1 1.1 Physikalische Definitionen 1.1.1 Elektrische Ladung Elektrizität beruht auf dem Vorhandensein elektrischer Ladungen. Man unterscheidet zwischen positiven und negativen Ladungen. Zwischen elektrischen Ladungen besteht eine Kraftwirkung (Coulombsches Gesetz). Ladungen gleichen Vorzeichens stoßen sich ab, Ladungen ungleichen Vorzeichens ziehen sich an. Jede Ladung ist ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e: e = ± 1,60(17733) 10 1As = 1 C (Coulomb) Q = N ( ± e ) 19 As Elektron: negative Elementarladung Proton: positive Elementarladung Der aum zwischen elektrischen Ladungen, in dem abstoßende bzw. anziehende Kräfte wirken, heißt elektrisches Feld (siehe Kapitel ). 1
1.1. Das Coulombsche Gesetz Für die anziehende oder abstoßende Kraft, die eine Punktladung Q 1 auf eine sich im Abstand r befindende Punktladung Q ausübt, gilt das Coulombsche Gesetz: 1 Q1 Q r = 4πε r r 1 F1 0 1 1 mit: r r 1 1 : Einheitsvektor von Q nach Q 1 Vm 1 ε0 = 8,854(1878) 10 As (elektrische Feldkonstante, Dielektrizitätskonstante des Vakuums) (1.1) 1 4πε 0 9 = 8,988 10 Vm (Proportionalitätsfaktor) As Das Coulombsche Gesetz gilt auch noch näherungsweise für Kugeln, wenn deren Abstand (von Kugelmitte zu Kugelmitte) groß im Vergleich zu den Kugelradien ist.
1.1.3 Stromstärke und Stromdichte Der elektrische Strom entspricht der zeitlichen Änderung der elektrischen Ladung. Ist der zeitliche Verlauf der den Querschnitt durchsetzenden Ladung bekannt, gewinnt man den zugehörigen Strom durch Differentiation dieser Ladungsfunktion: q dq i = lim = ; [ i] = A t 0 t dt (1.) Die Ladungsfunktion kann durch Integration der Stromfunktion ermittelt werden: t q( t) = i dt ; [ q] = As = C (1.3) t 1 Bei zeitlich konstanter Stromstärke, d.h. stationärem Ladungstransport, gilt: Q = I t (1.4) Die Stromdichte ist wichtig zur Einschätzung von Erwärmungsproblemen und stellt den auf die Querschnittsfläche bezogenen Strom dar. Bei gleichmäßiger Verteilung des Stroms über die Fläche ist die Stromdichte konstant: J I = ; [ J] = A A m (1.5) Bei ungleichmäßiger Stromverteilung über der Fläche ist der differentielle Strom di auf das Flächenelement da zu beziehen: J = di d A (1.6) 3
1.1.4 Potential und Spannung Zwei ungleichnamige, dicht beieinander liegende Ladungen werden um die Entfernung s verschoben: Kraft F entgegen der Coulomb-Kraft muss aufgewendet werden; Bei Ladungstrennung wird Arbeit W = F s verrichtet; Q wird um s verschoben verrichtete Arbeit ist als potentielle Energie gespeichert: W = ϕ Q 1 1 Ladung Q hat in Bezug auf die Ladung Q 1 das elektrische Potential: W1 ϕ1 = ; [ ϕ] = V Q (gespeicherte Energie bezogen auf die verschobene Ladung Q ) Weitere Verschiebung um s Erhöhung der potentiellen Energie: (1.8a) W W = ϕ Q ϕ = Q (1.8b) Potentielle Energiedifferenz beim Verschieben der Ladung Q von s nach + s s : W = W W = ( ϕ ϕ ) Q 1 1 Auf Ladung Q bezogene Energiedifferenz ist die elektr. Spannung : W Q = ϕ ϕ = ; [ ] = V 1 (1.9) 4
1.1.5 Energieniveaus der Elektronen und Bändermodell Energieniveaus: W Ionisierungsgrenze Einzelatom Zweiatomiges Molekül Dreiatomiges Molekül N Atome (Festkörper) Die Grafik veranschaulicht die Aufspaltung der Energieniveaus in zwei, drei (bei drei wechselwirkenden Systemen) und N (bei N Atomen im Festkörper) eng benachbarte Energieniveaus. N Energiezustände im Festkörper sind so eng beieinander, dass sie nicht getrennt werden können verschmelzen zu einem Energieband. Bändermodell: Das oberste vollständig gefüllte Band heißt Valenzband (VB), das darüber liegende, entweder teilweise gefüllte oder auch leere Band wird als Leitungsband (LB) bezeichnet. W W L W V Leitungsband W = W g Valenzband untere Kante des Leitungsbandes obere Kante des Valenzbandes 5
Die Breite der verbotenen Zone, d.h. der Abstand zwischen dem Leitungsband W L und dem Valenzband W V, ist ein guter Maßstab für die Leitfähigkeit von Materialien. W W 1 1 a) b ) c ) d) In den doppelt schraffierten Bereichen sind die energetischen Niveaus von Elektronen besetzt, in den einfach schraffierten dagegen nicht. Die dazwischen liegenden Flächen stellen die für Elektronen verbotenen Zonen dar. Folgende Fälle sind möglich: Das Valenzband ist nicht vollbesetzt (Fall a), oder das Valenzband ist vollbesetzt, überschneidet sich jedoch mit dem Leitungsband (Fall b). Leiter Das Valenzband ist vollbesetzt, das Leitungsband befindet sich jedoch energetisch in der Nähe des Valenzbandes (Fall c). Halbleiter Das Valenzband ist vollbesetzt, das Leitungsband liegt weit davon entfernt (Fall d). Nichtleiter Die Valenzelektronen bewegen sich reglos im Kristall. Ihre Bewegung ist nicht ausgerichtet und stellt deswegen keinen Strom dar. 6
1.1.6 Elektrischer Widerstand und elektrischer Leitwert Der elektrische Widerstand beschreibt das Spannungs-Strom-Verhältnis als wichtige elektrische Eigenschaft eines Bauelements. Der Kehrwert des Widerstandes heißt Leitwert und beschreibt dementsprechend das I- -Verhalten. Lineare Widerstände: Funktion I = f ( ) ist eine Gerade, d.h. der Widerstand ist konstant. Bauelement: I Kennlinie: 1 1 > = = const. I ; [ ] = Ω (Ohm) 1 G = ; [ G] = S (Siemens) (1.10) (1.11) Gl. (1.10) beschreibt das Ohmsche Gesetz. Nichtlineare Widerstände: I I Kennlinie: Nichtlineare Widerstände verändern ihren Widerstandswert in Abhängigkeit einer physikalischen Größe. Eine solche Größe kann beispielsweise die Temperatur oder die Lichtintensität sein. 7
Spezifischer Widerstand und Leitfähigkeit für unterschiedliche Materialien: Kupfer Aluminium Stahl Blei Konstantan [ ρ] = Ω mm 0,01786 0,0857 0,13 0,08 0,5 m [ κ] m 56 35 7,7 4,8 = Ω mm Die Leitfähigkeit κ gibt an, wie viel m eines Werkstoffes benötigt werden, damit man einen Widerstand von 1 Ω erhält (bei A = 1mm und ϑ = 0 C ). Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstandes: ρ z bei Bezugstemperatur ϑ z Durch Temperaturänderung ϑ wird ρ z um ρ geändert Weichen die Temperaturen nur in bestimmten Grenzen von ϑ z ab, dann wird ρ näherungsweise über die Tangente im Punkt ( ϑz, ρz ) bestimmt: ρ ϑ dρ dϑ z (Anstieg der Sekante wird durch Anstieg der Tangente angenähert) dρ ρ = ϑ dϑ z 8
Für den spezifischen Widerstand bei erhöhter Temperatur gilt: ρ = ρz + ρ d ρ ρ = ρz + ϑ dϑ z 1 d ρ ρ = ρz 1+ ϑ ρz dϑ z [ 1 ] ρ = ρz + αz ϑ (1.13) mit: ϑ = ϑ ϑ z α z : Temperaturkoeffizient Üblicherweise wird α z auf 0 C bezogen (α 0 ): [ ] ρ = ρ 1 + α ϑ ; mit: ϑ = ϑ 0 C (1.14) 0 0 Für die Temperaturabhängigkeit eines linearen Widerstandes gilt: = ρ l = ρ0 [ 1 + α0 ϑ] l ; 0 = ρ0 l A A A [ 1 α ϑ] = + (1.15) 0 0 Gl. (1.15) gilt bis ca. 00 C. 9
1.1.7 Elektrische Energie und elektrische Leistung Zur Erzeugung einer Spannung (Ladungstrennung) muss von außen Energie zugeführt werden Überwindung der Coulomb-Kräfte; Zugeführte Energie ist als potentielle Energie in den Ladungen gespeichert; W = Q (allgemein) (1.16) el Weitere Zusammenhänge: Q I = bzw. Q = I t t Wel = Q = I t (1.17) = I bzw. I = Wel = I t = t (1.18) Sind Strom und Spannung zeitlich veränderlich, dann gilt: dq = = i bzw. Q i dt dt t t 1 (1.19) [ Wel ] = Ws = J = Nm Die elektrische Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeit: P el W t el = I (1.0) Pel = I = (1.1) [ Pel ] = W = VA 10
1. Grundstromkreise Sie bestehen aus einer Quelle (Generator) mit Innenwiderstand und einem Verbraucher. Als Generator kommt entweder eine Spannungsoder eine Stromquelle zum Einsatz. Man kann versuchen, komplexe Schaltungen auf Grundstromkreise zu reduzieren. 1..1 Kirchhoffsche egeln: Sie beschreiben das Verhalten der elektrischen Ströme in einem verzweigten Stromkreis (Knotenregel) und der Spannungen in einem geschlossenen Stromkreis (Maschenregel). 1. Kirchhoffsches Gesetz (Knotenregel): Die Summe aller in einem Knotenpunkt zusammenlaufenden Ströme ist Null. n i i = 1 I = 0 (1.). Kirchhoffsches Gesetz (Maschenregel): Die Summe aller Spannungen in einer Masche ist Null. n i = 1 = 0 (1.3) i 11
1.. eihenschaltung von Widerständen In einer eihenschaltung sind alle Widerstände vom selben Strom durchflossen. Anwendung der Maschenregel führt zu: ( ) = I + I + + I = I + + + = I 1 n 1 n ges = + + + (1.4) ges 1 n In einer eihenschaltung ist der Gesamtwiderstand gleich der Summe der Einzelwiderstände. 1..3 Parallelschaltung von Widerständen In einer Parallelschaltung liegen alle Widerstände an derselben Spannung. Anwendung der Knotenregel führt zu: 1 1 1 1 I = + + + = + + + = 1 n 1 n ges 1 1 1 1 = + + + (1.6) ges 1 n k In einer Parallelschaltung ist der Kehrwert des Gesamtwiderstandes gleich der Summe der Kehrwerte der Einzelwiderstände. 1
1..4 Spannungsteiler 1. Fall: Ohne Lastwiderstand Der Spannungteiler besteht aus in eihe geschalteten Widerstände 1 und, die entweder räumlich getrennt sind oder aus einem Gesamtwiderstand mit einem Abgriff bestehen (Potentiometer). = + = I + I = I ( + ) 1 1 1 1 I 1 I = ; = I I ( + ) 1 Hieraus folgt die Spannungsteilerregel: = (1.9) 1 1 = + 1 (1.30) In Worten: Bei in eihe geschalteten Widerständen verhält sich die Teilspannung zur Gesamtspannung wie der Teilwiderstand zum Gesamtwiderstand.. Fall: Mit Lastwiderstand An die Ausgangsklemmen eines Spannungsteilers wird ein Lastwiderstand L angeschlossen, der dem Spannungsteiler den Laststrom I L entnimmt. Zwei echnerische Lösungswege: Direkte Berechnung des Netzwerks Ersatzspannungsquelle 13
Direkte Berechnung des Netzwerks: Stromstärke I des belasteten Spannungsteilers: I ' = + ( ) 1 L (1.31) Ausgangsspannung L des belasteten Spannungsteilers: = I ' (1.3) L 1 Ersatzspannungsquelle: Die Quellspannung q der Ersatzquelle ist gleich der Leerlauf-Ausgangsspannung 0 des Spannungsteilers: q = 0 = 1 + (1.33) Der Innenwiderstand i der Ersatzquelle ist gleich der Parallelschaltung der beiden Spannungsteiler-Widerstände: i = + 1 1 (1.34) Für die Ausgangsspannung L des Spannungsteilers gilt dann: = I (1.35) L 0 L i 14
Dimensionierung von Spannungsteilern: Es sind Betriebsanforderungen gegeben, die Spannungsteiler-Widerstände 1, sind gesucht. Berechnungsmethoden: Querstromfaktormethode Ersatzquellenmethode (wird nicht behandelt) Querstromfaktormethode: Ausgangspunkt ist die Erfahrung, dass die Teilspannung sich durch Belastung nicht wesentlich ändert, wenn der Querstrom I viel größer ist als der Laststrom I L. m = I I L 1. Schritt: Feststellen, wie groß die Teilspannung sein soll und wie groß der Laststrom werden kann: I L = V = A (1.38a). Schritt: Wahl des Querstromfaktors u. Berechnung des Querstromes: m = ( m = 10) I = m I L (1.38b) 3. Schritt: Berechnung von : I = (1.38c) 4. Schritt: Berechnung von 1 bei gegebener Spannung : I1 = I + IL ; 1 = I 1 (1.38d) 16
1..5 Ersatzspannungs- und Ersatzstromquelle Eine elektrische Energiequelle lässt sich entweder durch eine Spannungsquelle oder durch eine Stromquelle im elektrischen Netzwerk angeben. Hierbei unterscheidet man zwischen idealen und realen Quellen. Das Verhalten realer Quellen wird durch Ersatzschaltungen beschrieben, die sich aus idealen Komponenten zusammensetzen. Ersatzspannungsquelle: Die Spannung einer realen Spannungsquelle (z.b. Batterie) ist nicht unabhängig von dem abgegebenen Strom. Vielmehr sinkt die Spannung mit zunehmendem Laststrom. Man sagt auch: Die Spannung bricht etwas zusammen, wenn man sie belastet. Dieses reale Verhalten wird durch eine ideale Spannungsquelle q und einem Innenwiderstand i modelliert. Berechnung der Strom-Spannungs-Kennlinie (Belastungskennlinie): + I + = 0 q i = I (1.39) q i Die Spannung fällt mit zunehmendem Strom I linear ab. Ersatzstromquelle: Der Strom einer realen Stromquelle ist nicht unabhängig von der anliegenden Spannung. Vielmehr sinkt der Strom ab, wenn man die Stromquelle hochohmig belastet. Dieses reale Verhalten wird durch eine Stromquelle I q und einem parallel dazu liegenden Innenwiderstand i modelliert. 17
Berechnung der Spannungs-Strom-Kennlinie (Belastungskennlinie): Iq + + I = 0 i I = Iq (1.44) i Für eine hochohmige Last geht die Ausgangs-Klemmenspannung gegen I q i. Je größer wird, desto größer wird der Strom, der durch i abfließt und somit an den Ausgangsklemmen nicht zur Verfügung steht. mrechnung von Spannungs- in Stromquellen und umgekehrt: Man kann eine reale Stromquelle als Spannungsquelle mit hochohmigem Innenwiderstand auffassen und eine reale Spannungsquelle als niederohmige Stromquelle. 18
1.3 Berechnungsverfahren für lineare Netzwerke In der sind Netzwerke Widerstandsschaltungen mit mehreren Spannungs- und/oder Stromquellen, die nicht auf Grundstromkreise zurückgeführt werden können. Folgende Berechnungsverfahren sind üblich Superpositionsprinzip (Überlagerungssatz) Maschenstromanalyse (Kreisstromverfahren) Zweigstromanalyse Knotenpotentialverfahren Zweipolverfahren Voraussetzung für alle Verfahren sind Widerstände mit linearer -I- Kennlinie sowie konstante Quellspannungen und Quellströme: = const. q = const. I q = const. Die abgebildete Schaltung stellt ein solches Netzwerk dar. Ziel ist es nun, sämtliche Zweigströme und Spannungen zu bestimmen. 1
1.3.1 Superpositionsprinzip Das Superpositionsprinzip ist von allgemeiner physikalischer Bedeutung: In einem physikalischen System, in dem Wirkungen linear von den rsachen abhängen, lässt sich zunächst jeweils die Wirkung von nur einer rsache ermitteln. Die resultierende Wirkung aller rsachen ergibt sich dann als Summe der Einzelwirkungen. Vorgehensweise bei elektrischen Netzen: 1. ichtung der Zweigströme festlegen. Kurzschließen aller Quellspannungen und nterbrechen aller Quellströme bis auf eine Quellspannung bzw. einen Quellstrom (die Innenwiderstände verbleiben hierbei in der Schaltung) 3. Berechnen des von der einen Quellspannung oder von dem einen Quellstrom verursachten Teilstrom in dem Zweig, in dem der Zweigstrom ermittelt werden soll 4. Schritte und 3 nacheinander mit allen übrigen Quellspannungen und Quellströmen durchführen 5. Aufsummieren der Teilströme unter Beachtung ihrer jeweiligen Vorzeichen Insgesamt ergeben sich so viele Teilströme, wie Spannungs- und Stromquellen in der Schaltung vorhanden sind. Teilströme, die die gleiche ichtung haben wie der unter 1 vereinbarte gesuchte Zweigstrom, werden positiv berücksichtigt. Die Teilströme, die entgegengesetzt gerichtet sind, gehen negativ in die Berechnung ein.
1.3. Maschenstromanalyse Bei der Maschenstromanalyse (auch Kreisstromverfahren genannt) werden nur Maschengleichungen für Spannungen berücksichtigt. Daher sind im Gleichstromnetz vorkommende Stromquellen zunächst in äquivalente Spannungsquellen zu überführen: Man führt für jede unabhängige Masche einen fiktiven Maschenstrom (Kreisstrom) ein und stellt mit diesem die Maschengleichungen auf. Dies ergibt ein Gleichungssystem mit so vielen Gleichungen, wie unabhängige Maschen vorhanden sind. Die tatsächlich fließenden Zweigströme ergeben sich dann aus der vorzeichenrichtigen Addition der Kreisströme. Bsp. 1.13: In der skizzierten Schaltung sollen die drei Zweigströme mit Hilfe der Maschenstromanalyse bestimmt werden. Die ichtung der Maschenströme ist bereits vorgegeben. Lösung: Masche I : 3Ω I 1V + 6 Ω ( I + I ) + 4V = 0 a a b Masche II : 6Ω I + 6 Ω ( I + I ) + 4V 7V = 0 b a b 3
I : 9Ω I + 6Ω I + 1V = 0 / ( ) a b II : 6Ω Ia + 1Ω Ib 48V = 0 -------------------------------------------------------- I : 18Ω Ia 1Ω Ib 4V = 0 -------------------------------------------------------- I +II : 1Ω I 7V = 0 a 7V Ia = = 6A bspw. in I einsetzen 1Ω 84V 108V 1Ω Ib 4V = 0 Ib = = 7A 1Ω Das Minuszeichen des Maschenstromes I a bedeutet, dass seine ichtung falsch angenommen wurde. Es ergeben sich somit folgende Zweigströme nach Betrag und ichtung: 4