PN Einführung in die Physik für Chemiker Prof. J. Lipfert Lösungen zu Übungsblatt 2 WS 203/4 Lösungen zu Übungsblatt 2 Aufgabe Benzolring (Vektorrechnung. In einem rechtwinkligen (orthogonalen, karthesischen Koordinatensystem mit den Basisvektoren e x, e y und e z seien zwei Vektoren gegeben: a Addieren Sie folgende Vektoren und berechnen Sie den Betrag des Summenvektors: 2t t a = 2 ; b = 3 2 b Geben Sie die Lage der Kohlenstoffatome eines Benzolrings in karthesischen Koordinaten an. Der Koordinatenursprung liege im Zentrum des Moleküls und die Länge der Kohlenstoffverbindungen sei gleich. Wie groß ist die Entfernung eines Kohlenstoffatoms zum gegenüberliegenden Atom Lösung Aufgabe - Vektorrechnung a Aufgabe a Summenvektor & Betrag: s = a + t b = (a x + b x e x + (a y + b y e y + (a z + b z e z = 4 4 Betrag: s = 3 (s i 2 = i= s 2 x + s 2 y + s 2 z = ( t 2 + 4 2 + 4 2 = t 2 + 32 b Benzolring - Ein Weg wäre es, das Hexagon in 6 gleichseitige 3-Ecke zu teilen. Dementsprechend haben alle Seiten (der Dreiecke die Länge. Somit sitzen sich die Kohlenstoffatome jeweils 2 Längeneinhaten gegenüber.
Lage der Kohlenstoffatome: R = ( 0 R 4 = ( 0 ( ; R 2 = ; R 5 = 0, 5 0, 5 tan 60 ( 0, 5 0, 5 tan 60 ( ; R 3 = ; R 6 = 0, 5 0, 5 tan 60 ( 0, 5 0, 5 tan 60 Aufgabe 2 Fehlerrechnung. Vier Physiker haben vor ihrer Vermieterin die Stromkosten der letzten Vier Jahre zu verantworten: 2009: 5.448 kwh; 200 4.599 kwh; 20 4.644 kwh; 202 4.028 kwh a Berechnen Sie Mittelwert und Standardabweichung im Stromverbrauch b Was wäre ein systematischer und ein zufälliger Fehler bei der jährlichen Stromablesung? c Die Physiker wollen sich, für jedes Jahr, den durschnittlichen Energieverbrauch pro Monat berechnen. ( Energieverbrauch pro Monat = Gesamter Energieverbrauch des Jahres Der Meßfehler beim ablesen des Zählers beträgt kwh. Wie 2 pflanzt sich der Meßfehler fort? f = Hinweis: Formel für die Gaußsche Fehlerfortpflanzung ( f x x 2 +... + ( f x n x n 2 in diesem Fall also: f = ( f x x 2 Lösung Aufgabe 2 - Fehlerrechnung a Mittelwert & Standardabweichung 2
Mittelwert: < x >= N N (x i = (5.488+ +4.028 kwh = 4.689, 75 kwh = 4.690 kwh 4 i= Standardabweichung: < x > 2 = (4.690 kwh 2 = 25.496.00 kwh 2 < x 2 >= N (xi 2 = N 4 (5.4882 + + 4.028 2 kwh = 25.750.756 kwh i= σ = < x 2 > < x > 2 = 504 kwh b Systematische & zufällge Fehler Systematische Fehler: Diese Art von Fehlern sind einseitig gerichtet und im Prinzip immer ermittelbar (z.b.: der Fehler durch ein falsch geeichtes Lineal. Dementsprechend ein falsch geeichter Stromzähler. Wenn es wirklich darum geht herauszufinden wieviel Strom verbraucht wurde, so könnte der Nachbar, der sich angezapft hat, auch als systematischer Fehler erweisen. Zufälliger Fehler: Diese Art von Fehlern ist nich eindeutig gerichtet (streut bei Wiederhohlung und somit nicht ermittelbar (z.b.: der Fehler durch Schwankungen in der Armlänge bei Messungen an unterschiedlichen Tagen. In diesem Fall eher schlecht ermittelbar da sozusagen über ein Jahr gemittelt wird. Bei Betrachtung der Arbeit an Geräten o.ä. könnten z.b. Temperaturschwankungen eine Rolle spielen. c Fehlerfortpflanzung sei x der Jahresverbrauch an Strom f = ( f x x 2 f = 2 x f x = 2 f = ( 2 kwh2 = 2 kwh Im Vergleich zum tatsächlichen Stromverbrauch ist der Fehler vernachlässigbar. Die Nebenfächler verwenden in den Physik Praktika unter Rangelov jedoch die Rangelov sche Fehlerrundungsregel: Ein Wert wird nie genauer, deshalb wird ein Fehler immer zur nächsten Signifikaten Stelle aufgerundet. Das heisst: Auch wenn die Rechnung weniger ergibt, wird der Fehler hier auf kwh aufgerundet 3
Aufgabe 3 Der Collider im Keller. (Größenordnungen abschätzen und Einheitenumrechnung. Es stellt sich heraus dass die Physiker einen Teilchenbeschleuniger im Keller gebaut haben. Dazu haben Sie einen kreisförmigen Tunnel mit einem Durchmesser von 5 km gebaut. Unter der Annahme dass der Tunnel im Querschnitt kreisförmig ist, ergibt sich eine fiktive (gerade Tunnellänge von U = πd = 5, 7 km a Wie lang ist der Tunnel in Meilen, Yard, Fuß? b Wie viele Kubikmeter(m 3, Kubikkilometer(km 3 Gestein müssen beim Bohren des Tunnels entfernt werden, ausgedrückt in Zehnerpotenzen? c Wie viele Gramm, Unzen (oz., Pfund, Tonnen wiegt das Gestein bei einer durchschnittlichen Dichte von 2700 kg m 3? d Zurück zu den Physikern: Einer der Mitbewohner ist Vietnamese, da er knapp bei Kasse ist, muss er sich das Geld von seinem Onkel leihen. Wieviel Vietnamesische Dong muss sein Onkel aufbringen? (Umrechnungskurs: 28863.48 VND Euro Nachtrag: Es ist möglich, unter folgenden Annahmen, einen Radius für den Tunnel an sich zu erhalten: Bei den angegebenen Durchmesser von 5 km handelt es sich um den Außendurchmesser des Collider Ring die angegebene Länge bezieht sich auf die gestrichelte Linie (siehe Grafik Durch Rechnung über den Umfang erhält man nun Radien r und r 2 und somit auch r welches dann dem Radius des Tunnels entspricht Lösung Aufgabe 3 - Größenordnung und Einheitenumrechnung a Einheiten Umrechnen Meile = 609,3 m Yard = 0,944 m Füß = 0,3048 m 4
5,7km = 5, 7 km,6093 5,7km = 5, 7 km 000 0,944 Meilen = 9,756 Meilen km Yard = 769,729 Yard km 5,7km = 5, 7 km 000 Fuß = 5509,86 Fuß 0,3048 km b Volumen V = π r 2 L = π r 2 5, 7 km = (49, 3 r 2 km 3 km 3 = km km km = 000 m 000 m 000 m = 0 9 m 3 Bsp.: Sei r = 0 m V = 49, 3 km (0, 0 km 2 = 0, 493 km 3 = 493 0 6 m 3 c Dichte und Gewicht Gewicht: 2700 kg ; M = V ρ = 493 0 6 m 3 2700 kg m 3 m 3 Pfund.33 0 2 Pfund kg = 2, 93 0 2 Pfund 0,4536 kg Tonnen.33 0 2 kg =.33 0 9 t =.33 0 2 kg Unzen.33 0 2 kg =.33 0 5 g =.33 0 5 g 28,3495 oz = 4, 69 03 oz Gramm:.33 0 2 kg =.33 0 2 kg 000 g kg =.33 05 g d Der Onkel aus Vietnam - Aufgabe fällt aus, da kein Preis genannt Aufgabe 4 Bewegung in einer Dimension. Im untenstehenden Graph ist ein Weg(s-Zeit(t Kurve dargestellt. a Zeichnen sie schematisch die Geschwindigkeit(v-Zeit(t Kurve und die Beschleunigung(a- Zeit(t Kurve. b An welchen Stellen gibt es Probleme? Warum? c Ordnen Sie den vier Bereichen die Begriffe Ruhe, gleichförmige Bewegung, gleichförmig beschleunigte Bewegung und gleichmäßig abnehmende Bewegung zu 5
Lösung Aufgabe 4 - Bewegung in einer Dimension a Zeichen von Geschwindigkeit(v-Zeit(t Kurve und der Beschleunigung(a-Zeit(t Kurve b Probleme und deren Ursprung Probleme tauchen an den Stellen auf, an denen die Weg(s-Zeit(t Kurve Knicke aufweist, bzw. an denen die Geschwindigkeit(v-Zeit(t Kurve unstetig ist. Hier hat man zwei unterschiedliche Geschwindigkeiten zum selben Zeitpunkt. Dies ist physikalisch unsinnig! c Begriffe zuordnen: Ruhe = A gleichförmige Bewegung = D beschleunigte Bewegung = C gleichmäßig abnehmende Bewegung = B 6