Division komplexer Zahlen

Division komplexer Zahlen Der Quotient z /z 2 zweier komplexer Zahlen z k = x k + iy k = r k exp(iϕ k ) ist Speziell ist x x 2 + y y 2 x 2 2 + y 2 2 + x 2y x y 2 x 2 2 + y 2 2 i = r r 2 exp(i(ϕ ϕ 2 )). z = r 2 z = r exp( iϕ) = x r 2 y r 2 i. Division komplexer Zahlen -

Division komplexer Zahlen Der Quotient z /z 2 zweier komplexer Zahlen ist x x 2 + y y 2 x 2 2 + y 2 2 z k = x k + iy k = r k exp(iϕ k ) + x 2y x y 2 x 2 2 + y 2 2 i = r r 2 exp(i(ϕ ϕ 2 )). Speziell ist z = r 2 z = r exp( iϕ) = x r 2 y r 2 i. Der Kehrwert einer komplexen Zahl läßt sich durch Spiegelung am Einheitskreis C konstruieren, wie in der Abbildung veranschaulicht ist. Division komplexer Zahlen -2

v z w z/2 0 /z Die komplex konjugierte Zahl w = / z ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Vierecks aus den Tangenten an C durch den Punkt z und den rechtwinklig schneidenden Radii. Die Zahl /z erhält man dann durch Spiegelung an der reellen Achse. Division komplexer Zahlen -3

Beweis: (i) Quotient zweier komplexer Zahlen: Division komplexer Zahlen 2-

Beweis: (i) Quotient zweier komplexer Zahlen: z k = x k + iy k = r k exp(iϕ k ), k =, 2 Division komplexer Zahlen 2-2

Beweis: (i) Quotient zweier komplexer Zahlen: Standardform z k = x k + iy k = r k exp(iϕ k ), k =, 2 z = x + iy = (x + iy )(x 2 iy 2 ) z 2 x 2 + iy 2 (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) = (x x 2 + y y 2 ) + (x 2 y x y 2 )i x2 2 + y 2 2 Division komplexer Zahlen 2-3

Beweis: (i) Quotient zweier komplexer Zahlen: Standardform z k = x k + iy k = r k exp(iϕ k ), k =, 2 z = x + iy = (x + iy )(x 2 iy 2 ) z 2 x 2 + iy 2 (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) = (x x 2 + y y 2 ) + (x 2 y x y 2 )i x2 2 + y 2 2 Polarform z = r exp(iϕ ) z 2 r 2 exp(iϕ 2 ) = r exp(iϕ iϕ 2 ) r 2 Division komplexer Zahlen 2-4

(ii) Kehrwert: Division komplexer Zahlen 2-5

(ii) Kehrwert: z = = x + iy = x iy (x + iy)(x iy) z x 2 + y 2 = z r 2 = r exp( iϕ) Division komplexer Zahlen 2-6

(ii) Kehrwert: z = = x + iy = x iy (x + iy)(x iy) z x 2 + y 2 = z r 2 = r exp( iϕ) (iii) Geometrische Konstruktion mit Hilfe des Satzes von Pythagoras: w z = 2 (Quadrat einer Kathete = Produkt von Hypothenuse und entsprechendem Hypothenusenabschnitt) Division komplexer Zahlen 2-7

(ii) Kehrwert: z = = x + iy = x iy (x + iy)(x iy) z x 2 + y 2 = z r 2 = r exp( iϕ) (iii) Geometrische Konstruktion mit Hilfe des Satzes von Pythagoras: w z = 2 (Quadrat einer Kathete = Produkt von Hypothenuse und entsprechendem Hypothenusenabschnitt) korrekter Betrag von w = / z: w = w = / z = /z Division komplexer Zahlen 2-8

(ii) Kehrwert: z = = x + iy = x iy (x + iy)(x iy) z x 2 + y 2 = z r 2 = r exp( iϕ) (iii) Geometrische Konstruktion mit Hilfe des Satzes von Pythagoras: w z = 2 (Quadrat einer Kathete = Produkt von Hypothenuse und entsprechendem Hypothenusenabschnitt) korrekter Betrag von w = / z: w = w = / z = /z Spiegelung an der reellen Achse Änderung des Vorzeichen des Arguments: arg w = arg w = arg z = arg(/z) Division komplexer Zahlen 2-9

Beispiel: ( + 3i) + 2 exp( iπ/6) exp(iπ/2)( i) Division komplexer Zahlen 3-

Beispiel: ( + 3i) + 2 exp( iπ/6) exp(iπ/2)( i) Summe im Zähler in Standardform: ( + ( ) 3i) + 2 3/2 i/2 = ( + 3) + ( 3 )i Division komplexer Zahlen 3-2

Beispiel: ( + 3i) + 2 exp( iπ/6) exp(iπ/2)( i) Summe im Zähler in Standardform: ( + ( ) 3i) + 2 3/2 i/2 = ( + 3) + ( 3 )i Produkt im Nenner in Polarform: exp(iπ/2) 2 exp( iπ/4) = 2 exp(iπ/4) = + i Division komplexer Zahlen 3-3

Beispiel: ( + 3i) + 2 exp( iπ/6) exp(iπ/2)( i) Summe im Zähler in Standardform: ( + ( ) 3i) + 2 3/2 i/2 = ( + 3) + ( 3 )i Produkt im Nenner in Polarform: exp(iπ/2) 2 exp( iπ/4) = 2 exp(iπ/4) = + i Quotient, erweitert mit ( i) (( + 3) + ( 3 )i)( i) ( + i)( i) bzw. in Standardform = 2 3 2i 2 2(cos(π/6) i sin(π/6)) = 3 i = 2 exp( iπ/6) Division komplexer Zahlen 3-4

Beispiel: Spannung und Stromstärke bei linearen Wechselstromnetzwerken U(t) = U 0 e i(ωt+ϕ), I (t) = I 0 e i(ωt+ψ) Division komplexer Zahlen 4-

Beispiel: Spannung und Stromstärke bei linearen Wechselstromnetzwerken U(t) = U 0 e i(ωt+ϕ), I (t) = I 0 e i(ωt+ψ) zeitunabhängiger komplexer Widerstand Z = U(t)/I (t) Division komplexer Zahlen 4-2

Beispiel: Spannung und Stromstärke bei linearen Wechselstromnetzwerken U(t) = U 0 e i(ωt+ϕ), I (t) = I 0 e i(ωt+ψ) zeitunabhängiger komplexer Widerstand Z = U(t)/I (t) Widerstand R Spule L Kondensator C Z = R Z = iωl Z = (iωc) Division komplexer Zahlen 4-3

Addition der komplexen Widerstände bei Serienschaltung: Z gesamt = Z + Z 2 Division komplexer Zahlen 4-4

Addition der komplexen Widerstände bei Serienschaltung: Z gesamt = Z + Z 2 Addition der Kehrwerte der komplexen Widerstände bei Parallelschaltung: Z gesamt = Z + Z 2 Z gesamt = Z Z 2 Z + Z 2 Division komplexer Zahlen 4-5

Addition der komplexen Widerstände bei Serienschaltung: Z gesamt = Z + Z 2 Addition der Kehrwerte der komplexen Widerstände bei Parallelschaltung: Z gesamt = Z + Z 2 Z gesamt = Z Z 2 Z + Z 2 Re Z: Wirkwiderstand, Im Z: Blindwiderstand, Z : Scheinwiderstand oder Impedanz Division komplexer Zahlen 4-6

Addition der komplexen Widerstände bei Serienschaltung: Z gesamt = Z + Z 2 Addition der Kehrwerte der komplexen Widerstände bei Parallelschaltung: Z gesamt = Z + Z 2 Z gesamt = Z Z 2 Z + Z 2 Re Z: Wirkwiderstand, Im Z: Blindwiderstand, Z : Scheinwiderstand oder Impedanz ωl = 00Ω (ωc) = 200Ω R = 300Ω Division komplexer Zahlen 4-7

Gesamtwiderstand Z gesamt = iωl + R(iωC) 300Ω( 200iΩ) = 00iΩ + R + (iωc) 300Ω 200iΩ ( ) = i 00Ω = 6i 3 2i 200 500i Ω (92.3 38.46i)Ω 3 Division komplexer Zahlen 4-8

Gesamtwiderstand Z gesamt = iωl + R(iωC) 300Ω( 200iΩ) = 00iΩ + R + (iωc) 300Ω 200iΩ ( ) = i 00Ω = 6i 3 2i 200 500i Ω (92.3 38.46i)Ω 3 Wechselspannung von U effektiv = 220V Effektivstrom I effektiv = U effektiv Z = 220V 00Ω = 2.2A Division komplexer Zahlen 4-9