Ergänzungsmaterial zu: Aufgabensammlung und Klausurentrainer zur Optimierung für die Bachelor-Ausbildung in Mathematik und Wirtschaftsmathematik

Ergänzungsmaterial zu: Aufgabensammlung und Klausurentrainer zur Optimierung für die Bachelor-Ausbildung in Mathematik und Wirtschaftsmathematik Karl Heinz Borgwardt unter Mitarbeit von Matthias Tinkl und Thomas Wörle

Vorwort Die hier bereitgestellte Sammlung ergänzt das Material im Vieweg+Teubner Buch Aufgabensammlung und Klausurentrainer zur Optimierung für die Bachelor-Ausbildung in Mathematik und Wirtschaftsmathematik von Borgwardt, Tinkl und Wörle. Zu vielen der im Buch angesprochenen Themen und Kapitel sind hier Ergänzungsaufgaben mit vollständigen Lösungen aufgeführt. Man findet zu jedem der erfassten Themen zunächst eine Auflistung der Aufgaben und danach die Liste der zugehörigen Lösungen. Gekennzeichnet sind diese Aufgaben mit der Nummerierung E.x.y.z (z.b. E.6..). Dabei steht E für Ergänzungsaufgabe und dient der Unterscheidung zur Aufgabe x.y.z im Buch. Hier sind vor allem Aufgaben mit umfangreichen, detaillierten und rechenintensiven Lösungen erfasst, die sich vorwiegend als Hausaufgaben und für kleinere Programmierprojekte eignen. Dem Leser bzw. dem Aufgabenbearbeiter wird angeraten, zunächst die betreffenden Einführungstexte und Erläuterungstexte im Buch zu lesen, bevor er sich an die Bearbeitung der Aufgaben macht. Wie dort sind Einschätzungen der ungefähren Bearbeitungsdauer angegeben. Wir wünschen allen Bearbeitern und Lesern eine gewinnbringende Lektüre. Augsburg, im Juli 9 Karl Heinz Borgwardt Matthias Tinkl Thomas Wörle

Inhalt Vorwort iii I Lineare Optimierung Problemstellung und Zweck. Ergänzungsaufgaben zur Modellierung......................... Lösungen zur Modellierung.............................. Polyedertheorie. Ergänzungsaufgaben zur Konvexität von Mengen................... Lösungen zur Konvexität von Mengen.........................8 Ergänzungsaufgaben zu Ecken und Seitenflächen.................. 9.9 Lösungen zu Ecken und Seitenflächen........................ Polyederstruktur. Ergänzungsaufgaben zur endlichen Erzeugung..................... Lösungen zur endlichen Erzeugung........................... Ergänzungsaufgaben zum Zerlegungssatz...................... 6.6 Lösungen zum Zerlegungssatz............................ 6 Dualität 6. Ergänzungsaufgaben zu dualen Problemen und zum Dualitätssatz.......... 6. Lösungen zu dualen Problemen und zum Dualitätssatz............... 66. Ergänzungsaufgaben zu den Sätzen vom komplementären Schlupf......... 68.6 Lösungen zu den Sätzen vom komplementären Schlupf............... 69 6 Simplex-Algorithmus 6. Ergänzungsaufgaben zum restriktionsorientierten Simplex-Algorithmus...... 6. Lösungen zum restriktionsorientierten Simplex-Algorithmus............ 86

vi Inhalt 6. Ergänzungsaufgaben zum variablenorientierten Simplex-Algorithmus....... 6.6 Lösungen zum variablenorientierten Simplex-Algorithmus............. II Ganzzahlige lineare Optimierung 9 Problemstellung und Zweck. Ergänzungsaufgaben zur Modellierung......................... Lösungen zur Modellierung............................... Ergänzungsaufgaben zu unimodularen Problemen...................6 Lösungen zu unimodularen Problemen........................ 8 Polyedertheorie bei Ganzzahligkeit 6 8. Ergänzungsaufgaben zur Theorie der Ganzzahligen Optimierung.......... 6 8. Lösungen zur Theorie der Ganzzahligen Optimierung................ 6 9 Algorithmen der Ganzzahligen Optimierung 6 9. Ergänzungsaufgaben zu Gomorys Schnittebenenverfahren.............. 6 9.6 Lösungen zu Gomorys Schnittebenenverfahren................... III Nichtlineare Optimierung Problemstellung und Zweck der nichtlinearen Optimierung 9. Ergänzungsaufgaben zur Modellierung von nichtlinearen Optimierungsproblemen. 9. Lösungen zur Modellierung von nichtlinearen Optimierungsproblemen....... 8 Konvexität in nichtlinearen Optimierungsproblemen 9. Ergänzungsaufgaben zu konvexen Mengen...................... 9. Lösungen zu konvexen Mengen............................ 9. Ergänzungsaufgaben zur Konvexität und Differenzierbarkeit............ 99.6 Lösungen zur Konvexität und Differenzierbarkeit...................8 Ergänzungsaufgaben zu Optimierungseigenschaften bei Konvexität..........9 Lösungen zu Optimierungseigenschaften bei Konvexität............... 8 Optimalitätskriterien. Ergänzungsaufgaben zu Karush-Kuhn-Tucker..................... Lösungen zu Karush-Kuhn-Tucker.......................... 6. Ergänzungsaufgaben zu Constraint-Qualifications...................6 Lösungen zu Constraint-Qualifications........................

Inhalt vii Dualität in der nichtlinearen Optimierung. Ergänzungsaufgaben zur Lagrange Dualität...................... Lösungen zur Lagrange Dualität........................... 6 IV Elementare kombinatorische Optimierung Bäume und Wälder. Ergänzungsaufgaben zu den Grundlagen der aufspannenden Graphen......... Lösungen zu den Grundlagen der aufspannenden Graphen............. 6 Kürzeste Wege und Routenplanung. Ergänzungsaufgaben zur Modellierung als Kürzeste-Wege-Problem......... Lösungen zur Modellierung als Kürzeste-Wege-Problem.............. 6. Ergänzungsaufgaben zu den Algorithmen zur Bestimmung kürzester Wege..... 6.6 Lösungen zu den Algorithmen zur Bestimmung kürzester Wege........... 8

Teil I Lineare Optimierung

Kapitel Problemstellung und Zweck. Ergänzungsaufgaben zur Modellierung Aufgabe E... Da der Nachschub abgeschnitten ist, muss ein General den Nahrungsmittelbedarf seiner Truppe mit Brot und Kaviar decken. Die Grundversorgung mit Kohlehydraten (K), Eiweiß (E) und Fett (F) soll jedoch sichergestellt werden, und zwar möglichst kostengünstig. Jeder Soldat soll mindestens Einheiten K, Einheiten E und Einheiten F erhalten. Eine Einheit Brot enthält // Einheiten K/E/F und kostet Euro. Eine Einheit Kaviar enthält // Einheiten K/E/F und kostet 6 Euro. Die Anzahl der zur Verfügung stehenden Brote bzw. Kaviardosen ist natürlich beschränkt, und zwar kann jeder Soldat höchstens Einheiten Brot bzw. Einheiten Kaviar erhalten (theoretisch könnte er also Einheiten Brot und Einheiten Kaviar erhalten, das wäre aber nicht die kostengünstigste Lösung). Formulieren Sie dieses Problem (P) als lineares Optimierungsproblem mit zwei Variablen. Die Variable x sei die Anzahl Einheiten Brot, die jeder Soldat erhält, analog sei x die Anzahl Einheiten Kaviar. Die Variablen werden als kontinuierlich festlegbar angesehen, d.h. ein Soldat könnte z.b. Einheiten Kaviar erhalten.

I: Problemstellung und Zweck Aufgabe E... Die Stadt München hat für den Umbau des Olympiastadions folgenden Finanzbedarf: Mio. am.. 8 Mio am.. 6 Mio am.. Mio am..6 Mio am... Man will sich die Mittel über Anleihen beschaffen, die jeweils am.. eines jeden Jahres aufgenommen werden können und alle am..9 zurückgezahlt werden müssen. Die Verzinsung ist in der Rückzahlungssumme enthalten. Die Rückzahlungssumme beträgt 8% /% /%/ % /9% des Ausgangsbetrages für Anleihen, die am.. des Jahres / /... / aufgenommen werden. Da evtl. vorhandener Überschuss (von Jahr zu Jahr) mit % Rendite pro Jahr angelegt werden kann, stellt sich die Frage, ob es günstig ist, zeitweise mehr Geld aufzunehmen als nötig. Formulieren Sie dieses Problem als lineares Optimierungsproblem.

. Ergänzungsaufgaben zur Modellierung Aufgabe E... Ein Student meldet sich zum Semesterferienbeginn für fünf Klausuren in den Fächern i =,..., an. Bis zu den Klausuren sind es nur noch 8 Wochen und in jeder Woche stehen je Stunden zum Lernen zur Verfügung. Nun bemerkt er, dass er auf seinem momentanen Leistungsstand ohne weitere Vorbereitung folgende (fiktive) Noten erzielen würde: F F F F F,,, 8,6, Jede eingesetzte Lernstunde bringt aber für diese Fiktivnoten F i einen Verbesserungseffekt v i (Notenverbesserung pro Stunde), und zwar: {, für die ersten Stunden v =, für jede weitere Stunde {, für die ersten Stunden v =, für jede weitere Stunde, für die ersten Stunden v =, für die nächsten Stunden, für jede weitere Stunde {, für die ersten Stunden v =, für jede weitere Stunde {, für die ersten Stunden v = (kein Effekt) für jede weitere Stunde Die Effektivnoten E i berechnen sich aus den Fiktivnoten F i wie folgt.,, falls F i, E i = F i, falls, F i,,, falls F i,. Das Ziel ist es, die Summe der Effektivnoten zu minimieren unter der Bedingung, dass alle Klausuren bestanden werden (d.h. Effektivnote,). a) Modellieren Sie dieses Problem als Optimierungsproblem min f(x) mit linearen Nebenbedingungen Ax b. Dabei ist die Zielfunktion f als Summe von stückweise linearen Funktionen zu wählen. Geben Sie A und b konkret an (mit Zahlenwerten der Einträge!). b) Erläutern Sie, wie und warum man dieses Optimierungsproblem in ein lineares Programm transformieren kann.

6 I: Problemstellung und Zweck Aufgabe E... Wie würden Sie einem (LP )-Löser, der eine Beschreibung der Form benötigt, folgende Aufgabe übergeben? max c T x unter Ax b max c T x unter x conv(v,...,v k ) + cone(z,...,z l ) Geben Sie eine Formulierung an, die nicht mehr als k + l Variablen benötigt.

. Lösungen zur Modellierung. Lösungen zur Modellierung Lösung zur Aufgabe E... Variablen: x : x : Anzahl der Einheiten Brot für jeden Soldaten Anzahl der Einheiten Kaviar für jeden Soldaten Restriktionen: Restriktionen aus Mindestbedarf an Nährstoffen: x + x (Kohlehydrate) x + x (Eiweiß) x + x (Fett) Restriktionen aus Mengenbeschränkungen: x (Brotmenge nicht negativ und nach oben limitiert) x (Kaviarmenge nicht negativ und nach oben limitiert) Zielfunktion: Kostenanalyse: die Versorgung kostet x + 6x Modell: min x + 6x x + x x + x x + x x x x x

8 I: Problemstellung und Zweck Lösung zur Aufgabe E... Index: Verwende i =,...,. Variablen: y i : Summe, die am..( + i) aufgenommen wird x i : Im Jahr + i vorhandener Überschuss (zu % anlegbar) (jeweils in Mio.) Nach Zahlung der Mio am.. verbleiben x Überschuss. Dieser vermehrt sich auf, x bis zum..9. Fraglich ist die Besetzung von y,...,y und mittelbar von x,...,x. Zielfunktion: Ziel ist es, die Belastung am..9 zu minimieren, also Restriktionen: min,8y +,y +,y +,y +,9y, x. x = y x = y +, x 8 x = y +, x 6 x = y +, x x = y +, x x i, y i i Bemerkung: Für i =,..., ergibt sich der Überschuss als Differenz aus Aufnahmesumme und Zahlungsbedarf zuzüglich des im Vorjahr angelegten und nun verzinsten Kapitals. Lösung: y =, y = 8, y =,8, y =, y = Im. Jahr ist die Gelegenheit günstiger, das Restgeld zu besorgen, als in den noch folgenden Jahren. So spart man, Mio. durch Vorverzinzung und x wird auf diese Weise Null.

. Lösungen zur Modellierung 9 Lösung zur Aufgabe E... Index: i =,..., Fächer Parameter: v i Lernnutzen für Fach i Variablen: t i F i E i eingeplante Gesamtlernzeit für Fach i (aufgeteilt in Phasen) Fiktivnoten Endnoten Restriktionen: Als Zeitlimit gilt: t + t + t + t + t (.) Nach Beschreibung des Lernnutzens (v,...,v ) sollten wir t i zerfallen lassen in eine erste, besonders lohnende Phase und in eine zweite, weniger effektive (ggf. sogar in eine dritte). t = t + t > mit t, t >, t = t + t > mit t, t > t = t + t >, + t > mit t, t >, t >, t = t + t > mit t, t > t = t + t > mit t, t > Da die Verbesserungen pro Stunde jeweils monoton fallen mit der zur Verfügung gestellten Zeit, kann man sicher sein, dass die ersten Zeitbereiche in einer Optimallösung jeweils zuerst gefüllt sein müssen, bevor der zweite (weniger lukrative) Zeitanteil angebrochen wird. Also gilt deshalb bei Optimalität: (.) i = :, >, wenn t < t > = i = :, >, wenn t < t > = i = :, >, >, wenn t < t > =, t >, = wenn t > < t > = i = :, >, wenn t < t > = i = :, > wenn t < t > = (.)

I: Problemstellung und Zweck Die Fiktivnoten F i ergeben sich aus: F =,, t, t > F =,, t, t > F =,, t, t >,, t > F = 8,6, t, t > F =,, t t > Diese Noten müssen alle besser als, werden (.) F i, i =,..., (.) Dies muss umgerechnet werden in Endnoten E i mit, E i,. Im zugelassenen Bereich (F i,) gilt: F i E i, (.6) E i, (.) Optimierungsproblem: min E i i= unter (.) (.)

. Lösungen zur Modellierung Lösung zur Aufgabe E... Parameter: v i, i =,...,k z j, j =,...,l Variablen: λ : ρ : Koeffizientenvektor der konvexen Hülle Koeffizientenvektor des konvexen Kegels Modell: Das gegebene Optimierungsproblem lautet in ausführlich geschriebener Form: max unter c T x x = k i= λ iv i + l j= ρ jz j λ i, k i= λ i =, ρ j i,j max c T ( k i= λ iv i + l j= ρ jz j ) unter λ i, k i= λ i =, ρ j i,j. max (c T v,...,c T v k,c T z,...,c T z l ) λ k ρ. unter (,...,,,...,) }{{}}{{} k l (,...,,,...,) }{{}}{{} k( ) l λ E k+l ρ ( ) λ ρ ( ) λ ρ λ ρ l

Kapitel Polyedertheorie. Ergänzungsaufgaben zur Konvexität von Mengen Aufgabe E... Beweisen Sie den Satz von Caratheodory für konvexe Mengen direkt, also ohne Verwendung des Satzes von Caratheodory für konvexe Kegel. Zeigen Sie also: Sei S eine Teilmenge von K n und dims = d. Dann existieren zu jedem x conv(s) Punkte s,...,s d+ S (also d + Punkte), so dass x conv(s,...,s d+ ). Hinweis: Überlegen Sie sich, dass bei r > d+ Punkten die Vektoren (s s r ),...,(s r s r ) linear abhängig sind.

I: Polyedertheorie Aufgabe E... Zu lösen sei das (LP ) max x + x + x (c) unter x + x x (a ) x x + x (a ) x + x (a ) x x (a ) x + x (a ) x + x (a 6 ) x + x + x 8 (a ) Beurteilen Sie die folgenden Punkte u,...,u daraufhin, ob sie a) zulässig sind b) innere Punkte sind c) Basislösungen sind d) Ecken sind e) Optimalpunkte sind und begründen (beweisen) Sie Ihre Aussagen. u =, u =, u = 6 6, u =, u =.

. Lösungen zur Konvexität von Mengen. Lösungen zur Konvexität von Mengen Lösung zur Aufgabe E... Beweis: Für jedes x conv(s) gibt es eine Darstellung x = r λ i s i mit s i S, λ i, λ i = (λ i ) i=. Fall: r d + Behauptung bestätigt. Fall: r > d + Wir werden zeigen, dass x auch mit weniger Punkten dargestellt werden kann. Wegen dim(s) = d = Dimension des Differenzraumes und r d+ sind die mindestens d + Differenzvektoren (s s r ),...,(s r s r ) linear abhängig. D.h. es gibt eine nichttriviale Kombination zur Erzeugung des Nullvektors r r ρ i (s i s r ) = ρ i s i i= i= ( ) r ρ i )s r =, setze ρ r = ρ i ( r Diese Kombination von s,...,s r hat Koeffizientensumme, denn i= r ρ + ρ +... + ρ r + ρ r = ρ + ρ +... + ρ r ρ i =. x = r i= λ is i + θ r i= ρ is i für jedes θ mit Koeffizientensumme (λ i + θρ i ) =. Wir wollen θ so bestimmen, dass in der obigen Kombination alle Koeffizienten bleiben und einer = wird; also λ i + θρ i i =,...,r und λ j + θρ j = für ein j θρ i λ i i =,...,r und λ j = θρ j für ein j i= i= für ρ i > ergibt sich θ λ i ρ i für ρ i < ergibt sich θ λ i ρ i als notwendig, (wobei λ i ρ i als notwendig, (wobei λ i ρ i < ist;) > ist.) Da es mindestens ein positives ρ i gibt (entweder ρ i > für ein i {,...,r }, oder falls ρ i i =,...,r, existiert auch ein ρ i < und damit ist ρ r > ), wählen wir { } λi θ := max <. ρ i > ρ i

6 I: Polyedertheorie Damit ist λ i + θρ i i mit ρ i > erfüllt; für i mit ρ i < ist λ i + θρ i wegen θ < ebenfalls erfüllt. Für den Index j, an dem das Maximum angenommen wird, gilt λ j + θρ j =. Damit ergibt sich r ( x = λ i λ ) j ρ i s i ρ j und r i= i j = mit i= i j ( λ i λ j ρ j ρ i ( λ i λ j ρ j ρ i r i= λ i λ j ρ j ) = ) i r i= ( λ i λ ) j ρ i = ρ j r ρ i = = i= Darstellung mit r Punkten ist gefunden.

. Lösungen zur Konvexität von Mengen Lösung zur Aufgabe E... Die folgende Tabelle gibt die Skalarprodukte zwischen a i und u j an und deklariert die Straffheit, Lockerheit und Verletztheit von Restriktionen. a T u i u u u u u b < < < = < a T u i = = > < < - a T u i < < = < < a T u i < = = > < a T u i = = = < < a T 6 u i = < 9 < < < a T u i < < < < 6 < 8 c T u i 6 a) u, u, u sind zulässig. b) u ist ein innerer Punkt. 8 c)+d) Um die Ecken/Basislösungen zu erkennen, betrachtet man die Restriktionsmatrizen (bzw. die straffen Teilmatrizen) und bestimmt deren Rang. u : {a,a,a 6 } : Rang u : {a,a,a } : Rang u : {a,a,a } : Rang u : {a } : ( ) Rang < u : Rang Also sind u und u Ecken und somit auch Basislösung. u ist eine unzulässige Basislösung. 9 9 6

8 I: Polyedertheorie e) Die beste gefundene Ecke ist offenbar u. Um zu entscheiden, ob es noch bessere Punkte gibt, macht man den Polarkegeltest. c = (,,) T = ρ a + ρ a + ρ a ist für ρ, ρ, ρ zu lösen. ρ = c befindet sich also im Polarkegel der bei u straffen Restriktionen. u ist eine Optimalecke. 9

.8 Ergänzungsaufgaben zu Ecken und Seitenflächen 9.8 Ergänzungsaufgaben zu Ecken und Seitenflächen Aufgabe E..8. Seien A =,b = 8 und P = {x R : Ax b}. Bestimmen Sie alle Ecken von P durch systematisches Durchgehen aller Dreierkombinationen von straffen Ungleichungen.

I: Polyedertheorie Aufgabe E..8. Gegeben sei das Polyeder P = {x R : Ax b} mit A =,b =. 8 Die Ecken des Polyeders seien Ihnen bereits bekannt: v =, v =, v =, v =, v =, v 6 = Wir betrachten die beiden Optimierungsprobleme 6, v = max x x + x, x P, (LP ) max x + x + x, x P. (LP ) Geben Sie für (LP i ), i =,, jeweils die Ecke x opt i von P mit dem besten Zielfunktionswert an. Beachten Sie, dass diese Ecken genau dann Optimallösungen sind, wenn im jeweiligen Problem die Zielfunktion nach oben beschränkt ist. Um zu testen, ob die Zielfunktion jeweils beschränkt ist oder nicht, bieten sich verschiedene Möglichkeiten an. Wenden Sie die nachstehenden Methoden a, c und d auf die Probleme (LP i ) an. a) Polarkegelsatz: Überprüfe, ob die Zielfunktionsrichtung c im konvexen Kegel K liegt, der von den linken Seiten der an x opt i straffen Restriktionen erzeugt wird. b) Beachte: In dem vorliegenden Fall sind in x opt i jeweils genau drei linear unabhängige Restriktionen straff, so dass sich leicht überprüfen lässt, ob c in K liegt. Im Allgemeinen können bei Problemen in R n jedoch mehr als n Restriktionen in einer Ecke straff sein. Wie entscheidet man in einem solchen Fall rechnerisch, ob c in K liegt? c) Berechne alle Kanten von P, die von x opt i ihnen die Zielfunktion erhöht. ausgehen, und überprüfe, ob sich auf einer von d) Führe die neue Restriktion c T x c T x opt i + ein und nenne das sich ergebende Polyeder Q. Überprüfe, ob Q Ecken hat, die keine Ecken von P sind. Tipp: Um Rechenaufwand zu sparen, überlegen Sie sich, dass es reicht, statt Q das durch die neue Restriktion und die an x opt i straffen Ungleichungen definierte Polyeder Q auf neue Ecken zu untersuchen.

.8 Ergänzungsaufgaben zu Ecken und Seitenflächen Aufgabe E..8. Mit einem Enumerationsprogramm für Ecken können Sie Optimierungsprobleme der Form lösen. max c T x unter Ax b mit A R (m,n), Rang A = n, b R m, c R n, x R n (P ) a) Nun liegt Ihnen eine Aufgabe der folgenden Art vor: maxv T y unter By = d,y (P ) mit B R (k,l),d R k,v,y R l und k l. Es sei zudem Rang B = k für jede k k Untermatrix B von B. Kann Ihnen eine abgewandelte Version Ihres Enumerationsprogramms bei der Direktlösung dieses Problems (ohne vorherige Transformation) helfen? Wenn ja, wie gehen Sie vor? Empfehlung: Überlegen Sie sich zuerst, wie die Ecken des Problems (P ) stukturiert sind, bzw. welche Restriktionen dort straff sein müssen. b) Wenn Sie für die Problemstellung (P ), also maxc T x unter Ax b, zuerst einmal sukzessiv die redundanten Restriktionen streichen wollen, müssen Sie zuerst deren Redundanz rechnerisch nachweisen (beachten Sie den Redundanzsatz). Zeigen Sie, dass Ihnen dazu Ihre in a) für eine Problemstellung des Typs (P ) entwickelte Methode hilft und erklären Sie Ihre Vorgehensweise. (Sie dürfen dabei unterstellen, dass jede quadratische Untermatrix von A vollen Rang hat.)

I: Polyedertheorie.9 Lösungen zu Ecken und Seitenflächen Lösung zur Aufgabe E..8. Akt. Restr.: Schnittpkt.: Zulässigkeit/verletzte Restr.: {,,} (,, ) zulässig {,,} (,, ) # (= ) {,,} (,, 8) #6 (= 8) {,,6} (,, ) zulässig {,,} (,, ) # (= ) # (= ) {,,} (,, ) zulässig {,,} (,, ) zulässig {,,6} (,, ) # (= ) {,,} (,, ) # (= ) #6 (= ) {,,} (,, ) zulässig {,,6} (, 6, ) # (= 6) # (= ) # (= ) {,,} (, 6, 6 ) # (= ) # (= ) {,,6} (,, ) zulässig {,,} (, 8, 8) # (= 8) # (= ) {,6,} (,, ) # (= ) # (= ) {,,} (,, ) zulässig {,,} ( 8,, ) # (= 8 ) {,,6} (,, ) # (= ) # (= ) {,,} (,, ) # (= ) {,,} (,, ) # (= ) # (= ) {,,6} (6,, ) # (= ) {,,} ( 6,, ) zulässig {,,6} (,, 9 ) # (= ) {,,} ( 8,, 6) # (= 8) # (= 6) # (= ) {,6,} (,, ) zulässig {,,} (,, ) zulässig {,,6} (,, ) # (= ) # (= ) {,,} (,, ) # (= ) {,,6} (, 9, ) # (= ) # (= 9 ) {,,} (8, 6, ) # (= ) {,6,} (,, ) {,,6} keine Lösung. # (= ) {,,} keine Lösung. {,6,} keine Lösung. {,6,} keine Lösung.

.9 Lösungen zu Ecken und Seitenflächen Lösung zur Aufgabe E..8. Die Ecken des Polyeders, die dazu straffen Restriktionen sowie Zielfunktionswerte an den Ecken sind nachfolgend aufgeführt: v v v v v v 6 v straffe Restriktionen,,,, 6,,,,, 6,,,,, 6, 9 ZFW bei (LP ) 8 ZFW bei (LP ) Die beste Ecke ist also jeweils v. Dort sind die Restriktionen, und 6 straff. a) Die straffen Ungleichungsrestriktionen sind in der besten Ecke: () x () x + x + x 8 (6) x x + x Nach dem Polarkegelsatz können wir entscheiden, ob x := (,, )T optimal ist, wenn wir überprüfen, ob c cone,,. Die Matrix A T = ist regulär, daher ist die Darstellung von c eindeutig. (LP ): Zu lösen ist A T λ λ = λ + λ + λ = λ λ λ + λ = λ λ = λ + λ = λ λ + λ = λ λ = λ + = λ = λ = λ = Die (eindeutige) Lösung ist also λ = (,, )T. Dies beweist mit dem Polarkegelsatz die Optimalität von x in (LP ).

I: Polyedertheorie (LP ): Zu lösen ist A T λ λ = λ + λ + λ = λ λ λ + λ = λ λ = λ + λ = λ λ + λ = λ λ = λ + = λ = λ = λ = Hier stellt c keine konische Kombination von, und dar. Infolgedessen ist nach dem Polarkegelsatz (bzw. nach dem Farkas-Lemma) der Punkt x = (,, )T nicht optimal bzgl. der Zielfunktion c. Zu (LP ) gibt es also keine Optimalpunkte, seine Zielfunktion ist unbeschränkt. b) Im Allgemeinen liegt folgende Situation vor: Es gibt d straffe Restriktionen mit der linken Seite a i,...,a id mit und man hat zu entscheiden, ob I := {i,...,i d } {,...,m} c cone(a i,...,a id ). (.) Wir betrachten hier die allgemeine Situation im R n, also c, a i R n i I und lin(a i,...,a id ) = R n. (.) ist äquivalent zur Existenz von λ R d mit λ A T I λ. λ k = c mit A I = a T i. a T i d und A T I = (a i,...,a id ). Das Hilfspolyeder HP = {λ R d λ, A T I λ = c} ist nichtleer genau dann, wenn es eine Ecke hat. Denn durch die Zusatzbedingung λ kann HP keine Gerade ganz enthalten. Um zu einer Ecke von HP zu kommen, brauchen wir ein linear unabhängiges System {a,...,a n } {a i,...,a id } mit c = A T λ und λ. Konsequenz: Für jede linear unabhängige Untermatrix A (von vollem Rang) von A I ist zu prüfen, ob es λ gibt mit c = n i= a iλ i. Zu jedem Untersystem gibt es eine eindeutige Lösung λ wegen der linearen Unabhängigkeit, deshalb ist diese Überprüfung machbar.

.9 Lösungen zu Ecken und Seitenflächen c) Die in x = (,, )T straffen Restriktionen waren () x () x +x +x 8 (6) x x +x. Die von x ausgehenden Kanten erhält man durch Fallenlassen einer Gleichung und Beachtung der Zulässigkeit: i) Nur () und () sollen straff sein: x =, x = 8 + x x x = t beschreibt die Lösungsgerade. 8 t Zulässigkeit: () t t () 8 + t t () t 6 + t t t [,] (6) t + 8 t t () t 8 + t t 8 ii) Die Kante verbindet also die Ecken (,, )T und (,, ) T. Die Zielfunktionen verschlechtern sich entlang dieser Kante. < in (LP ) und + < in (LP ). Nur () und (6) sollen straff sein: x =, x = x + x x = t beschreibt die Lösungsgerade, + t Zulässigkeit: () t t () t t () t t t 6 t [, ] () t + + t 8 t () t t t Die Kante verbindet also die Ecken (,, )T und (,, ) T.

6 I: Polyedertheorie Die Zielfunktionen verschlechtern sich entlang dieser Kante, denn es ist + < in (LP ) und < in (LP ). iii) Nur () und (6) sollen straff sein: x + x + x = 8 x x + x = x = t x = 8 + t x x = t + x = t = t x = + t x = 8 + t x = t + x + t x = + t t x = + t beschreibt die Lösungsgerade + t Zulässigkeit: x x () t t () t t () t t () t + + t t () t t t + t, t Auf dieser Halbgeraden sinkt der Zielfunktionswert c T x = ct x t für t und der Zielfunktionswert c T x = ct x + t steigt für t. Deshalb ist x die Optimallösung bzgl. (LP ), aber nicht optimal bzgl. des unbeschränkten Problems (LP ). d) Man führt nun als Zusatzrestriktionen (8 ) c T x ct x + bzw. (8 ) c T x ct x + ein und betrachtet die Polyeder Q, Q (inklusive dieser Restriktionen).

.9 Lösungen zu Ecken und Seitenflächen Hat dann Q bzw. Q eine Ecke, die P nicht hatte, dann muss dort (8 ) bzw. (8 ) straff sein, was beweisen würde, dass es bessere Punkte als die beste Ecke x gibt ( Unbeschränktheit). Sind die Mengen der Ecken identisch, dann ist x optimal und (LP i ) beschränkt. Fraglich ist also, ob es zusätzliche Ecken mit (8 ) bzw. (8 ) gibt. (LP ): Die neue Restriktion (8 ) lautet x x + x. Man kann nun alle neuen Ecken ausrechnen, aber es ist auch möglich, sich auf die Kanten zu beschränken, die von x ausgehen. [Erkenntnis: P x + rec(a ), wobei A die Matrix der straffen Restriktionen bei x ist. Die Kanten dieses Kegels entsprechen den von x abgehenden Kanten von P.] Es ist zu testen, ob (8 ) mit einer Zweierkombination aus (), () und (6) straff sein kann. (), (), (8 ) x = (,, 9 ) T 6 unzulässig wegen () (), (6), (8 ) x = (,, 9 ) T unzulässig wegen () (), (6), (8 ) x = (,, ) T unzulässig wegen (), () Also ist x die Optimallösung in (LP ). (LP ): Die neue Restriktion (8 ) lautet x + x + x. (), (), (8 ) x = (,, 9 ) T unzulässig wegen () (), (6), (8 ) x = (,, 9 ) T 6 unzulässig wegen () (), (6), (8 ) x = (,, ) T 6 neue Ecke Deshalb ist hier (LP ) unbeschränkt und x nicht optimal.

8 I: Polyedertheorie Lösung zur Aufgabe E..8. a) Was sind die Ecken bei (P )? In jedem zulässigen Punkt ist schon einmal By = d erfüllt (also insbesondere ist By d total straff; das sind k Ungleichungen und Rang B = k). Um eine Ecke herzustellen, braucht man jetzt noch weitere l k straffe Ungleichungen. Diese kann man hier nur aus den Bedingungen e T y,..., et l y gewinnen. Sind also l k Ungleichungen hiervon straff, dann hat man eine Unter-Restriktionsmatrix B B B k B k+ B l... o.b.d.a.. Dies hat vollen Rang genau dann, wenn B,...,B k Rang k hat ( (k k)-untermatrizen der Fall). Man erhält also jeweils eine Ecke, wenn l k Vorzeichenbedingungen straff sind (die zugehörige (k k)-untermatrix hat dann Rang k). Zusätzlich muss man dann die Lösung des so beschriebenen Systems By = d, y i =,...,y il k = auch noch die nicht herangezogenen Ungleichungen erfüllen. Man muss also alle so beschriebenen Kandidaten enumerieren, d.h. i,...,i l k lexikographisch wachsen lassen von,...,l k bis k +,...,l und in jeder Zählstufe das Ungleichungssystem By = d, y i =,...,y il k = lösen. Dann ist zu überprüfen, ob bei dem lösenden y auch gilt y (insbesondere für i / {i,...,i l k }). Die Basislösungen, die dies erfüllen, sind die Ecken. Nun suche man sich die beste Ecke und mache dort noch den Optimalitätstest mit einer überhöhten Zielfunktion v T y = v T y best +. So erkennt man, ob es sich um eine Optimalecke handelt. b) Nach Redundanzsatz muss man, um über die eventuelle Redundanz von a T mx b m zu entscheiden, überprüfen, ob es eine konische Kombination a m = m i= ρ ia i (ρ i ) der anderen Restriktionen gibt, so dass m i= ρ ib i b m. Dann kann die m-te Restriktion entfernt werden. Man hat hier alle konischen Kombinationen zur Verfügung und es ist nicht klar, ob es darunter eine gibt mit ρ i b i b m. Deshalb sollte man (statt zu raten) folgendes Minimierungsproblem lösen: min b T ρ mit b = (b,...,b m ) T,ρ = (ρ,...,ρ m ) T ρ unter m i= ρ ia i = a m bzw. a a a m. = a m ρ m bzw. Aρ = a m mit A = a a m

.9 Lösungen zu Ecken und Seitenflächen 9 Diese Aufgabe ist jetzt genau vom Typ (P ), nämlich maxv T y unter By = d,y mit v = b,y = ρ,b = A und man kommt ihr mit der in a) entwickelten Methode bei.

Kapitel Polyederstruktur. Ergänzungsaufgaben zur endlichen Erzeugung Aufgabe E... a) Zeigen Sie, dass man die Bestimmung der extremalen freien Richtungen eines nichtleeren Polyeders P = {x R n Ax b,x } auf die Bestimmung der Ecken von zurückführen kann. P = {x R n Ax,x, n x i = } i= b) Seien A =, b = und P = {x R Ax b}. Geben Sie für P ein endliches Erzeugersystem gemäß P = conv(v,...,v k ) + cone(z,...,z l ) mit v i, z j R i,j an.

I: Polyederstruktur Aufgabe E... Seien P = conv(x P ) + cone(y P ), Q = conv(x Q ) + cone(y Q ) Polyeder im R, wobei X P = Y P = X Q = Y Q = {( ) ),(,( 9 {( ) ),(,( {( ) ) ( ),(, {( ) ( ),, ),( ),(,( ( ),( ),( ),( ) (, ), ( )}, )}, ),( )}. ) )},(, a) Führen Sie für beide Polyeder P, Q aus: (i) (ii) Fertigen Sie eine Skizze des Polyeders, seines conv- und seines cone-anteils an (diese drei Polyeder jeweils in einer Zeichung). Bestimmen Sie die überflüssigen Elemente in X P, Y P, X Q, Y Q, begründen Sie ihre Entbehrlichkeit und entfernen Sie diese. (iii) Zeigen Sie, dass jedes übrig gebliebene erzeugende Element des conv-teils exponiert ist, indem Sie jeweils eine Stützhyperebene angeben, deren Schnittmenge mit dem Polyeder genau die jeweilige Ecke ist. (iv) Zeigen Sie, dass jede übrig gebliebene extremale freie Richtung eine exponierte Seitenfläche (Kante) induziert, indem Sie jeweils eine Stützhyperebene angeben, deren Schnittmenge mit dem Polyeder genau die jeweilige Kante ist (die induzierte Kante ist die parallel zur jeweiligen Richtung). Beschreiben Sie das Polyeder durch ein minimales Ungleichungssystem. Hinweis: Verwenden Sie Ergebnisse aus Teil (iii). b) Fügen Sie die in Teil a) erhaltenen minimalen Darstellungen zusammen und untersuchen Sie das dadurch definierte Polyeder conv(p, Q) auf dieselbe Weise wie in Teil a) (i-iv). Sie dürfen ohne Beweis verwenden: P = conv(a) + cone(b),q = conv(c) + cone(d) conv(p,q) = conv(a C) + cone(b D).

. Ergänzungsaufgaben zur endlichen Erzeugung Aufgabe E... Betrachten Sie das folgende Polyeder P(A,b) im R, das gegeben ist durch () x 6x x () x x x () x + x () x x () x x x (6) x + x + x Berechnen Sie dazu enumerativ eine endliche Darstellung in der Form P = conv(v,...,v k ) + cone(z,...,z l ). Hinweis: Gehen Sie bei der Ermittlung von v,...,v k und z,...,z l effektiv vor und vermeiden Sie (unter Angabe von Gründen) das Lösen von Gleichungssystemen, die keine neuen Erkenntnisse liefern können.

I: Polyederstruktur Aufgabe E... Seien x =, x =, x =, x =, x =, x 6 =, z =, z =, z =. Bestimmen Sie die Ecken und extremalen freien Richtungen von P = Q + C = conv(x,...,x 6 ) + cone(z,z,z ) und damit eine Minimaldarstellung für P. Hinweis: Es gilt die Devise: Denken ist lohnender als Rechnen. Stellen Sie bei der Behandlung des Polytops zuerst fest, ob es unter x,...,x 6 nicht Punkte gibt, denen man die Eckeneigenschaft bzgl. Q direkt ansieht. Kümmern Sie sich erst danach um die kritischen Kandidaten und ihre eventuelle Elimination. Ebenso fragen Sie sich, welche der Ecken von Q bestimmt auch Ecken von P sind. Danach untersuchen Sie systematisch die noch kritischen Punkte.

. Ergänzungsaufgaben zur endlichen Erzeugung Aufgabe E... Betrachten Sie das folgende Polyeder P(A,b) im R, das gegeben ist durch () x 6x x () x x x () x + x () x x () x x x (6) x + x + x. Geben Sie eine endliche Darstellung der Form P = conv(v,...,v k ) + cone(z,...,z l ) an.. Bestimmen Sie alle Seitenflächen von P(A,b).. Geben Sie für jede Seitenfläche eine lineare Funktion an, die zeigt, dass genau diese Seitenflächen exponiert ist.

6 I: Polyederstruktur Aufgabe E...6 Sei P = {x R n : Ax b} ein spitzes Polyeder (d.h. es existiert mindestens eine Ecke) mit Rezessionskegel rec(a) = {x R n : Ax }. Zur Zielfunktion h T x gebe es einen eindeutigen Minimalpunkt auf P. Setze H = {x R n : h T x = }. a) Zeigen Sie: P ist genau dann beschränkt (also ein Polytop), wenn rec(a) H =. b) Sie verfügen über ein Programm, das zu einem vorgegebenen Polyeder alle Ecken berechnet. Wie können Sie mit Hilfe dieses Programms (und dem Ergebnis aus Teil a)) testen, ob P beschränkt ist?

. Lösungen zur endlichen Erzeugung. Lösungen zur endlichen Erzeugung Lösung zur Aufgabe E... a) Wir nennen hier x R n normiert, falls n i= xi =. Es gilt: () Z.z.: y ist normierte freie Richtung von P y P : y ist freie Richtung von P Ay, y, y y normiert n i= yi = y P. (Dies funktioniert hier nur, da wegen der Forderung von x in der Definition des Polyeders P kein Eintrag einer freien Richtung negativ sein darf und sich somit keine Komponentensumme von Null für eine freie Richtung ergeben kann.) : Für ein y P hat man immer Ay, y, n i= yi =. Zusammen mit einem x P mit Ax b, x ergibt sich ρ x(ρ) := (x + ρy) mit A x(ρ) = Ax + ρay b + ρ = b und x(ρ) = x + ρy + ρ, also liefert y eine freie normierte Richtung von P. () Z.z: y ist normierte extremale freie Richtung von P y ist Ecke von P : Bei einer normierten freien Richtung von P wissen wir schon, dass y P. Annahme: y wäre extremale freie Richtung von P, aber keine Ecke von P. Dann kann man y nichttrivial aus Punkten w, w P mit w y w konvex kombinieren. Formal bedeutet dies, dass y = λw + ( λ)w mit λ (,) gilt. w und w wären nach () aber dann auch freie Richtungen und würden die freie Richtung y konvex kombinieren. (WIDERSPRUCH) : Bei einer Ecke y von P ist die Nichtkombinierbarkeit klar. Infolgedessen besitzt y dann auch als Richtung diese Eigenschaft der Nichtkombinierbarkeit. b) Bestimmung der Ecken des ursprünglichen Polyeders (durch Enumerationsverfahren) straffe Restrikt. Ecke Zulässigkeit/verletzte Restrikt. {,,} keine Lösung. {,,} (,, ) zulässig {,,} (,, ) zulässig {,,6} keine Lösung. {,,} (,, ) #6 {,,} (,, ) #6

8 I: Polyederstruktur {,,6} keine Lösung. {,,} (,, ) # {,,6} (,, ) zulässig {,,6} (,, ) zulässig {,,} (,, -) #, #6 {,,} (,, -) #, #6 {,,6} keine Lösung. {,,} keine Lösung. {,,6} (,, ) # {,,6} (,, ) # {,,} (,, -) #, #, #6 {,,6} (,, ) zulässig {,,6} (,, ) zulässig {,,6} (,, ) #, # Also hat man die Ecken (,, )T, (,, )T (,,) T, (,,) T, (,,) T, (,,) T. Um die extremalen freien Richtungen zu bestimmen, sucht man wie in a) die Ecken von P = {y R,a T i y für i =,...,6, i= yi = }. Hier taucht also noch eine Restriktion (a T x = ) auf, die immer erfüllt sein muss. Gebraucht werden zwei zusätzliche Restriktionen zur Bestimmung einer Ecke von P. straffe Restrikt. Ecke Zulässigkeit/verletzte Restrikt. {,,} keine Lösung. {,,} keine Lösung. {,,} keine Lösung. {,,} keine Lösung. {,6,} keine Lösung. {,,} keine Lösung. {,,} (,, ) zulässig {,,} (,, ) zulässig {,6,} keine Lösung. ) zulässig {,,} ( {,,} ( ) {,6,} keine Lösung. zulässig {,,} (,, ) zulässig {,6,} (,, ) # {,6,} (,, ) #

. Lösungen zur endlichen Erzeugung 9 (Bemerkung: Restriktion ( y y y = ) und (y + y + y = ) widersprechen sich, deshalb haben die Gleichungssysteme mit {, k, } als straffe Restriktionen keine Lösung.) Also hat P die Ecken (,,) T, (,, )T, (,, )T und die Darstellung für P lautet P = conv + cone

I: Polyederstruktur Lösung zur Aufgabe E... a) Betrachtung von P : 6 conv(x P ) P cone(y P ) In conv(x P ) ist sicher entbehrlich ( ) = ( ) + ( ) 9. Im cone(y P ) sind sicher entbehrlich ( ) ) ),(,(, denn all diese sind konstruierbar aus wie folgt: ( ) ),( ( ) = ( ) 9 + ( ) 9 ( ) = ( ) + ( )

. Lösungen zur endlichen Erzeugung Es bleibt bis jetzt conv ( ) = ( ) + ( ) (( ) ) )) (( ) )),(,( + cone,(. (.) Außerdem befinden sich noch die beiden Punkte (, 9 )T und (, )T in X P. Diese sind jedoch ebenfalls verzichtbar, denn ( ) ( ) 9 = + ( ) ( ) ( ) ( ) = +. Nun haben wir mit () drei Ecken und zwei freie Richtungen. Es ist nachzuweisen, dass diese unverzichtbar sind. ( ) ( ) ist exponiert für c = ( ) ( ) ist exponiert für c = ( ) ( ) ist exponiert für c = ( ) ( ) ( ) + R + ist exponiert für c = ( ) ( ) ( + R + ) ist exponiert für c = (( ) ( )) ( ), ist exponiert für c = (( ) )) ( ),( ist exponiert für c = Ein beschreibendes Ungleichungssystem für P ist also x + x x + x x x x x

I: Polyederstruktur Betrachtung von Q: cone(y Q ) conv(x Q ) Q Entbehrlich in conv(x Q ) sind ( ) ( ) = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) 9 + ( ) 9 In cone(y Q ) sind entbehrlich ( ) ( ) ) = ( = ( ( + ) ) ( ) + Also bleibt zunächt conv (( ) ),(, ( ) ) )),(,( + cone (( ) ( )),. (.)

. Lösungen zur endlichen Erzeugung Durch die Zusammensetzung werden in () überflüssig: ( ) ( ) = + ( ) ( ) ( ) = + ( ) ( ) + ( ) ( ) = + ( ) 8 + ( ) Wir haben also übrig: conv (( ) )) (( ) ( )),( + cone, ( ) ( ) ( ) ( ) + R + ( ) ( ) + R + (( ) )),( Ein beschreibendes Ungleichungssystem für Q ist also b) Betrachtung von conv(p,q): conv(p,q) = conv ( ) ist exponiert für c = ( ) ist exponiert für c = ( ) ist exponiert für c = ( ) ist exponiert für c = ( ) ist exponiert für c = x x + x x + x (( ) ) ),(,(, ( ),( + cone )) + (( ) ) ( ) ( )),(,,

I: Polyederstruktur Von conv ist entbehrlich ( ) wegen ( ) = ( ) + ( ) Von cone sind entbehrlich ( ) ( ) ( ) = = ( ) + + ( ( ) ) Damit haben wir zunächst conv(p,q) = conv Die Addition macht überflüssig ( ) = ( ) = (( ) ) ) )) (( ) ( )),(,(,( + cone, ( ) ( ) + ( ) ( ) + + ( + ( ) ) Es verbleibt conv(p,q) = conv (( ) )) (( ) ( )),( + cone, conv(p, Q)

. Lösungen zur endlichen Erzeugung ( ) ) ( ( ) ( ) + R + ( ) ( ) + R + (( ) )),( ( ) ist exponiert für c = ( ) ist exponiert für c = ( ) ist exponiert für c = ( ) ist exponiert für c = ( ) ist exponiert für c = Damit ergibt sich als beschreibendes Ungleichungssystem: x + x x x + x

6 I: Polyederstruktur Lösung zur Aufgabe E... Wir müssen lexikographisch steigend die Lösungen zu den Gleichungssystemen A ijk x = b ijk a T i x = b i a T j x = bj a T k x = bk mit i,j,k {,...,6} und i j,i k,j k. berechnen und dann testen, ob die Lösung x auch Ax b erfüllt. 6 A : x = a T x = >, verletzt a keine Ecke! 6 A : x = Hier sind zusätzlich () und (6) straff. Wir haben also mit v := (,,) T eine Ecke, bei der (), (), (), (), (6) straff sind. Deshalb müssen wir jetzt nur noch GLS lösen, bei denen () zu den straffen Restriktionen gehört. 6 A : A : 8 8 a T x = >, verletzt a keine Ecke! x = 6

. Lösungen zur endlichen Erzeugung x = a T x = >, verletzt a keine Ecke! 6 8 A 6 : x = a T x = >, verletzt a keine Ecke! A : x = 8 8 a T x = >, verletzt a keine Ecke! A : x = a T x = >, verletzt a keine Ecke! A 6 : x = a T x = >, verletzt a keine Ecke!

8 I: Polyederstruktur A : x = a T 6 x = >, verletzt a 6 keine Ecke! A 6 : x = Alle anderen Restriktionen sind locker. Wir haben also mit v := (,,) T eine Ecke, bei der (), (), und (6) straff sind. A 6 : x = Alle anderen Restriktionen sind locker. Wir haben also mit v := (,,) T eine Ecke, bei der (), (), und (6) straff sind. Man hat also drei Ecken, bei denen überall (6) straff ist. Die Seitenflächen, bei denen (6) straff ist, sind also alle beschränkt (in Dreieck eingeschlossen). Für freie Richtungen bleiben nur () (). Für die Ermittlung extremaler freier Richtungen sehe man sich nun die Gruppen von Restriktionen an, die bei den drei Ecken straff sind. Kandidaten für extremale freie Richtungen entstehen dann durch Straffhalten von je zwei aus der entsprechenden Gruppe und durch Orientierung in einer Richtung, die Az gewährleistet. Nach obigem Ergebnis darf in diesen Zweierauswahlen die Restriktion (6) nicht erscheinen. Extremale freie Richtungen bei der Ecke (,,) T : () und () straff:

. Lösungen zur endlichen Erzeugung 9 Orthogonal zu 6 und ist. a T (kartesisches Produkt oder a T z = lösen!) 6 = Verwende z := und man hat eine extremale freie Richtung. () und () straff: Orthogonal zu 6 und ist 6. 6 6 = z := ist eine extremale freie Richtung. () und () straff: Orthogonal zu 6 und ist. 6 =

I: Polyederstruktur verschiedene Vorzeichen keine freie Richtung! () und () straff: Orthogonal zu und ist. 6 = verschiedene Vorzeichen keine freie Richtung! () und () straff: Orthogonal zu und ist. 6 = Verwende z := und man hat eine extremale freie Richtung. () und () straff: Orthogonal zu und ist. 6 = verschiedene Vorzeichen keine freie Richtung!

. Lösungen zur endlichen Erzeugung Extremale freie Richtung bei der Ecke (,,) T : () und () straff: Orthogonal zu und ist 6. 8 6 6 6 = 8 Verwende z := 6 und man hat eine extremale freie Richtung. 8 Extremale freie Richtung bei der Ecke (,, ) T : () und () straff: Orthogonal zu und ist. 6 = z := ist eine extremale freie Richtung. Insgesamt haben wir somit die gesuchte endliche Darstellung des Polyeders: P = conv,, + cone, 6,, 6, 8

I: Polyederstruktur Lösung zur Aufgabe E... In P = Q + C = conv(x,...,x 6 ) + cone(z,z,z ) ist kein z i verzichtbar, weil die drei Richtungen linear unabhängig sind. Daher sind es alles extremale freie Richtungen. Welche Punkte sind bestimmt Ecken von Q (Komponentenminimalität)? Minimal in der. Komponente ist x 6 Minimal in der. Komponente ist x, x Minimal in der. Komponente ist x Alle vier Punkte müssen Ecken von Q sein. Maximal in der. Komponente ist x Maximal in der. Komponente ist x Maximal in der. Komponente ist x Also sind auch x und x als Ecken für Q unverzichtbar. Allein x kann möglicherweise keine Ecke von Q sein. Wir versuchen eine Konvexerzeugung von x nach Caratheodory. Auf x kann nicht verzichtet werden (wg.. Komponente) bei der Caratheodory-Darstellung. x oder x müssen (wg.. Komponente) dabei sein. x oder x müssen (wg.. Komponente) dabei sein. ) x durch x, x, x konvex erzeugen. λ = 8 λ = < nicht erlaubt. ) x durch x, x, x konvex erzeugen. λ = 8 λ + λ + λ = nicht erlaubt.

. Lösungen zur endlichen Erzeugung ) x durch x, x, x konvex erzeugen. λ = (,, ) T x besitzt die Konvexdarstellung x + x + x und ist somit keine Ecke von Q. x, x 6 sind auch Ecken von P = Q + C, da wegen x 6 < und z i und x i für i 6 bzw. x < und z i und x i für i, keine konische Kombination von x bzw. x 6 durch die anderen x i und z i möglich ist. Fraglich ist nun noch, ob x, x und x auch Ecken von P = Q + C sind. Wenn x i (i =, i = oder i = ) verzichtbar sein soll, d.h. x i = j i λ jx j + µ k z k, λj =, λ j, µ k λ j (x i x j ) = µ k z k, dann muss eine Bewegung in das Polytop kompensiert werden durch eine Bewegung in C, d.h. es muss u und v geben mit u v = und u cone(x i x, x i x, x i x, x i x, x i x 6 ) und v cone(z,z,z ). Beide Kegel müssen also entgegengesetzte (nichttriviale) Richtungen haben, damit eine Ecke möglich ist. ) Überprüfung für x cone(x x, x x, x x, x x, x x 6 ) cone(z,z,z ) = cone,,, cone,, cone(x x,x x,x x,x x,x x 6 ) cone(z,z,z ) {} x ist keine Ecke von P.

I: Polyederstruktur ) Überprüfung für x cone(x x, x x, x x 6 ) cone(z,z,z ) = cone,, cone,, Die beiden Kegel können keine gemeinsamen Punkte haben, da im linken Kegel x < x und im rechten Kegel z z gilt. ) Überprüfung für x x ist zwar minimal in einer Komponente, aber nicht allein. Weil es noch einen gleich guten Vektor x gibt, kann x nicht in Q konvex kombiniert werden und ist deshalb Ecke von Q. Nun könnte es aber sein, dass man mit einer Kombination aus Polytop und Kegel doch x darstellen kann. cone(x x, x x, x x 6 ) cone(z,z,z ) = cone,, cone,, {}, da x x = z. x ist keine Ecke von P. Also ist P = conv(x,x,x 6 ) + cone(z,z,z ) die Minimaldarstellung für P.

. Lösungen zur endlichen Erzeugung Lösung zur Aufgabe E.... Um die Ecken zu bestimmen, müssen wir lexikographisch steigend die Lösungen zu den Gleichungssystemen A I x = b I, I = {i,...,i n } {,...,m} bestimmen, und dann testen, ob die Lösung x auch Ax b erfüllt. Basislösungen: Indizes Basislösung ( ) straff Zulässigkeit,,, (, ) (>), (>), 6(>) unzulässig,,,, ( ) (<), (=), 6(=) zulässig,,,, ( ) (<), (=), 6(=) zulässig,,6,, ( ) (<), (=), (=) zulässig,,,, ( ) (>), (>), 6(>) unzulässig,,,, ( ) (<), (>), 6(>) unzulässig,,6,, ( ) (<), (>), (<) unzulässig,,,, ( ) (=), (<), 6(=) zulässig,,6,, ( ) (=), (<), (=) zulässig,,6,, (=), (<), (=) zulässig ( ),,,, (<), (>), 6(>) unzulässig ( ),,,, ( ) (>), (>), 6(>) unzulässig,,6,, ( ) (<), (<), (>) unzulässig,,,, ( ) (=), (<), 6(=) zulässig,,6,, ( ) (=), (<), (=) zulässig,,6 (,, ) (=), (<), (=) zulässig,,, (, ) (<), (<), 6(>) unzulässig,,6,, ( ) (<), (<), (<) zulässig,,6,, ( ) (<), (<), (<) zulässig,,6,, (=), (=), (<) zulässig Achtung: Bei dem Gleichungssystem mit Indizes {,,} findet man mit v = eine Ecke, bei der die Restriktionen,,, und 6 straff sind. Damit kann die Anzahl der

6 I: Polyederstruktur zu lösenden Gleichungssystem reduziert werden: Für jedes Gleichungssystem mit Indizes aus,,,, 6 ist v eine Lösung. Sofern ein solches Gleichungssystem vollen Rang hat, erhält man v als eindeutige Lösung; falls das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist, würde es verworfen werden. Folgerung: Man bräuchte nur noch Gleichungssysteme mit als straffer Restriktion zu untersuchen! Teilergebnis: Man hat drei Ecken v = mit,,,, 6 als straffe Restriktionen, v = mit,, 6 als straffe Restriktionen und v = mit,, 6 als straffe Restriktionen. Um die extremalen freien Richtungen zu bestimmen, müssen wir lexikographisch steigend die Lösungen zu den Gleichungssystemen A I x =, I = {i,...,i n } {,...,m} bestimmen und dann testen, ob die Lösung d auch Ad (bzw. d die Bedingungen A( d) ) erfüllt. Richtungen: Indizes Richtung straffe Restriktionen freie Richtung ), (,, (< ), (< ), (< ), 6(< ) d Ja ( ),, (, ) (> ), (< ), (> ), 6(> ) Nein,,, ( ) (> ), (> ), (> ), 6(> ) d Ja,,, ( ) (< ), (> ), (> ), 6(> ) Nein,6, 8 (, ) (> ), (< ), (< ), (> ) Nein,, 6, 8 ( ) (< ), (< ), (> ), 6(< ) Nein,,, ( ) (< ), (> ), (> ), 6(> ) Nein,,, ( ) (> ), (> ), (> ), 6(> ) d Ja,6,, ( ) (< ), (> ), (< ), (> ) Nein,,, 8 ( ) (> ), (> ), (> ), 6(> ) d Ja,,, ( ) (> ), (> ), (> ), 6(> ) d Ja,6,, (< ), (> ), (< ), (> ) Nein

. Lösungen zur endlichen Erzeugung,,6,6 ( ),, ( ),, ( ),, (< ), (< ), (> ), 6(> ) Nein (> ), (> ), (< ), (> ) Nein (> ), (> ), (< ), (> ) Nein Achtung: Da bereits Ecken gefunden wurden, kann man sich bei der Auswahl von Indizes hier darauf beschränken, jeweils Indizes auszuwählen aus denjenigen Gruppen von Indizes, die an einer der Ecken straff sind. Also je zwei aus {,,,,6}, {,,6} oder aus {,, 6}. (Man spart sich die Kombinationen {, } und {, }.) Betrachtet man außerdem die Ecken, so können diese als Ecken zu den Restriktionen (,,6), (,,6) und (,,6) angesehen werden und man stellt Folgendes fest: Die 6. Restriktion ist bei allen Ecken straff und die einzelnen Indexmengen unterscheiden sich jeweils in genau einer Restriktion. Das bedeutet, dass man an einer dieser Ecken beim Lockern einer Restriktion i {,,} eine Kante erhält, die innerhalb der 6. Restriktionshyperebene zu einer der anderen beiden Ecken führt. Demnach kann man in der 6. Restriktionshyperebene keine freie Richtung mehr finden, und man braucht keine -er Kombinationen untersuchen, die den Index 6 enthalten. Es gibt also zwei Gründe, dass die Betrachtung einer er Kombination nicht notwendig ist: Grund : Die Restriktionen zu den Indizes sind an keiner Ecke zugleich straff. Grund : 6 ist in der Indexmenge. Teilergebnis: Man hat fünf extremale freie Richtungen: z = mit, als straffe Restriktionen, z = mit, als straffe Restriktionen, z = mit, als straffe Restriktionen, z = mit, als straffe Restriktionen und 8 z = mit, als straffe Restriktionen.

8 I: Polyederstruktur Gesamtergebnis: P = conv(v,v,v ) + cone(z,z,z,z,z ) )+) Lineare Funktionen c T x (Zielfunktionen), die auf einer Seitenfläche ihr Maximum annimmt (und sonst nirgends), lassen sich wie folgt bestimmen: Zu jeder Seitenfläche bestimmt man die an dieser Seitenfläche straffen Restriktionen, und bildet aus den zugehörigen Restriktionsvektoren eine echte konische Kombination (vgl. Polarkegelsatz). Hier wird die Summe der Restriktionsvektoren verwendet. Aus den bisherigen Rechnungen kann man folgendes bereits ablesen: Die -dimensionalen Seitenflächen des Polyeders sind die Ecken: Darstellung straff Zielfunktion ( ) v,,,, 6,, ( ) v,, 6,, ( ) v,, 6,, Die -dimensionalen Seitenflächen des Polyeders sind beschränkte Kanten und Halbgeraden (unbeschränkte Kanten): Darstellung straff Zielfunktion ( ) conv(v,v ), 6,, ( ) conv(v,v ), 6,, ( ) conv(v,v ), 6 (,, ) v + cone(z ),, 9, ( ) v + cone(z ),,, ( ) v + cone(z ),,, ( ) v + cone(z ),,, ( ) v + cone(z ),,, Die Kandidaten für Kantenrichtungen mit den Indexmengen {, }, {, 6}, {, }, {, 6} würden jeweils an der Ecke v ansetzen, werden aber von den anderen Restriktionen, die an dieser Ecke straff sind, sofort gestoppt (λ = ) und bilden deswegen keine echte Kante. (Die Kandidaten für Kantenrichtungen mit den Indexmengen {, } und {, } scheiden aus, sie gehören zu Verbindungsstücken zwischen je zwei unzulässigen Basislösungen.) Die -dimensionalen Seitenflächen lassen sich wie folgt beschreiben:

. Lösungen zur endlichen Erzeugung 9 Darstellung straff Zielfunktion ( ) conv(v,v,v ) 6 (,, ) conv (v,v ) + cone (z,z ),, ( ) conv (v,v ) + cone (z,z ),, ( ) conv (v,v ) + cone (z,z ) (,, ) conv (v ) + cone (z,z ),, ( ) conv (v ) + cone (z,z ), 6,

6 I: Polyederstruktur Lösung zur Aufgabe E...6 a) P = {x Ax b} = conv(v,...,v k ) + cone(z,...,z l ) mit Ecken v,...,v k und extremalen freien Richtungen z,...,z l. Es gibt v i, denn P ist spitz. Dabei ist cone(z,...,z l ) = rec(a) = {x Ax } Minimalpunkt eindeutig bestimmt v o.b.d.a. mit h T v < h T v i i. z i gilt h T z i >, denn h T z i < würde Minimalwert ausschließen (freie Richtung). h T z i = würde mit v +R + z i eine Halbgerade von Minimalpunkten erzeugen, denn h T (v +R + z i ) = h T v. Noch offen ist die Frage, ob es freie Richtungen mit h T d > gibt. Verlängere jetzt die z i zu z i, so dass gerade h T z i =. Dann gilt cone(z,...,z l ) H = conv(z,...,z l ). Wenn z,...,z l extremale freie Richtungen waren, folgt, dass z,...,z l Ecken von rec(a) H sind (extremale Punkte). Genau dann, wenn es solche Ecken gibt, gibt es auch freie Richtungen z i in rec(a) (d.h. P ist unbeschränkt). Das beweist a). b) Mit dem Eckenberechnungsprogramm kann man feststellen, ob das Polyeder {x Ax, h T x, h T x } Ecken (und damit zulässige Punkte) besitzt oder leer ist. Damit entscheidet man deshalb über die Existenz von freien Richtungen mit Einfluss auf die Zielfunktion h und somit über die Unbeschränktheit von P.

. Ergänzungsaufgaben zum Zerlegungssatz 6. Ergänzungsaufgaben zum Zerlegungssatz Aufgabe E... Geben Sie eine Zerlegung der Art (Q + C) L gemäß Zerlegungssatz an für: x + x x x x + x x x x x x + x x x + 6x x

6 I: Polyederstruktur.6 Lösungen zum Zerlegungssatz Lösung zur Aufgabe E... ) Linienraum = KernA Linienraum = 6 ) Kegel bestimmen: {x Ax } L mit L = {x (,,)x = } also x + x + x =, Ax x = x x einsetzen in Ax () x + x () x () x x () x x () x + x (6) x x () x, () + () x x x ; also gilt: x = () x, () x ; also gilt: x = x =, x =, wegen x = x x x = Kegel ist leer ) Bestimmung von Q; d.h. Ecken von {x Ax b} L bestimmen; wie oben x = x x einsetzen in Ax b

.6 Lösungen zum Zerlegungssatz 6 () x + x () x () x x () x x () x + x (6) x x ( ) ( ) () () : ( ) ( () () : je müssen erfüllt sein (x,x ) = (, ) verletzt () ) (x,x ) = (, ) verletzt (),(),(6) ( ) ( ) () () : (x,x ) = (,) 6 verletzt (),(6) ( ) ( ) () () : (x,x ) = (, ) verletzt (),(),(6) ( ) ( ) () (6) : (x,x ) = (, ) verletzt () ( ) ( ) () () : (x,x ) = ( 6, ) zulässig ( ) ( ) () () : (x,x ) = (, ) verletzt (),(),(6) ( ) ( ) () () : (x,x ) = (, ) zulässig ( ) ( ) () (6) : (x,x ) = (, ) verletzt (),() ( ) ( ) () () : (x,x ) = (, ) verletzt () ( ) ( ) () () : (x,x ) = (,) zulässig ( ) ( ) () (6) : (x,x ) = (, ) verletzt () ( ) ( ) () () : 9 (x,x ) = (, ) verletzt () ( ) ( ) () (6) : (x,x ) = (, ) verletzt ()