Thema: Logik: 2. Teil Übersicht logische Operationen Name in der Logik Symbol Umgangssprachlicher Name Negation (Verneinung) Nicht Konjunktion ^ Und Disjunktion v Oder Subjunktion (Implikation) Bijunktion (Äquivalenz) wenn..., dann... genau dann..., wenn... Negation (Verneinung) Die Negation einer Aussage A ist diejenige Aussage A, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist, und die genau dann falsch ist, wenn A wahr ist. Schreibweise: A Sprechweise: nicht A Wahrheitstabelle: A A 1 0 0 1 1
Bemerkung: Sprachlich einfach: Es ist nicht der Fall, dass Achtung: wird an geeigneter Stelle ein nicht eingefügt, muss genau geprüft werden, ob dann wirklich die Negation der Aussage entsteht Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein. Die Aussagen A und A können nicht gleichzeitig wahr sein. Konjunktion (Und) Eine Konjunktion ist eine zusammengesetzte Aussage, die die Wahrheit aller ihrer Teilaussagen behauptet. Schreibweise: A B Sprechweise: A und B Wahrheitstabelle: A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Die Aussage A B ist immer dann wahr, wenn sowohl A als auch B jeweils wahr sind. Andernfalls ist A B falsch. 2
Disjunktion (Oder bzw. nichtausschließendes Oder) Eine Disjunktion ist eine zusammengesetzte Aussage, die behauptet, dass mindestens eine ihrer Teilaussagen wahr ist. Schreibweise: A B Sprechweise: A oder B Wahrheitstabelle: A B A B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Die Aussage A B ist immer dann wahr, wenn mindestens eine der Teilaussagen A oder B wahr ist, bzw. wenn beide Aussagen wahr sind, andernfalls ist A B falsch. Bemerkung: Bei Oder muss man unterscheiden zwischen ausschließendem Oder im Sinne von entweder oder und dem nichtausschließenden Oder, welches wir hier behandeln In der Literatur wird auch das ausschließende Oder als Disjunktion bezeichnet, dann heißt das nichtausschließende Oder Adjunktion 3
Subjunktion (Implikation) (wenn dann) Die Subjunktion A B ist genau dann falsch, wenn A wahr und zugleich B falsch ist. In allen anderen Fällen ist die Subjunktion wahr. Schreibweise: A B Sprechweise: wenn A dann B Wahrheitstabelle: A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Die Aussage A B ist genau dann falsch, wenn A wahr und B falsch ist, andernfalls ist A B wahr. Eine Subjunktion drückt die hinreichende Bedingung aus: Sie sagt, dass die Wahrheit der einen Aussage eine hinreichende Bedingung für die Wahrheit der anderen Aussage ist. 4
Bemerkung: Die Festlegungen zu Schlüssen aus falschen Aussagen sind auf den ersten Blick nicht so rasch einzusehen. Hier ist zu bedenken, dass von einer falschen Aussage ausgehend durch logisch korrektes Schließen sowohl wahre als auch falsche Aussagen gewonnen werden können. Deshalb ist die Aussage wenn A, dann B immer wahr, falls A falsch ist. Wir erinnern uns, dass wir vom Inhalt der Aussagen absehen (abstrahieren) wollen, es interessiert uns nur der Wahrheitswert der Aussagen Verwenden wir die Sprechweise wenn dann, so müssen wir vom umgangssprachlichen Gebrauch des wenn dann völlig absehen und diese Formulierung als eine normierte Redewendung auffassen. Alternativ müsste man sprechen: A subjungiert B Bijunktion (Äquivalenz) (genau dann wenn) Die Bijunktion A B ist genau dann wahr, wenn A und B die gleichen Wahrheitswerte haben. Schreibweise: A B Sprechweise: A genau dann wenn B A genau dann, wenn B dann und nur dann A, wenn B 5
Wahrheitstabelle: A B A B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Eine Bijunktion drückt die hinreichende und notwendige Bedingung aus: Sie sagt also, dass eine Aussage A genau dann zutrifft, wenn eine Aussage B zutrifft. Wahrheitswerteverlauf, Tautologie In einer Wahrheitswertetabelle wird der Wahrheitswerteverlauf für (mehrere) Variablen festgehalten. Ebenso wie für Aussagen können wir auch für Aussageformen, d.h. für verknüpfte Aussagen, die Wahrheitswertetabellen betrachten. Die Tabellen zeigen den Wahrheitswerteverlauf für die Aussageform. So kann man beispielsweise überprüfen, ob zwei Aussageformen logisch gleichwertig sind. Ist dies der Fall, so erscheinen beim Vergleich der Ausdrücke Zeile für Zeile die gleichen Wahrheitswerte. Die Ausdrücke sind dann wahrheitswerteverlaufsgleich. 6
Beispiel: Vergleiche A B mit B A A B A B B A 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Die 3. und 4. Spalte sind wahrheitswerteverlaufsgleich. Eine Aussageform heißt allgemeingültig (Tautologie), wenn sie bei jeder Belegung aller Variablen mit Wahrheitswerten stets in eine wahre Aussage übergeht. Beispiele: Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten: A A A A A A 1 0 1 0 1 1 7
Gesetz vom ausgeschlossenen Widerspruch: ( A A ) A A A A ( A A ) 1 0 0 1 0 1 0 1 Gesetz der Identität: A A A A A 1 1 0 1 8