4 Komplexe Zahlen In diesem Kapitel wollen wir uns erneut mit dem R 2 beschäftigen, diesmal aber mit einer anderen algebraischen Struktur. Dies erlaubt uns weitere Anwendungen in der Geometrie die Lösung von Polynomgleichungen in diesem neuen Zahlenbereich der dann so genannten komplexen Zahlen viele weitere Anwendungen wie zum Beispiel Schwingungsvorgänge. 4.1 Die algebraische Struktur der komplexen Zahlen Wir wollen R 2 so mit Addition und Multiplikation ausstatten, daß ein Zahlenkörper entsteht. Die für den R 2 schon eingeführte Addition hat zufrieden stellende Eigenschaften. a,b) + c,d) = a + c,b + d) 4.1.1) 4.1.1 Die komplexe Multiplikation Benötigt wird noch eine richtige Multiplikation, d.h., wir haben a,b) c,d) so zu definieren, daß wieder ein Element des R 2 entsteht, und so, daß das Produkt vernüftige Eigenschaften hat Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Distributivgesetz, Existenz von neutralen Element und von inversen Elementen). Insbesondere wollen wir ein Paar x,0) R 2 mit der reellen Zahl x R identifizieren: x,0) = x für x R. Außerdem soll die Multiplikation mit einer reellen Zahl die schon vom R 2 bekannten Eigenschaften haben. 55
4 Komplexe Zahlen Damit sind schon festgelegt: 0 = 0,0) als Null und 1 = 1,0) als Eins, a,0) c,d) = ac,ad) und somit a,b) c,d) = a,0) c,d) + 0,b) c,d) = a,0) c,0) + a,0) 0,d) + 0,b) c,0) + 0,b) 0,d) = ac1,0) 2 + ad1,0)0,1) + bc1,0)0,1) + bd0,1) 2 = ac1,0) + bc + ad)0,1) + bd0,1) 2 = ac,ad + bc) + bd0,1) 2. Wir benötigen damit nur noch die geeignete Definition von Potentielle einfachste) Elemente wären 0,1) 2. 0,0), 1,0), 0,1), 1,0), 0, 1), 1,1), 1, 1), wovon aber nur 1,0) die gewünschten Eigenschaften hat: Setzen wir so haben wir 0,1) 2 := 1,0) = 1, a,b) c,d) := ac bd,ad + bc). 4.1.2) Die so definierte Multiplikation hat die von den reellen Zahlen her bekannten Eigenschaften, insbesondere gilt ) a a,b) a 2 + b 2, b a 2 + b 2 = 1,0) = 1, wenn a,b) 0. Definition 4.1.1. Die Menge R 2 zusammen mit der Addition + und der Multiplikation entsprechend 4.1.1) und 4.1.2) heißt Menge der komplexen Zahlen C. 4.1.2 Algebraische Darstellung Wir haben schon 1, 0) = 1. Wir setzen i := 0, 1). Damit haben wir a,b) = a + bi. Für eine komplexe Zahl z = x + yi nennen wir x := Rz) den Realteil und y := Iz) den Imaginärteil von z. Die komplexen Zahlen z = x + iy und z := x iy, die gleichen Realteil und zueinander negativen Imaginärteil haben, heißen komplex konjugiert. 56
4.1 Die algebraische Struktur der komplexen Zahlen Bemerkung 4.1.2. C ist ein zweidimensionaler Vektorraum über R mit der Basis e 1,e 2 ) = 1,0),0,1)). Der Realteil ist die Koordinate in Richtung e 1 = 1,0) = 1, der Imaginärteil ist die Koordinate in Richtung e 2 = 0,1) = i. Wir können daher C mit VO 2 identifizieren. Weiter können wir uns die Elemente von C auch als Punkte in der Ebene E 2 vorstellen, nachdem wir einen Nullpunkt O und zwei aufeinander senkrecht stehende Koordiantenachsen ausgewählt haben: Die waagerechte Achse gehört zum Basisvektor 1 = 1, 0), d.h., zu den reellen Zahlen, die vertikale Achse gehört zum Basisvektor i = 0,1), d.h., zu den rein imaginären Zahlen. iy z z a z = a + ib b b z + z x z = a ib Komplexe Zahlen können daher als Zeiger Ortsvektoren) im VO 2, Gaußsche Zahlenebene genannt, interpretiert werden. Für Elemente des R 2 hatten wir den Betrag schon definiert. Für eine komplexe Zahl z = x + iy ergibt dies Für die Multiplikation gilt nun Inbesondere haben wir z := x + iy = x 2 + y 2 = zz. a + bi)c + di) = ac bd + ad + bc)i. i 2 = i i = 1. Damit hat die Gleichung x 2 = 1 in C eine Lösung! Mit komplexen Zahlen kann man nun im Sinne von Addition und Subtraktion, Multiplikation und Division genau so rechnen wie mit reellen Zahlen. Beachtet man i 2 = 1, so wird einfach ausmultipliziert. Bemerkung 4.1.3. Das Produkt zweier zueinander konjugiert komplexer Zahlen ist eine reelle Zahl: z z = x + iy) x iy) = x 2 + ixy ixy i 2 y 2 = x 2 + y 2. 57
4 Komplexe Zahlen Beispiel 4.1.4. Man beachte die übliche Schreibweise) 1. 3 + 4i)2 i) = 6 3i+8i 4i 2 = 10 + 5i. 2. Bei der Division komplexer Zahlen benutzt man den Trick, den Bruch mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl zu erweitern: 3 + 4i 2 i = 3 + 4i 2 + i 6 + 3i + 8i + 4i2 = 2 i 2 + i 4 + 2i 2i i 2 = 2 + 11i 4 + 1 = 2 5 + 11 5 i. Im Unterschied zu den reellen Zahlen haben wir aber keine Ordnungsrelation mit den vom Reellen bekannten Eigenschaften. Wir notieren die folgenden Rechenregeln: z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z = z, z z = z 2, z 1 := 1 z = z z z = 1 z 2 z, z = z, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 + z 2 z 1 + z 2, Rz) = 1 2 z + z), Iz) = 2i 1 z z). Beachte: Die letzten beiden Formeln lassen sich in der Gausßschen Zahlenebene gut verstehen. Zu einer komplexen Zahl z erhält man die komplex Konjugierte nämlich nach Definition) einfach durch Spiegelung an der reellen Achse. 4.2 Polar- und Exponentialdarstellung komplexer Zahlen 4.2.1 Polardarstellung Betrachtet man eine komplexe Zahl z 0 als Zeiger in der komplexen Zahlenebene, so kann z offenbar auch in folgender Form dargestellt werden: z = z cosϕ + i z sinϕ = z cosϕ + isinϕ), wobei ϕ = argz) ein Winkel sei, den der Zeiger mit der reellen Achse bildet. Dieser Winkel wird Argument von z genannt. Üblicherweise wird für eine eindeutige Darstellung der Hauptwert des Winkels im Intervall ] π,π] gesucht, d.h., Argz) ] π,π]. Für z = x + iy haben wir Argz = ϕ mit ϕ aus cosϕ = x z und { 0 ϕ π, falls b 0 π < ϕ < 0, falls b < 0 }. wenn z 0. Verbleibt noch Arg0). Wir setzen der Vollständigkeit halber Arg0) := 0. 58
4.2 Polar- und Exponentialdarstellung komplexer Zahlen Zusammengefaßt haben wir die eindeutige trigonometrische Form oder Polardarstellung einer komplexen Zahl z mit z = z cosargz) + isinargz)), wobei sich ein beliebiges Argument ϕ von z von Argz) nur durch Vielfache von 2π unterscheidet. 4.2.2 Komplexe Funktionen Ein Vorteil der komplexen Zahlen besteht darin, daß man bestimmte reelle Funktionen unter Erhaltung ihrer wichtigsten Eigenschaften auf C erweitern kann. Außer den natürlichen) Potenzfunktionen und damit den Polynomen sind dies die Exponential- und Hyperbelfunktionen sowie die trigonometrischen Funktionen: exp : C C, sin : C C, expz := e z := e Rz) cosiz) + isiniz)), sinz := 1 2i e iz e iz), cos : C C, cosz := 1 2 e iz + e iz), sinh : C C, sinhz := 1 2 e z e z), cosh : C C, coshz := 1 2 e z + e z). Diese Funktionen erfüllen die aus dem Reellen bekannten Additionstheoreme, insbesondere gilt e z 1+z 2 = e z 1 e z 2, e z = 1 e z, enz = e z ) n. Für z = iy mit y R erhalten wir die Euler-Formel bzw. Moivre-Formel e iy = cosy + isiny, e iny = cosy + isiny) n = cosny + isinny. Die Moivre-Formel ermöglicht zum Beispiel die Berechnung von cos3ϕ: cos3ϕ = Rcosϕ + isinϕ) 3 = R cos 3 ϕ + 3 cos 2 ϕ isinϕ + 3 cosϕ i 2 sin 2 ϕ + i 3 sin 3 ϕ ) = cos 3 ϕ 3cosϕ sin 2 ϕ. 4.2.3 Exponential-Darstellung Aus der Polardarstellung z = z cosargz) + isinargz)) und der Euler-Formel erhalten wir nun die Exponentialdarstellung z = z e iargz). 59
4 Komplexe Zahlen Während die algebraische Darstellung sehr gut geeignet ist für die Addition und Subtraktion, ist die Exponentialdarstellung besser geeignet für Multiplikation, Division und Potenzierung: Die komplexen Zahlen z und w werden multipliziert, indem ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert werden: z w = z e iargz) w e iargw) = z w e iargz)+argw)). Zwei komplexe Zahlen z und w 0 werden dividiert, indem ihre Beträge dividiert und ihre Argumente subtrahiert werden: z w = z eiargz) z = w eiargw) w eiargz) Argw)). Eine komplexe Zahl z wird potenziert, indem ihr Betrag potenziert und ihr Argument vervielfacht wird: z n = z e iargz)) n = z n e inargz). Beispiel 4.2.1. Wegen 1 + i = 2e i π 4 und i 1 = 2e i 3π 4 ) 1 + i) 5 i 1) 7 = 2e i π 5 4 2e i 4 3 π) 7 ) 12 π4 = 2 e i5 +7 34 π) gilt = 2 6 e i 26 4 π = 64 e i6π+ 1 2 π) = 64e i π 2 = 64i. 4.3 Anwendungen 4.3.1 Komplexe Faktorisierung eines Polynoms Wir betrachten eine quadratische Gleichung im Fall D = p2 4 Seien Dann gilt x 2 + px + q = 0 4.3.1) q < 0, d.h., in dem Fall, indem keine reelle Lösung existiert. x x 1 )x x 2 ) = x 1 := p 2 i D, x 2 := p 2 + i D. [x + p ) 2 ] i D [x + p ) 2 ] + i D = x + p 2 )2 i 2 D) = x 2 + px + p2 4 p2 4 + q = x 2 + px + q. 60
4.3 Anwendungen Damit sind obige x 1 und x 2 komplexe Lösungen der Gleichung 4.3.1) im Falle p2 4 q < 0. Insbesondere hat also jede quadratische Gleichung 4.3.1) mit reellen Koeffizienten genau zwei Lösungen. Man kann zeigen: Satz 4.3.1 Fundamentalsatz der Algebra). Läßt man auch komplexe Nullstellen zu, so besitzt jedes Polynom eine Faktorisierung nur in Linearfaktoren. Insbesondere hat jedes Polynom n-ten Grades, n 1, genau n komplexe Nullstellen. Beispiel 4.3.2. x 2 + 1 = x + i)x i). 4.3.2 n-te Wurzeln in C Wir suchen die rellen und) komplexen Nullstellen des Polynoms f x) = x n 1, also die Wurzeln der Gleichung x n = 1. Aus dem Fundamentalsatz der Algebra wissen wir, daß f genau n komplexe Nullstellen besitzt Vielfachheiten mitgezählt). Über die Exponentialdarstellung können wir unmittelbar n Lösungen der Gleichung angeben. Wegen e ik 2π = 1 für beliebiges k Z sind die voneinander verschiedenen komplexen Zahlen) x k := e i k n 2π, k = 0,1,2,...,n 1 genau n Lösungen der Gleichung, mithin die n komplexen Nullstellen von f x) = x n 1. Wir erweitern die Überlegung auf die Gleichung z n = a, mit a C vorgegeben. Sei etwa a = a e iarga). Dann sind die Zahlen n a e i Arga)+2kπ n, k = 0,1,2,...,n 1 genau die n Wurzeln Lösungen) der Gleichung z n = a. 4.3.3 Geometrische Anwendungen Da C mit R 2 bzw. V 2 O und E2 Gaußsche Zahlenebene!) identifiziert werden kann, können wir die geometrischen Anwendungen der Vektoranalysis wie Projektion, Schnitt von Geraden, Lot auf eine Gerade und Winkel zwischen Geraden auch mit Hilfe der komplexen Zahlen durchführen. Wir müssen hierzu nur noch z,w = Rz Rw + Iz Iw = Rzw) 61
4 Komplexe Zahlen für das Skalarprodukt der Vektoren z, w bemerken. Hinzu kommen aber zusätzliche Anwendungen, die sich aus der Anwendung der Multiplikation und des komplex Konjugiertem ergeben. Eine Kreislinie K mit Radius R und Mittelpunkt z 0 ist gegeben durch Mit z = x + iy, z 0 = x 0 + iy 0 entspricht dies K = {z C: z z 0 = R}. {x,y) R 2 : x x 0 ) 2 + y y 0 ) 2 = R 2 }. Der Schnitt eines Kreises mit einer Geraden führt zu einer quadratischen Gleichung für eine reelle Unbekannte. Multiplizieren wir eine komplexe Zahl z mit e iϕ, ϕ R, so wird ϕ zum Argument von z addiert, der Betrag ändert sich aber nicht: ze iϕ = ze iargz) e iϕ = z e iargz)+ϕ = z cosargz) + ϕ) + isinargz) + ϕ) = z cos 2 Argz) + ϕ) + sin 2 Argz) + ϕ) = z. Die Multiplikation mit e iϕ bewirkt also eine Drehung um 0 mit dem Winkel ϕ. Betrachten wir nun die Spiegelung an der reellen Achse. Diese ist durch gegeben. z = Rz + iiz Rz iiz = z Als dritte elementare Kongruenztransformation fehlt uns nur noch die Verschiebung um a in Richtung e iarga) : z z + a. Eine beliebige Kongruenztransformation in der Ebene setzt sich stets aus Drehung um 0, Spiegelung an der reellen Achse und Verschiebung zusammen. Beispiel 4.3.3. Eine Spiegelung an einer Geraden g = {a +te iα : t R}, α R durch den Punkt a erhält man in folgender Weise: Zuerst verschieben wir die Gerade g so, daß ihr Bild durch den Nullpunkt verläuft, z z a, 62
4.3 Anwendungen dann drehen wir um den Winkel α, so daß das Bild der Gerade nun mit der reellen Achse zusammenfällt, z ze iα, dann wird an der reellen Achse gespiegelt, z z, und schließlich wieder zurück gedreht und zurück verschoben: z ze iα, z z + a. Insgesamt erhalten wir durch Verkettung dieser fünf Abbildungen die Spiegelung an g durch z z a)e iα e iα + a = z a)e iα e iα + a = z a)e 2iα + a. 4.3.4 Harmonische Schwingung Eine Funktion s: R R der Form st) = Acosωt + α), t R, heißt harmonische Schwingung A,ω,α R fest vorgegeben). α heißt die Nullphase, ω die Kreisfrequenz, ωt + α die Phase und A die Amplitude. Um das Rechnen mit harmonischen Schwingungen zu vereinfachen, betrachtet man häufig eine Komplexifizierung der Schwingungen: Man faßt die Schwingung st) als Realteil ggf. als Imaginärteil) einer komplexen Funktion z: C C auf: und zt) = Acosωt + α) + iasinωt + α) = Ae iωt+α) = Ae iα) e iωt }{{} :=a st) = Rzt). Zu beachten ist, daß a e iωt bei laufendem t R eine Drehung des komplexen Zeigers um den Koordinatenursprung beschreibt, da e iωt immer den Betrag 1 hat. Bei t = 0 beginnt diese Drehung beim Zeiger a. Die Überlagerung zweier Schwingungen t s 1 t) und t s 2 t) wird durch die Superposition t s 1 t) + s 2 t) beschrieben. Im Komplexen entspricht dies ebenfalls der Addition der Funktionswerte. 63