Wachsum Zenralex Didakische Übersich über das Thema Wachsum Klassifizierung verschiedener Modelle Übersich über die Texe: Wo finde ich was? Daei Nr. 45800 Sand: 1. März 2012 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
45800 Zenralex Wachsum 2 Vorwor Dieser Tex is im Grunde nur eine Ar Berich darüber, was Mahemaiker un, wenn sie Wachsums- Vorgänge beschreiben und ausweren sollen. Sie ersellen je nach Ar des Wachsums ein mahemaisches Modell, das möglichs gu die Siuaion beschreiben soll. Dann muss man herausfinden, wie man mi diesem Modell arbeien kann, also welche Berechnungsmöglichkeien man ha, Voraussagungen für das Wachsum zu berechnen, wie man die Änderungen des Wachsums berechnen kann: Zunahme / Abnahme des Wachsums usw. Ich will auf den folgenden 5 Seien kurz berichen, was ich dazu in den vielen Texen meiner Mahe- CD zusammengesell habe. Mi Übersich geling es besser, Ordnung in diese Vielfal zu bringen. Hier die Übersich über die Vielfal der Texe zum Wachsum: Niveau Klassensufe 10: Lineares Wachsum 18800 Aufgaben dazu 18801 Exponenielles Wachsum 1 18810 Finanzmahemaik 18812 Didakische Hinweise dazu 18813 Aufgaben Exponenielles Wachsum 1a 18815 Begrenzes Wachsum 1 18820 Aufgaben Begrenzes Wachsum 1b 18821 Niveau Obersufe (mi Hilfsmieln der Analysis) Zenralex mi Übersich 45800 Mahemaische Hinergründe 45802 Quadraisches Wachsum 45805 Exponenielles Wachsum 2 45810 Aufgaben Exponenielles Wachsum 2a 45811 Begrenzes Wachsum 2 45820 Aufgaben begrenzes Wachsum 2b 45821 Logisisches Wachsum 45830 Aufgaben logisisches Wachsum 45831 Andere Wachsumsmodelle 45840 (Logisischer Zerfall, vergifees, chaoisches sowie verzögeres Wachsum und anderes) Im Momen sind noch alle Texe verfügbar - Februar 2012
45800 Zenralex Wachsum 3 1. Man brauch ein mahemaisches Modell für die unregelmäßige Naur Eine der großen Aufgaben der Mahemaik is es, Veränderungen zahlenmäßig zu erfassen, durch Formel das zu beschreiben, was war, und vorherzusagen, was sein wird. Wenn ein Bäumchen wächs, kann man die Höhe in besimmen Zeiabsänden messen und dann eine Tabelle anlegen. Dann versuch man ein mahemaisches Modell zu finden, dessen Formeln dieses Wachsum so gu wie möglich beschreib. Dazu muss man immer idealisieren und von Unregelmäßigkeien absehen. So wird man bei vielen Pflanzen in der Frühphase des Wachsum das exponenielle Wachsumsmodell verwenden können, weil man fessell, dass die Höhe der Pflanze in gleichen Zeiabschnien um den gleichen Prozensaz (d. h. Fakor q) zunimm. Dabei muss man übersehen, dass dieses Wachsum von Hize, Trockenhei, Käle usw. geseuer wird und im Grunde alles andere als regelmäßig safinde. Dennoch wird eine Funkion der Form ( ) Bedürfnisse erfüllen. h = aq bei großzügigem Hinsehen viele Diese Exponenialfunkion is seig, d.h. sie liefer zu jedem Zeipunk einen Wer, und dabei mach sie keine Sprünge. Unser Messverfahren nimm dagegen nur in besimmen Zeiabsänden Were auf, so dass eine Folge von Zahlen enseh, eine Zahlenfolge, die ganz anderes behandel werden muss wie das allzu heoreische seige Wachsum, das es eigenlich in dieser idealisieren Form gar nich gib. 2. Wachsum durch Zahlenfolgen beschreiben Man wird also vor allem sprunghafes Wachsum unersuchen und durch Zahlenfolgen beschreiben. Will man die Ar der Folge besimmen, d.h. die Ar, in der ihre Were zunehmen, dann ineressier vor allem die Differenz aufeinander folgender Were, also so genanne Differenzengleichungen. Ein fas ideales und sogar seiges Wachsum is das gleichmäßige Füllen eines Wasserbeckens. Wenn man hier alle 10 Minuen das Volumen oder der Wassersand feshäl, dann erhäl man zwar kein sprunghafes Wachsum, aber eine Zahlenfolge wie bei einem sprunghafen Wachsum. Wenn man beispielsweise die gemessenen Volumenwere durch die Folge V( ) beschreib, irgendeine Zeieinhei, dann weiß man (auch ohne Nachmessen), dass in gleichen Zeispannen immer dieselbe Wassermenge zufließ: V( + 1) V( ) is also immer gleich groß, für jeden Wer von. Die Differenzengleichung für das lineare Wachsum heiß also V( + 1) V( ) = d (ein konsaner Berag). Dies führ zu so genannen arihmeischen Folgen. 3. Zur Berechnung der Glieder einer Zahlenfolge gib es prinzipiell zwei Verfahren: a) Die rekursive Mehode: Die Differenzengleichung sag uns nämlich, wie man den Nachfolger aus dem Vorgänger berechne: V( + 1) = V( ) + d. Wenn man dann noch den Anfangswer V( 0 ) kenn, dann kann man loslegen und schriweise ein Glied nach dem anderen berechnen. b) Die explizie Mehode: Man kann einen Funkionserm herleien, der es gesae, die Were zu beliebigem direk zu berechnen, ohne dass man zuvor den Vorgänger kennen muss. Diese Funkion heiß hier (weil es eine algebraische Folge is) V( ) = V( 0) + ( 1) d
45800 Zenralex Wachsum 4 4. Prozenuales oder exponenielles Wachsum Zurück zu unserem wachsenden Bäumchen. Wenn man fessell, dass bei ihm die Höhe in gleichen Zeispannen um den gleichen Prozensaz zunimm, dann komm man auf folgende Differenzengleichung: h ( + 1) = h ( ) + ph ( ), wobei p der Prozensaz is, also ewa 5% = 0,05. Die Differenzengleichung laue also: h ( + 1) h ( ) = ph ( ). Dami können wir rekursiv berechnen. Für eine explizie Berechnungsfunkion geh man so vor: Aus h ( + 1) = h ( ) + ph ( ) wird h ( + 1) = ( 1+ p) h ( ) bzw. h ( 1) qh ( ) + =. Und jez kann man, wie in Tex 18810 gezeig wird, die Funkion h ( ) = h0 ( ) q finden, und darum nenn man prozenuales Wachsum auch exponenielles Wachsum. 5. Die Naur brems alles aus das begrenze Wachsum Schau man sich die Endphase allen Wachsums an, dann geh dor in der Regel das Wachsum zurück, man sag, die Wachsumsrae geh zurück, of auf Null, das Wachsum is dann prakisch zum Sillsand gekommen. Das gib es auch bei physikalischen Prozessen. Wenn eine Tasse heißen Kaffees mi 60 O C auf dem Tisch seh, und man vergiss sie während des Lesens dieses spannenden Texes, dann finde man sie späer nahezu auf Zimmeremperaur abgekühl. Dieser Vorgang des Abkühlens is eine Abnahme, ein negaives Wachsum. Und auch hier geh die Abkühlungsrae, also die Abkühlung pro Minue gegen 0. Wenn man im Physikunerrich einen Kondensaor aufläd und einerseis zeig, wie seine Ladung zunimm und zugleich der Ladesrom gegen 0 geh, dann ha man auch hier zwei Prozesse, die (in diesem Falle) relaiv schnell zu Ende kommen. Nach kurzer Zei is die Maximalladung erreich, und dabei geh dann der Ladesrom auf 0 zurück. Für solche Fälle ha man ein mahemaisches Modell enwickel, das man begrenzes Wachsum nenn, und das sich auf folgende Vorgaben bezieh: Ein solches Wachsum besiz einen oberen Grenzwer (bei begrenzer Abnahme lieg ein unerer Grenzwer vor). Der Absand der wachsenden (bzw. abnehmenden) Größe von diesem Grenzwer S muss prozenual abnehmen, also in gleichen Zeispannen um den gleichen Prozensaz. Wenn die wachsende Größe durch die Funkion B dargesell wird, dann muss also sie Differenzfolge dn ( ) = S fn ( ) prozenual abnehmen: ( ) ( ) dn+ 1= dn q wobei wegen der Abnahme q eine Zahl zwischen 0 und 1 is, genauer q = 1 p (p in %). Im Tex 45820 wird daraus die Differenzengleichung B( + 1) B( ) = p S B( ) hergeleie, aus der man dann eine rekursive Berechnung ersellen kann. Eine explizie Formel kann man mi dem Ansaz ( ) wobei c der Grenzwer S is. Mi zwei Werepaaren besimm man a und b. B a b c = + finden,
45800 Zenralex Wachsum 5 6. Der Naur näher kommen mi dem logisischen Wachsum Erinnern Sie sich noch an unser kleines Bäumchen. Anfangs schein es exponeniell in die Höhe zu saren, aber schon bald verlangsam sich das Wachsum. Die Wachsumsgeschwindigkei nimm immer weniger zu, bis sie an der sogenannen Trendwende beginn, kleiner zu werden. Und dann geh das Wachsum allmählich in das begrenze Wachsum über. Auch ohne dass man die zugehörige Abbildung zeig, ahn man schon, dass die Wachsumskurve jez S-förmig wird. Diese Abbildung zeig das Wachsum einer Fiche, die ab 70 cm Größe beobache wird und eine Höhe von 30 m erreich. f a sell die anfängliche Näherungsfunkion dar (exponenielles Wachsum), f e die Näherungsfunkion des beschränken Endwachsums. Die blaue Kurve gehör zum mahemaischen Modell des logisischen Wachsums, das näherungsweise dieses Baumwachsum beschreib. Dies wird im Tex 45830 ausführlich dargeleg und beschrieben. 7. Man brauch mehr höhere Mahemaik für solches Wachsum. Wie bereis erwähn, benöig man sowohl Wachsumsfolgen, die nur Besandswere zu besimmen Zeipunken angeben (und keine Were an den Zeipunken dazwischen), aber auch seige Wachsumsfunkionen, mi denen man beliebige Zwischenwere berechnen kann. Für Schüler ewas verwirrend is die Tasache, dass Folgen auch zu den Funkionen gehören. Sie haben aber Definiionsbereiche, die z. B. so aussehen D = { 0 ; 1; 2 ;...} Were B(0), B(1), B(2) usw. gib, aber nich B(1,3). Eine Funkion mi der explizien, weil es eben nur die Berechnungsformel B( ) = 280 0,09 sell also eine Funkion dar, deren Wermenge man eine Folge nenn, wenn sie = { 0 ; 1; 2 ;...} + 0 D als Definiionsbereich ha. Is der Definiionsbereich dagegen D = R, dann lieg eine seige Funkion vor, die auch Zwischenwere, ewa B(2,54) liefer. Man muss aber immer bedenken, dass diese Exponenialfunkion ein mahemaisches Modell is, das einen Realablauf beschreiben soll. In wiewei da Zwischenwere sinnvoll sind, muss man einschäzen. Folgen ensehen aber auch bei seigem Wachsum, wenn man die Messwere nur zu ganzzahligen - Weren aufnimm. Ewas verwirrend Die Unersuchung einer Wachsumsfolge beinhale ofmals die Aufgabe, dass man Were rekursiv berechnen soll. Dann muss man herausfinden, von welcher Ar die Folge is. Mi anderen Woren wie enseh das Nachfolgerglied aus dem Vorgängerglied:
45800 Zenralex Wachsum 6 B( + 1) = B( ) + d gil für ein lineares Wachsum, B( + 1) = B( ) q gil für exponenielles, also prozenuales Wachsum usw. Dazu gehören die schon in Abschni (2) beschriebenen Differenzengleichungen. Sie haben links die Form B( + 1) B( ). Sie machen also eine Aussage über die Zunahme, also das Wachsum der Wachsumsfolge. Man sprich dann auch von der Wachsumsrae. Bei seigem Wachsum gib B( + 1) B( ) eine milere Wachsumsrae für das Zeiinervall [ ;+ 1] an. Dies kann man auch auf größere Inervalle ausdehnen. Dann verseh man uner der mileren Wachsumsrae die Seigung der im Diagramm gedachen Srecke zwischen den Zusandspunken P1( 1 B( 1) ) und 2( 2 ( 2) ) P B : B R = ( ) B( ) 2 1 2 1 oder in kurzer Schreibweise B R =. Die Wachsumsrae is umso aussagekräfiger, je kleiner die zugrunde gelege Zeispanne is. Läss man 0 gehen, enseh aus der Sekanenseigung bekannlich die Tangenenseigung, die ja über die 1. Ableiung der Wachsumsfunkion (Besandsfunkion) berechne wird: Momenane Wachsumsrae zum Zeipunk : R( ) = B' ( ) =... Dami erhäl man die Informaion, um welchen Berag sich der Besand zu einem besimmen Zeipunk änder. Diese Änderung wird dann angegeben in Größeneinheien je Zeieinhei, beim Wachsum also z. B. in m/jahr. Dabei denk man sich das Wachsum gleichmäßig forgesez, also längs der Tangene im Diagramm. Aber schon im nächsen Momen gib es eine andere Wachsumsrae. Sa momenane Wachsumsrae sag man auch Wachsumsgeschwindigkei. Man sieh also, dass man mi diesem Hilfsmiel der Analysis wichige Aussagen über den Wachsumsverlauf, also über die Änderung des Wachsums machen kann. Dazu gib es naürlich auch die umgekehre Aufgabe: Man kann aus der gegebenen Wachsumsgeschwindigkei R() durch Inegraion die Besandsfunkion B() berechnen: B( ) 45830. = R() d. Diese Aufgabensellungen und Losungsbeispiele finde man in den Texen 45810 bis
45800 Zenralex Wachsum 7 8. Es gib noch ganz andere Wachsumsmodelle. Im Grund kann man zu jeder Zusandsänderung eine Funkionsgleichung ersellen, die dann möglichs gu den Verlauf der Änderungen beschreib. Beispiele dazu gib es jedes Jahr in Abiuraufgaben. Ewa kann man die Länge einer Wareschlange an einer Kinokasse unersuchen. Diese beginn bei 0, wächs dann an, erreich ein Maximum und geh dann allmählich wieder auf 0 zurück. Eine zugehörige Funkion ganz exponeniell sein, oder auch gebrochen raional usw. Den Aufgabensellern sind da kaum Grenzen gesez. Ein sei wenigen Jahren genannes Modell heiß vergifees Wachsum. Man kann einer sich exponeniell wachsenden Bakerienmenge ein Gif verabreichen, so dass gleichzeiig das Abserben beginn und sich dann so durchsez, dass die Populaion wieder auf 0 zurückgeh. Es gib auch das Modell des selbsvergifenden Wachsums. Bei einem biochemischen Prozess enseh dann ein solches Gif, welches dann zur Vernichung des Besandes führ, oder auch nur zu einem sabilen Endzusand, in dem sich dann Wachsen und Serben die Waage halen. Das Schaubild zeig den Verlauf eines vergifeen Wachsums. Die Funkion ha die Gleichung f ( ) = 20 e 0,42 0,05 2 In diesem Modell seig die Menge des zugefügen Gifs linear mi der Zei an Oder das verzögere Wachsum, das z. B. Fibonnacci an der Vermehrung von Kaninchen unersuch ha, und das durch die Fibonacci-Folge beschrieben wir. Ich werde jez mi einer Sammlung solcher Beispiele beginnen und im Tex 45840 veröffenlichen. Dazu muss ich viel Maerial sichen. (Auch das chaoische Wachsum soll dazu gehören.) Hier sei noch kurz erwähn: In der Abiuraufgabe 2007 BW (Tex 43200 Aufgabe 803) geh es um die Abnahme eines Wirksoffgehals im Blu in Abhängigkei von der Zei. Dieser wird durch Injekion zugeführ, vom Körper wieder abgebau, und dann nachgespriz Das erzwungene Wachsum finde vor allem in der Finanzbranche sa. Beispiele sind Raensparverrag oder Darlehen. Die Konosandsfolge wächs hier nich nur durch die Verzinsung, sondern ihr Wachsum wird durch die konsanen Raenzahlungen noch erzwungen. Oder: Ein Darlehen wird verzins und zugleich abbezahl. Diese Themaik kann man nachlesen in den n Texen 18250 (Finanzmahemaik) und 40020, in dem diese spezielle Wachsumsfolge K = a q + c auf alle möglichen Siuaionen angewand wird. n