Bildmaterial zur Vorlesung Regelungstechnik Teil III Der Regelkreis Wintersemester 04 Prof. Dr.-Ing. habil. Klaus-Peter Döge
Regelkreis nach DIN 96 Teil 5
Vereinfachter Regelkreis 3
Einführendes Beispiel zum Führungs- und Störverhalten: ACC-Regelkreis *) Fahrzeug : Störgröße z(t)=v (t) Regelabweichung ε(t)=w(t)-x(t)= 0 m Regelgröße x(t): z.b. 50 m Führungsgröße w(t) = 60 m Fahrzeug : v(t) w(t) ε(t) PID - Regler Regelstrecke: Fahrzeug z(t) x(t) *) ausführliche Behandlung im 5.Semester im Fach Digitale Regelungssysteme 4
Abhängigkeit der Regelgröße und der Regelabweichung von der Führungs- und Störgröße w(t) z(t) (t) Regler Regelstrecke x(t) -. Wie verhält sich die Regelgröße x(t)?. Wie verhält sich die Regelabweichung (t)? 3. Gibt es eine bleibende Regelabweichung? 5
Wie verhält sich die Regelgröße X(s) in Abhängigkeit von W(s) und/oder Z(s)? Mit Z(s) = 0 ergibt sich die Übertragungsfunktion der Führungsgröße: G WX W(s) X (s) G0 (s) () s W(s) G (s) 0 - G 0 (s) Z(s) X(s) Mit W(s) = 0 ergibt sich die Übertragungsfunktion der Störgröße: G ZX X (s) () s Z(s) G (s) 0 X W (s) Daraus erhält man die Regelgröße in Abhängigkeit von W(p) oder Z(p): G (s) G (s) 0 Z W(s) 0 0 X (s) G (s) Z(s) Die Reaktion der Regelgröße auf eine Änderung der Führungs- und Störgröße erhält man durch Überlagerung von X W (s) und X Z (s): G (s) X Z W G (s) G (s) 0 (s) (s) (s) (Störverhalten) 0 0 (Führungsverhalten) 6
Wie verhält sich die Regelabweichung (s) in Abhängigkeit von W(s) und/oder Z(s)? (s) W(s) G 0 (s) - Z(s) Mit Z(s) = 0 ergibt sich die Regelabweichung in Abhängigkeit von der Führungsgröße: Mit W(s) = 0 ergibt sich die Regelabweichung in Abhängigkeit von der Störgröße: W (s) W (s) G (s) 0 Z (s) G (s) 0 Z(s) Die Regelabweichung in Abhängigkeit von Führungsgröße und Störgröße erhält man durch Überlagerung von W (s) und Z (s) : (s) (s) (s) G (s) W Z 0 7
Gibt es eine bleibende Regelabweichung? Für die drei berechneten Formeln (s) (s) (s) G (s) W Z 0 W (s) W (s) G (s) 0 Z (s) G (s) 0 Z(s) lässt sich die bleibende Regelabweichung mit dem Endwertsatz der Laplace-Transformation berechnen: ( ) lim s (s) s 0 8
Beispiel zur Berechnung der bleibenden Regelabweichung eines Regelkreises mit Einheitsrückführung Regelaufgabe: Automatische Höhenregulierung von drei Pfeilern des Bahrebachmühlenviadukts beim Umbau 00. Quelle: www.zueblin-international.com 9
Abstützung der Pfeiler mit Hydraulikpressen während der Bauphase. 0
Quelle: Tiefbau 4/00 Geforderte Genauigkeit der Höhenregulierung: Begrenzung der Setzung auf 3 mm Messung der Viaduktverformung mit /0 mm Genauigkeit mit einem Sensornetz
Modellierung der Regelstrecke als P-Glied Modellierung der Messung Öldruck Hub G s (s) = a. Die Messung erfolgt ohne Zeitverzögerung Der Hub ist dem Öldruck proportional mit einem Faktor a.
Modellierung des Hubvorgangs gewünschter Hub (t) Regler Öldruck a Hub w 0 (t) x(t) Es soll nun untersucht werden, welcher Regler für den Ausgleich der Setzung während der Bauphase geeignet ist. Auf Grund der hohen Genauigkeitsanforderung (3 mm) wird dies anhand der bleibenden Regelabweichung untersucht. a) P-Regler b) I-Regler c) I -Regler G (s) R k ki GR (s) s ki GR (s) s Gegeben ist somit eine proportional wirkende Regelstrecke G s (s) = a. Der gewünschte Hub ist w 0. 3
Auswertung des Beispiels Eingangsgröße W(s) w 0 s w s w s 0 0 3 Eingangsgröße w(t) p-regler I-Regler I -Regler G (s) R k G (s) I I GR (s) Konstante 0 0 R k s Konstante 0 Konstante k s Erkenntnisse: I-Regler sind genau. I-Regler sind aber problematisch hinsichtlich der Stabilität 4
Beispiel zur Berechnung der bleibenden Regelabweichung mit einer Messeinrichtung in der Rückführung w(t) w(t) = 0 für t < 0 = 00 für t 0 W(s) - E(s) Regler G R (s) Regelstrecke + st + st3 X(s) (t) ag ) (s) 9 R +pt Messglied ) (s) bg R 0, s 5
Umformung des Regelkreises zur Lösung der Aufgabe:. Ausgangssituation W(s) - E(s) G R (s) + st + st3 X(s) + st. Ausgangsgröße ist nicht mehr x(t) sondern (t) W(s) - E(s) G R (s) + st + st3 + st 3. Damit sind alle Elemente des Regelkreises in Reihe geschaltet W(s) E(s) - + st + st 3 + st G R (s) 6
4. E(s) wird als Ausgangsgröße herausgeführt W(s) E(s) - + st + st 3 + st G R (s) Lösung: a) ( ) = 0 bleibende Regelabweichung w(t) 00 ( ) = 0 90 (t) w(t) ( ) = 0 b) ( ) = 0 bleibende Regelabweichung = 0 (t) 7
Übergangsverhalten des geschlossenen Regelkreises 8
Übergangsfunktionen der Regelstrecke 9
Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick für Regelstecken mit Ausgleich T u Verzugszeit i.s. einer Totzeit T g Ausgleichzeit i.s. einer Zeitkonstante K s Übertragungsbeiwert i.s. einer Streckenverstärkung 0
Einstellregeln nach Chien, Hrones und Reswick für Regelstecken ohne Ausgleich T u Verzugszeit i.s. einer Totzeit K IS Integrationsbeiwert
Definition der Stabilität anhand eines Versuches mit einem PT Glied Variation der Reibung r: r r in kg/s schwingungsfähig nicht schwingungsfähig stabil +0. + c = Nm instabil -0. - x a (t) Systemantwort Testfunktionen Impulsfunktion x e (t) m =0. kg Sprungfunktion Sinusfunktion Dynamisches System: PT Glied als Federpendel realisiert
Versuch : Systemreaktionen des schwingungsfähigen und stabilen Systems Dirac-Impuls σ(t) Gewichtsfunktion g(t) 0 kg/s < r < kg/s Sprungfunktion δ(t) c, r x a (t) Übergangsfunktion h(t) x e (t) m Sinusfunktion periodische Funktion 3
Versuch : Systemreaktionen des nicht schwingungsfähigen und stabilen Systems Dirac-Impuls σ(t) Gewichtsfunktion g(t) r kg/s Sprungfunktion δ(t) c, r x a (t) Übergangsfunktion h(t) x e (t) m Sinusfunktion periodische Funktion 4
Versuch 3: Systemreaktionen des schwingungsfähigen und nicht stabilen Systems Dirac-Impuls σ(t) Gewichtsfunktion g(t) - kg/s < r < 0 kg/s Sprungfunktion δ(t) c, r x a (t) Übergangsfunktion h(t) x e (t) m Sinusfunktion periodische Funktion 5
Versuch 4: Systemreaktionen des nicht schwingungsfähigen und nicht stabilen Systems Dirac-Impuls σ(t) Gewichtsfunktion g(t) r - kg/s Sprungfunktion δ(t) c, r x a (t) Übergangsfunktion h(t) x e (t) m Sinusfunktion periodische Funktion 6
Die Verallgemeinerung dieser Ergebnisse führt zu einer - von mehreren - Definitionen der Stabilität Testsignale stabile Systemantworten instabile Systemantworten 7
Grundprinzipien der Stabilitätsüberprüfung. Am geschlossenen Regelkreis - Pol-Nullstellen-Plan - Hurwitz-Kriterium - Routh-Kriterium - Regler Regelstrecke. Am offenen Regelkreis Regler Regelstrecke - Nyquist-Kriterium 8
Der Pol-Nullstellen Plan Mögliche Polstellenlagen eines rückgekoppelten Systems j Im stabil instabil Re theoretisch: grenzstabil praktisch: instabil 9
Das Hurwitz-Kriterium: Stabilitätsuntersuchung am geschlossenen Regelkreis Adolf Hurwitz (859 99), deutscher Mathematiker 30
Arbeitsschritte für das Hurwitz-Kriterium Ausgangssituation - Regler G R (s) Regelstrecke G s (s). Berechnung der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises G 0(s)= G R(s)G S(s). Berechnung der Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises G WX G0(s) (s) G (s) 0 3. Umformen der Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises um Polynome im Zähler und Nenner zu erhalten G Z0(s) ( p) N (s) Z (s) Z(s) Z(s) N (s) 0 0 WX n n n Z0(s) Z0(s) N0(s) N(s) ans an s an s... a0 0 3
4. Berechnung der Hurwitz Determinanten aus den Koeffizienten des Nennerpolynoms Z N N a s a s a s a 0(s) 0(s) (s) n n n n n n... 0 a a a n n 3 a a a n 5 n n n 4 D 0 a a n n n 3 0 a n 0 0 a n D a n n 3 a n a a n D an Stabilitätsbedingung. alle Koeffizienten a i von N(s) sind vorhanden, d.h. sind von Null verschieden. alle Koeffizienten a i haben positive Vorzeichen 3. alle n HURWITZ-Determinanten D j sind positiv 3
Beispiele zur Anwendung des Hurwitz - Kriteriums Beispiel : Regler Regelstrecke Lösungen: Beispiel : k 0 - s Regler + s + s 4 Regelstrecke D 6 0 D 6 8k 0 k 3/ 4 0 0 D k 6 8k 0 k 3/ 4 3 0 0 0 k 3/ 4 Grenze der Stabilität - k 0 s + s a fehlt Regelkreis ist instabil Beispiel 3: - Regler k 0 Regelstrecke + s T + s T + s T3 D = D = 30 D 3 = 80 Regelkreis ist stabil mit T = s, T = s, T3 = 3 s, k 0 =5 33
Das Routh Kriterium: Stabilitätsuntersuchung am geschlossenen Regelkreis Edward John Routh (* 0. Januar 83 in Quebec, Kanada; 7. Juni 907 in Cambridge, England) englischer Mathematiker und Naturphilosoph. 34
Arbeitsschritte für das Routh - Kriterium Ausgangssituation w(t) (t) Regler G R (p) Regelstrecke G s (p) x a (t) -. Berechnung der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises G 0(p)=G R(p)G S(p). Berechnung der Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises G WX G0 ( p) ( p) G ( p) 0 3. Umformen der Führungsübertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises um Polynome im Zähler und Nenner zu erhalten G Z0( p) ( p) N ( p) Z ( p) Z( p) Z( p) N ( p) 0 0 WX n n n Z0( p) Z0( p) N0( p) N( p) anp an p an p... a0 0 35
4. Anwendung des Routh schen Rechenschemas auf die Koeffizienten des Nennerpolynoms Z p N p N p a p a p a p a 0( ) 0( ) ( ) n n n n n n... 0 a a a a n n n 4 n 6 a a a a n n 3 n 5 n 7 a bn bn 4 bn 6 bn 8 bn k an k A an ( k ) mit A a a cn 3 cn 5 cn 7 cn 9 cn k an k B bn ( k ) mit B b b dn 4 dn 6 dn 8 dn 0 dn k bn k C cn ( k ) mit C c n n n n n n 3 5. Ermitteln der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte des Rechenschemas. Stabilitätsbedingung: Das System ist stabil, wenn keine Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte des Rechenschemas auftreten. Anmerkung: Die Anzahl der Vorzeichenwechsel entspricht der Anzahl der Nullstellen von N(p) in der rechten p-halbebene. Ist ein Element der ersten Spalte gleich null, so ist das System grenzstabil. 36
Beispiel zur Anwendung des Routh-Kriteriums Regler Regelstrecke w(t) - k 0 p +p +p 4 x(t) Fall : k = 0,5 kein VZ-Wechsel: der Regelkreis arbeitet stabil Fall : k = 3/4 kein VZ-Wechsel, aber b = 0, der Regelkreis arbeitet an der Stabilitätsgrenze Fall 3: k = VZ-Wechsel: der Regelkreis arbeitet instabil 37
Das Nyquist Kriterium: Stabilitätsuntersuchung am offenen Regelkreis Harry Nyquist (889 976) Physiker 38
Warum wird ein weiteres Stabilitätskriterium benötigt? Die algebraischen Verfahren nach HURWITZ und ROUTH arbeiten mit der Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises: G wx G 0(s) (s)= +G (s) 0 Das Nyquist Verfahren arbeitet mit dem Frequenzgang des offenen Regelkreises: G (j ) 0 Vorteil: Dieser lässt sich experimentell bestimmen und grafisch auswerten (siehe Versuch zur experimentelle Bestimmung des Frequenzgangs eines Federpendels) Frage: Wie Lässt sich aus dem Frequenzgang G 0 (j ) des offenen Regelkreis W(jω) - G o (jω) X a (jω) die Stabilität des geschlossenen Regelkreises W(s) G o (p) X a (s) - ableiten? 39
Erklärung des vereinfachten Stabilitätskriteriums nach Nyquist Ausgangspunkt der Betrachtung ist der geschlossene Regelkreis W(s) - G 0(s)= G R(s)G S(s) G R (s) G s (s) X a (s) W(s) - G o (s) X a (s) G mit der Übertragungsfunktion: 0(s) G wx(s)= +G (s) 0 Stabilität ist eine Systemeigenschaft und somit unabhängig von Eingangsgrößen wie der Führungsgröße W(s) und der Störgröße Z(s). Diese werden Null gesetzt. - G o (s) X a (s) 40
Der so entstandene Regelkreis wird aufgeschnitten und bekommt an der Schnittstelle eine sinusförmige Eingangsgröße X E (j ) eingespeist - G o (j ) X A (j ) X E (j ) Aus dem Blockschaltbild lässt sich ablesen, dass die Eingangsgröße X E (j ) durch den Frequenzgang des offenen Regelkreises Go(j ) mit der Ausgangsgröße X A (j ) wie folgt verknüpft ist: X ( j ) G ( j ) X ( j ) E 0 A Daraus ergibt sich der Frequenzgang des offenen Regelkreises G ( j ) 0 X X A E ( j ) ( j ) 4
Der geschlossene Regelkreis schwingt ungedämpft mit einer bestimmten Frequenz = krit wenn Eingangs- und Ausgangssignal identisch sind: X ( j ) X ( j ) A Dann gilt für den Frequenzgang des offenen Regelkreises : E G 0 XA( j ) ( j ) X ( j ) Dies wird eingesetzt in den Frequenzgang des geschlossenen Regelkreises E G 0(j ) G wx(j )= +G (j ) 0 Somit ist der geschlossene Regelkreis instabil, wenn gilt: G ( ) 0 j 4
Durch Umkehrung dieser Aussage entsteht die Stabilitätsbedingung für das vereinfachte*) Nyquist-Kriterium: Der geschlossene Regelkreis ist genau dann stabil, wenn die Ortskurve des Frequenzganges Go(j ) des aufgeschnittenen Regelkreises den kritischen Punkt (-,0) weder umschlingt, noch durch ihn hindurch geht. Im {G 0 (j )} stabil - = = 0 Re {G 0 (j )} G 0 (j ) *) Dies gilt nur, wenn der offene Regelkreis stabil ist oder hat höchstens zwei Pole bei Null besitzt. Eine Aufhebung dieser Bedingung führt zum vollständigen Nyquist-Kriterium, das hier nicht behandelt wird. 43
Weitere Aussagen: Im {G 0 (j )} grenzstabil - = = 0 G 0 (j ) Im {G 0 (j )} instabil - = = 0 G 0 (j ) 44
PT PT PT 3 Im Im Im Re Re Re =0 =0 STABIL STABIL STABIL INSTABIL 45
I I I 3 Im Im Im Re Re Re STABIL =0 GRENZSTABIL INSTABIL! INSTABIL! 46
I T I T I T Im Im Im Re Re Re STABIL STABIL INSTABIL INSTABIL 47
Arbeitsschritte für das Nyquist-Kriterium Ausgangssituation - Regler G R (s) Regelstrecke G s (s). Berechnung der Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises G 0(s)= G R(s)G S(s). s = j setzen und G 0 (j ) ermitteln G 0(j )=G R(j )G S(j ) 3. G 0 (j ) in Real- und Imaginärteil zerlegen durch konjungiert komplexes Erweitern von G 0 (j ) 4. Imaginärteil = 0 setzen und bestimmen der kritischen Frequenz kr (Frequenz, bei der die Ortskurve die reelle Achse schneidet) 48
5. Bei vorgegebenen Parametern (Verstärkung) kr in den Realteil einsetzen. Bei Re (G 0 ( kr )) > - stabil = - grenzstabil < - instabil oder bei variabler Verstärkung 5. Durch setzen Re(G 0 (j )) = - die kritische Verstärkung V kr bestimmen 6. Ortskurve zeichnen Stabilitätsbedingung Ist der offene Regelkreis stabil oder hat höchstens zwei Pole bei Null, so ist der geschlossene Regelkreis genau dann stabil, wenn die Ortskurve des Frequenzganges des aufgeschnittenen Regelkreises den kritischen Punkt (-,0) weder umschlingt, noch durch ihn hindurch geht. Anmerkung: Der Regelkreis zeigt dann stabiles Verhalten, wenn die Ortskurve des Frequenzganges beim Lauf von = 0 nach = den kritischen Punkt (-, j0) stets zur linken Hand hat. 49
Beispiele zur Anwendung des Nyquist-Kriteriums Regler Regelstrecke Beispiel : - k s + s + 4s Lösung: -ω k = 0,75: grenzstabil 0 < k < 0,75: stabil -ω k > 0.75: instabil -ω +ω (-,0) ω=0 +ω +ω 50
Regler Regelstrecke Beispiel : - k s + s Lösung: +ω +ω k = 0: instabil k = : instabil k = 4: instabil +ω ω= -ω -ω -ω 5
Zusammenfassendes Beispiel: Lok als Regelstrecke Lok V80 als Regelstrecke mit den Systemeigenschaften der Masse m = 78 t und dem Fahrwiderstand k = 50000 kg/s. Zugkraft F Geschwindigkeit v Eingangsgröße Ausgangsgröße 5
Erstellen eines Systemmodells Modellierung des Systems im Zeitbereich durch eine Differentialgleichung. x e (t) x ( t) m x ( t) k x ( t) e a a x a (t) Modellierung des Systems im Bildbereich durch eine Übertragungsfunktion. X e (s) K m G(s) T K st k k X a (s) 53
Berechnung der Übergangsfunktion: Reaktion auf eine bleibende Erhöhung der Zugkraft Reaktion auf eine bleibende Erhöhung der Zugkraft von 0 auf 47000 N: F in N K / T h( t) L G(s) / s L K e s s T tt / v in m/s t in s Eine sprunghafte Änderung der Zugkraft wird zeitverzögert angenommen. 54
Berechnung der Gewichtsfunktion: Reaktion auf eine kurzzeitige Erhöhung der Zugkraft Berechnung der Gewichtsfunktion: Reaktion auf eine kurzzeitige Erhöhung der Zugkraft von 0 auf 47000 N: F in N K / T K g( t) L G(s) L e s T T tt / v in m/s t in s Eine kurzzeitige Änderung der Zugkraft wird zeitverzögert abgebaut. 55
Zusammenfassendes Beispiel für das Selbststudium (Die Laplace-Variable lautet hier p) 56
w(t) Regler k - - G r (p) = v v-> + p 0,5 - + p ( +p) + p + p - 3p + Regelstrecke x(t) Aufgabe : Bestimmen Sie die Struktur des Reglers Aufgabe : Weisen Sie nach, dass die Regelstrecke ein PT Übertragungsverhalten hat (Hinweis: Verzweigungspunkt verschieben und Korrekturglied einfügen) Aufgabe 3: Berechnen Sie die kritische Verstärkung k kr nach HURWITZ Aufgabe 4: Berechnen Sie die kritische Frequenz und Verstärkung nach NYQUIST Aufgabe 5: Bestimmen Sie den Stellungsfehler (t ) für k = 0,5 k kr und w(t) = 57
Lösung Aufgabe Analyse des Reglers: Regler Rückführschaltung k - G r (p) = v v-> + p 0,5 Kettenschaltung G R (p) 58
Berechnung der Übertragungsfunktion der Rückführschaltung: Regler k Rückführschaltung Gr G ( 0,5 p) r Kettenschaltung Regler k Kettenschaltung Rückführschaltung Gr G r Gr ( 0,5 p) G r Regler k Rückführschaltung ( 0,5 p) G r Kettenschaltung 59
Für v-> geht /Gr gegen Null und es ergibt sich: Regler Rückführschaltung k ( 0,5 p) Kettenschaltung Die Berechnung der Übertragungsfunktion der Kettenschaltung führt auf die Übertragungsfunktion des Reglers: Regler G R k 0,5 p 60
Lösung Aufgabe Analyse der Regelstrecke: Regelstrecke Rückführschaltung Kettenschaltung : G (p) + p + 0,5p - ( +p) + p Rückführschaltung - 3p + Kettenschaltung : G (p) G S(p) 6
Berechnung der Übertragungsfunktion der Rückführschaltung : Rückführschaltung - 3p + (3p ) (3p ) 3p 3p 3 3( p ) Rückführschaltung 3( p ) 6
Berechnung von Kettenschaltung : ( +p) + p Rückführschaltung 3( p ) (p+) G (p)= + p = = (+p) 3(p+) (+p) 3(p+) 3(+p) G (p)= 3(+p) Berechnung von Kettenschaltung : + p + 0,5p G (p)=(+p)(+0.5p)= (+p)(+p)=(+p) G (p)=(+p) 63
Berechnung der Übertragungsfunktion von Rückführschaltung. Diese entspricht der Übertragungsfunktion der Regelstrecke Regelstrecke Rückführschaltung G (p)=(+p) - G (p)= 3(+p) G (p) 3(+p) G (p)= +G (p)g (p) 3(+p) (+p) 4(+p) 6(+0.5p) S (+p) Regelstrecke 3(+p) G (p)= 6(+0.5p) S 64
Durch Lösung von Aufgabe und wurde der gegebene Regelkreis w(t) Regler k - - G r (p) = v v-> + p 0,5 - + p ( +p) + p + p - 3p + Regelstrecke x(t) wie folgt vereinfacht: Regler: PT Regelstrecke: PT w(t) - k G (p)= 6 (+0,5p) G R (p)= +0,5p S x(t) 65
Für die weitere Rechnung werden benötigt: Übertragungsfunktion der offenen Kette w(t) - k G O(p)=G R (p)g S(p)= 6 (+0,5p) 3 x(t) k 3 G (p) 6 (+0,5p) k +G (p) k 6 (+0,5p) 6 (+0,5p) 3 O G WX (p)= = O 3 k Führungsübertragungsfunktion des Regelkreises w(t) G k (p)= 6 (+0,5p) WX 3 k x(t) 66
Lösung Aufgabe 3 k k Z ( p ) k k p p p k N p p p p k G WX(p)= 6 (+0,5p) 3 6(.5 0.75 0.5 3 ) ( ) 3 4 6 Es sind alle Koeffizienten des Nennerpolynoms vorhanden und größer Null: a3 ; a ; a 4; a0 6 k Berechnung der Determinanten: D det a a a D det a a a a 4 (6 k) 0 für k 8 ist D 0 0 a3 a 3 0 a 0 0 D det a a 0 a D 0; D 0; s. o 3 3 0 0 a a a 0 Damit wurde die kritische Verstärkung k kr = 8 ermittelt. 67
Lösung Aufgabe 4 Berechung von Real- und Imaginärteil des Frequenzgangs der offenen Kette: 3 3 3 G (j )= k (-0,5j ) k(-0,5j ) k(-0,5j ) 6 (+0,5j ) (-0,5j ) 6(+0.5 ) 6(+0.5 ) O 3 3 3 3 3 3 k( 0.75 j(0.5.5 )) k( 0.75 ) k(0.5.5 ) 0( ) 3 3 3 G j j 6(+0.5 ) 6(+0.5 ) 6(+0.5 ) Re{G O(j )} Im{G O(j )} Nullsetzen des Imaginärteils führt zur kritischen Kreisfrequenz ω krit k 6(+0.5 ) 3 (0.5.5 ) 3 0 0.5.5; krit Hz Einsetzen von ω krit in Realteil = - führt zur kritischen Verstärkung k krit 3 k( 0.75 krit ) 6(+0.5 krit ) 04 0 krit 3 krit 6(+0.5 krit ) ( 0.75 krit ) 8 Re{ G ( j )} ; k 8 68
Prüfung der kritischen Verstärkung anhand der Sprungantwort w(t) G k WX 3 (p)= 6 (+0,5p) k k x(t) Für eine Reglerverstärkung von 0 < k < k krit arbeitet der Regelkreis stabil. k = 00 k= 8 69
Bei einer Reglerverstärkung von k= k krit = 8 ist der Regelkreis an der Stabilitätsgrenze. k = 8 Ab einer Reglerverstärkung von k > 8 arbeitet der Regelkreis instabil k = 60
Prüfung der kritischen Verstärkung im Nyquist-Diagramm (-,0)
Lösung Aufgabe 5 ( ) lim ( pp ) p 0 Endwertsatz der Laplacetransformation ( p) W ( p) G ( p ) 0 Regelabweichung in Abhängigkeit von der Führungsgröße mit: wt ( ) W( p) p und ( p) 6 (+0,5p) 6 (+0,5p) k 3 p 6 (+0,5p) k p 3 3 k G O(p)= 6 (+0,5p) 3 3 ( ) lim ( p) p lim p 0 p 0 6 (+0,5p) 3 6 (+0,5p) kp p mit k= 0.5 k krit = 64 3 3 ( 6 (+0,5p) 6 () 6 ) lim p 0 6 (+0,5p) 3 64 6 (+) 3 64 80 5
Prüfung der bleibenden Regelabweichung durch Simulation G 64 k WX W(p) =/p 3 (p)= 6 (+0,5p) k 64 X(p) ( ) 0.