Differentialrechnung

KAPITEL 4 Differentialrechnung. Eigenschaften der Ableitung und Differentationsregeln.. Definition der Ableitung. Definition 4.. Ableitung. Die Funktion f sei auf dem Intervall I R deniert und x 0 I. ) Die Funktion f ist in x 0 dierenzierbar, wenn der Grenzwert fx) fx 0 ) x x 0 x x 0 = h 0 fx 0 + h) fx 0 ) h existiert und endlich ist. Dieser Grenzwert wird sofern er existiert) mit f x 0 ) bezeichnet und heit Ableitung von f in x 0. Man bezeichnet fx) = fx) fx 0) x x 0 auch als Dierenzenquotienten. Ferner sagt man, f ist auf I dierenzierbar, wenn f x) in jedem Punkt x I existiert. 2) Die einseitigen Grenzwerte f x + fx) fx 0 ) 0 ) :=, x x 0 + x x 0 f x fx) fx 0 ) 0 ) :=, x x 0 x x 0 heien rechtsseitige bzw. linksseitige Ableitung von f in x 0. Aus der Denition der Ableitung als Grenzwert des Dierenzenquotienten ist ersichtlich, dass die Ableitung auch als lokale Änderungsrate der Funktion aufgefasst werden kann..2. Geometrische Deutung der Ableitung: Tangentenanstieg. Die Tangente an den Graph y = fx) in x 0, fx 0 )) ist y = f x 0 )x x 0 ) + fx 0 ). 33

34 4. DIFFERENTIALRECHNUNG.3. Totales Differential. Definition 4.2. Ist f : I R eine in x 0 dierenzierbare Funktion, so heit dy = dfx 0 ) = f x 0 )x x 0 ) totales Differential von f an der Stelle x 0. Beispiel 4.. Fur die Funktion fx) = x erhalt man dy = dx = x x 0 ) =. Bemerkung 4.. Der Zusammenhang zwischen Ableitung und Dierential ist gegeben durch dy = dfx) = f x)dx. Dies ist richtig an jeder Stelle x = x 0.) Beispiel 4.2. Wegen y dy fx 0 + h) fx 0 ) f x 0 )x 0 + h x 0 ) = f x 0 )h ergibt sich fur fx) = x nahe x 0 > 0 : fx 0 + h) f x 0 )h + fx 0 ) x 0 + h x 0 + 2 x 0 h. Fur x 0 =, 96 und h = 0, 04 erhalt man 2, 4 + 0, 04 =, 442857... 2, 4 den auf 7 Stellen genauen Wert von 2 =, 442356...

. EIGENSCHAFTEN DER ABLEITUNG UND DIFFERENTATIONSREGELN 35 Beispiel 4.3. Fehlerrechnung: Die Kantenlange eines Wurfels ist 5m ± 0, 0m. Bestimmen Side den absoluten und den relativen Fehler bei der Berechnung des Wurfelvolumens. V x) = x 3. V dv = V x 0 )x 0 + h x 0 ) = 3x 2 0h = 3 5 2 m 2 0, 0m = 0, 75m 3. V V 0, 75m3 5 3 m = 0, 006 = 0, 6%..4. Analytische Deutung: lineare Approximation. Zu einer gegebenen differenzierbaren Funktion f : I R wird diejenige Gerade gx) = mx x 0 ) + fx 0 ) durch x 0, fx 0 ) gesucht, die f in der Nahe von x 0 am besten approximiert. Dabei versteht man unter " bester Approximation\, dass gilt fx) gx) = 0, x x 0 x x 0 d.h., dass der relative Fehler nahe x 0 klein ist und fur x x 0 gegen 0 strebt. Die beste lineare Approximation an f in x 0 ist: gx) = f x 0 )x x 0 ) + fx 0 ). ) Satz 4.. Jede in x 0 I dierenzierbare Funktion f : I R ist dort stetig. Beweis: Ist f in x 0 dierenzierbar, so gilt x x 0 [fx) fx 0 ) f x 0 )x x 0 )] = x x0 und wegen x x0 f x 0 )x x 0 ) = 0 ist { [ ]} fx) fx0 ) x x 0 ) f x 0 ) = 0 x x 0 fx) fx 0 )) = [fx) fx 0 ) f x 0 )x x 0 )] + f x 0 )x x 0 ) = 0, x x 0 x x0 x x0 also ist x x 0 fx) = fx 0 ). # Die Stetigkeit der Funktion f in x 0 I ist notwendig, aber nicht hinreichend für die Differenzierbarkeit von f in x 0 I. D.h. es gilt ) Ist f in x 0 I unstetig, dann ist f in x 0 auch nicht dierenzierbar. 2) Ist dagegen f in x 0 I stetig, so muss f in x 0 nicht dierenzierbar sein, wie das Beispiel fx) = x fur x 0 = 0 zeigt.

36 4. DIFFERENTIALRECHNUNG.5. Differentationsregeln. Satz 4.2. Sind die Funktionen f, g : I R in x I dierenzierbar, dann gilt: ) [fx) + gx)] = f x) + g x), 2) [cfx)] = cf fur alle c R, 3) [fx)gx)] = f x)gx) + fx)g x) Produktregel), 4) fx) gx) ) = f x)gx) fx)g x) gx) 2 falls gx) 0; Quotientenregel), insbesondere gilt ) = g x) gx) gx) 2 falls gx) 0.) Beweis: Wir betrachten die entsprechenden Dierenzenquotienten und gehen dann zum Grenzwert uber. zu ): [fx) + gx)] = [fx) + gx)] [fx 0) + gx ) ] x x 0 = fx) + gx) f x 0 ) + g x 0 ), zu 2): 2) ist ein Spezialfall von 3), zu 3): [fx)gx)] = [fx)gx)] [fx 0)gx 0 )] = fx) fx 0))gx) + fx 0 )gx) gx 0 ) zu 4) wir betrachten zunachst = gx) gx 0) gx) ) = = [fx)gx)] fx 0)gx) + fx 0 )gx) [fx 0 )gx 0 )] ) ) fx) gx) = gx) + fx 0 ) gx) ) gx 0 )gx) = gx) gx 0 ) ) f x 0 )gx 0 ) fx 0 )g x 0 ) 0)) = gx) gx gx 0 )gx) gx 0 )gx) g x 0 ) gx 0 ) 2 und dann folgt die Quotientenregel aus der Produktregel 3). #

. EIGENSCHAFTEN DER ABLEITUNG UND DIFFERENTATIONSREGELN 37.5.. Polynome. Fur fx) = x n, n N, n ), gilt n x x 0 = x n x n 0 = x n + x n 2 x 0 + x n 3 x 2 0 +... + x n 0 ) x x 0 x x 0 x x0 n = x n k x k 0 = nx n 0. x x0 Hieraus folgt mittels der Quotientenregel unmittelbar, dass f ur x 0 gilt ) = xn ) nxn x n x = = n 2n x 2n x n+..5.2. Kreisfunktionen. k=0 Satz 4.3. Die Sinus- und Cosinusfunktion sind auf R dierenzierbar. Es gilt ) sin x) = cosx, 2) cosx) = sin x, 3) tanx) =, x 2k + ) π, cos x) 2 2 4) cotx) =, x kπ. sin x) 2 Beweis: Wir erinnern zunachst an die folgenden Additionstheoreme fur Sinus und Cosinus: und den Grenzwerten folgt sin x) = h 0 h cosx ± y) = cosxcos y sin x sin y, sinx ± y) = sin x cos y ± cos x sin y. sin h h 0 h [sinx + h) sin x] = cos h =, h 0 h = h 0 2) analog, 3) und 4) mit Quotientenregel. # h = 0, [sin x cos h ± cos x sin h sin x] h 0 [ sin x cosh + cosx sin h ] = cosx h h Beispiel 4.4. [x 2 + 5 sinx) cosx] = 2x + 5 cosx) cosx x 2 + 5 sinx) sinx = 2x cos x + 5[cosx) 2 sin x) 2 ] x 2 sin x = 2x cos x + 5 cos 2x x 2 sin x.

38 4. DIFFERENTIALRECHNUNG.6. Kettenregel. Satz 4.4. Die Verkettung Komposition) zweier Funktionen fgx)) zweier dierenzierbarer Funktionen ist ebenfalls dierenzierbar und es gilt fgx))) = f gx))g x). Beweis: Zunachst gilt fgx)) fgx 0 )) = fgx)) fgx 0)) gx) gx 0) = fy) fy 0) gx) gx 0) x x 0 gx) gx 0 ) x x 0 y y 0 x x 0 mit y = gx) und y 0 = gx 0 ). Da g eine stetige Funktion ist, folgt, dass mit x x 0 auch y = gx) y 0 = gx 0 ) gilt: D.h. fgx)) fy) fy 0 ) = gx) gx 0) x x 0 x x0 y y 0 x x 0 ) ) fy) fy 0 ) gx) gx 0 ) = = f y 0 )g x 0 ) = f gx 0 ))g x 0 ). # y y 0 y y 0 x x 0 x x 0 Beispiel 4.5. hx) = x 4 + 6x + 5) 3 = fgx)) mit gx) = x 4 + 6x + 5 und fx) = x 3. Damit ist Beispiel 4.6. h x) = 3x 4 + 6x + 5) 2 4x 3 + 6) hx) = [sinx 4 + 2x) 2 ] 5 ist mehrfach geschachtelt mit fx) = x 5, gx) = sinx, ux) = x 2, x 4 + 2x und muss deshalb schrittweise abgearbeitet werden: h x) = fguvx))))) = f guvx)))) [guvx)))] = f guvx))))g uvx))) [uvx))] = f guvx))))g uvx)))u vx))v x), also ist [sinx 4 + 2x) 2 ] 5) = 5sinx 4 + 2x) 2 ) 4 sinx 4 + 2x) 2) = 5sinx 4 + 2x) 2 ) 4 cosx 4 + 2x) 2 x 4 + 2x) 2) = 5sinx 4 + 2x) 2 ) 4 cosx 4 + 2x) 2 2x 4 + 2x) x 4 + 2x ) = 5sinx 4 + 2x) 2 ) 4 cosx 4 + 2x) 2 2x 4 + 2x)4x 3 + 2).