Mikroökonomik B 1. Intertemporale Entscheidung Dennis Gärtner 10. April 2012
Intertemporale Entscheidung Literaturangaben: Varian (2011), Kapitel 10 und 11. Ausgangspunkt: Konsumententheorie, d.h. Konsumentscheidung über die Zusammensetzung verschiedener Güterbündel. Alternative Interpretation: Entscheidung über Konsumzeitpunkte (Intertemporale Entscheidungstheorie). Anwendungen: Investitions- und Sparentscheidungen, Finanz- und Kreditmärkte, Makroökonomie. 2 / 42
Notation Es gebe T N verschiedene Zeitperioden. x t bezeichnet Anzahl an Einheiten eines Gutes in Periode t. Es wird nur ein (beliebig teilbares) Gut betrachtet, es könnte z.b. stellvertretend für einen Warenkorb stehen. Der Vektor x = (x 1, x 2,...,x T ) ist ein Konsumplan. Die Konsummenge X beschreibt die Menge aller möglichen Konsumpläne, d.h. es gilt: x X. X beschreibt die Konsummöglichkeiten eines Konsumenten. Eigenschaften: X sei eine abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge des R T + und enthalte 0. Üblicherweise Einschränkungen beim tatsächlichen Konsum z.b. durch begrenztes Budget Budgetmenge. 3 / 42
Budgetmenge Analog zur Konsumententheorie kann Konsument nur solche Konsumpläne wählen, deren Gesamtpreis sein verfügbares Einkommen nicht übersteigen. Preis: p t > 0 bezeichnet den Preis des Gutes in Periode t. Einkommen: m t ist das exogen gegebene monetäre Einkommen eines Konsumenten in Periode t. Formal heisst das, der Konsument kann nur solche Konsumpläne x wählen, die in der Budgetmenge B liegen. B enthält alle x t p t, die kleinergleich dem zum Zeitpunkt t verfügbaren Einkommen sind. B wird davon abhängen, ob Einkommen in Periode t in andere Perioden übertragen werden kann. D.h., welche Instrumente der Kapitalmarkt bereitstellt (z.b. Sparkonten, Kredite, Renten... ). 4 / 42
Budgetmenge ohne Kapitalmarkt Annahme: Ein Kapitalmarkt existiert nicht, Perioden- Einkommen m t kann nur in Periode t ausgegeben werden. Was ist die Budgetmenge B? Alle Konsumpläne x, so dass die Kosten das Einkommen in jeder Periode t nicht übersteigen: B = {x X : p 1 x 1 m 1, p 2 x 2 m 2,..., p T x T m T }. Das Optimierungsproblem ist trivial: Falls mehr Konsum besser ist, fällt der optimale Konsumplan mit dem verfügbaren Einkommen zusammen. Ist dieses Szenario realistisch? 5 / 42
Zwei-Perioden-Fall graphisch m 2 /p 2 + (1+r)m 1 /p 2 Konsum in Periode 2 x 2 m 2 /p 2 Budgetmenge B (m 1 /p 1,m 2 /p 2 ) Anfangs-Einkommen m 1 und m 2 bestimmen einen Konsumplan x 1 = m 1 /p 1 und x 2 = m 2 /p 2, der in der Budgetmenge liegen muss. m 1 /p 1 (m 2 /(1+r)+m 1 )/p 1 Konsum in Periode 1 x 1 6 / 42
Zwei-Perioden-Fall graphisch m 2 /p 2 + (1+r)m 1 /p 2 Konsum in Periode 2 x 2 m 2 /p 2 Budgetmenge B (m 1 /p 1,m 2 /p 2 ) Budgetmenge bei Einkommen m 1 und m 2 ohne Zugang zum Kapitalmarkt: x 1 m 1 /p 1 und x 2 m 2 /p 2. m 1 /p 1 (m 2 /(1+r)+m 1 )/p 1 Konsum in Periode 1 x 1 7 / 42
Budgetmenge mit Sparmarkt Annahme: ein Sparmarkt existiert, in jeder Periode kann zum Zinssatz 1+r Einkommen für die Dauer von einer Periode angelegt werden. Es gibt keine Kredite. Falls ein Betrag y in Periode t angelegt wird, steht in Periode t + 1 ein Betrag von (1+r)y zur Verfügung. Manchmal wird 1+r Brutto-Zinssatz und r der Netto-Zinssatz genannt. Was ist die Budgetmenge B? B = {x X : p 1 x 1 m 1, p 2 x 2 +(1+r)p 1 x 1 m 2 +(1+r)m 1,..., T T (1+r) T t p t x t (1+r) T t m t }. t=1 t=1 8 / 42
Zwei-Perioden-Fall graphisch m 2 /p 2 + (1+r)m 1 /p 2 -(1+r)p 1 /p 2 Konsum in Periode 2 x 2 m 2 /p 2 Budgetmenge B (m 1 /p 1,m 2 /p 2 ) Einkommen in t = 1 kann nach t = 2 übertragen werden, aber nicht umgekehrt. m 1 /p 1 (m 2 /(1+r)+m 1 )/p 1 Konsum in Periode 1 x 1 9 / 42
Budgetmenge mit Kapitalmarkt Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, in jeder Periode kann zum Zinssatz 1 + r Einkommen für die Dauer von einer Periode angelegt oder ausgeliehen werden. Einkommen kann vorwärts und rückwärts durch die Zeit reisen. D.h., wir haben relative Preise für Periodeneinkommen und können das Lebens-Einkommen in allen Perioden auch in Einkommen in einer beliebigen Periode t ausdrücken. Z.B. in t = 1 Einkommen: y = m 1 + m 2 1+r + m 3 (1+r) 2 +...+ m T (1+r) T 1. y nennt man auch Barwert (Gegenwartswert) des Einkommensstroms m 1, m 2,...,m T. 10 / 42
Budgetmenge mit Kapitalmarkt Nachdem Perioden-Einkommen beliebig in andere Perioden transferiert werden kann, ergibt sich die Budgetmenge zu { B= x X : p 1 x 1 + p 2x 2 1+r +...+ p T x T (1+r) T 1 T t=1 m t (1+r) t 1 Das bedeutet: Der Barwert der Kosten eines Konsumplans x darf den Barwert des verfügbaren Lebenseinkommens nicht übersteigen. Analogie zur Konsumentscheidung bei mehreren Gütern in einer Periode, falls das Einkommen durch eine Anfangsausstattung an Gütern gegeben ist. Wie dort wird hier das Einkommen endogenisiert. }. 11 / 42
Zwei-Perioden-Fall graphisch m 2 /p 2 + (1+r)m 1 /p 2 Konsum in Periode 2 x 2 -(1+r)p 1 /p 2 m 2 /p 2 Budgetmenge B (m 1 /p 1,m 2 /p 2 ) Einkommen in t = 1 kann nach t = 2 übertragen werden, und umgekehrt. Budgetmenge bestimmt durch x 1 p 1 + x 2p 2 1+r m 1 + m 2 1+r. m 1 /p 1 (m 2 /(1+r)+m 1 )/p 1 Konsum in Periode 1 x 1 12 / 42
Präferenzen über intertemporale Konsumpläne Wie über Güterbündel hat ein Konsument auch Präferenzen über intertemporale Allokation, also Konsumpläne. Übliche Annahme: die Präferenzen über Konsumpläne eines Konsumenten sind darstellbar durch eine Nutzenfunktion U(x 1, x 2,...,x T ). Meist treffen wir folgende Annahmen konvexe Präferenzen: Für alle Konsumpläne x, x X ist die Bessermenge {x X : U(x ) U(x)} konvex, monotone Präferenzen: in jeder Periode ist mehr Konsum eines Gutes (schwach) besser als weniger. Intuition: Kombination von zwei gleich guten Konsumplänen wird gegenüber jedem der beiden Konsumpläne präferiert. 13 / 42
Konvexe Präferenzen graphisch x 2 Indifferenzkurve Besser-Richtung x U(tx+(1-t)x') > U(x) = U(x') Jede positive Mischung der Konsumpläne x und x liegt in der Bessermenge von x. Ausgewogene Konsumpläne werden präferiert. x' x 1 14 / 42
Optimale intertemporale Konsumentscheidung Analog zur Konsumententheorie maximiert der Konsument seinen Nutzen über alle Konsumpläne in der Budgetmenge: max U(x) s.d. x B. x X Unter monotonen Präferenzen und vollständigem Kapitalmarkt ist das Optimierungsproblem T max U(x) s.d. x X t=1 p t x t T (1+r) t 1 = m t (1+r) t 1. t=1 Bezeichne die Lösung dieses Problems mit x. Graphisch: x ist Tangentialpunkt von Budgetmenge und Indifferenzkurve. 15 / 42
Zwei-Perioden-Fall graphisch Konsum in Periode 2 I Bg m 2 m * x * x 2 Optimaler Konsumplan x ist Tangentialpunkt von Budgetgerade Bg und Indifferenzkurve I. Wenn x 1 > m 1/p 1, dann ist der Konsument in t = 1 Kreditnehmer. * m 1 x 1 Konsum in Periode 1 (Vereinfachende Annahme in der Graphik: p 1 = p 2 = 1.) 16 / 42
Optimale intertemporale Konsumentscheidung Form von U(x) = U(x 1,..., x T )? Übliche Annahme: Exponentielles Diskontieren U(x) = u(x 1 )+δu(x 2 )+δ 2 u(x 3 )+...+δ T 1 u(x T ). δ ist der Diskontfaktor, mit dem zukünftiger Nutzen bewertet wird. δ misst Ungeduld eines Konsumenten: je höher δ, desto wichtiger ist dem Konsumenten zukünftiger Konsum im Vergleich zu gegenwärtigem Konsum. Vorteil dieser Formulierung: Verhalten des Konsumenten ist konsistent über die Zeit. 17 / 42
Optimale intertemporale Konsumentscheidung Optimierungsproblem mit zwei Perioden: max u(x 1 )+δu(x 2 ) s.d. p 1 x 1 + p 2x 2 x 1,x 2 1+r = m 1 + m 2 1+r. Aus der Budgetgleichung folgt x 2 = (1+r)(m 1 p 1 x 1 )+m 2 p 2. Einsetzen ergibt die Bedingung erster Ordnung u (x 1 ) = (1+r) p 1 δ u (x 2 ) u (x 1 ) p 2 δ u = (1+r)p 1. (x 2 ) p }{{} 2 ÊË 12 Das bedeutet, der Grenznutzen einer Einheit zukünftigen Konsums entspricht genau dem Grenznutzen einer Einheit gegenwärtigen Konsums zum Preis (1+r) p 1 p 2. Bedingung erster Ordnung auch hinreichend? 18 / 42
Veränderung des Zinssatzes Was passiert bei Änderung des Zinssatzes 1+r? Die Kosten für Kreditaufnahme bzw. die Erträge aus Ersparnissen verändern sich. D.h. der Preis für zukünftigen Konsum verändert sich im Vergleich zum Preis für gegenwärtigen Konsum. Dadurch verändert sich die Budgetmenge: Bei einer Zinssenkung kommen kreditfinanzierte Konsumpläne hinzu, ersparte fallen weg. Bei einer Zinserhöhung fallen kreditfinanzierte Konsumpläne weg, ersparte kommen hinzu. 19 / 42
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch Konsum in Periode 2 (1+r 1 ) p 1 p 2 x** m x* Ausgangssituation: Optimale intertemporale Konsumentscheidung x bei Einkommen m und Zinssatz 1+r 1. K ist Kreditnehmer in t = 1. B(r 2 ) B(r 1 ) Konsum in Periode 1 20 / 42
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch Zinssatz erhöht sich auf r 2 > r 1. Konsum in Periode 2 (1+r 2 ) p 1 x** m p 2 x* Neue Budgetgerade ist Drehung der alten um m. x ist nicht mehr in der Budgetmenge enthalten. B(r 2 ) B(r 1 ) Konsum in Periode 1 21 / 42
Komparative Statik im Zwei-Perioden-Fall graphisch Optimaler Konsumplan ist nun x. Konsum in Periode 2 x** m x* Zinserhöhung bewirkt Konsumverlagerung von Periode 1 nach 2; hier so stark, dass K Kreditgeber wird. B(r 2 ) B(r 1 ) Konsum in Periode 1 22 / 42
Veränderung des Zinssatzes Im graphischen Beispiel bewirkt die Zinserhöhung, dass zukünftiger Konsum billiger wird und der Konsument den gegenwärtigen Konsum einschränkt. Muss der gegenwärtige Konsum immer sinken, wenn der Zinssatz steigt? Um diese Frage zu beantworten, können wir die Slutsky-Gleichung benutzen. Zur Erinnerung: Die Slutsky-Gleichung besagt, dass die Nachfrage-Änderung nach einem Gut im eigenen Preis sich in Substitutionseffekt und Einkommenseffekt aufteilen lässt. Der Substitutionseffekt ist der Preisänderung entgegengesetzt. 23 / 42
Veränderung des Zinssatzes Eigener Preis: Preis für eine Einheit x 1 ist p 1 (1+r) gemessen in monetärem Einkommen in Periode 2. Slutsky-Gleichung formal: ) x 1 p 1 (1+r) }{{} (?) Nachfrageänderung = x h 1 p 1 (1+r) }{{} ( ) ( m1 + x1 p } 1 {{} (?) x 1 m }{{} (+) = Substitutions- + Einkommenseffekt Einkommenseffekt: Änderung von 1 + r wirkt auf Einkommen m 1 und Konsum x 1, Nettoeffekt ist entscheidend. Falls Zinssatz steigt und Konsum ein normales Gut: Substitutionseffekt ist negativ und Einkommenseffekt positiv. D.h. Kreditnehmer werden ihren gegenwärtigen Konsum verringern, Kreditgeber könnten ihn auch erhöhen. 24 / 42,
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch Konsum in Periode 2 EE x** x* m Ausgangssituation: optimale intertemporale Konsumentscheidung x bei Einkommen m und Zins r 1. Konsument ist Kreditgeber. SE B(r 2 ) B(r 1 ) x h 1 x ** 1 x * 1 m 1 Konsum in Periode 1 25 / 42
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch Konsum in Periode 2 x** x* Zinserhöhung auf r 2 > r 1, neue Budgetgerade ist Drehung der alten um m. EE m SE B(r 2 ) B(r 1 ) x h 1 x ** 1 x * 1 m 1 Konsum in Periode 1 26 / 42
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch Konsum in Periode 2 EE x** x* m Substitutionseffekt x1 h x 1 : Budget wird so angepasst, dass der alte Nutzen gerade erreicht wird, ergibt x1 h. SE B(r 2 ) B(r 1 ) x h 1 x ** 1 x * 1 m 1 Konsum in Periode 1 27 / 42
Slutsky-Gleichung im Zwei-Perioden-Fall graphisch Konsum in Periode 2 EE x** x* m Neuer optimaler Konsumplan x bei r 2 ergibt Einkommenseffekt x1 x 1 h. Gesamteffekt x1 x 1 = SE + EE. SE B(r 2 ) B(r 1 ) x h 1 x ** 1 x * 1 m 1 Konsum in Periode 1 28 / 42
Inflation Preis des Konsumgutes in Periode t ist gegeben mit p t. D.h. Güterpreise können im Zeitablauf steigen (Inflation) oder sinken (Deflation). Bezeichne die Preissteigerung von einer Periode t auf Periode t + 1 mit 1+π = p t+1 p t. Wir nennen π die Inflationsrate. Für jede Einheit des Konsumsgutes, die in t gespart wird, erhält man in t + 1 p t (1+r) = 1+r p t+1 1+π 1+ρ Einheiten des Gutes. Wir nennen ρ den Realzinssatz und r den Nominalzinssatz. 29 / 42
Inflation Der nominale Zinssatz r gibt den monetären Zinsertrag an, während ρ den Zinsertrag in Güter-Einheiten angibt. Zusammenhang: 1+r = (1+ρ)(1+π), ρ = r π 1+π r π. 30 / 42
Barwert Bewertung von zukünftigem Einkommen? Zum Beispiel zwei beliebige Einkommensströme m = (m 0,..., m T ) und m = (m 0,..., m T ). Annahme: vollständiger Kapitalmarkt, Zinssatz für eine Periode ist 1 + r und bleibt konstant über alle Perioden. Einfache Methode, um m und m zu vergleichen: Den Wert beider Zahlungsströme in einer vorgegebenen Periode t zu vergleichen. Der Barwert ist der Wert in der ersten Periode t = 0: BW(m) = m 0 + m 1 1+r + m 2 (1+r) 2 +...+ m T (1+r) T. 31 / 42
Barwert & Zukunftswert Der Wert eines Einkommenstroms in einer Periode t > 0 ist ein Zukunftswert: ZW t (m)=(1+r) t m 0 +(1+r) t 1 m 1 +...+(1+r) t T m T. Falls BW(m) > BW(m ), dann gilt dasselbe für alle Zukunftswerte ZWt (m) > ZW t (m ), t = 1, 2,...,T, und wird jeder Konsument mit monotonen Präferenzen (d.h. mehr Konsum ist besser) m gegenüber m vorziehen. 32 / 42
Addieren von Einkommensströmen Ihr ursprünglicher Einkommensstrom sei m = (m 0, m 1,..., m T ). Nun komme ein Strom (z.b. hinzugekaufte Anleihe) von m = (m 0, m 1,..., m T ) hinzu. Wie hoch ist der Barwert des Netto-Stromes m+m? BW(m+ m ) = (m 0 + m 0 )+ m 1 + m 1 1+r = BW(m)+BW(m ). + m 2 + m 2 (1+r) 2 + 33 / 42
Barwert einer ewigen Rente (Annuität) Betrachten wir eine unendliche Folge von gleich hohen Auszahlungen m, z.b. aus Landwirtschaft (Auszahlung jeweils am Periodenende). Kann man auch diesen (Haushalts-)Einkommensstrom mittels Barwertes bewerten und vergleichen? Bei konstantem Zinssatz 1+r ergibt sich der Barwert zu BW(m)=0+ m 1+r + m (1+r) 2 + m (1+r) 3 +... = 1 ( m+ m 1+r 1+r + m ) (1+r) 2 +... = m+bw(m). 1+r Also ist der Barwert der ewigen Rente m: BW(m) = m r. 34 / 42
Beispiel Angenommen Sie erhalten das Angebot, 10 Euro sofort zu bekommen und dafür den Rest des Semesters (11 Wochen) pro Woche 1 Euro zurückzuzahlen. Zahlungsstrom: m = (10, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1). Ist das ein gutes Geschäft? Dispokredit hat Zinssatz von ca. 1% im Monat, also etwa 0, 25% pro Woche. Barwert: 11 1 BW(m) = 10 (1, 0025) t = 0, 84. t=1 Angebot impliziert Zinssatz von mehr als 1, 7% pro Woche. 35 / 42
Wertpapiernachfrage Finanzinstrumente darstellbar als handelbare Zahlungsströme der Art (m 0, m 1,..., m T ). Beispiele: m 0 m 1 m 2... m T 1 m T Raten-Kredit: ++ Anleihe: + + + + ++ Falls Kapitalmarkt vollständig mit Zinssatz 1 + r, sind Zahlungsströme anhand ihrer Barwerte vergleichbar. BW(m ) > BW(m ) Budgetmenge unter m enthält jene unter m strikt Jeder Konsument mit streng monotonen Präferenzen zieht m gegenüber m strikt vor. Man sagt: m dominiert m. 36 / 42
Arbitrage Annahme: Zahlungsstrom m eines Wertpapiers dominiert den eines anderen m. Was folgt für die Wertpapiernachfrage? m wird nicht nachgefragt. Angenommen Konsumenten können Zahlungsströme auch verkaufen (man denke z.b. an Kredite). Was halten Sie von folgendem Plan: Zahlungsverprechen m abgeben und Einkommensstrom m akzeptieren. Barwert dieses Planes: BW(m) BW(m ) > 0, egal ob BW(m) positiv oder negativ. D.h. jeder Konsument wird gleichzeitig m nachfragen und m anbieten, sooft wie möglich. Also können m und m nicht beide gehandelt werden. 37 / 42
Arbitrage Allgemein: Falls sich durch geschicktes Kombinieren verschiedener Zahlungsströme mit Sicherheit ein positiver Barwert erreichen lässt, nennt man dies eine Möglichkeit für Arbitrage. Wir erwarten, dass für alle Wertpapiere, die tatsächlich gehandelt werden, keine solche Arbitragemöglichkeit existiert (Arbitragefreiheit). Tatsächlich sorgen beispielsweise Hedge-Fonds für Arbitragefreiheit auf Kapitalmärkten. Theoretische Implikation: Alle sicheren Zahlungsströme, die gehandelt werden, müssen den gleichen Barwert haben! Annahme dabei: keine Transaktionskosten. 38 / 42
Diskussion Intertemporale Konsumentscheidung entspricht Wahl zwischen Gütern Konsum heute und Konsum morgen. Gängige Annahme: Präferenzen der Form T U(x 1,..., x T ) = δ t u(x t ). δ nennt man Diskontfaktor, kann als Geduld interpretiert werden: δ < 1: zukünftiger Konsum wird niedriger bewertet als heutiger, δ > 1: zukünftiger Konsum wird höher bewertet als heutiger. t=0 39 / 42
Diskussion Wichtige Eigenschaft dieser Präferenzen: δ ist konstant über die Zeit (exponentielles Diskontieren). Vorteil: Optimale Konsumpläne sind konsistent. Grenzrate der Substitution zwischen Periode 1 und 2: GRS 12 = dx 2 dx = U(x 1,...,x T )/ x 1 = u (x 1 ) 1 du=0 U(x 1,...,x T )/ x 2 δu (x 2 ) Grenzrate der Substitution zwischen Periode 2 und 3: GRS 23 = δu (x 2 ) δ 2 u (x 3 ) = u (x 2 ) δu (x 3 ) = GRS 12. Optimierungsproblem sieht in jeder Periode gleich aus. Falls Realzinssatz 1+ρ = 1/δ, wird im Optimum in allen Perioden gleich viel konsumiert (da GRS t,t+1 = (1+ρ)). 40 / 42
Beispiel: Zeitinkonsistenz von Präferenzen Sie können in einer der nächsten 3 Wochen ins Kino. Wert der Filme x t (gemessen in Geldeinheiten der jeweiligen Periode): Film 1 Film 2 Film 3 x t 3 8 24 Wenn Sie diese Woche nicht ins Kino gehen, können Sie sich nächste Woche nochmals zwischen Film 2 und 3 entscheiden. Präferenzen 1 ( exponentielles Diskontieren ): U(x) = x 1 + 1 2 x 2 + ( ) 1 2 2 x3 + ( 1 3 2) x4 + Präferenzen 2 ( hyperbolisches Diskontieren ): U(x) = x 1 + 1 4 x 1 2 + 4 x 1 3 + 4 x 4 + 41 / 42
Beispiel: Zeitinkonsistenz von Präferenzen Präferenzen 1: U(x) = x 1 + 1 2 x 2 + ( ) 1 2 2 x3 + ( 1 3 2) x4 + x t U(x) in Woche 1 U(x) in Woche 2 Film 1 3 3 Film 2 8 4 8 Film 3 24 6 12 Präferenzen 2: U(x) = x 1 + 1 4 x 1 2 + 4 x 1 3 + 4 x 4 + x t U(x) in Woche 1 U(x) in Woche 2 Film 1 3 3 Film 2 8 2 8 Film 3 24 6 6 Präferenzen 2 sind zeitinkonsistent: Sie wollen diese Woche lieber in Film 3 als 2, nächste Woche sehen Sie das anders! 42 / 42