TechnischeUniversitatMunchen ZentrumMathematik Kreditrisiko ModelleundDerivatebewertung Diplomarbeit AlexanderSzimayer von Abgabetermin:12.Mai1999 Betreuer: Themensteller:Prof.Dr.C.Kluppelberg Dr.M.Borkovec

Quellenverwendethabe. Munchen,12.Mai1999 Hiermiterklareich,daichdieDiplomarbeitselbstandigangefertigtundnurdieangegebenen

Danksagung Finanzmarkttheoriestetsausgezeichnetbetreuthat. lanborkovec,dermichaufmeinemwegdurchdiestochastischeanalysisunddiestochastische KritikundtatkraftigeUnterstutzungbeiderErstellungdervorliegendenArbeitundbeiDr.Mi- AndieserStellebedankeichmichbeiFrauProf.Dr.ClaudiaKluppelbergfurihrewohlwollende DesweiterengiltmeinDankdenHerrenDr.MichaelHies,Dr.OliverHolznerundStefanMeier. SieregtenmichzudemThemaKreditriskowahrendmeinerZeitalsPraktikantundWerkstudentbeiderBayerischenVereinsbankanundlenktenmichaufdenerstenwesentlichen Schritten. DankgebuhrtzudemHerrnProf.Dr.RalfKornfurseinInteresseunddiekonstruktiveKritik, SchlielichbedankeichmichbeidenMitarbeiterndesLehrstuhlsfurMathematischeStatistik, dieermirentgegengebrachthat. meinefragenzubeantworten,undmeinearbeitinvielerleihinsichtunterstutzthaben. HerrnDipl.{Math.MartinSeverinundFrauAlexandraFranzmann,diesichstetsZeitnahmen, HerrnDr.DirkTasche,FrauDipl.{Math.SusanneEmmer,FrauDipl.{Math.EvelinHofbauer,

Inhaltsverzeichnis 2Grundlagen 1Einleitung 2.1KlassischeWahrscheinlichkeitstheorie... 1 2.4H2{Semimartingale...26 2.3DieIt^o{FormelunddasDoleans{Dade{Exponential...20 2.2StochastischeIntegrationstheorie...124 3ZeitstetigeModellierungdesMarktes 2.5DieBrownscheBewegungalsIntegrator...34 3.1DiestochastischeMarktmodellierung...51 2.6PunktprozesseundstochastischeIntegrationstheorie...41 3.2FolgerungenausdemMarktmodell...55 3.3DasverallgemeinerteBlack&Scholes{Modell...64 4Kreditrisikomodelle 4.2DasModellvonJarrow,LandoundTurnbull...77 4.1DeroptionspreistheoretischeAnsatzvonMerton...70 4.3KreditrisikomitstochastischerAusfallsintensitat...88 5Derivatebewertung 5.1DiePreisprozesseunterdemaquivalentenMartingalma...99 5.2EinMartingalmodell...101 5.3DerivatebewertungimMartingalmodell...106 6Ausblick 119 i

Kapitel1 Einleitung DieZielsetzungdervorliegendenDiplomarbeitist,einenUberblickubereinigeausgewahlteKreditrisikomodellezugebenundderenAnwendungsmoglichkeitenaufzuzeigen.Moglichsteinfach stammtderbegri"kreditrisiko"ausdemkreditbereich.amaugenfalligstentretenkreditrisikenbeiderdarlehensvergabeauf.betrachtenwirdiesenfallausdersichtdesglaubigers. dieineinemversprochenenzukunftigenzahlungsstromliegt.wiedernameselbstandeutet, gesprochenistkreditrisikoeinimbankenwesengebrauchlichessynonymfurdieunsicherheit, Schuldzuruckerhalt,undzumanderennachder"Schadenshohe",fallsderKreditnichtzuruckgezahltwerdenkann.DieseProblematiksollenalleKreditrisikomodelleangemessenerfassen. FurihnstelltsichzumeinendieFragenachderWahrscheinlichkeit,mitdererdieausstehende RateverwendetmanauchdieRecoveryRate,die"1 LossRate"betragt. DieAnsatze,denenwirimRahmendieserArbeitBeachtungschenken,behandelndenFallvon Rate,diedenBruchteilderSchuldbeziert,dieimKreditausfallverlorengeht.AnstellederLoss ZentraleBegriesindalsodieAusfallwahrscheinlichkeit,dieDefaultProbability,unddieLoss undturnbull(1997),lando(1998)undschonbucher(1998a)ihrefortsetzungndet. undsingleton(1995)setzteineneueentwicklungein,dieindenarbeitenvonjarrow,lando alsovonfirmenbegebeneanleihen.dieanfangegehenaufmerton(1974)zuruck.mitdue Krediten,dieanBorsengehandeltwerden.EshandeltsichumsogenannteCorporateBonds, WirbehandelndasThemaKreditrisikovomnanzmathemathischenBlickpunktaus.InKapitel2legenwirdiedazunotigenGrundlagenausderWahrscheinlichkeitstheoriedar.WirzitierennutzlicheErgebnisseausBremaud(1981),KaratzasundShreve(1997),ksendahl(1995) It^o{FormelundDoleans{Dade{ExponentialesowieuberH2{SemimartingalenachProtteran. Martingalen.DaranschlieensichAbschnitteuberdiestochastischeIntegrationstheorie,die undprotter(1995).zunachstbefassenwirunsmitstochastischenprozessen,insbesonderemit StochastischeIntegralebezuglichderBrownschenBewegungsindThemadesfolgendenAbschnitts,deraufKaratzasundShreveundksendahlberuht.ZumAbschlustudierenwirnach Kapitel3istderzeitstetigenMarktmodellierunggewidmet.DabeigreifenwiraufdieArbeitenvonHarrisonundPliska(1981)undGrunewald(1998)zuruck.InKapitel3.3untersuchen BremaudPunktprozessealsIntegratoren. dells"voraugengefuhrt. BeispielwerdendieBegrie"aquivalentesMartingalma"und"VollstandigkeiteinesMarktmo- wirdasverallgemeinerteblack&scholes{modell,daseinenaktienmarktmitmehrenaktienbeschreibt,diealskorelliertegeometrischebrownschebewegungenmodelliertsind.andiesem 1

KAPITEL1.EINLEITUNG InKapitel4legenwirzuerstdasModellnachMerton(1974)dar,wobeiwiraufdieAusfuhrung 2 BondsundziehendenFirmenwertalserklarendeVariableheran.DieSchuldenderFirmakonnen vonmadan(1998)zuruckgreifen.indiesemmodellbetrachtenwirausschlielichcorporate genaudannnichtmehrzuruckgezahltwerden,wennderfirmenwertbeifalligkeitunterderhohe Scholes,dennderFirmenwertwirdalsgeometrischeBrownscheBewegungmodelliert.ImErgebnislatsicheinCorporateBondalsDerivatdesFirmenwertsdarstellen,undseinWertkann derzahlungsforderungliegt.deransatzbasiertaufdemaktienmarktmodellnachblackund mittelsderblack&scholes{formelberechnetwerden. Anleihewert(t) Firmenwert(t) AnleihewertmiteinerVerschuldungvon0:70undeinerLaufzeitvon10Jahren. Abbildung1.1:SimulierterPfaddesFirmenwertprozemitStartwert1undderentsprechende Zeitt InAbbildung1.1sehenwirdensimuliertenVerlaufeinesaufdenStartwert1normiertenFirmenwertprozesses.ErwirddurcheineGeometrischeBrownscheBewegungohneDriftmitVolatilitat =0:15beschrieben.DiedargestellteAnleihehateineLaufzeitvon10JahrenundeineHohe ditausfalltrittint=10ein.vonderausstehendenschuldinhohevon0:70wirdetwa0:40 WertgegenstandederFirmazurDeckungderSchuldherangezogenwerdenmussen.DerKremenwertdrastischab.VondaansindFirmenwertundAnleihewertfastidentisch,dasamtliche von70%desfirmenwertes,berechnetaufdenstartzeitpunktt=0.imjahr5falltderfir- ImAnsatzvonJarrow,LandoundTurnbull(1997)modellierenwirdasKreditrisiko,indem beglichen,waseinerrecoveryratevon0:57entspricht. wahrendihrerlaufzeitverschiedenenratingklassenzugeordnetwerden.injederratingklasse wirdieratingklassederuntersuchtenanleihebetrachten.ratingssindsubjektiveeinstufungen,dienachderkreditwurdigkeitdesanleiheemittentenvergebenwerden.eineanleihekangenzwischendenratingklassendurcheinezeitstetigehomogenemarkovkettezumodellieren. IndiesemModellkonnenwirdasAusfallereignisprobabilistischbeschreiben.BeimEintrittdes KreditausfallsstelltsichdieFrage,wiehochderWertverlustderAnleiheist,beziehungsweise, welchesummederemittentdenbesitzernseineranleiheauszahlenkann.erfolgtderkreditausfallvordemfalligkeitsterminderanleihe,wirdangenommen,daderemittenteinenfesten BruchteildesAnspruches,dieRecoveryRate,amFalligkeitsterminauszahlt. wirdeineandereausfallwahrscheinlichkeitunterstellt.dieseransatzlegtesnahe,diebewegun- Abbildung1.2zeigtempirischeAusfallwahrscheinlichkeiten,diegegendieZeitaufgetragensind, 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 2 4 6 8 10

wobeiwirunsexemplarischaufdreiratingklassenbeschranken.diegrotezahlungsfahigkeit KAPITEL1.EINLEITUNG 3 fallwahrscheinlichkeitdernachsthoherenstufebbbundp3mitderratingklasseb. hatdieratingklasseaa.ihristdiefunktionp1zugeordnet.p2identizierenwirmitderaus- P3(t) P2(t)P1(t) Abbildung1.2:EmpirischeAusfallwahrscheinlichkeitennachRatingklasse.P1entsprichtder bestenratingklasseaa,p2derzweitbestenbbbundp3derdrittbestenb. Zeitt IstdieRecoveryRate,beziehungsweisedieLossRate,vonauenvorgegeben,dannkannmanmit DerKaufereinerDefaultOptionversichertsichgegendenKreditausfalleinerAnleihe.Falltdie aufdieanleihezubewerten.gangigederivatesindbeispielsweisesogenanntedefaultoptions. ihresratingsberechnen.zudembestehtdiemoglichkeit,derivate{alsocontingentclaims{ demansatznachjarrow,landoundturnbulldiepreisevonanleihenmitkreditrisikoanhand Anleiheaus,soerhaltereineEntschadigung.ImanderenFallgehterleeraus.WeitereDerivate sindunteranderemgewohnlicheoptionenaufanleihenmitkreditrisikoundsogenanntespread istgewissermaendasausubungskriteriumeinerspreadoption.inkapitel5.3werdenwirdie Options.DerSpreadbezeichnetdieRenditedierenzzwischendenrisikolosenAnlagenundeinerAnleihemirKreditrisiko.Genauergesagt,sprichtmanhiervonCreditSpread.DerSpread bewerten. hiererwahntenderivategenaueruntersuchenundimmodellnachjarrow,landoundturnbull DasModellvonSchonbucher(1998a)basiertaufUberlegungenvonDueundSingleton(1995). DueundSingletonbetrachtenKreditrisikenineinerWeltmirrisikoneutralenInvestoren. SchonbuchergehteinenSchrittweiter,indemaufBasisdesZinsstrukturmodellsnachHeath, leihenmitkreditrisikogegeben.siesindstochastischegroenundmitdemaktienkursinnerhalb desblack&scholes{modellvergleichbar.eslatsichdanneinebreiteauswahlvonderivaten, densogenanntencreditriskderivatives,bewerten,nichtzuletztdieschonerwahntengewohnlicheoptionenaufanleihenmitkreditrisiko,spreadoptions,defaultoptionsunddefaultswaps. JarrowundMorton(1992)einMarktmodellentwirft.IndiesemModellsinddiePreisederAn- AufdieDerivatebewertunggehenwirinKapitel5ausfuhrlichein. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 5 10 15 20 25 30

Kapitel2 Grundlagen sichinsechsabschnitte.imerstenabschnittbefassenwirunsmitder"klassischenwahrscheinlichkeitstheorie".eswerdengrundlegendebegrieerlautertunddiesatzewiedergegeben,diefur ImdiesemKapitelwerdendienotwendigenGrundlagenderArbeitdargelegt.DasKapitelteilt diearbeitwesentlichsind.daraufbautderzweiteabschnitt"stochastischeintegrationstheorie"auf.dasdoleans{dade{exponentialundh2{semimartingalediskutierenwirindenbeiden AbschlubeschaftigenwirunsmitPunktprozessenundderstochastischenIntegrationstheorie. 2.1 folgendenabschnitten.danachwirddiebrownschebewegungalsintegratorthematisiert.zum DieserAbschnittfatdiewesentlichenDenitionenundSatzevonProtter(1995)undksendahl (1995)zusammen.DermathematischeWeg,zufalligeBewegungenzubeschreiben,fuhrtuns KlassischeWahrscheinlichkeitstheorie zumkonzeptderwahrscheinlichkeitsraume.einwahrscheinlichkeitsraumistdiewelt,inder einstochastischerproze,einezufalligebewegungwiebeispielsweiseeinaktienkurs,eingebettet ist. Denition2.1EsseieineMenge.Dannisteine{AlgebraaufeineFamilieFvon Teilmengenvon,diedieEigenschaftenbesitzt (ii)a2f (i);2f, (iii)a1;a2;:::2f )Ac2F, )A1S Meraum(;F)isteineFunktionP:F![0;1],sodagilt DasPaar(;F)nenntmaneinenMeraum.EinWahrscheinlichkeitsmaPaufeinem i=1ai2f. (ii)diemengena1;a2;:::2fseienpaarweisedisjunkt,danngilt (i)p(;)=0undp()=1, P 1[i=1Ai!= 1Xi=1P(Ai): 4

DasTripel(;F;P)heitWahrscheinlichkeitsraum.EinWahrscheinlichkeitsraum(;F;P) KAPITEL2.GRUNDLAGEN 5 JederWahrscheinlichkeitsraum(;F;P)kannvervollstandigtwerden.ManerweitertFumdie istvollstandig,fallsfalleteilmengengvonmitaueremmanullenthalt,d.h. TeilmengenvonmitaueremMaNullundsetztdasMaaufdieerweiterte{Algebrafort. GundinffP(F):F2F;GFg=0)G2F: Denition2.2AufeinerMengebetrachtenwireineFamilieUvonTeilmengenvon.Die dadasereignisfp{fast{sichereintritt. diewahrscheinlichkeit,dadasereignisfeintritt.giltp(f)=1,dannsprechenwirdavon, DieTeilmengenFvonFnenntmanF{mebar.WirinterpretierenFalsEreignisundP(F)als heitdievonuerzeugte{algebra. AufeinemWahrscheinlichkeitsraumkannmaneinStrukturinFormeinerFiltrierungdenieren. HU\fH:Hist{Algebraauf;UHg Denition2.3EineFamilievon{Algebren(Ft)0t1heitFiltrierunginF,wenngilt DieFiltrierungenwerdenspateralsFamilievonInformationsmengeninterpretiert. gen,falls EinltrierterWahrscheinlichkeitssraum;F;P;(Ft)0t1erfulltdieublichenBedingun- 0st1)FsFt und FtF;fur0t1: Wirnehmenimfolgendenan,dadieublichenBedingungenstetserfulltsind. (ii)ft=tu>tfu,furallet0;d.h.diefiltrierung(ft)0t1istrechtsseitigstetig. (i)f0enthaltallep{nullmengenvonf. EineZufallsvariable:7![0;1]isteineStopzeit,fallsdasEreignisftginFtliegt,fur allet2[0;1]. Denition2.4EsseieinltrierterWahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0t1gegeben. Satz2.1DasEreignisf<tgliegtinFt,furallet2[0;1],genaudann,wenneineStopzeit ist. EsgeltendieublichenBedingungen.InsbesondereistdieFiltrierung(Ft)0t1rechtseitigstetig. DaraufgrundetsichderfolgendeSatz. Denition2.5EinstochastischerProzeisteinFamilievonreellwertigenZufallsvariablen gemoglichkeitenwieaktienundanleihen. deniert.stochastischenprozesseinterpretierenwirhierzumeistalspreisprozessevonanla- ImallgemeinensindallestochastischeProzesseaufeinemWahrscheinlichkeitsraum(;F;P) dieaufeinemwahrscheinlichkeitsraum(;f;p)deniertsind.aufeinemltriertenwahrscheinlichkeitssraum;f;p;(ft)0t1heiteinstochastischerprozex=fx(t):t0g XfX(t):t0g; adaptiert,fallsgilt X(t)istFt{mebarfurallet0:

Fureinfestest0habenwirauf(;F;P)eineZufallsvariablegegebenmittels KAPITEL2.GRUNDLAGEN 6 Andererseitserhaltenwirfureinfestes!ausdieFunktion!7!X(t;!); fur!2: diewirpfadvonxnennen. t7!x(t;!) furt0; DieGleichheitzweierstochastischerProzessemusorgfaltigdefniertwerden.WirunterscheidenzweiMoglichkeiten. Denition2.6GegebenseieinltrierterWahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0t1und sindgenaudannmodikationen,wenn dieadaptiertenstochastischenprozessex=fx(t):t0gundy=fy(t):t0g.xundy DiebeidenProzessesindgenaudannununterscheidbar,wennP{fast{sichergilt X(t)=Y(t)P{f.s.; furt0: SindXundYModikationen,existierteineP{NullmengeNtfurallet0,sodafuralle!2nNtgiltX(t;!)=Y(t;!).DieMenge[0;1)istuberabzahlbar,alsoistNSt2[0;1)Nt X(t)=Y(t); furt0: nichtunbedingteinep{nullmenge.nmunichteinmalmebarsein.sinddieprozessexund ProzesseModikationen. giltx(t;!)=y(t;!).mitanderenworten,xundybesitzenaufnnidentischepfade.die Yununterscheidbar,gibteseineP{NullmengeN,sodafuralle!2nNundfurallet0 Denition2.7EinstochastischerProzeX=fX(t):t0gaufeinemWahrscheinlichkeitsraum(;F;P)istcadlag,fallserPfadebesitzt,dieP{fast{sicherrechtsseitigstetigsindund NullmengeNliegtinF0{demnachauchinallenFtfurt0.Folglichsindununterscheidbare DerProzeXistcaglad,wennseinePfadeP{fast{sicherlinksseitigstetigsindundderrechtsseitigerLimesanjederStelleexistiert. derenlinksseitigerlimesanjederstelleexistiert. X,wobeiX (t)=lims!t;s<tx(s)deniertistfurt0. Jedercadlag{ProzeX=fX(t):t0gbesitzteinecaglad{Version.Diecaglad{Versionlautet Beispiel1AufeinemltriertenWahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0t1seieinadaptiertercadlag{ProzeX=fX(t):t0ggegeben.ZueinerBorelmengeausdenreellenZahlen Cadlag{ProzessebieteneineelemetaresBeispielfurStopzeiten. denierenwir EinespezielleKlassederstochastischenProzessesindMartingale,Super{undSubmartingale. heitersteintrittszeitvonxin.isteineoenemenge,dannisteinestopzeit. (!)infft>0:x(t;!)2g: einepositivezuwachserwartung;imfalledersupermartingaleverhaltessichumgekehrt. EinMartingalisteinProze,dessenerwarteteZuwachsegleichNullsind.Submartingalehaben

Denition2.8AufeinemltriertenWahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0t1seieinad- KAPITEL2.GRUNDLAGEN 7 aptierterprozex=fx(t):t0ggegeben.xheitmartingal(beziehungsweisesupermar- tingalodersubmartingal)bezuglichderfiltrierung(ft)0t1,fallsgilt NachKorollar1vonTheorem9,ChapterI,vonProtter(1995)besitztjedesMartingaleine (ii)furstgiltefx(t)jfsg=x(s)p{f.s.(beziehungsweise""oder""). (i)efjx(t)jg<1; furallet0. WirbereitendasOptionalSamplingTheoremmitdendreifolgendenDenitionenundeinem cadlag{versioneinesmartingals. eindeutigemodikation,dieeincadlag{prozeist.vonnunanbetrachtenwirausschlielichdie Satzvor. Denition2.9X=fX(t):t0gseieincadlag{ProzeundTseieinezufalligeZeit,also einezufallsvariablemitwertenin[0;1].dannheitxt=nxt(t):t0odeniertdurch derintgestoppteproze. Denition2.10EinMartingalX=fX(t):t0gaufeinemltriertenWahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0t1wirddurcheineZufallsvariableYabgeschlossen,wennEfjYjg< 1undX(t)=EfYjFtgfur0t<1gilt. raum(;f;p)istgleichgradigintegrierbar,fallsgilt Denition2.11EineFamilievonZufallsvariablen(U)2AaufeinemWahrscheinlichkeits- XT(t)X(t^T)=X(t)1ft<Tg+X(T)1ftTg HierbeibezeichnetAeinebeliebigeIndexmenge. n!1sup lim2azfjujngjujdp=0: denstochastischenprozealsfamilievonzufallsvariablen,indiziertdurchdie"zeit"t2ir+0. Satz2.2EsseiX=fX(t):t0geinMartingalaufeinemltriertenWahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0t1.Xistgenaudanngleichgradigintegrierbar,wennY=limt!1X(t) ImFalleeinesstochastischenProzessessetzenwirdieIndexmengeAIR+0undinterpretieren EingleichgradigintegrierbaresMartingalkanndurcheineZufallsvariableabgeschlossenwerden. X(1)=Y. P{f.s.existiert,EfjYjg<1undX=fX(t):0t1gisteinMartingal.Hierbeiist kann,istgleichgradigintegrierbar. Satz2.3(DoobsOptionalSamplingTheorem)EsseiX=fX(t):t0geinMartingal DieUmkehrunggiltauch.JedesMartingal,dasdurcheineZufallsvariableabgeschlossenwerden sindx(1)undx(2)integrierbar,undesgilt riablex(1)abgeschlossenwird.1und2seienstopzeitenmit12p{fast{sicher.dann aufeinemltriertenwahrscheinlichkeitsraum;f;p;(ft)0t1,dasdurcheinezufallsva- X(1)=EfX(2)jF1gP{f.s.

AufdasOptionalSamplingTheoremstutztsichderBeweisdesfolgendenSatzes. KAPITEL2.GRUNDLAGEN 8 X=fX(t^):0t1gebenfallseingleichgradigintegrierbaresMartingal. tenwahrscheinlichkeitsraum;f;p;(ft)0t1undeinestopzeit.dannist Satz2.4EsseiX=fX(t):t0geingleichgradigintegrierbaresMartingalaufeinemltrier- integrierbarereellwertigezufallsvariablexgegeben.sei'einekonvexefunktionaufdenreellen Satz2.5(JensenscheUngleichung)AufeinemWahrscheinlichkeitsraum(;F;P)seieine EinnutzlicherSatzistdieJensenscheUngleichung. Zahlenund'(X)integrierbar,danngiltfurjede{AlgebraGF Korollar1X=fX(t):t0gseieinMartingalaufdemltriertenWahrscheinlichkeitsraum ;F;P;(Ft)0t1und':IR!IReinekonvexeFunktion.Ist'(X(t))fur0t<1 '(EfXjGg)Ef'(X)jGg: Beweis: MartingalM,jMjisteinSubmartingal. integrierbar,dannist'(x)=f'(x(t)):t0geinsubmartingal.insbesonderegiltfurjedes NachderJensenscheUngleichunggilt DieBetragsfunktionjjistkonvex;demnachistdiezweiteAussageeineKonseqenzderGrundaussagedesKorollars. ='(X(s))P{f.s.; furt0: Ef'(X(t))jFsg'(EfX(t)jFsg) DieDoobscheUngleichungisteinwesentlichesHilfsmittelbeiAbschatzungen. 2 Satz2.6(DoobscheUngleichung)Auf ;F;P;(Ft)0t1seieinpositivesSubmartingalX=fX(t):t0ggegeben.Furallep>1 undqmit1p+1q=1gilt einem ltrierten Wahrscheinlichkeitsraum X(1)2L2(P)unddenierenXsupt0jX(t)j.DannistjXjeinpositivesSubmartingal, Korollar1(DoobschemaximalequadratischeUngleichung)Zusatzlichfordernwir ksup t0jx(t)jklp qsup t0kx(t)klp: undfurp=2gilt WendenwirunsnundenstochastischenProzessenzuundbetrachtenzweielementareBeispiele.ZunachstumschreibenwirZahlprozesseundstudierenspezielldenPoissonproze.Deram Ef(X)2g4EfX(1)2g: haugstenzitierteprozeinderfinanzmathematikistdiebrownschebewegung.sieistein MartingalmitstetigenPfadenundder"gebrauchlicheIntegrator"inderstochastischenIntegrationstheorie.WirbendenunsindennachfolgendenBeispielenimmerineinemltrierten Wahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0t1.

Denition2.12(Tn)n0seieineFolgevonstrengwachsendenZufallsvariablenaufF.Essei KAPITEL2.GRUNDLAGEN 9 T0=0.DerProzeN=fN(t):0t1gdeniertdurch mitwerteninin[f1gheitzahlprozebezuglichderfolge(tn)n1 N(t)Xn11ftTng ZahlprozeohneExplosion.SeiT=1,dannistfur0s<t<1 DurchdiebesondereDenitionvonT0istsichergestellt,daN(0)=0P{f.s.gilt.Wirsetzen TsupnTnundnennenTExplosionszeitpunktvonN.IstT=1P{f.s.,dannistNein derzuwachsvonnimintervall(s;t]. N(t) N(s)=Xn11fs<Tntg DerZahlprozeist,sowiewirihndenierthaben,nichtunbedingtadaptiertbezuglichder adaptiertist. Satz2.7EinZahlprozeN=fN(t):0t1gistgenaudannadaptiert,wenndieZufallsvariablen(Tn)n1Stopzeitensind. Filtrierung(Ft)0t1.DernachsteSatzgibtAufschludaruber,inwelchemFalleinZahlproze ZahlprozesseohneExplosionbesitzenrechtsseitigstetigePfademitlinksseitigemGrenzwert, sindalsocadlag{prozesse. Denition2.13EinZahlprozeN=fN(t):0t1gohneExplosionisteinPoissonproze,wenngilt (ii)sinds;t;uundvbeliebigmit0s<t<1,0u<v<1undt s=v u,dann (i)furalle0s<t<1istderzuwachsn(t) N(s)unabhangigvonFs. stationarverteiltezuwachse.uberdieverteilungdesprozessesgibtderfolgendesatzaufschlu. DieEigenschaften(i)und(ii)sindbekanntalsvonderVergangenheitunabhangigeZuwachseund besitzenn(t) N(s)undN(v) N(u)diegleicheVerteilung. Satz2.8N=fN(t):0t1gseieinPoissonproze.Danngilt furn=0;1;2;:::undein0.heitintensitatdespoissonprozesses.n(t)istpoisson{ P(N(t)=n)=e t(t)n verteiltmitparametert.weiterist n! ; var(n(t))=t; EfN(t)g=t; mumandiesteigungkompensieren,damitderaufdieseweisekorrigierteprozeeinmartingal Leichtsiehtman,daderPoissonprozeeinSubmartingalist,daersteigendePfadebesitzt.Wie furt0: ist?dernachstehendesatzbeantwortetdiefrage.

Satz2.9N=fN(t):0t1gseieinPoissonprozemitIntensitat.Denierenwirdie KAPITEL2.GRUNDLAGEN 10 ProzesseA=fA(t):0t1gundM=fM(t):0t1gmittels DannistMeinMartingal. M(t)N(t) A(t)=N(t) t; A(t)tund Beweis: furt0: WirnutzendieUnabhangkeitunddieStationaritatderZuwachseaus.Wirmussenzeigen,da M(t)2L1gilt. EfjM(t)jg=EfjN(t) A(t)jg =t+t EfjN(t)j+jA(t)jg =2t<1; =EfN(t)g+EfA(t)g UnterdieserVoraussetzungkonnenwirdenbedingtenErwartungswertvonMberechnen.Fur 0s<tgiltEfM(t)jFsg=EfN(t) tjfsg furallet0: =M(s)+EfN(t) N(s)g (t s) =N(s) s+efn(t) N(s)jFsg (t s) =EfN(t) N(s)+N(s) s (t s)jfsg =M(s)+(t s) (t s) =M(s)+EfN(t s) N(0)g (t s) Damithabenwirgezeigt,daMeinMartingalist. DenProzeAnenntmandenKompensatorvonN.EsgiltN=M A.AbesitztdieEigenschaft dervorhersehbarkeit,daastetigepfadebesitzt.zudemsinddiepfadevonavonbeschranktervariationaufkompaktenintervallen.imfolgendenistdiezerlegungeinesprozessesinein 2 deutung.diebegrie"vorhersehbar"und"vonbeschranktervariation"werdenspatergenau deniert. MartingalundeinenvorhersehbarenProzemitbeschrankterVariationvongrundlegenderBe- WendenwirunsnunderBrownschenBewegungzu. Denition2.14EinreellwertigeradaptierterProzeB=fB(t):0t<1gheit BrownscheBewegung,fallsgilt (ii)furalle0<s<t<1istb(t) B(s)normalverteiltmitErwartungswertNullund (i)furalle0s<t<1istderzuwachsb(t) B(s)unabhangigvonFs. dannnennenwirbeinestandardbrownschebewegung. DieBrownscheBewegungstartetinx,wennP(B(0)=x)=1.Ist=1undstartetBin0, Varianz2(t s)fureinereellekonstante>0.

KAPITEL2.GRUNDLAGEN 11-2 -1 0 1 2 Zeitt BewegungeinMartingalist,besitztsieeinecadlag{Modikation.Wirkonnensogarnochmehr GiltEfjB(0)jg<1,dannistdieBrownscheBewegungeinMartingal.FallsdieBrownsche Abbildung2.1:3simuliertePfadeeinerStandardBrownschenBewegung 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Satz2.10EsseiB=fB(t):0t<1geineBrownscheBewegung.DannexistierteineModikationvonBmitstetigenPfadenP{fast{sicher. uberdiepfadevonbaussagen. WirbenutzenimweiterenstetseineVersionderBrownschenBewegungmitstetigenPfaden. chastischenintegrationvertrautmachen. Satz2.11EsseiB=fB(t):0t<1geineBrownscheBewegungund(n)n1eineFolge UberdieBrownscheBewegunggibteszweiAussagen,dieunsmitderProblematikdersto- vonngegennullfurn!1,danngiltlimn!1nb=tp{fast{sicher. d.h.:furm>nistmn.denierenwirnbpti2n(b(ti+1) B(ti))2.GehtdieFeinheit vonpartitionendesintervalls[a;a+t],fura0undt>0.diefolge(n)n1seiverfeinernd; DasKonzeptderFolge(n)n1wirdspateraufStopzeitenerweitert.DieAussagedesSatzes fx(t):t0geinebrownschebewegung,wennxeinstetigesmartingalistmit[x;x](t)=t DerProze[;]heitquadratischeVariationoderBracket{Proze.DieBrownscheBewegung kannmithilfederquadratischenvariationcharakterisiertwerden.nachlevyisteinprozex= bleibtjedochindemverallgemeinertenfallerhalten.esgiltdann[b;b](t)=limn!1nb=t. furt0(siehesatz2.45). WirdenierendieVariationeinesProzessesentlangeinesPfades. Denition2.15SeiX=fX(t):0t<1geincadlag{Proze.FureinkompaktesIntervall I[a;b]mit0a<bdenierenwirdieZufallsvariableVI(X)auf(;F;P)durch VI(X)(!)sup 2PXti2jX(ti+1;!) X(ti;!)j; furalle!2;

wobeipalleendlichenpartitionenvoniumfat.vi(x)(!)heitdievariationentlangeines KAPITEL2.GRUNDLAGEN 12 riationaufkompaktenintervallen,einfv{proze,wennfurallekompaktenintervalleigilt PfadesdesProzessesXfureingegebenes!2.XisteinProzevonbeschrankterVa- VI(X)<1P{fast{sicher. ImnachstenAbschnittsehenwir,daimFalleeinesFV{ProzessesXmitstetigenPfadendas allevonunbeschranktervariationp{fast{sicher. Satz2.12EsseiB=fB(t):0t<1geineBrownscheBewegung.DiePfadevonBsind WirverallgemeinerndenBegridesMartingals. stochastischeintegralrdxsichpfadweisewiedaslebesgue{stieltjes{integralberechnenlat. Denition2.16EinltrierterWahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0t1seigegeben.Ein fundamentalefolge. wenneinefolgevonwachsendenstopzeiten(n)n1existiertmitlimn!1n=1p{fast{sicher undxn1fn>0geinmartingalfurallen1ist.diefolgevonstopzeiten(n)n1nennenwir adaptiertercadlag{prozex=fx(t):0t<1gheitgenaudanneinlokalesmartingal, EinemoglicheAntwortbietetdernachstehendeSatz. dievoraussetzungenerfullt.unterwelchenbedingungenisteinlokalesmartingaleinmartingal? EinMartingalisteineinfachesBeispielfureinlokalesMartingal.Wirsetzenn=n,dannsind Satz2.13X=fX(t):t0gseieinlokalesMartingalaufdemltriertenWahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0t1. DerProzeX=fX(t):t0gseigegebenmittelsX(t)sup0stjX(s)jfurt0.Ist EfX(t)g<1furallet0,dannistXeinMartingal.GiltzusatzlichEfXg<1,dannist XeingleichgradigintegrierbaresMartingal. Stieltjesgewinnen.SeieinProzeX=fX(t):t0galsIntegratorgegeben,undH=fH(t): DasstochastischeIntegralkonnenwirnichtalsErweiterungderIntegrationnachLebesgueund 2.2 StochastischeIntegrationstheorie t0gderproze,denmanintegrierenmochte.wirversuchendasstochastischeintegral furjedes!2alsdaslebesgue{stieltjes{integralzudenieren.alsvoraussetzungbenotigen IX(H)(!)=Z1 wir,dax(!)aufkompaktavonbeschranktervariationist.diebrownschebewegungerfullt 0H(s;!)dX(s;!) nachsatz2.12diesevoraussetzungnicht.zudemkonntenwirverlangen,dadiepfadevonx dierenzierbarsind;sprichfuralle!2soll dx(t;!) schrankendiemengederintegratorenzustarkein.vieleprozessewiediebrownschebewegung existieren.dannwaredieintegrationstheorienachriemannanwendbar.solcheforderungen dt ; furallet0 kannmanaufdieseweisenichtfassen.einerweiterteskonzeptistnotwendig. DerAufbauderStochastischenIntegrationstheorieimSinnevonIt^oistinProtterausfuhrlich

beschrieben.hiergehenwirnichtaufjedesdetailein.wirgebenwesentlicheergebnissean,beschrankenunshierbeizumeistaufintegrandenmitcaglad{pfaden.untergewissentechnischen KAPITEL2.GRUNDLAGEN 13 DasstochastischeIntegralwirdzunachstfureinfachvorhersehbareProzessealsIntegranddeniert.DieProzesse,welcheublicheIntegraleigenschaftenbesitzen,betrachtenwiralszulassigdendenieren.TeilweisegebenwirhierfurErgebnissean. VoraussetzungenkannmandasstochastischeIntegralfurvorhersehbareProzessealsIntegran- IntegratorenundnennensieSemimartingale.DringtmantieferindieTheorieein,siehtman, Stieltjes{Integralszusammen. scheintegralfurfv{prozessealsintegratorenmitderpfadweisenerweiterungdeslebesgue{ sammenhangidentischist.imrahmendes"neuenkonzepts"nachprotterfalltdasstochasti- dadas"klassische"semimartingalnachdoobundmeyermitderdenitionindiesemzu- Denition2.17EinProzeH=fH(t):t0gheiteinfachvorhersehbar,wenner (;F;P;(Ft)t0),derdieublichenBedingungenerfullt. ImweiterenVorgehenbendenwirunsstetsineinemltriertenWahrscheinlichkeitsraum folgendedarstellungbesitzt. wobei0=t1:::tn+1<1eineendlichefolgevonstopzeitenistundhieinefti{mebare Zufallsvariableist,mitjHij<1P{f.s.fur0in.DieMengeallereinfachvorhersehbaren H(t)=H 01f0g(t)+nXi=1Hi1(Ti;Ti+1](t); ProzesseseimitSbezeichnet. DenRaumdereinfachvorhersehbarenProzesseSversehenwirmitderTopologiedergleichmaigenKonvergenzinWahrscheinlichkeit,welchewirTS0nennen.DasIntegraldenierenwirfur endlichewerteannehmen,seil0.denrauml0versehenwirmitdertopologieinwahrscheinlichkeittl0. GegebeneinenProzeX=fX(t):t0gdenierenwirdielineareAbbildungIX:(S;TS0)! (;F;P).DerRaumallerZufallsvariableaufdiesemWahrscheinlichkeitsraum,diefast{sicher einfachvorhersehbareprozesse.esisteinezufallsvariableaufdemwahrscheinlichkeitsraum (L0;TL0)durch HierbeiistH=fH(t):t0geineinfachvorhersehbarerProzederGestalt IX(H)H0X(0)+nXi=1Hi(X(Ti+1) X(Ti)): ObenstehendeDenitionisteinepfadweiseDenitionfurjedes!2. H(t)=H01f0g(t)+nXi=1Hi1(Ti;Ti+1](t): Denition2.18EinProzeX=fX(t):t0gisteintotalesSemimartingal,fallsXein ProzeXteintotalesSemimartingalist. adaptiertercadlag{prozeistunddieabbildungix:(s;ts0)!(l0;tl0)stetigist. DerProzeX=fX(t):t0gheitSemimartingal,fallsfurjedesreellet0dergestoppte unddermengedersemimartingale. DiefolgendenSatzegebenAufschluuberdieStrukturderMengedertotalenSemimartingale

Satz2.14DieMengeder(totalen)SemimartingaleisteinVektorraumuberdenreellenZahlen. KAPITEL2.GRUNDLAGEN Satz2.15SeiQeinWahrscheinlichkeitsmaauf(;F),dasabsolutstetigzuPist.Dannist derverkleinertenfiltrierung,bleibtdiesemimartingaleigenschaftbestehen. VerkleinertmandieursprunglicheFiltrierung,sodaeinSemimartingaladaptiertistbezuglich jedes(totale)p-semimartingalein(totales)q{semimartingal. Satz2.16X=fX(t):t0gseieinSemimartingalzurFiltrierung(Ft)t0.Sei(Gt)t0 einefiltrierung,diein(ft)t0enthaltenist;d.h.:gtftfurjedest0.dannistxein Interesseist,welcheIntegratorenzurVerfugungstehen.EsfolgeneinigeBeispiele. G{Semimartingal,fallsXadaptiertistbezuglichderFiltrierung(Gt)t0. SemimartingalebildendieMengederIntegratoreninderstochastischenIntegrationstheorie.Von Satz2.17JedesquadratintegrierbareMartingal(mitcadlag{Pfaden)isteinSemimartingal. DenBegrideslokalenMartingalshabenwirbereitskennengelernt.DasPrinzipderLokalisierunglatsichallgemeinformulieren. Xn1fn>0gdieEigenschaftEfurn1besitzt. Denition2.19SeiX=fX(t):t0geinstochastischerProze.EineEigenschaftEgilt MitdieserDenitionbetrachtenwirdenfolgendenSatz. lokal,fallseinefolgevonwachsendenstopzeiten(n)n1existiertmitlimn!1n=1,soda tingal. Korollar1EinlokalesMartingalmitstetigenPfadenisteinSemimartingal. Satz2.18JedeslokalquadratintegrierbarelokaleMartingalmitcadlag{PfadenisteinSemimar- Korollar2DieBrownscheBewegungisteinSemimartingal. torenwichtig:diefv{prozesse. NebendenlokalquadratintegrierbarenlokalenMartingalenisteineandereKlassevonIntegrarendenProzejAj=fjAj(t):t0gdurch Denition2.20DerstochastischeProzeA=fA(t):t0gseieinFV{Proze.Wirdenie- jajheittotalervariationsproze. jaj(t)sup n12nxk=1ja(tk2n) A(tk 1 2n)j: Satz2.19JederadaptierteFV{Proze(mitendlichertotalerVariationjAj(1))istein(totales) Semimartingal. DertotaleVariationsprozejAjistwachsendundesgiltjAj(t)<1P{fast{sicher,furt0. einsemimartingal.prozesse,diesichindiesedreisummandenaufspaltenlassen,nennenwir zerlegbareprozesse. konstantenproze,einemlokalquadratintegrierbarenmartingalundeinemfv{prozeebenfalls DieMengederSemimartingalebildeneinenVektorraum.DemnachistdieSummeauseinem

Denition2.21EinadaptierterProzeX=fX(t):t0gmitcadlag{Pfadenheitzerlegbar,fallserdieDarstellungbesitzt KAPITEL2.GRUNDLAGEN 15 HierbeiistM=fM(t):t0geinlokalquadratintegrierbaresMartingalundA=fA(t):t0g einfv{proze,undesgiltm(0)=a(0)=0. X(t)=X(0)+M(t)+A(t); furt0: zu.wirgehenderfragenach,wiesichdiemengedereinfachvorhersehbarenprozesseals WirhabendieIntegratorenrelativausfuhrlichdiskutiert.NunwendenwirunsdenIntegranden Satz2.20JederzerlegbareProzeisteinSemimartingal. linksseitigstetigsindundderenrechtsseitigergrenzwertexistiert. Denition2.22DieMengedercadlag{ProzessenennenwirD.DieMengederadaptierten Integrandengeeigneterweiternlat.AlsErgebniserhaltenwirdieadaptiertenProzesse,die Prozesse,derenrechtsseitigerGrenzwertexistiertunddielinksseitigstetigsind,diealsocaglad{ Prozessesind,bezeichnenwirmitL. AufdenRaumenSundL0habenwirdieTopologienTS0undTL0kennengelernt.Wirbenotigen eineweitere,einedritteformderkonvergenz. Denition2.23EineFolgevonProzessen(Hn)n1mitHn=fHn(t):t0gkonvergiert gegeneinenprozeh=fh(t):t0ggleichmaigaufkompaktenintervalleninwahrscheinlichkeit,fallsgilt erkennt.wirversehenl,dundsmitdertopologiedergleichmaigenkonvergenzaufkompaktatl,td,beziehungsweisets.dasnachsteergebnisistderschlussel,umdiedenition IX(H)aufLzuerweitern. Satz2.21DerRaumSliegtdichtinLunterderTopologiedergleichmaigenKonvergenzauf DerRaumSliegtinL,wasmandirektausderDenitiondereinfachvorhersehbarenProzesse n!1sup lim0stjhn(s) H(s)j=0P{f.s.; furt0: stochastischenintegraloperator),dereinenprozeaufeinenprozeabbildet. KompaktaTL. IXbildeteinenProzeaufeineZufallsvariableab.NundenierenwireinenOperator(den Denition2.24EsseiH=fH(t):t0g2SundX=fX(t):t0geinstochastischer Prozemitcadlag{Pfaden.Die(lineare)AbbildungJX:S!Distdeniertdurch HierbeiistH=fH(t):t0geineinfachvorhersehbarerProzederGestalt JX(H)H0X(0)+nXi=1HiXTi+1 XTi: JX(H)heitdasstochastischeIntegralvonHbezuglichX. H(t)=H01f0g(t)+nXi=1Hi1(Ti;Ti+1](t):

ImweiterenbenutzenwirdiedreigleichwertigenSchreibweisen. KAPITEL2.GRUNDLAGEN 16 DieBeziehungzwischenIXundJXistJX(H)(t)=IXt(H),zudemgiltIX(H)=R10H(s)dX(s). JX(H)=ZH(s)dX(s)=HX: iststetig. Wirhabengesehen,dafureinSemimartingalXderIntegrationsoperatorJXstetigauf(S;TS) Satz2.22EsseiX=fX(t):t0geinSemimartingal.DieAbbildungJX:(S;TS)!(D;TD) ist.zudemliegtsdichtin(l;tl).da(d;td)vollstandigundmetrisierbarist,konnenwirden stochastischenintegrationsoperatorjxvonsauflfortsetzen. Denition2.25EsseiX=fX(t):t0geinSemimartingal.DiestetigeAbbildung schesintegral. ImweiterenVerlaufdesAbschnittsbezeichnetX=fX(t):t0geinSemimartingalund JX:(L;TL)!(D;TD),diemanalsFortsetzungvonJX:S!Derhaltheitstochasti- Stellet0aus. H=fH(t):t0geinenProzeausL.WirwertendasstochastischeIntegralHXander Um0auszuschlieen,schreibenwir (HX)(t)=Zt Zt 0H(s)dX(s)=Z[0;t]H(s)dX(s): MitdiesenBezeichnunggiltRt0H(s)dX(s)=H(0)X(0)+Rt0+H(s)dX(s). 0+H(s)dX(s)=Z(0;t]H(s)dX(s): Denition2.26FurY=fY(t):t0g2DseiderzugehorigeSprunganteil Y=fY(t):t0gdeniertdurchY(t)Y(t) Y(t )furt0.hierbeiist Satz2.23EsseieineStopzeit.Danngilt(HX)=H1[0;]X=H(X). EsfolgteineZusammenstellungvonEigenschaftendesstochastischenIntegrals. Y(0 )0.EsgiltalsoY(0)=Y(0). Satz2.24(Assozitivitat)DerstochastischeIntegralprozeY=HXisteinSemimartingal undfurg=fg(t):t0g2lgilt DiestochastischeIntegrationerhaltdieSemimartingaleigenschaft.IstderIntegratorXeinFV{ Proze,dannwirddieseEigenschaftunterderstochastischenIntegrationebenfallserhalten. GY=G(HX)=(GH)X: H=fH(t):t0g2L,dannistHXununterscheidbarvompfadweiseberechnetenLebesgue{ Satz2.25FallsX=fX(t):t0geinSemimartingalundFV{Prozeistund GleichesgiltfurlokalquadratintegrierbarelokaleMartingale. Satz2.26X=fX(t):t0gseiein(lokalquadratintegrierbares)lokalesMartingalund H=fH(t):t0g2L.DannistdasstochastischeIntegralHXein(lokalquadratintegrierbares)lokalesMartingal. Stieltjes{IntegralundebenfallseinFV{Proze.

FurBerechnungenbenotigenwirdienachstehendeDenition. KAPITEL2.GRUNDLAGEN 17 Denition2.27EsseieineendlicheFolgevonendlichenStopzeiten DieFolgeheitzufalligePartition.EineFolgevonzufalligenPartitionen(n)n1 0=01:::k<1: konvergiertzuridentitat,fallsgilt (i)limn!1supknk=1p{fast{sicher. n:n0:::nkn<1 DerquadratischeVariationsprozeeinesSemimartingals,denmanauchals"Bracket{Proze" bezeichnet,spielteinefundamentalerolle. (ii)jjnjjsupkjnk+1 nkjkonvergiertgegen0p{fast{sicher. Denition2.28X=fX(t):t0gundY=fY(t):t0gseienSemimartingale.Der quadratischevariationsprozevon[x;x]=f[x;x](t):t0g,seigegebenmittels DerquadratischeKovariationsprozevonXundYistdeniertdurch [X;X](t)X(t)2 2Zt [X;Y](t)X(t)Y(t) Zt 0X(s )dy(s) Zt 0X(s )dx(s); furt0: AusderDenitionistklar,dadieAbbildung(X;Y)7![X;Y]einesymmetrischeBilinearform ist.deshalbgiltdiepolarisierungsidentitat 0Y(s )dx(s); furt0: DernachsteSatzgibteinigeEigenschaftendesquadratischenVariationsprozewieder. [X;Y]=12([X+Y;X+Y] [X;X] [Y;Y]): wachsenderadaptierterproze,dercadlag{pfadebesitzt.daruberhinausgilt Satz2.27DerquadratischeVariationsprozeeinesSemimartingalsX=fX(t):t0gistein (ii)falls(n)n1einefolgevonzufalligenpartitionenist,diegegendieidentitatstrebt,dann (i)[x;x](0)=x(0)2und[x;x]=(x)2. indertopologiedergleichmaigenkonvergenzaufkompakta. gilt X(0)2+Xi(Xni+1 Xni)2![X;X] Korollar1DerKovariationsproze[X;Y]=f[X;Y](t):t0gzweierSemimartingaleXund YisteinFV{ProzeundebenfallseinSemimartingal. (iii)isteinestopzeit,danngilt[x;x]=[x;x]=[x;x].

Korollar2(PartielleIntegration)X=fX(t):t0gundY=fY(t):t0gseien KAPITEL2.GRUNDLAGEN 18 Semimartingale.DannistXY=fX(t)Y(t):t0geinSemimartingalundesgilt (XY)(t)=X(t)Y(t)=Zt 0X(s )dy(s)+zt gebra. Korollar3AlleSemimartingaleaufeinemltriertenWahrscheinlichkeitsraumbildeneineAl- 0Y(s )dx(s)+[x;y](t); furt0: ImfolgendenbetrachtenwireinigeBeispiele,diedasVerstandnisdereingefuhrtenabstrakten Theorieermoglichensollen.Wirzeigen,daderPoissonprozeeinFV{ProzeistunduntersuchendasIntegralRB(s)dB(s). diesprungstellenundmonotonwachsend.insbesondereistdiedierenzn(ti+1;!) N(ti;!) Beispiel2SeiN=fN(t):t0geinPoissonproze.DerPfadN(;!)istkonstantbisauf positiv.furdievariationentlangeinespfadesgilt V[0;t](N)(!)=sup 2PXti2N(ti+1;!) N(ti;!) 2PXti2jN(ti+1;!) N(ti;!)j =sup =N(t;!) N(0;!)=N(t;!); 2PN(t;!) N(0;!) P(N(t)=1)=0furt0.DeshalbistV[0;t](N)<1P{f:s:EinPoissonprozeistfolglicheinFV{Proze. Beispiel3IndiesemBeispielsuchenwirdieLosungdesIntegralsRB(s)dB(s). [B;B](t)=tfurt0.NachdemKorollar2vonSatz2.27gilt B=fB(t):t0gseieineStandardBrownscheBewegung.AusSatz2.11wissenwir Zt DerPoissonprozeisteinPunktprozeohneExplosion.MitanderenWorten furalle!2undt0: 12tverdankenwirderquadratischenVariationderBrownschenBewegung.DasisteinkonkretesBeispiel,dawirdasLebesgue{Stieltjes{IntegralnichtgefahrlosaufstochastischeProzesse ausdehnenkonnen. EinenstochastischerProzemitcadlag{PfadenkannmanalsSummeausseinemstetigenAnteil Denition2.29EsseiX=fX(t):t0geinSemimartingalundX=fX(t):t0gder unddensprungendarstellen. SprunganteilvonX.DerstetigeAnteilvonXistdeniertdurch ImSinnederklassischenIntegrationstheorieerwartenwir12B(t)2.DenzusatzlichenSummanden 0B(s)dB(s)=12B(t)2 t; furt0: Satz2.28EsseiX=fX(t):t0geinadaptierterFV{Prozemitcadlag{Pfaden.Dannist Xc(t)X(t) X derstetigeanteildesquadratischenvariationsprozesses[x;x]c=0.esgiltalso 0stX(s); furt0: [X;X](t)=X(0)2+P0<st(X(s))2.

FureinenstetigenFV{ProzeistdiequadratischeVariationeinkonstanterProze.Wirkonnen KAPITEL2.GRUNDLAGEN 19 Kovariationsproze[X;Y]=f[X;Y](t):t0ggilt Satz2.29X=fX(t):t0gundY=fY(t):t0gseienSemimartingale.Furden auchaussagenfurdenquadratischenkovariationprozetreen. (ii)falls(n)n1einefolgevonzufalligenpartitionenist,diegegendieidentitatkonvergiert, (i)[x;y](0)=x(0)y(0)und[x;y]=xy. indertopologiedergleichmaigenkonvergenzaufkompakta. danngilt X(0)Y(0)+Xi(Xni+1 Xni)(Yni+1 Yni)![X;Y] IstXzudemeinadaptierterFV{Proze,erhaltenwir (iii)isteinestopzeit,danngilt[x;y]=[x;y]=[x;y]=[x;y]. BesitztXoderYstetigePfade,dannist[X;Y](t)=X(0)Y(0). [X;Y](t)=X(0)Y(0)+X 0<stX(s)Y(s); furt0: Beispiel4NachBeispiel2giltfureinenPoissonprozeN=fN(t):t0gV[0;t](N)=N(t) einmalzurgleichenzeitspringen. DerquadratischeKovariationsprozeistindiesemFallnichtkonstant,fallsXundYmindestens furallet0.eineweitereaussageist,daneinfv{proze.dervorangegangenesatzlat daneinpunktprozeist. manuberdessenzwischenankunftszeiten,dieunabhangigeexponentialverteiltestopzeitensind. FurdieSprunghohegiltP(fN(s)2:s2[0;t]g)=0furallet0.InsbesondereistNc=0, sichdeswegenaufdiequadratischevariationvonnanwenden.einenpoissonprozekonstruiert [N;N](t)=N(0)2+X =X 0<stN(s) 0<stN(s)2 furallet0hergeleitet. FureinenPoissonprozeNhabenwirdieinteressanteGleichheitV[0;t](N)=[N;N](t)=N(t) =N(t)P{f.s.; furallet0: Satz2.30FallsM=fM(t):t0geinlokalesMartingalistmitEf[M;M](1)g<1,dann ist,beantwortetderfolgendesatz. DieFrage,unterwelchenBedingungeneinlokalesMartingaleinquadratintegrierbaresMartingal istmeinquadratintegrierbaresmartingal.daruberhinausgiltef[m;m](t)g=efm(t)2g,fur It^ostudiertedieBrownscheBewegungalsIntegrator.AusdemnachstenSatzleitetsichdie allet2[0;1]. It^o{IsometriefurIntegrandenausLab.

Satz2.31X=fX(t):t0gundY=fY(t):t0gseienSemimartingaleund KAPITEL2.GRUNDLAGEN 20 H=fH(t):t0gundL=fL(t):t0gProzesseausL.Danngilt undinsbesondereerhaltenwir [HX;LY](t)=Zt [HX;HX](t)=Zt 0H(s)L(s)d[X;Y](s); [B;B](t)=t.H=fH(t):t0gseieinProzeausLmitEfR10H(s)2dsg<1.Aus FurdieStandardBrownscheBewegungB=fB(t):t0ggiltnachSatz2.11 0H(s)2d[X;X](s): Satz2.26folgt,daHBeinlokalesMartingalist.[HB;HB](t)=Rt0H(s)2dssieht manausdemletztensatz.wirwendensatz2.30an.hbisteinlokalesmartingalmit Ef[HB;HB](1)g=EfR10H(s)2dsg<1nachVoraussetzung.DamitistHBeinquadratintegrierbaresMartingalundEf[HB;HB](t)g=Ef(HB)(t)2gfurallet0.Wirerhalten dieit^o{isometrie 2.3Ef(Zt DieIt^o{FormelunddasDoleans{Dade{Exponential 0H(s)dB(s))2g=Ef(HB)(t)2g=Ef[HB;HB](t)g=EfZt 0H(s)2dsg: Satz2.32(DieIt^o{Formel)EsseiX=fX(t):t0geinSemimartingalundfeineC2{ Funktionf.UntergewissenBedingungenistf(X)ebenfallseinSemimartingal.DasVerhalten des"dierentials"vonf(x)beschreibtdieit^o{formel. WirbetrachtendasVerhalteneinesSemimartingalsXunterderTransformationdurcheine giltf(x(t)) f(x(0))=zt FunktionaufdenreellenZahlen.Dannistf(X)=ff(X(t)):t0geinSemimartingal,undes +X 0+f0(X(s ))dx(s)+12zt 0<stff(X(s)) f(x(s )) f0(x(s ))X(s)g; 0+f00(X(s ))d[x;x]c(s) DieIt^o{FormelvereinfachtsichineinigenSpezialfallen. furt0: esgilt Korollar1EsseiV=fV(t):t0geinSemimartingalundFV{Proze.FureineC2{Funktion faufdenreellenzahlenistf(v)=ff(v(t)):t0geinsemimartingalundfv{proze,und f(v(t)) f(v(0))=zt +X 0+f0(V(s ))dv(s) FunktionaufdenreellenZahlenausC2.Dannistf(X)=ff(X(t)):t0geinSemimartingal, Korollar2EsseiX=fX(t):t0geinSemimartingalmitstetigenPfadenundfeine 0<stff(V(s)) f(v(s )) f0(v(s ))V(s)g; furt0: undesgilt f(x(t)) f(x(0))=zt 0+f0(X(s))dX(s)+12Zt 0+f00(X(s))d[X;X](s); furt0:

DervorangegangeneSatzlatsichaufeinenmehrdimensionalenProzeausdehnen. KAPITEL2.GRUNDLAGEN 21 furk=1;:::;n.fseieinfunktionrn!r,derenpartielleableitungenzweiterordnung Satz2.33EsseiX=(X1;:::;Xn)einn{TupelvonSemimartingalen,Xk=fXk(t):t0g undesgiltfurt0 existierenundstetigsind.dannistf(x)=ff(x1(t);:::;xn(t)):t0geinsemimartingal, f(x(t)) f(x(0))=nxi=1zt +12nX@xi(X(s ))dxi(s) i;j=1zt 0+@f +X 0<stff(X(s)) f(x(s )) nxi=1@f 0+@2f @xi@xj(x(s ))d[xi;xj]c(s) Einelementares,dennochsehrwichtigesBeispielwirdnunbehandelt. DieIt^o{FormelwendetmanzumeistzumLosenvonstochastischenDierentialgleichungenan. @xi(x(s ))Xi(s)g: Z(t)=1+Rt0Z(s )dx(s)erfullt.zistfurt0gegebenmittels (eindeutiges)semimartingalz=fz(t):t0g,dasdiestochastischedierentialgleichung Satz2.34EsseiX=fX(t):t0geinSemimartingalmitX(0)=0.Dannexistiertein Denition2.30FureinSemimartingalX=fX(t):t0gmitX(0)=0istdas Z(t)=expX(t) 12[X;X](t)Y 0<st(1+X(s))exp X(s)+12(X(s))2: diestochastischedierentialgleichungz(t)=1+zt stochastischeexponentialvonxdas(eindeutige)semimartingalz=fz(t):t0g,das WiruntersuchendenvorangegangenenSatzfurspezielleKlassenvonProzessen. auche(x)undnenntesdoleans{dade{exponentialvonx. 0Z(s )dx(s),t0,lost.zschreibtman dasdoleans{dade{exponentialvonxdiegestalt Korollar1IstX=fX(t):t0geinSemimartingalundFV{ProzemitX(0)=0,dannhat EineinfachesBeispielerhaltenwir,wennwirXalseinelineareFunktionvonderZeitannehmen. E(X)(t)=exp(X(t))Y 0<st(1+X(s))exp( X(s)); furt0: Beispiel5DerProzeX=fX(t):t0gseideniertdurch HierbeiisteinereelleKonstante.FurdasDoleans{Dade{ExponentialvonXgilt X(t)t; furt0: DennnachDenitionistXeinstetigerFV{Proze. E(X)(t)=exp(t); furt0:

Korollar2IstX=fX(t):t0geinstetigesSemimartingalmitX(0)=0,giltfurdas KAPITEL2.GRUNDLAGEN 22 Doleans{Dade{ExponentialvonX EinwichtigesBeispielistdiesogenannte"geometrischeBrownscheBewegung".SieistderProze, durchdenimallgemeinendiepreisprozessevonaktienmodelliertwerden. E(X)(t)=expX(t) 12[X;X](t); furt0: Beispiel6EsseiB=fB(t):t0geineStandardBrownscheBewegung.DerProze X=fX(t):t0gseideniertdurchX(t)t+B(t)furt0.Hierbeisind>0 undreellekonstanten.furt0gilt BrownscheBewegungeinMartingalmitstetigenPfaden,undE(X)(t)=expB(t) 122t. E(X)heitgeometrischeBrownscheBewegung.Ist=0,dannistdiegeometrische E(X)(t)=expB(t)+( 122)t: 0.0 0.5 1.0 1.5 Abbildung2.2:3simuliertePfadeeinergeoemtrischenBrownschenBewegungmit=0:3und =0:20,sowiederzugehorigeErwartungswert. Zeitt Korollar3IstX=fX(t):t0geinstetigesSemimartingalundFV{ProzemitX(0)=0, 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 dannhatdasdoleans{dade{exponentialvonxdiegestalt Korollar4N=fN(t):0tTgseieinSemimartingal,daszueinerStopzeit,mit>0 P{f.s.,von0auf2IRspringtN(t)1ftg; E(X)(t)=exp(X(t)); furt0: Danngilt E(N)=1+N: fur0tt:

Beweis: KAPITEL2.GRUNDLAGEN 23 NisteinSprungproze;esgiltNc=0undN(t)=N(0)+P0<stN(s)furt0.Insbesondere istn(0)=0wegen>0p{f.s. sehenwirmithilfevonsatz2.29[n;n](t)=n(0)2+p0<st(n(s))2furt0.desweiteren E(N)(t)=expN(t) 12[N;N](t)Y 0<st(1+N(s))exp N(s)+12N(s)2 =expn(t) 12[N;N](t)exp0@X 0<stexp N(s)+12N(s)2Y 0<st N(s)+12N(s)21AY 0<st(1+N(s)) =expn(t) 12[N;N](t)exp N(t)+12[N;N](t)Y 0<st(1+N(s)) 0<st(1+N(s)) =1+N(t) = 0<st(1+N(s)) Y (!)t,danngiltn(;!)=undn(s;!)=0furs2[0;t]nf(!)g.damitsehenwir DieletzteGleichheitergibtsich,daNhochstenseinenSprunginbesitzt.t0seifest.Ist fur0tt: Fur(!)>tgiltN(s;!)=0undN(s;!)=0furs2[0;t],woraus 0<st(1+N(s;!))=1+N(;!)=1+=1+N(t;!): Y folgt.damitistderbeweisabgeschlossen. 0<st(1+N(s;!))=1=1+N(t;!) Y Korollar5X=fX(t):t0gseieinstetigesSemimartingalmitX(0)=0.Danngilt exp(x(t))=ex+12[x;x](t); furt0: 2 Beweis: [[X;X];[X;X]]=0.AufdierechteSeitederBehauptungwendenwirKorollar2an Satz2.27besagt[X;X](t)=(X(t))2furt0.Xistalsstetigvorausgesetzt.Esist hen,da[x;x]einstetigerfv{prozeist.mitsatz2.29schlieenwir[x;[x;x]]=0und [X;X](t)=0furt0.NachKorollardesselbenSatzesist[X;X]einFV{Proze.Wirse- EX+12[X;X](t)=expX(t)+12[X;X](t) 12X+12[X;X];X+12[X;X](t) =exp(x(t)); =expx(t)+12[x;x](t) 12[X;X](t) DamitistdieAussagegezeigt. furt0: DieMengederDoleans{Dade{ExponentialeaufeinemltriertenWahrscheinlichkeitsraumbilden einespezielleprozeklasse. 2

Satz2.35EsseienX=fX(t):t0gundY=fY(t):t0gSemimartingalemit KAPITEL2.GRUNDLAGEN 24 X(0)=Y(0)=0.Danngilt InverseE(X) 1.DieInverseE(X) 1hatdieGestalt ImFalleeinesstetigenSemimartingalsXbesitztdesDoleans{Dade{ExponentialE(X)eine E(X)E(Y)=E(X+Y+[X;Y]): DasProduktzweierDoleans{Dade{ExponentialeistwiedereinDoleans{Dade{Exponential. DennochbildendieDoleans{Dade{ExponentialekeineAlgebra,dasieunterderAdditionnicht E(X) 1=E( X+[X;X]): stabilsind.welcheprozesselassensichalsdoleans{dade{exponentialedarstellen?wirnden einsemimartingaly=fy(t):t0g,sodagilt Satz2.36X=fX(t):t0gseieinstriktpositivesSemimartingalemitX(0)=1.Esexistiert eineteilweiseantwortfurstriktpositivesemimartingale. Beweis: InsbesondereistYP{f.s.eindeutig. X=E(Y): istx(t )=lims%tx(s),furt0,undx(0 )=0.AusdiesemGrundexistiert1 Versionvon1X;vergleicheDenition2.7.unddiedarauffolgendeErlauterung.NachDenition DerstochastischeProzeH=fH(t):t0gwerdeerklartdurchH1X.Histdiecaglad{ nicht,wasunszurobenangefuhrtendenitionvonhveranlathat.mittelshdenierenwir Y=fY(t):t0g Y(t)Zt X innull Xisteincadlag{Proze,alsoist1Xebenfallseincadlag{Proze.Zudemistist1Xwohldeniert, 0H(s)dX(s); furt0: daxstriktpositivist.histdiecaglad{versionvon1x,liegtdemnachinl.yistnachsatz 2.24einSemimartingalundesgiltmitderAssoziativitatdesstochastischenIntegrals (X Y)(t)=(X (HX))(t) =((X H)X)(t) =Zt 0X(s )H(s)dX(s) 01fs>0gdX(s) DaX(0)=1undY(0)=0,erhaltenwir =X(t) X(0); 0+dX(s) X(t)=1+Zt furt0: 0X(s )dy(s)=e(y)(t); furt0:

EsbleibtdieFragederEindeutigkeitzuklaren.Y=fY(t):t0gseieinweitererProze,der KAPITEL2.GRUNDLAGEN 25 X=E(Y)undY(0)=0erfullt.DerstochstischeProzeZ=fZ(t):t0gseidieDierenz vonyundy,zy Y.NachderebengetroenenAnnahmeistE(Y)=E(Y).Inder Integralschreibweiseistdasgleichbedeutendmit Daraussehenwir 1+Zt 0X(s )dy=1+zt () 0X(s )dz(s)=0 0X(s )dy; furt0: furt0: ProzeHbezuglichdesletztenAusdrucksunderhaltenmitderAssoziativitatnachSatz2.24 Erneutietein,daXalsstriktpositivvorausgestztist.Wirintegrierendenobendenierten (H(X Z))(t)=Zt =Zt 0H(s)d(X Z)(s) 0H(s)X(s )dz(s) =Z(t) Z(0); 01fs>0gdZ(s) henwirz(t)=z(0)furallet0.nachvoraussetzunggilty(0)=y(0)=0.nunist AberX Zistnach()gleichNull,unddeswegengilt(H(X Z))=0.Hierausse- furt0: Z(0)=Y(0) Y(0)=0,wasZ=0P{f.s.impliziert.YundYsindfolglichununterscheidbar. DamitistdieEindeutigkeitgezeigt. MitdenBezeichnungendesBeweisesgeltendiebeidenKorollare. 2 Korollar1XistgenaudanneinFV{Proze,wennYeinFV{Prozeist. Korollar2Xistgenaudannein(lokalquadratintegrierbares)lokalesMartingal,wennYein (lokalquadratintegrierbares)lokalesmartingalist. Beweis: UntergewissenVoraussetzungkonnenwirdieobigenKorollareaufProzesseXausdehnen,die derbeziehungx=e(y). DieBehauptungenfolgendirektausdenSatzen2.26und2.27undderDenitionvonY,sowie nicht{negativsind. 2 Korollar3X=fX(t):t0gseieinpositivesSemimartingalmitX(0)=1undY=fY(t): t0geinsemimartingalmity(0)=0,sodax=e(y)gilt.wirdenierendiestopzeit durch YeinlokalesMartingalist. YbesitzedieZerlegungY=M+eY,wobeiM=fM(t):t0geinlokalesMartingalistund ey=fey(t):t0gdiebeziehungey=eyerfullt.xistgenaudanneinlokalesmartingal,wenn infft0:x(t)=0g:

Beweis: KAPITEL2.GRUNDLAGEN 26 WirsetztenXalslokalesMartingalvoraus.DerProzeH=fH(t):t0gseigebenmittels YseialslokalesMartingalvorausgesetzt.AusSatz2.27folgtdirekt,daX=1+X Yein lokalesmartingalist. H(t)(1ftg1 0; X(t );fallst>0 stischenexponentialssehenwir,daxinnicht"stetig"gegennullgeht,sonderndorthin Histwohldeniert,dennX(t )>0aufftg.AusderkonkretenDarstellungdesstocha- fallst=0: springt.insbesondereisthdasproduktzweiercaglad{prozesseundliegtdemnachinl.fur einfestest0undein!2ftgisty(t)aufftgdurch Y(t;!)=Zt vorangegangenensatzes.wegeny=ey+mundey=eyisteydurch P{f.s.eindeutigbestimmt.DieGestaltvonYunddieEindeutigkeitfolgenwieimBeweisdes 0H(s;!)dX(s;!) ey(t)=ey(t)=y(t) M(t)=Zt^ Martingal,schlielichistMalslokalesMartingalvorausgesetzt.AusY=eY+Mfolgtdie P{f.s.eindeutigdarstellbar.eYisteinlokalesMartingal,dennH2LundXisteinlokales 0 H(s)dX(s) M(t^); furt0; Aussage. 2.4 2 wirdasstochastischeintegralaufvorhersehbareintegrandenausdehnen. RaumallerSemimartingaledieH2{Normein.IneinemaufdieseWeisenormiertenRaumkonnen EinespezielleKlassederSemimartingalesinddieH2{Semimartingale.Hierfuhrenwiraufdem Denition2.31EinadaptierterProzeH=fH(t):t0gheitvorhersehbar,fallsfuralle t0gilt,h(t)istft {mebar.hierbeiistft W0s<tFsdiekleinste{Algebra,diealle {AlgebrenFsmit0s<tenthalt. DieFiltrierungistrechtseitigstetig.EsistW0s<tFs=Ws2[0;t)\QFs,slauftsomitdurcheine tierteprozesse. Denition2.32DasSemimartingalX=fX(t):t0gisteinspeziellesSemimartingal, abzahlbareindexmenge.daseinfachstebeispielfurvorhersehbareprozessesindstetigeadap- fallsxdiezerlegungbesitzt HierbeiistM=fM(t):t0geinlokalesMartingalundA=fA(t):t0geinadaptierter Zerlegung. vorhersehbarerfv{proze,undesgiltm(0)=a(0)=0.diesezerlegungheitkanonische X=X(0)+M+A: barenmartingalsundeinemfv{prozedarstellenlat. "zerlegbar",fallsessichalssummeauseinemkonstantenanteil,einemlokalquadratintegrier- EineandereZerlegunghabenwirinDenition2.21kennengelernt.EineSemimartingalheit

Satz2.37IstX=fX(t):t0geinspeziellesSemimartingal,dannistdiekanonischeZerlegungX=X(0)+M+Aeindeutig. KAPITEL2.GRUNDLAGEN 27 adaptierterproze,dereinlokalesmartingalundeinvorhersehbarerfv{prozeist,dannistx DieEindeutigkeitderZerlegunghateinenutzlicheKonsequenz.SeiX=fX(t):t0gein konstant. Denition2.33X=fX(t):t0gseieinspeziellesSemimartingalmitX(0)=0und kanonischerzerlegungx=m+a,wobeim=fm(t):t0geinlokalesmartingalund JetztdenierenwirdieH2{NormfurspezielleSemimartingale. DieH2{NormvonXistgegebendurch A=fA(t):t0geinadaptiertervorhersehbarerFV{Prozeist.ZudemgiltM(0)=A(0)=0. Bemerkung:FormalistdieH2{NormnurfurspezielleSemimartingaleXmitX(0)=0 DerRaumH2bestehtausallenspeziellenSemimartingalen,derenH2{Normendlichist. jjxjjh2(p)jj[m;m](1)1=2jjl2(p)+jjjaj(1)jjl2(p): speziellensemimartingalsx,indemmanx X(0)betrachtet.IstX(0)einefesterelleZahl, dannsagenwir,daxeinh2{semimartingalist,fallsjjx X(0)jjH2<1gilt. deniert.imallgemeinenfallberechnetmannachderobigendenitiondieh2{normeines EinewichtigeAbschatzungfurH2{SemimartingaleliefertderfolgendeSatz,Theorem5,Chapter seiaeinfv{prozeaush2.danngiltfurdietotalevariationvona,efjaj(1)2g<1. EinlokalesMartingalMausH2istnachSatz2.30einquadratintegrierbaresMartingal.Es Satz2.38X=fX(t):t0gseieinH2{SemimartingalmitX(0)=0.Danngilt IV,vonProtter(1995). Korollar1AufeinemltriertenWahrscheinlichkeitsraum;F;P;(Ft)0tTseiY=fY(t): E((sup t0jx(t)j)2)8jjxjj2h2: 0tTgeinH2(P){SemimartingalmitY(0)2IRundQeinzuPaquivalentesMa,wobei T>0einendlicherZeithorizontist.IstYeinlokalesQ{MartingalunddQ dannistyeinq{martingal. Beweis:WirschlieenaufdieMartingaleigenschaftdeslokalenQ{MartingalsYmithilfevon dpquadratintegrierbar, Satz2.13.AlshinreichendeBedingungwirdEQnsup0tTjY(t)jo<1verlangt.L=fL(t): 0tTgseiderProze,derdenMawechselP7!Qbeschreibt.Danngilt L(t)=EPdQ ist.dieerwartungswertoperatorenunterpundqsinddurch AusderGleichungfolgt,daLeinP{Martingalist,dasnachAnnahmesogarquadratintegrierbar dpft; fur0tt: EQfg=EPfL(T)g