 =... = λ r = 0. Somit 5

gilt v = 0. Ist nun F (v) = F (v ), dann F (v v ) = 0 und somit v v = 0 bzw. v = v. Dies heißt, dass F injektiv ist. Beispiel. Sei V = W = R 2. v 1 = (1, 1), v 2 = (0, 1) bilden eine Basis von V. Sei w 1 = (2, 3), w 2 = (1, 2). Dann gibt es gemäß vorher genau eine lineare Abbildung F : R 2 R 2 mit F (v 1 ) = w 1 und F (v 2 ) = w 2. Frage: F (v) =? für beliebiges v R 2 Sei v = (x 1, x 2 ) = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 = λ 1 (1, 1) + λ 2 (0, 1) = (λ 1, λ 1 + λ 2 ). Dann gilt λ 1 = x 1 und λ 1 + λ 2 = x 2 bzw. λ 2 = x 2 x 1. F (v) = λ 1 w 1 + λ 2 w 2, also F (x 1, x 2 ) = x 1 (2, 3) + (x 2 x 1 )(1, 2) = (x 1 + x 2, 5x 1 + 2x 2 ). 6