4 Differentialrechnung in einer Variablen

4 Dierentialrecnung in einer Variablen Die Ininitesimalrecnung ist ein weiteres großes analytisces Konzept, one das moderne Naturwissenscaten undenkbar sind. Die Entwicklung erolgte unabängig voneinander durc Gottried Wilelm von Leibniz (1646-1716, links) und Sir Isaac Newton (1643-1727, rects). Die unabängige Leistung gilt eute als gesicert, damals allerdings kam es zum bekanntesten Prioritätsstreit der Wissenscatsgescicte. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 229 4.1 Dierenzierbarkeit Grundidee Diese ist ser einac: Ersetzt man eine Funktion (x) nae einer Stelle x 0 durc ire Tangente t(x), so mact man nae x 0 nur kleine Feler. t x 0 Die Tangente ist dabei als lineare Funktion viel leicter zu andaben, als die Funktion selbst. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 230 Deinition 4.1 (Erste Ableitung). Sei : D R eine reelle Funktion und x 0 D ein innerer Punkt von D. Dann eißt dierenzierbar an der Stelle x 0, wenn der Grenzwert (x) (x 0 ) (x 0 + ) (x 0 ) (x 0 ) := lim = lim x x 0 x x 0 0 existiert. (x 0 ) eißt erste Ableitung von an der Stelle x 0. Ist an jeder Stelle x 0 M D dierenzierbar, so eißt in M dierenzierbar. Man nennt die Funktion : M R, x (x), dann die erste Ableitung von. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 231

Geometrisce Interpretation (x 0+) (x 0) t(x) s(x) (x) s(x) = (x 0 )+ (x 0+) (x 0 ) (x x 0 ) }{{} 0 t(x) = (x 0 ) + (x 0 )(x x 0 ) x 0 x 0 + Für 0 get die Sekante s(x) durc (x 0, (x 0 )) und (x 0 +, (x 0 + )) in eine Tangente t(x) über. Die erste Ableitung (x 0 ) ist also der Anstieg der Tangente t an im Punkt x 0. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 232 Ist zu einer Funktion die erste Ableitung in x 0 ebenalls dierenzierbar, so eißt (x 0 ) := ( ) (x 0 ) die zweite Ableitung von an der Stelle x 0. Entsprecend wird (ür n N) die n-te Ableitung (n) (x 0 ) = ( (n 1) ) (x 0 ) von an der Stelle x 0 deiniert. (Dabei ist (0) (x 0 ) := (x 0 ) zu setzen.) Notation: Für die ersten drei Ableitungen screibt man, und. Ab n = 4 screibt man zumeist (n). Zudem sind in der Pysik auc (t) und (t) ür die ersten zwei Ableitungen üblic, wenn das Argument t eine Zeit darstellt. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 233 Leibniz-Notation Au Leibniz get die olgende Screibweise ür Ableitungen zurück: (x 0 ) = d dx (x 0) = d dx (x 0), (x 0 ) = d2 dx 2 (x 0) = d2 dx 2 (x 0) = d dx (x 0),. (n) (x 0 ) = dn dx n (x 0) = dn dx n (x 0) = d (n 1) dx (x 0). Diese Screibweise ist noc eute weit verbreitet, da man damit mance Recenregeln (z. B. Kettenregel) ser eingängig assen kann, und die Variable, nac der man dierenziert, eindeutig gekennzeicnet ist. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 234

Leibniz atte damals die vage Vorstellung, dass sic die erste Ableitung (x 0 ) als Quotient ininitesimal kleiner Elemente dy und dx screiben lässt. Er betractete dazu den Dierenzenquotienten y x = y y 0 x x 0 = (x) (x 0) x x 0 und macte gedanklic die Größen y und x unendlic klein. In Anlenung an den Dierenzenquotienten verwendete er ür die erste Ableitung den Ausdruck dy dx. Die lediglic ormale Quotientenorm der Leibniz-Notation lässt sic mit dem Dierentialbegri (siee später) matematisc unterlegen. Mancmal nennt man die Ableitung daer auc Dierentialquotient. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 235 Beispiele Die konstante Funktion 1 (x) = c (c R) ist dierenzierbar mit 1 (x) = 0, denn 1 (x + ) 1 (x) = c c = 0 0 ( 0). Die Funktion 2 (x) = ax (a R) ist dierenzierbar mit 2 (x) = a, denn 2 (x + ) 2 (x) a(x + ) ax = = a = a a ( 0). Die Funktion 3 (x) = x 2 ist dierenzierbar mit 3 (x) = 2x, denn 3 (x+) 3 (x) = (x + )2 x 2 = 2x+2 = 2x + 2x ( 0). Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 236 Weitere Beispiele One Beweis geben wir ier noc einige weitere Funktionen mit iren Ableitungen an: Für 1 (x) = x n (n N) gilt 1 (x) = nxn 1. Für 2 (x) = e x gilt 2 (x) = 2(x) = e x. Für 3 (x) = sin x gilt 3 (x) = cos x. Für 4 (x) = cos x gilt 4 (x) = sin x. Mit Hile der Ableitungsdeinition bestimme man die erste Ableitung von (x) = 1 x. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 237

Beispiel ür eine nict dierenzierbare Funktion Die Funktion (x) = x ist in x 0 = 0 nict dierenzierbar, denn (0+) (0) lim 0+ lim 0 = lim 0+ 0 = 1, aber (0+) (0) 0 = lim 0 = 1 1. Der Dierenzenquotient besitzt also keinen Grenzwert ür 0. Der bei x 0 = 0 autretende Knick ist typisc ür Funktionen, die stetig, aber nict dierenzierbar sind. Es ist oensictlic, dass man in diesem Punkt keine eindeutig bestimmte Tangente inden kann. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 238 Bezug zur Stetigkeit Satz 4.2. Ist : D R in x 0 D dierenzierbar, dann ist in x 0 auc stetig. Beweisidee: (x) (x 0 ) = (x) (x 0) x x 0 } {{ } (x 0) (x x 0 ) 0 ( 0). }{{} 0 Actung: Wie das Beispiel (x) = x zeigt, gibt es ser wol stetige Funktionen, die nict dierenzierbar sind. Die Umkerung von Satz 4.2 ist also alsc! Dierenzierbarkeit ist somit eine stärkere Eigenscat als Stetigkeit. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 239 Präzisierung des Linearisierungsgedankens Wir wollen noc einmal den Bezug der Funktion zu irer Tangente t nae x 0 augreien. Dabei ilt olgende alternative Carakterisierung der Dierenzierbarkeit: Satz 4.3. Eine reelle Funktion : D R ist genau dann in x 0 D dierenzierbar, wenn es eine Zal a R und eine Funktion ϕ : D R gibt mit (x) = (x 0 ) + a(x x 0 ) + ϕ(x) (1) und ϕ(x) x x 0 0 ür x x 0. In diesem Fall gilt a = (x 0 ). Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 240

Mit der Tangentenunktion t(x) = (x 0 ) + (x 0 )(x x 0 ) liest sic (1) ür eine dierenzierbare Funktion als ϕ(x) (x) = t(x) + ϕ(x) mit 0 ür x x 0. x x 0 Grob gesprocen: Funktion = Tangente + Restterm, wobei der Restterm ür x x 0 scneller als linear gegen Null get. Visualisierung: t ϕ(x) x 0 x Überzeugen Sie sic, dass mit ϕ(x) x x 0 0 erst rect ϕ(x) 0 ür x x 0 gilt. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 241 4.2 Dierentiationsregeln Satz 4.4 (Regeln ür die Ableitung). Sind, g : D R dierenzierbar in x 0 D, dann sind auc c(c R), ± g, g und /g (alls g(x 0 ) 0) in x 0 dierenzierbar. Dabei gelten olgende Regeln: (c) (x 0 ) = c (x 0 ) (ür c R), ( ± g) (x 0 ) = (x 0 ) ± g (x 0 ) (Summenregel), (g) (x 0 ) = (x 0 )g(x 0 ) + (x 0 )g (x 0 ) (Produktregel), ( ) g (x0 ) = (x 0)g(x 0) (x 0)g (x 0) g(x 0) (Quotientenregel). 2 Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 242 Beispiele Finden Sie die Ableitungen von 1 (x) = 7x 2 + 4x 8, 2 (x) = (x + 1)e x, 3 (x) = ex x, 4 (x) = 1 x n ür n N, ausgeend von (x n ) = nx n 1. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 243

Verkettete Funktionen Satz 4.5 (Kettenregel). Ist : D R in x 0 D dierenzierbar und g : D g R in (x 0 ) D g dierenzierbar, dann ist (g ) ebenalls in x 0 dierenzierbar mit (g ) (x 0 ) = g ((x 0 )) (x 0 ). (2) Die Multiplikation mit (x 0 ) in (2) nennt man Nacdierenzieren. Außerdem sind ür g und die Begrie äußere und innere Ableitung gebräuclic. In Leibniz-Notation screibt man ür (2) mitunter kurz dg dx = dg d d dx. Man bestimme die Ableitung von (x) = e 3x2 +1. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 244 Dierentiation von Umkerunktionen Satz 4.6. Die reelle Funktion : D W sei in x 0 D dierenzierbar und besitze die Umkerunktion 1 : W D. Ist (x 0 ) 0 und ist 1 stetig in (x 0 ), dann ist 1 in (x 0 ) dierenzierbar mit ( 1 ) ((x 0 )) = 1 (x 0 ) bzw. ( 1 ) (y 0 ) = 1 (x 0 ) ür y 0 = (x 0 ). Leibniz-Notation: dx dy = 1 dy dx ür y = (x) bzw. x = 1 (y). Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 245 Beispiel Für y = (x) = sin x, x ( π 2, π 2 ), gilt (x) = cos x 0. Desweiteren ist 1 (y) = arcsin(y) stetig. Damit gilt nac Satz 4.6: arcsin (y) = 1 sin (x) = 1 cos x = 1 1 sin 2 x = 1 1 y 2. Bestimmen Sie die au diese Weise die Ableitungen von 1 (x) = ln x und 2 (x) = x. Wie lässt sic die Ableitung einer beliebigen Potenzunktion (x) = x r (x > 0, r R) bestimmen? Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 246

Logaritmisces Dierenzieren Die Kettenregel lieert ür positive dierenzierbare Funktionen die Gleicung (ln((x))) = (x) (x) bzw. (x) = (ln((x))) (x). Dieser Trick erleictert mancmal die Berecnung der Ableitung. Beispiel: Für (x) = x x (x > 0) gilt (x x ) = (ln(x x )) x x = (x ln x) x x = (1 + ln x)x x. Man bestimme die Ableitung der Funktion (x) = x 1 (x 2)(x 3). Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 247 4.3 Ableitungen elementarer Funktionen Mit Hile von Deinition und der Regeln aus Abscnitt 4.2 lassen sic zu vielen gebräuclicen Funktionen Ableitungen gewinnen. Die olgenden Tabellen (betrit vor allem diese Seite) sollten Sie am besten auswendig lernen. Potenz- und Exponentialunktionen, Logaritmen (x) x r (r R) e x ln x a x (a > 0) log a (x) (x) rx r 1 e x 1 x a x ln a 1 x ln a Trigonometrisce Funktionen (x) sin x cos x tan x cot x (x) cos x sin x 1 cos 2 x = 1 + tan2 x 1 sin 2 x Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 248 Arkusunktionen (x) arcsin x arccos x arctan x arccot x (x) 1 1 x 2 1 1 x 2 1 1+x 2 1 1+x 2 Hyperbelunktionen (x) sin x cos x tan x cot x (x) cos x sin x 1 cos 2 x Areaunktionen 1 sin 2 x (x) arsin x arcos x artan x arcot x (x) 1 x 2 +1 1, x > 1 1 1 x, x < 1, x > 1 2 1 1 x 2 1 x 2 Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 249

4.4 Extrema, Wacstum und Krümmung dierenzierbarer Funktionen Mit der Dierentialrecnung stet uns nun ein ser mäctiges Instrument zur Untersucung reeller Funktionen zur Verügung. Wir beginnen mit etwas Begrisbildung. Deinition 4.7 (Lokale Extrema). Sei : D R eine reelle Funktion. Ein Punkt x 0 D eißt lokales Maximum [lokales Minimum] von, wenn es ein ε > 0 gibt, so dass (x 0 ) (x) [(x 0 ) (x)] ür alle x D (x 0 ε, x 0 + ε). (3) x 0 eißt lokales Extremum von, wenn x 0 ein lokales Maximum oder ein lokales Minimum von ist. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 250 Bei einem lokalen Extremum x 0 betractet man also nur das Veralten der Funktion ser nae bei x 0. Das Gegenstück sind globale Extrema, bei denen die Bezieung (x 0 ) (x) bzw. (x 0 ) (x) aus (3) ür alle x D gelten muss. Zeicnen Sie die Grapen der Funktionen : R R, (x) = 2 cos 2x, g : [0, ) R, g(x) = 1 1+x cos x (qualitativ reict), und macen Sie sic den Unterscied zwiscen global und lokal auc grapisc klar. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 251 Bei dierenzierbaren Funktionen ist die Suce nac lokalen Extrema eer einac: Satz 4.8 (Notwendige Bedingung ür lokale Extrema). Ist x 0 ein lokales Extremum der dierenzierbaren Funktion : (a, b) R, dann gilt (x 0 ) = 0. (4) Mit Satz 4.8 kann man also die Kandidaten inden, die ür ein lokales Extremum überaupt in Frage kommen. Nur ür diese wird man dann einen konkreten Nacweis versucen. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 252

Grapisce Darstellung t x 0 An einem Extremalstelle x 0 besitzt die Funktion aus Satz 4.8 eine orizontale Tangente. Finden Sie die Beweisidee von Satz 4.8. Betracten Sie daür das Vorzeicen des Dierenzenquotienten in x 0 ür > 0 und < 0. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 253 Hat man mittels Satz 4.8 Kandidaten ür lokale Extrema geunden, prüt man äuig olgende Bedingung: Satz 4.9 (Hinreicende Bedingung ür lokale Extrema). Sei : (a, b) R zweimal dierenzierbar mit (x 0 ) = 0 ür ein x 0 (a, b). Dann ist x 0 Stelle eines lokalen Minimums, wenn (x 0 ) > 0, Stelle eines lokalen Maximums, wenn (x 0 ) < 0. Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von (x) = x 2 e x. Analysieren Sie das Veralten von (x) = x n (n = 2, 5, 6) im Hinblick au die Sätze 4.8 und 4.9 und das tatsäclice Autreten von Extrema. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 254 Der Mittelwertsatz Wir aren mit einem Ergebnis ort, das ür den Anwender eer den Carakter eines Lemmas at, aber an vielen Stellen von zentraler Wictigkeit ist. Wir beginnen mit einem einacen Spezialall: Satz 4.10 (von Rolle ). Ist : [a, b] R stetig und in (a, b) dierenzierbar, und gilt (a) = (b), dann gibt es ein ξ (a, b) mit (ξ) = 0. ) Micel Rolle, rz. Matematiker, 1652-1719 Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 255

Grapisce Darstellung a ξ b Beweisidee nimmt au [a, b] Maximum und Minimum an. (Warum?) Liegen Maximum und Minimum au dem Intervallrand, so ist (x) = 0 au [a, b], d,ḣ (x) = 0 ür alle x (a, b) Ansonsten gibt es ein lokales Extremum ξ (a, b). Für dieses gilt (ξ) = 0 nac Satz 4.8. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 256 Die Voraussetzung (a) = (b) = 0 kann durc olgende Modiikation enternt werden: Satz 4.11 (Mittelwertsatz). Ist : [a, b] R stetig und in (a, b) dierenzierbar, dann gibt es ein ξ (a, b) mit (b) (a) (ξ) =. (5) b a Beweisidee: Anwendung des Satzes von Rolle au ( (b) (a) F (x) := (x) (a) + b a ) (x a) } {{ } Sekante. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 257 Grapisce Darstellung (b) s (a) a ξ ξ b Die Funktion nimmt an mindestens einer Zwiscenstelle ξ den Anstieg der Sekante s durc (a, (a)) und (b, (b)) an. Hat ein Autoarer, der eine Tempo-30-Zone mit durcscnittlic 38 km/ durcärt, eine Ordnungswidrigkeit begangen? Lässt sic gg. der exakte Ort der Tempoüberscreitung bestimmen? Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 258

Monotonie Mit dem Mittelwertsatz lässt sic soort ein Ergebnis zur Bestimmung des Monotonieveraltens einer dierenzierbaren Funktion erleiten: Folgerung 4.12. Sei : [a, b] R stetig und dierenzierbar in (a,b). Ist (x) = 0 ür alle x (a, b), so ist konstant. Ist (x) 0 (bzw. (x) 0) ür alle x (a, b), so ist monoton wacsend (bzw. allend). Ist (x) > 0 (bzw. (x) < 0) ür alle x (a, b), so ist streng monoton wacsend (bzw. allend). Füren Sie den Beweis ür einen Punkt Irer Wal aus. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 259 Ein altes Problem neu diskutiert Die Funktion (x) = x 3 ist, wie in Kapitel 3 diskutiert, streng monoton wacsend, da aus x < y immer x 3 < y 3 olgt. Versucen Sie sic an einem Nacweis mittels Folgerung 4.12. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 260 Krümmungsveralten Deinition 4.13. Eine reelle Funktion : D R eißt konvex [konkav] im Intervall I D, wenn ür alle x, y I und alle λ (0, 1) gilt. (λx + (1 λ)y) λ(x) + (1 λ)(y) [(λx + (1 λ)y) λ(x) + (1 λ)(y)] (6) Veranscaulicung: Die Sekante durc (x, (x)) und (y, (y)) verläut in [x, y] oberalb [unteralb] des Grapen von. Macen Sie sic klar, warum diese Veranscaulicung korrekt ist. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 261

Grapisce Darstellung Bild einer konvexen (links) und einer konkaven Funktion (rects). Die bei Bewegung von links nac rects autretende Links- und Rectskrümmung ist typisc; insbesondere wenn in (6) die strengen Ungleicungsrelationen gelten. Finden Sie ein Beispiel ür eine au R konvexe [konkave] Funktion. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 262 Wie olgende Sätze zeigen, wird die Untersucung der Krümmung leicter, wenn man Ableitungen zur Verügung at. Satz 4.14. Ist die Funktion : (a, b) R dierenzierbar, so deinieren wir ür jedes z (a, b) die Tangentenunktion t z : x (z) + (z)(x z). ist in (a, b) genau dann konvex [konkav], wenn (x) t z (x) [(x) t z (x)] ür alle z (a, b) und alle x (a, b) gilt. Anscauung: Jede Tangente an verläut unteralb [oberalb] des Grapen von. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 263 Satz 4.15. Ist die Funktion : (a, b) R dierenzierbar, dann ist genau dann konvex [konkav] in (a, b), wenn in (a, b) monoton wacsend [allend] ist. Ist zweimal dierenzierbar, dann ist in (a, b) genau dann konvex [konkav], wenn (x) 0 [ (x) 0] ür alle x (a, b) gilt. Untersucen Sie das Krümmungsveralten der Funktionen 1 (x) = x n (n N), 2 (x) = e x, 3 (x) = ln x und 4 (x) = sin x mit Hile von Satz 4.15. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 264

Grapisce Darstellung t z Situation der Sätze 4.14 und 4.15 am Beispiel einer konvexen (links) und einer konkaven Funktion (rects). z Macen Sie sic die Aussagen von Satz 4.14 und 4.15 noc einmal anand der Bilder plausibel. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 265 Deinition 4.16 (Wende- und Sattelpunkt). Ein Punkt (x 0, (x 0 )) des Grapen, an dem sic das Krümmungsveralten einer Funktion ändert, eißt Wendepunkt von. Die Stelle x 0 eißt Wendestelle. Die Tangente in einem Wendepunkt eißt Wendetangente. Einen Wendepunkt mit orizontaler Tangente nennt man auc Sattelpunkt. (x) = sin x mit Wendepunkt (0, 0) g(x) = x 3 mit Sattelpunkt (0, 0) Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 266 Ist Dierenzierbarkeit gegeben, ist die Bestimmung von Wendepunkten wieder einacer: Satz 4.17. Ist : (a, b) R zweimal dierenzierbar und (x 0, (x 0 ) ein Wendepunkt von, dann ist (x 0 ) = 0. Ist : (a, b) R dreimal dierenzierbar und gilt ür ein x 0 (a, b) sowol (x 0 ) = 0 als auc (x 0 ) 0, dann ist (x 0, (x 0 )) ein Wendepunkt von. Man bestätige das Vorliegen eines Wende-/Sattelpunkts in den Beispielen von Seite 266 mit Hile von Satz 4.17. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 267

Zusammenassende grapisce Darstellung 3 2 1 konkav konvex 0 1 2 monoton monoton monoton wacsend allend wacsend 3 0 1 2 3 4 5 Dargestellt ist eine Funktion, ire Ableitungen und, sowie die resultierenden Monotonie- und Krümmungsbereice. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 268 4.5 Versciedene Anwendungen 4.5.1 Kurvendiskussion Eine Kurvendiskussion setzt sic aus den olgenden Teilaugaben zusammen: Deinitionsbereic. Au welcer (möglicst großen) Menge D ist die Funktion deiniert? Wertebereic. Welce Werte kann (x) (x D ) annemen? Symmetrien. Ist gerade oder ungerade? Nullstellen. Löse (x) = 0. Extrema. Bestimme die Lösungen x E von (x) = 0. Ist (x E ) > 0, dann ist (x E, (x E )) ein lokales Minimum von. Ist (x E ) < 0, dann ist (x E, (x E )) ein lokales Maximum von. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 269 Wendepunkte. Bestimme die Lösungen x W von (x) = 0. Ist (x W ) 0, dann ist (x W, (x W )) ein Wendepunkt von. Veralten an Polstellen. Ist eine rationale Funktion, bestimme die Pole x P von (Nullstellen des Nennerpolynoms) und berecne lim (x) sowie lim (x). x x P x x P + Veralten im Unendlicen. Berecne lim (x) sowie x lim (x). x Monotoniebereice. Untersuce Vorzeicen von (x). Krümmungsveralten. Untersuce Vorzeicen von (x). Grapisce Darstellung. Füren Sie eine Kurvendiskussion ür (x) = e x2 durc. Erinnern Sie sic an einen Geldscein, au dem der Funktionsgrap zu inden war? Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 270

4.5.2 Newton-Veraren In Abscnitt 3.3 atten wir das Intervallalbierungsveraren zur Lösung von Gleicungen der Form (x) = 0 (7) kennengelernt. Mit dem Newton-Veraren beandeln wir nun ein Veraren ür dierenzierbare Funktionen, welces im Allgemeinen wesentlic scneller ist. Ziel ist die Bestimmung einer Lösung x von (7) ausgeend von einem Startwert x 0, der möglicst in der Näe von x liegt. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 271 Idee: x 0 x 1 x 2 x Man berecnet im n ten Scritt die Nullstelle x n der Tangente t an in x n 1. Diese wird als neue Näerung ür x verwendet. Natürlic wird man zu Beginn einen Startwert x 0 wälen müssen. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 272 Herleitung der Verarensvorscrit t x n 1 x n x Wir stellen die Bedingung t(x n ) = (x n 1 ) + (x n 1 )(x n x n 1 )! = 0. Umstellen nac x n ürt au die Verarensvorscrit des Newton-Verarens: x n = x n 1 (x n 1) (x n 1 ) (n = 1, 2,...). (8) Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 273

Numerisces Experiment Für das Beispiel (x) = x + e x aus Abscnitt 3.3 lieert (8) die Vorscrit x n = x n 1 x n 1 + e xn 1 1 + e xn 1. Ausgeend vom Startwert x 0 = 0 lieert MATLAB olgende Werte: n x n (x n) 1 0.500000000000000 1.06 10 1 2 0.566311003197218 1.30 10 3 3 0.567143165034862 1.96 10 7 4 0.567143290409781 4.55 10 15 5 0.567143290409784 1.11 10 16 Für 14 Nackommastellen benötigt man gerade 4 Scritte. Das Intervallalbierungsveraren ätte dagegen 48 Scritte gebrauct! Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 274 Konvergenzeigenscaten Wenn das Newton-Veraren konvergiert, dann wesentlic scneller als das Intervallalbierungsveraren (Faustormel: in jedem Scritt Verdopplung der Anzal korrekter Dezimalstellen). Voraussetzung ür Konvergenz ist aber, dass der Startwert x 0 genügend nae bei x liegt ( lokal konvergentes Veraren ). Ist : R R dagegen zweimal stetig dierenzierbar (d.. ist stetig) sowie konvex, und besitzt eine reelle Nullstelle, so konvergiert die Newton Folge ür jeden Startwert x 0 mit (x 0 ) 0. Man mace sic die letzten beiden Aussagen an den Beispielen 1 (x) = x 2 1 und 2 (x) = x 2 e x grapisc klar. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 275 4.5.3 Die Regeln von Bernoulli-l Hospital (x) Bei der Berecnung von Grenzwerten der Form lim x ξ g(x) waren wir bei unbestimmten Ausdrücken wie 0 0 oder au Probleme gestoßen. Solce Probleme werden äuig leicter, wenn Dierenzierbarkeit gegeben ist. Das betreende Ergebnis wurde von Joann Bernoulli (1667-1748, links) entwickelt, und vom Marquis de l Hospital (1661-1704, rects) im ersten Lerbuc der Dierentialrecnung (1696) veröentlict. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 276

Satz 4.18 (Regeln von Bernoulli-l Hospital). Seien, g : (a, b) R dierenzierbare Funktionen mit g (x) 0 ür alle x (a, b) und sei entweder lim (x) = lim g(x) = 0 oder x b x b g(x) = ± lim x b Dann gilt (x) = lim x b (x) lim x b g(x) = lim (x) x b g (x), wenn der zweite Grenzwert existiert. Hierbei ist b = erlaubt. Entsprecende Aussagen gelten ür rectsseitige und beidseitige Grenzwerte. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 277 Plausibilitätsargument zu Satz 4.18 Nae einer Stelle x 0 mit (x 0 ) = g(x 0 ) = 0 gilt (x) (x 0 )(x x 0 ) und g(x) g (x 0 )(x x 0 ). Damit also (x) g(x) (x 0) g (x. 0) Beispiele sin x cos x lim x 0 x = lim x 0 1 = 1, lim x x 3 exp( x) = lim x 3x 2 exp( x) = lim x 6x exp( x) = lim 6 x exp( x) =0. x sin(x) e Man berecne die Grenzwerte lim x 0 x sin(x) und lim αx x x ür α > 0. e Wie kann man aus letzterem einem Aussage über lim αx x ür x β α, β > 0 gewinnen? Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 278 Anmerkung Die Bedeutung der l Hospitalscen Regeln wird vom Anänger ot überscätzt und endet in nervenaureibenden Recnungen one Ergebnis. Betracten Sie dazu zum Beispiel e x e x lim x e x + e x ( 1 e 2x = lim x 1 + e 2x = 1 ). Häuig ist es günstiger, bei der Grenzwertberecnung ür unbestimmte Ausdrücke wie 0 0 oder au Potenzreien zurückzugreien. Doc diese Betractungen verscieben wir in das Modul HM 2. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 279

4.5.4 Totales Dierential und Felerortplanzung Wir kommen noc einmal au die Leibniz-Screibweise y (x 0 ) = dy dx (x 0) zurück und wollen die Ausdrücke dx und dy näer assen. Deinition 4.19 (Totales Dierential). Sei : D R eine in x 0 dierenzierbare Funktion. Für eine beliebige Zal dx = x x 0 eißt totales Dierential von bei x 0. dy := (x 0 ) dx = (x 0 )(x x 0 ) Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 280 Geometrisce Deutung (x) (x 0) dx dy y x 0 x dy ist die Änderung der Funktionswerte der Tangente bei Änderung des Arguments um dx. Idee ür Felerortplanzung Approximiert man nae x 0 durc die Tangente, so gilt näerungsweise (x) (x 0 ) =: y dy = (x 0 ) dx. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 281 Praktisce Anwendung In Experimenten ist äuig der Einluss des Felers x einer Messgröße x au den Feler y einer berecneten Zielgröße y = (x) von Interesse. Mit dem totalen Dierential und der eben bescriebenen Idee ergibt sic die Näerungsormel y (x) x. Durc Messung der Parallaxe p eines Fixsterns (in ) lässt sic mittels r(p) = 1/p der Abstand des Sterns zu Erde errecnen (in Pc; 1 Pc 3.262 ly). Die erste Parallaxe wurde 1838 am Stern 61 Cyg von F. W. Bessel mit p = (0.3483 ± 0.0095) gemessen. Welcer Abstand zur Erde ergibt sic? Wie genau ist das Ergebnis? Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 282

4.6 Der Satz von Taylor Mit der ersten Ableitung waren wir in der Lage, Funktionen nae einer Stelle x 0 linear zu approximieren. Statt linearer Funktionen kann man auc Polynome öerer Ordnung verwenden und damit gg. noc bessere Ergebnisse erreicen. Der betreende Satz trägt den Namen des engliscen Matematikers Brook Taylor (1685-1731). Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 283 Illustration der Idee am Beispiel Die Funktion (x) = cos x (blau) lässt sic nae x 0 = 0 durc die Tangente t(x) = 1 approximieren (grün). Besser ist jedoc die Approximation durc T 2 (x) = 1 1 2 x2 (rot). Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 284 Satz 4.20 (Satz von Taylor). Sei : I R eine au dem oenen Intervall I (n + 1) mal dierenzierbare Funktion; x 0, x I. Dann gibt es eine Zal ξ zwiscen x und x 0, so dass (x) = T n (x) + R n (x) mit dem Taylor-Polynom n ter Ordnung T n(x) = n k=0 (k) (x 0) (x x 0) k k! = (x 0)+ (x 0)(x x 0)+ (x 0) 2 und dem Lagrangescen Restglied R n(x) = (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x0)n+1. (x x 0) 2 +...+ (n) (x 0) (x x 0) n n! Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 285

Beispiel Für (x) = sin x und x 0 = 0 gilt (x) = cos x, (x) = sin x, (x) = cos x, (4) =, (5) =,... Somit ergibt sic (x 0 ) = 0, (x 0 ) = 1, (x 0 ) = 0, (x 0 ) = 1, (4) (x 0 ) = 0,... Die ersten 6 Taylor-Polynome lauten also T 1 (x) = 0 + 1(x 0) = x, T 2 (x) = 0 + 1(x 0) + 0 2 (x 0)2 = x, T 3 (x) = 0 + 1(x 0) + 0 2 (x 0)2 1 6 (x 0)3 = x 1 6 x3, T 4 (x) = x 1 6 x3, T 5 (x) = T 6 (x) = x 1 6 x3 + 1 120 x5. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 286 Bild zum Beispiel: (x) = sin x (blau) mit den Taylorpolynomen T 1 (x) = T 2 (x) (grün), T 3 (x) = T 4 (x) (rot) und T 5 (x) = T 6 (x) (türkis) im Entwicklungspunkt x 0 = 0. Scätzen Sie den relativen Feler sin x x sin x der Pysiker-Näerung sin x x ( x klein) ür x < 0.1 mit dem Lagrangescen Restglied ab. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 287 Taylor-Reien Verält sic das Restglied gutartig, so approximieren die Taylorpolynome T n die Funktion mit größer werdendem n nae x 0 immer besser. Im günstigsten Fall lässt sic in einer Umgebung von x 0 durc eine Taylor-Reie darstellen: (x) = n=0 (n) (x 0 ) (x x 0 ) n ür alle x mit x x 0 < ε. n! Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 288

Wictige Taylor Reien: (1 x) 1 x n x < 1 arctan(x) n=0 ( 1) n x 2n+1 2n + 1 n=0 x 1 exp(x) n=0 x n n! x R sin(x) x 2n+1 (2n + 1)! n=0 x R sin(x) ( 1) n x 2n+1 n=0 (2n + 1)! x R cos(x) x 2n (2n)! n=0 x R cos(x) ( 1) n x 2n n=0 (2n)! x R artan(x) x 2n+1 2n + 1 n=0 x < 1 ln(1 + x) ( 1) n+1 x n n n=1 x ( 1, 1] (1 + x) a n=0 ( a n) x n x < 1 mit ( a ( 0) := 1 und a ) a(a 1) (a n+1) n := ür alle n N und alle a R. n! Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 289 Warnung Es soll aber vor dem Trugscluss gewarnt werden, der Satz von Taylor garantiere die Entwickelbarkeit jeder unendlic ot dierenzierbaren Funktion in eine Taylor-Reie. Vielmer gilt: Es gibt Fälle, in denen die Taylor-Reie ür x x 0 überaupt nict konvergiert. Es gibt Fälle, in denen die Taylor-Reie ür x x 0 konvergiert, aber mit der eigentlicen Funktion nicts zu tun at. Zum Beispiel gilt ür (x) = { e 1 x 2, x 0; 0, x = 0 die Bezieung T n (x) = 0 ür alle n N. Inormationen über die Konvergenz erält man mit Hile des Restglieds. Dies soll ier aber nict weiter diskutiert werden. Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 290 Ziele erreict? Sie sollten nun (bzw. nac Abscluss der Übungen/Tutorien): den Ableitungsbegri und die Idee der linearen Approximation tiegreiend verstanden aben, Funktionen sicer au Dierenzierbarkeit untersucen und deren Ableitung mit Dienzenquotient oder Ableitungsregeln sicer bestimmen können, alle Punkte einer Kurvendiskussion sicer ausüren können, Taylor-Polynome sicer berecnen können und wissen was man unter einer Taylor-Reie verstet, über Newton-Veraren und Felerortplanzung grob Besceid wissen. Sie sind sic nict sicer oder meinen nein? Sie wissen scon... Dierentialrecnung TU Bergakademie Freiberg 291