2.3 Basis und Dimension

Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau 65 2.3 Basis und Dimension In diesem zentralen Abschnitt werden einige für die gesamte Lineare Algebra fundamentale Grundbegriffe eingeführt: Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren (genauer: von Vektorsystemen oder Teilmengen eines Vektorraumes), Erzeugendensysteme (siehe hierzu bereits Definition 2..7) sowie darauf aufbauend die Begriffe Basis und Dimension eines Vektorraumes. Wir legen hier großen Wert auf eine besonders ausführliche Darstellung: Auch kleinere Resultate, die sich noch in unmittelbarer Nähe der Grundbegriffe befinden, werden explizit formuliert (und meist vollständig bewiesen). Die Hauptresultate werden in drei Sätzen zusammengefasst: Dieses sind der Existenzsatz für Basen, der Basisergänzungssatz sowie der Austauschsatz. Letzterer dient der Grundlegung des Dimensionsbegriffes, denn er besagt, dass je zwei Basen eines Vektorraumes aus der gleichen Anzahl von Vektoren bestehen. Im Prinzip einfache, aber wichtige, weil später häufig benutzte, Folgerungen dieser Hauptresultate werden wiederum besonders ausführlich dargestellt. Unsere gesamte Darstellung ist wie üblich auf den Fall von endlich erzeugten (endlich-dimensionalen) Vektorräumen zugeschnitten. Ein Vektorsystem der Länge m in einem K-Vektorraum V besteht aus m nicht notwendig verschiedenen Vektoren v, v 2,..., v m V. (Formal ist dieses ein m-tupel von Vektoren, wird aber ohne Klammern geschrieben.) Der in Definition 2..7 eingeführte Begriff der Linearkombination ist hier anwendbar: Eine Linearkombination eines Vektorsystems v, v 2,..., v m V ist ein Ausdruck der Form α v + α 2 v 2 +... + α m v m, α,..., α m K, bzw. auch der sich ergebende Vektor v V. Die Skalare α i heißen auch die Koeffizienten der Linearkombination. Die unter 2..7 angegebenen Definition der linearen Hülle Lin{v, v 2,..., v m } macht Sinn für Vektorsysteme. Definition 2.3. Ein Vektorsystem v, v 2,..., v m eines Vektorraumes V heißt Erzeugendensystem von V, falls jedes Element von V eine Linearkombination der v i ist: Lin{v,..., v m } = V. Mit anderen Worten: Der von v,..., v m erzeugte Untervektorraum ist bereits der ganze Vektorraum. Wenn in einem Vektorraum ein Erzeugendensystem gegeben ist, wird jeder Vektor (dessen Natur entsprechend der Allgemeinheit des Vektorraumbegriffs im Prinzip beliebig sein kann), durch m Zahlen (Elemente des Grundkörpers) beschrieben. Umgekehrt gehört zu jedem Zahlentupel ein Vektor, nämlich die entsprechende Linearkombination. Für eine vollständige Beschreibung des Vektorraumes durch Zahlentupel (d.h. durch den K m ) mittels eines Erzeugendensystems wäre es noch gut zu wissen, dass für einen gegebenen Vektor v die Koeffizienten einer Linearkombination v = α v + α 2 v 2 +... + α m v m, α i K durch v eindeutig bestimmt sind. Mit anderen Worten, wenn auch β,..., β m K Zahlen sind mit v = β v + β 2 v 2 +... + β m v m,

66 Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau dann soll folgen α = β, α 2 = β 2,..., α m = β m. Betrachten der Differenz v v = 0 der beiden Gleichungen liefert (α β )v + (α 2 β 2 )v 2 +... + (α m β m )v m = 0. Wenn wir kurz α i β i =: λ i setzen, ist die gewünschte Eigenschaft des Vektorsystems also, dass aus λ i v i = 0 folgen soll λ i = 0 für alle i. Diese Überlegung führt auf folgende Definition. Definition 2.3.2 Ein Vektorsystem v, v 2,..., v m V heißt linear unabhängig, wenn für alle λ, λ 2,..., λ m K gilt: λ v + λ 2 v 2 +... + λ m v m = 0 = λ = λ 2 =... = λ m = 0 In Worten: Wenn eine Linearkombination der v i gleich Null ist, so müssen alle ihre Koeffizienten gleich Null sein. Das Vektorsystem heißt linear abhängig, wenn es nicht linear unabhängig ist. Beispiel: () Das Vektorsystem 0 v =, v 2 = 0, v 3 = 0 im R 3 ist linear unabhängig. Die laut Definition 2.3.2 zu testende Vektorgleichung führt nämlich auf drei Skalar-Gleichungen für die drei Unbestimmten λ, λ 2, λ 3. Diese bilden ein homogenes LGS, von dem man in diesem Fall schnell feststellt, dass es nur die triviale Lösung λ = λ 2 = λ 3 = 0 besitzt. (2) Wenn wir die gleichen Vektoren als Elemente von F 3 2 auffassen, wobei F 2 = {0, } der Körper aus zwei Elementen ist, so besitzt das entsprechende Gleichungssystem eine weitere Lösung in F 3 2, nämlich λ = λ 2 = λ 3 =. Diese Vektoren sind also linear abhängig. Zusammenfassung: Lineare Abhängigkeit im K n Wenn man die lineare Unabhängigkeit eines Vektorsystems aus k Vektoren im K n testen möchte, so läuft dieses darauf hinaus, ein lineares Gleichungssystem aus n Gleichungen mit k Unbestimmten λ, λ 2,..., λ k zu untersuchen. Wenn dieses LGS nur die triviale Lösung λ = λ 2 =... = λ k = 0 besitzt, ist das System linear unabhängig, anderenfalls linear abhängig. Nach der vorangegangenen Diskussion sind unter den Erzeugendensystemen eines Vektorraumes solche besonders günstig, die gleichzeitig linear unabhängig sind. Diese bekommen einen eigenen Namen. Definition 2.3.3 Eine Basis eines Vektorraumes V {0} ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Der Nullraum {0} besitzt definitionsgemäß das leere Vektorsystem als Basis. Der folgende Satz fasst nur zusammen, was wir nach den bisherigen Überlegungen schon wissen. Satz 2.3.4 Sei v,..., v n Basis von V. Dann lässt sich jedes Element v V als Linearkombination v = α v + α 2 v 2 +... + α n v n mit eindeutigen Elementen α, α 2,..., α n K schreiben.

Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau 67 Die Koeffizienten α,..., α n heißen auch die Koordinaten von v bezüglich der Basis v,..., v n ; wir kommen unten in Definition 2.7.9 darauf zurück. Beispiel 2.3.5 Für einen gegebenen Körper K und gegebenes n N setze 0. e i = K n für i =,..., n.. 0 (Die steht an der i-ten Stelle, alle anderen Einträge sind 0.) Der Vektor e i wird auch als i-ter Einheitsvektor des K n bezeichnet. Das Vektorsystem e,..., e n bildet eine Basis von K n, die sogenannte Standardbasis.. Für jedes gilt x x 2 x =. x K n k. x = x n n x i e i. i= Die Komponenten x i eines (Spalten-)Vektors x sind also selbst seine Koeffizienten bezüglich der Standardbasis. Wir notieren einige einfache Aussagen über die Begriffe linear abhängig und linear unabhängig. Durch einfaches Umformulieren auf der Ebene der Aussagenlogik erhält man: Bemerkung 2.3.6 Ein Vektorsystem v,..., v m ist linear abhängig genau dann, wenn Skalare λ, λ 2,..., λ m K existieren, die nicht alle Null sind und für die gilt λ v + λ 2 v 2 +... + λ m v m = 0. Folgendes ist nun unmittelbar einsichtig: Bemerkung 2.3.7 a) Wenn das Vektorsystem v,..., v m linear unabhängig ist, dann ist jedes darin enthaltene Vektorsystem, etwa v,..., v k mit k m auch linear unabhängig. b) Wenn das Vektorsystem v,..., v m linear abhängig ist, dann ist auch jedes diese Vektoren umfassende System v,..., v m, v m+,... linear abhängig. c) Die Eigenschaft der linearen Abhängigkeit oder linearen Unabhängigkeit bleibt erhalten, wenn man die v i permutiert (d.h. die Reihenfolge ändert). d) Wenn ein v k = 0 ist, ist v,..., v m immer linear abhängig. e) Wenn zwei v i übereinstimmen, also v i = v k mit i k, ist v,..., v m immer linear abhängig.

68 Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau Besonders wichtig und auch nicht viel schwieriger einzusehen ist das folgende Kriterium. Lemma 2.3.8 Das Vektorsystem v, v 2,..., v m in V ist linear abhängig genau dann, wenn wenigstens einer der v i eine Linearkombination der übrigen ist, d.h. wenn ein k {,..., m} existiert so, dass v k Lin{v, v 2,..., v k, v k+,..., v m }. Beweis: Zu = : Wenn das System linear abhängig ist, dann gibt es nach 2.3.6 Skalare λ, λ 2,..., λ m K, nicht alle Null, mit λ v +... + λ m v m = 0. Zu zeigen ist, dass wenigstens ein v i Linearkombination der Anderen ist. Wähle nach Voraussetzung ein i mit λ i 0. Dann können wir die Gleichung mit λ i λ i v i = λ v λ 2 v 2... λ i v i λ i+ v i+... λ m v m v i = λ i multiplizieren. Es ergibt sich λ v λ i λ 2 v 2... λ i λ i v i λ i λ i+ v i+... λ i λ m v m, also v i Lin{v,..., v i, v i+,..., v m }, wie gewünscht. Zu = : Laut Voraussetzung gibt es ein v i mit v i Lin{v,... v i, v i+,..., v m } d.h. es existieren Elemente λ, λ 2,..., λ i, λ i+,..., λ m in K mit v i = λ v + λ 2 v 2 +... + λ i v i + λ i+ v i+ +... + λ m v m. Man bringe v i auf die rechte Seite: Es ergibt sich λ v + λ 2 v 2 +... + λ m v m = 0 mit λ i =. Da nicht alle λ j null sind, ist die Bedingung in 2.3.6 erfüllt und somit das System v,..., v n linear abhängig. Wir wenden uns nun der Frage zu, ob jeder Vektorraum eine Basis besitzt, und wie man sie ggf. findet. Die Antwort auf die erste Frage ist ja, allerdings muss hierzu der Basisbegriff so erweitert werden, dass auch Systeme aus unendlich vielen Vektoren zugelassen sind. Wir tun das in dieser Vorlesung nicht, sondern beschränken uns auf endlich erzeugte Vektorräume im Sinne der folgenden Definition. Definition 2.3.9 Ein K-Vektorraum heißt endlich erzeugt, falls er ein endliches Erzeugendensystem besitzt. In einem endlich erzeugten Vektorraum gibt es also endlich viele Vektoren v, v 2,..., v m mit V = Lin{v,..., v m }. Die Idee ist nun einfach, dass man eine Basis aus einem (endlichen) Erzeugendensystem durch weglassen überflüssiger Vektoren konstruiert. Die technische Durchführung dieser Idee benötigt den folgenden einfachen Hilfssatz. Lemma 2.3.0 Sei v, v 2,..., v m V ein Vektorsystem und v V ein weiterer Vektor. Wenn v Lin{v,..., v m } ist, dann ist sogar Lin{v,..., v m } = Lin{v,..., v m, v}. Beweis: Die Inklusion sollte offensichtlich sein. zur Inklusion : Nach Voraussetzung existieren γ, γ 2,..., γ m K mit v = γ v + γ 2 v 2 +... + γ m v m. Sei nun w Lin {v, v 2,..., v m, v}. Das heißt, es existieren α, α 2,..., α m, α K mit w = α v + α 2 v 2 +

Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau 69... + α m v m + αv. Ersetze v gemäß obiger Gleichung und wende einige Rechengesetze in Vektorräumen an: w = α v + α 2 v 2 +... + α m v m + α (γ v + γ 2 v 2 +... + γ m v m ) = (α + γ α) v + (α 2 + γ 2 α) v 2 +... + (α m + γ m α) v m Also ist w Lin {v,..., v m } wie behauptet. Nun der angekündigte Existenzsatz für Basen. Satz 2.3. Eine Basis eines endlich erzeugten Vektorraumes V kann aus einem beliebigen Erzeugendensystem durch Weglassen geeigneter Vektoren konstruiert werden. Beweis: O.B.d.A. sei V {0}. Es sei v,..., v m ein Erzeugendensystemvon V. Falls dieses System auch linear unabhängig ist, sind wir fertig. Anderenfalls existiert nach 2.3.8 ein v i, das Linearkombination der übrigen v j, j i ist. Bei geeigneter Numerierung ist i = m. Nach 2.3.0 ist dann bereits v,..., v m ein Erzeugendensystem. Wir wenden nun die gleiche Überlegung auf dieses Vektorsystem an: entweder ist v,..., v m eine Basis, oder V wird bei geeigneter Nummerierung bereits von v,..., v m 2 erzeugt. Nach endlich vielen Schritten muss der Prozeßabbrechen, und wir erhalten eine Basis v,..., v n für ein n m, wie gewünscht. Der Satz 2.3. liefert zwar die Existenz einer Basis, ist aber für viele Problemstellungen noch zu schwach. Man möchte gerne eine Basis haben, die vorgegebene Vektoren v,..., v r enthält. Diese Vektoren müssen linear unabhängig sein, sonst hat man keine Chance (warum nicht?). Mehr als die lineare Unabhängigkeit von v,..., v r braucht man nicht vorauszusetzen. Das wird der Satz 2.3.7 zeigen. Zunächst noch ein weiteres Lemma, das ein klein bisschen trickreicher als das vorige ist. Lemma 2.3.2 Es seien v, v,..., v m linear unabhängig in V und v V ein weiterer Vektor derart, dass das Vektorsystem v,..., v m, v linear abhängig ist. Dann ist v Lin{v,..., v m } Beweis: Es gibt Elemente λ, λ 2,..., λ m, λ K, die nicht alle 0 sind, so dass ( ) λ v + λ 2 v 2 +... + λ m v m + λv = 0.. Fall: λ 0. Dann ist v = λ (λ v + λ 2 v 2 +... + λ m v m ), also v Lin{v,..., v m }, wie gewünscht. 2. Fall: λ = 0. Dann gilt λ v +λ 2 v 2 +...+λ m v m = 0, und da das System v,..., v m linear unabhängig ist, folgt λ j = 0 für j =,..., m. Also sind alle Koeffizienten in ( ) gleich 0, im Widerspruch zur Voraussetzung. Das nächste Lemma zeigt, wie man aus einer Basis neue Basen konstruieren kann. Lemma 2.3.3 (Austauschlemma) Es sei V ein K-Vektorraum, v,..., v n eine Basis von V, ferner w V {0}. Dann kann w gegen eins der v i ausgetauscht werden. Das heißt, es existiert ein Index k {,..., n} derart, dass wieder eine Basis ist. v, v 2,..., v k, w, v k+,..., v n

70 Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau Zusatz: Schreibe w = α v +...+α n v n. Dann erfüllt jedes k mit α k 0 die Behauptung. Beweis: Sei k wie im Zusatz. Es sind zwei Aussagen zu zeigen : () v, v 2,..., v k, w, v k+,..., v n ist erzeugend. (2) v, v 2,..., v k, w, v k+,..., v n ist linear unabhängig. Zu (): Wir können die gegebene Gleichung nach v k auflösen und erhalten v k = α k ( α v +... α k v k + w α k+ v k+... α n v n ). Dieses bedeutet, dass v k Lin{v,..., v k, w, v k+,..., v n } ist. Nach Lemma 2.3.0 (mit v = v k ) folgt weiter Lin{v,..., v k, w, v k+,..., v n, v k } = Lin{v,..., v k, w, v k+,..., v n }. Da die erste Menge alle v i enthält, muss sie gleich ganz V sein. Also ist auch Lin{v,..., v k, w, v k+,..., v n } = V, wie gewünscht. Zu (2): Beweis durch Widerspruch: Angenommen, das System v,..., v k, w, v k+,..., v n sei linear abhängig. Weil die n Vektoren v,..., v k, v k+,..., v n linear unabhängig sind, folgt dann mittels Lemma 2.3.2 w Lin{v,..., v k, v k+,..., v n }. Es existieren also n Skalare β i K mit w = β v +... + β k v k + 0 v k + β k+ v k+ +... + β n v n. Vergleiche diese Darstellung mit der oben gegebenen Darstellung w = α v +... + α k v k + α k v k + α k+ v k+ +... + α n v n. Wir haben offenbar zwei verschiedene Darstellungen von w durch v,..., v n (nämlich α k 0, β k = 0). Dies ist ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit des ursprünglichen Systems v,..., v k, v k, v k+,..., v n ; siehe Satz 2.3.4. Wir wissen jetzt, dass ein endlich erzeugter Vektorraum nicht nur eine, sondern viele Basen besitzt. Z.B. kann jeder Vektor außer dem Nullvektor als erster Basisvektor benutzt werden. Nun kommen wir zu einem sehr wichtigen Satz, der das letzte Lemma verallgemeinert und auch zeigen wird, dass je zwei Basen die gleiche Länge haben. Theorem 2.3.4 (Steinitz scher Austauschsatz) Es sei V ein Vektorraum, u,..., u r V linear unabhängig und weiter v,..., v n eine Basis von V. Dann ist rlen. Weiter gibt es r unter den Vektoren v j derart, dass durch Austausch dieser v j durch u,..., u r wieder eine Basis entsteht. Nach geeigneter Umnummerierung der v i ist also eine Basis von V. Beweis: siehe Vorlesung! u, u 2,..., u r, v r+,..., v n Bemerkung: Für r = reduziert sich der Austauschsatz auf das Austauschlemma 2.3.3. Nun haben wir unser Etappenziel erreicht, nämlich eine präzise Fundierung des Dimensionsbegriffs.

Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau 7 Korollar und Definition 2.3.5 In einem endlich erzeugten Vektorraum V haben je zwei Basen gleich viele Elemente. Diese Zahl heißt auch Dimension von V, kurz dim V. Der Nullraum hat die Dimension 0. Falls V nicht endlich erzeugt ist, schreibt man dim V =. Beweis: Wenn u,..., u r die erste und v,... v n die zweite Basis ist, dann sind die Voraussetzungen des Austauschsatzes erfüllt, und es folgt r n. Da beide Systeme Basen sind, können wir ihre Rollen vertauschen und erhalten entsprechend n r, also insgesamt Gleichheit. Wir ziehen noch weitere, äusserst nützliche Folgerungen aus dem Austauschsatz und seiner Folgerung 2.3.5 Korollar 2.3.6 In einem n-dimensionalen Vektorraum ist ein System aus mehr als n Elementen immer linear abhängig. Beweis: Anderenfalls hätten wir direkt einen Widerspruch zur Aussage r n des Austauschsatzes. Nun kommt der oben angekündigte Satz über die Ergänzung von linear unabhängigen Vektoren zu einer Basis. Satz 2.3.7 (Basisergänzungssatz) Es sei V ein K-Vektorraum und v,..., v r V linear unabhängig. Weiter sei w,..., w s ein Erzeugendenystem von V. Dann kann v,..., v r durch Hinzunahme von geeigneten der w j zu einer Basis von V ergänzt werden. Das heißt, bei geeigneter Umnummerierung der w j ist v,..., v r, w,..., w k für passendes k mit 0 k s eine Basis von V. Beweis: siehe Vorlesung. Die nächsten beiden Korollare besagen, dass man sich von den beiden Forderungen an eine Basis eine sparen kann, wenn die Anzahl der Vektoren bereits die richtige ist. Korollar 2.3.8 Sei dim V = n und v,..., v n linear unabhängig. Dann bilden v,..., v n bereits eine Basis. Beweis: Nach dem Basisergänzungssatz 2.3.7 kann v,..., v n durch weitere Vektoren w, w 2,... zu einer Basis v, v 2,..., v n, w, w 2,... ergänzt werden. Da aber jede Basis aus n Vektoren besteht, kann es keine solchen w i geben. Das heißt: v,..., v n ist selbst Basis. Korollar 2.3.9 Sei dim V = n und v,..., v n ein Erzeugendensystem. Dann bilden v,..., v n bereits eine Basis. Beweis: Falls v,..., v n noch keine Basis wäre, könnte man jedenfalls nach Satz 2.3. eine Basis durch Weglassen von gewissen v i erhalten. Andererseits müßte auch diese Basis nach Korollar 2.3.5 aus n Vektoren bestehen, ein Widerspruch. Als weitere Konsequenz ergibt sich schließlich der folgende Sachverhalt, der im Fall der Ebenen bereits einmal erwähnt wurde. Korollar 2.3.20 Sei U V ein Untervektorraum und dim U = dim V <. Dann ist U = V. Beweis: Sei u,..., u n Basis von U, dabei n = dim U = dim V. Die Vektoren u,..., u n sind insbesondere linear unabhängig (da sie eine Basis von U sind). Nach 2.3.8 bilden u,..., u n eine Basis von V. Insbesondere ist u,..., u n ein Erzeugendensystem von V, das heißt Lin{u,..., u n } = V. Also ist U = V, wie gewünscht.

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