13 Lineare Abbildungen

13 Lineare Abbildungen Grob gesprochen sind lineare Abbildungen bei Vektorräumen dasselbe wie Homomorphismen bei Gruppen, nämlich strukturerhaltende Abbildungen. Auch in diesem Kapitel seien V, W Vektorräume. Wenn nicht ausdrücklich etwas Anderes erwähnt wird, geht es in den Beispielen um Vektorräume R n mit der kanonischen Basis e 1,..., e n. Definition. f : V W heißt lineare Abbildung oder Homomorphismus :...... Man beachte, dass in L1 und L2 jeweils für verschiedene Verknüpfungen das gleiche Symbol benutzt wurde. Um die Nullvektoren der verschiedenen Vektorräume V und W unterscheiden zu können, bezeichnen wir sie bei Bedarf mit 0 V und 0 W. 13.1 Beispiele. 1. V = W = R : f : x x + 1 ist, g : x 5x ist 2. V = R 2, W = R : f : x 1, x 2 x 1 x 2 ist, g : x 1, x 2 x 1 x 2 ist 3. V = R 3, W = R 2 : f : x 1, x 2, x 3 x 1 + x 2, x 3 ist Die Aussage des Satzes 11.12 kann nun anders formuliert werden. 13.2 Für jede Matrix A R m n ist die Abbildung l A : R n R m ; x Ax linear. Man wird bei beliebigen linearen Abbildungen f : V W nicht erwarten können, dass jeder Vektor aus W ein Urbild besitzt. Wir hatten einige Beispiele im Abschnitt über lineare Gleichungssysteme. Stets gilt aber f0 V = 0 W : Kern und Bild f0 V = f0 0 V = 0 f0 V = 0 W. Definition. Sei f : V W linear, dann heißt Kern f := f 1 {0 W } = { } v V ; fv = 0 W der Kern von f Bild f := fv = { fv ; v V } das Bild von f. 58

Der Kern einer linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. { R 13.3 Beispiele. 1. Was sind Bild f und Kern f von f : 2 R 2? x, y x, x 2. Seien A R m n und b R m 1. Die Lösungsmenge des homogenen linearen Gleichungssystems Ax = 0 ist genau der Kern der linearen Abbildung l A aus 13.2. Kurz: Kern A = Kern l A. Das lineare Gleichungssystems Ax = b hat genau dann eine Lösung, wenn b Bild l A = LA; vgl. dazu 12.29.1. Für jede lineare Abbildung f : V W ist Kern f V und Bild f W. Es gilt sogar 13.4 Sei f : V W linear. Dann gelten 1 Kern f ist eine Untervektorraum von V. 2 Bild f ist eine Untervektorraum von W. 3 f injektiv Kern f = {0 V }. Beweis. Um 1 und 2 zu beweisen, müssen wir jeweils U1 U3 überprüfen. 1 U1: Wir wissen bereits 0 V Kern f, also Kern f. U2: v, w Kern f = fv + w = fv + fw = o W + o W = o W = v + w Kern f. U3: α R, v Kern f = fαv = αfv = α0 W = 0 W = αv Kern f. 2 U1: Wegen f0 V = 0 W Bild f gilt Bild f. U2, U3: α R, x, y Bild f = v, w V mit fv = x, fw = y = fv + w = fv + fw = x + y = x + y Bild f ; fαv = αfv = αx = αx Bild f. 3 = : Ist klar, da wir den wesentlichen Schritt bereits bewiesen haben wo?. = : Seien v, w V mit fv = fw 0 W = fv fw = fv w = v w Kern f = v w = 0 V = v = w = f injektiv. Bemerkung. Die Aussagen des letzen Satzes sind alle für Matrizen bereits bekannt; und die Beweise verlaufen analog! Wir stellen einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Untervektorräume Kern f und Bild f her. Aus Kern f V folgt 0 dim Kern f dim V und aus Bild f W folgt 0 dim Bild f dim W. 59

13.5 Beispiele. 1. 0 :. { V W v 0 W = dim Kern 0 = dim Bild 0 = 2. id : V V ; v v =. 3. Es sei f : R 3 R 2 ; x, y, z x + y, z. In allen Beispielen gilt die 13.6 Dimensionsformel für lineare Abbildungen. Seien V, W Vektorräume. Für jede lineare Abbildung f : V W gilt dim V = dim Kern f + dim Bild f. Beweis Skizze. Jede Basis v 1,..., v r des Kerns können wir dank 12.23 zu einer Basis von V ergänzen, sei v 1,..., v r, v r+1,..., v n die ergänzte Basis. Für ein beliebiges v = n α iv i V gilt dann r fv = f α i v i = f α i v i +f α i v i = 0 W + α i fv i = α i w i Dabei gilt fv i = w i. Somit ist Bild f = Lw r+1,..., w n. Aus der linearen Unabhängigkeit von w r+1,..., w n Beweis für Interessierte anschließend folgt dim Bild f = n r = dim V dim Kern f. Beh : w r+1,..., w n linear unabhängig Bew : Sei β r+1 w r+1 +... + β n w n = 0 W. Wegen w i = fv i folgt 0 W = β i fv i = f β i v i. Damit gehört β i v i zu Kern f = Lv 1,..., v r. Es folgt γ 1 v 1 +... + γ r v r β r+1 v r+1... β n v n = 0 V β i v i = r γ i v i = γ 1 =... = γ r = β r+1 =... = β n = 0. 60

13.7 Bemerkung. 1. In der Dimensionsformel taucht dim W aus leicht erklärlichen Gründen nicht explizit auf: Bei jeder linearen Abbildung f : V W kann W durch einen größeren Vektorraum W ersetzt werden, ohne dass Kern f und Bild f und damit deren Dimensionen sich ändern. 2. Im Fall dim W < dim V kann f nicht injektiv sein, denn dim Kern f = dim V dim Bild f dim V dim W > 0. 3. Weil die Dimension des Bildes auch Rang von f genannt wird, ist dim V = dim Kern f + Rang f eine andere Fassung dieser Formel, vgl. dazu 12.30. 4. Für eine Matrix A gilt Kern A = Kern l A, LA = Bild l A und Rang A = Rang l A. 5. Nach 11.14 hat die Lösungsmenge eines jeden linearen Gleichungssystems die Form v + Kern A. Die Dimensionsformel erlaubt eine genauere Begründung für die in Bemerkung 11.15.2 gemachten Aussagen. Darstellung linearer Abbildungen Beispiel. Wieviele lineare Abbildungen f : R 2 R 3 gibt es mit fe 1 = 2, 4, 0 und fe 2 = 1, 0, 2? Antwort : Sei x, y R 2 beliebig. Wegen x, y = xe 1 +ye 2 folgt aus den Eigenschaften einer linearen Abbildung fx, y = fxe 1 + ye 2 = xfe 1 + yfe 2 = x2, 4, 0 + y1, 0, 2 = 2x + y, 4x, 2y. Damit hat genau eine lineare Abbildung die verlangten Eigenschaften....... Beides ist kein Zufall: Ist b 1,..., b n eine Basis von V und sind w 1,..., w n beliebige, nicht notwendig verschiedene Vektoren aus W, so gibt es immer genau eine lineare Abbildung f : V W mit fb i = w i für i = 1,..., n. Wir formulieren diesen Sachverhalt präzise ohne einen formalen Beweis zu geben. 61

13.8 Satz. Es seien b 1,..., b n eine Basis von V und w 1,..., w n ein beliebiges n-tupel von Vektoren aus W. Dann existiert genau eine lineare Abbildung f : V W mit fb i = w i für i = 1,..., n, nämlich fv = f α i b i = α i fb i = α i w i, wenn v = n α ib i V. Entscheidend für einen Beweis ist die Tatsache, dass die Darstellung von v nach 12.18 eindeutig ist. Deshalb ist die letzte Zeile eine Definition von f. Feststellung. Die gesamte Information über eine lineare Abbildung ist bereits in den Bildern der Basisvektoren enthalten! Diese Information lässt sich zu einer Matrix zusammenfassen, wie man am Beispiel erkennen kann. Im Spezialfall der kanonischen Basen von R n und R m ergibt sich 13.9 Sei f : R n R m eine lineare Abbildung, dann gilt fx = Ax. Dabei sind die Spalten der Matrix A = fe 1... fe n R m n durch fe i, i {1,..., n}, gegeben. Beweis. fx = f x i e i = x i fe i = Ax. 13.10 Bemerkung. 1. Die Spalten der Matrix A bestehen also aus den Bild-Vektoren der kanonischen Basisvektoren 1 0 0 e 1 = 0., e 2 = 1.,..., e n = 0.. 0 0 1 2. Gemessen an der Gesamtzahl aller Abbildungen zwischen zwei Vektorräumen gibt es relativ wenige lineare Abbildungen. Wir wollen diese Behauptung am Beispiel der endlichen Vektorräume Z 3 2 und Z 2 2 über dem Körper Z 2 belegen: Es gibt Kombinatorik! insgesamt 4 8 > 65 000 Abbildungen von Z 3 2 nach Z 2 2. Da man 4 4 4 = 64 Tripel w 1, w 2, w 3 mit w i Z 2 2 bilden kann, sind nur 64 dieser Abbildungen linear. 3. Übrigens gilt Z 2 3 = 2 6 = 64. 62

13.11 Beispiel. Wir wollen die Spiegelung s an der Geraden g = R 3, 1 untersuchen. g schließt mit der x-achse einen Winkel von π = 6 30 ein. Wir setzen s als eine lineare Abbildung an, die e 1 und e 2 auf se 1 bzw. se 2 überführt. Eine elementare geometrische Überlegung, die in der Vorlesung durchgeführt wird, liefert die Matrix 1 1 2 2 3 3 1. Versuchen Sie den einfachen Nachweis der folgenden Aussage! 1 2 13.12 Die Verkettung linearer Abbildungen ergibt stets wieder eine lineare Abbildung. Genauer: Für lineare Abbildungen f : V W und g : W X ist auch die Abbildung g f : V X linear. Sind lineare Abbildungen durch Matrizen dargestellt, dann hat man 13.13 Es seien A R m l und B R l n, dann sind l A : R l R m, l B : R n R l und l A l B : R n R m lineare Abbildungen. Weiter gilt 2 l A l B = l AB. Beweis. Die erste Aussage folgt aus 13.12. Für v R n gilt l A l B x = l A Bx = ABx! = ABx = l AB x, wegen des Assoziativgesetzes für die Matrizenmultiplikation 11.19. Erkennen Sie, dass da ein Homomorphismus im Spiel ist? Als weitere Anwendung vervollständigen wir den Beweis von 12.29.3. In der Tat ergibt sich die zurückgestellte Aussage III = V aus dem folgenden Satz. 13.14 Satz. Es sei A R m n so, dass die Spalten von A eine Basis von R m bilden. Dann gilt m = n und A ist invertierbar. Beweis. Die erste Aussage ist klar. Für die lineare Abbildung l A sind b 1 := l A e 1,..., b m := l A e m genau die Spalten von A und diese bilden eine Basis von R m. Nach 13.8 existiert genau eine lineare Abbildung g : R m R m mit gb i = e i für alle i = 1,..., m. Für jedes i = 1,..., m gilt g l A e i = gb i = e i = g l A = id l A gb i = l A e i = b i = l A g = id. Die = -Pfeile ergeben sich aus der Eindeutigkeitsaussage von 13.8, denn id hat die jeweilige Eigenschaft. Das zeigt g = l 1 A, und l A ist invertierbar. Nach 13.9 gibt es eine Matrix B = ge 1... ge m R m m mit g = l B. Nun zeigt 13.13 l I = id = l A l B = l AB und l I = id = l B l A = l BA und abermals aus 13.9 folgt AB = BA = I. 63

Lineare Abbildungen in der Geometrie Lineare Abbildungen führen Geraden auf Geraden über und sind daher interessant für die Geometrie. Auch Translationen haben diese Eigenschaft, sind aber nicht linear. Wir beschränken uns auf lineare Abbildungen. Das hat insbesondere zur Folge, dass der Nullpunkt festgelassen wird. Geometrisch gibt es keinen Grund das zu tun. Bei den folgenden Beispielen unterstellen wir stets, dass die gesuchten Abbildungen linear sind. 13.15 Beispiele. 1. Die Drehung δ um π 2 wird beschrieben durch δe 1 = e 2 und δe 2 = e 1, es gilt also δx, y = y, x. Die Matrixdarstellung lautet 2. Sei γ die Drehung um 45. Gesucht ist γ benötigen die Bilder der Basisvektoren. γe 1 = αe 1 + βe 2 mit α = β und α 2 + β 2 = 1. α Es folgt γe 1 = mit α = 2 α. 2 x y und die darstellende Matrix. Wir γe 2 und damit γ werden in den Übungen bestimmt. 3. Für die Spiegelung σ an der Geraden g : y = x gilt 64

4. Gesucht ist δ σ mit δ aus 1. und σ aus 3. Die lineare Abbildung δ σ ist beschrieben durch 0 1 0 1 =... 1 0 1 0 Es handelt sich um 5. Wie lautet hx, y, wenn h eine zentrische Streckung um 0, 0 mit Streckungsfaktor 2 ist? Wie sieht die Matrix-Darstellung aus? 6. Was passiert mit einem Fußballspieler, der im Koordinatenursprung steht, unter der linearen Abbildung e 1 e 1, e 2 e 1 + e 2? Solch eine Abbildung heißt Scherung mit Achse Re 1. Wir zeigen jetzt die in der Einführung zu diesem Abschnitt gemachte Behauptung. 13.16 Es sei σ : R n R n eine bijektive lineare Abbildung, dann bildet σ Geraden auf Geraden ab. Genauer: Für jede Gerade g = P + Rv gilt σg = σp + Rσv. Beweis. Jedes Element Q von g hat die Form Q = P + λv mit λ R. Es folgt σq = σp + λv = σp + σλv = σp + λσv σp + Rσv. Weil λ durch ganz R läuft, gilt σg = σp + Rσv. Frage: Was geht schief im Beweis, wenn σ nicht bijektiv ist? Wir untersuchen einige spezielle Abbildungen. Unsere Definitionen werden in der Vorlesung alle geometrisch motiviert. Zunächst betrachten wir die Drehung δ ϕ um den Winkel ϕ. Wir untersuchen die Bilder der kanonischen Basisvektoren: a c δ ϕ e 1 = und δ b ϕ e 2 =. d Eine Skizze zeigt a cos ϕ = und b sin ϕ cos ϕ sin ϕ sodass gilt δ ϕ v = v. sin ϕ cos ϕ Wir nutzen diese Überlegungen als Motivation für eine 13.17 Definition. Für ϕ R und cos ϕ sin ϕ D ϕ = sin ϕ cos ϕ heißt c d = sin ϕ cos ϕ δ ϕ : R 2 R 2 ; v D ϕ v Drehung um den Winkel ϕ und D ϕ die zugehörige Drehmatrix., 65

Führt man zwei Drehungen hintereinander aus, so ergibt sich wieder eine Drehung. Dabei ist der Drehwinkel die Summe der beiden gegebenen Drehwinkel mod 2π. Die Inverse einer Drehung ist auch eine Drehung, sie hat den Drehwinkel 2π ϕ. Diese anschaulichen Überlegungen ergeben 13.18 Die Menge aller Drehungen um den Nullpunkt bildet eine kommutative Gruppe. Genauer gilt: δ ψ δ ϕ = δ ψ+ϕ und δϕ 1 = δ 2π ϕ. Das neutrale Element ist id = δ 0 Drehung um 0. Beweis. Wir betrachten die Drehungen um die Winkel α und β. Es gilt cosα + β sinα + β D α+β = sinα + β cosα + β cos α cos β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β wegen der Additionstheoreme 9.13.2. Andererseits können wir rechnen cos α sin α cos β sin β D α D β = sin α cos α sin β cos β = cos α cos β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α cos β + cos α sin β cos α cos β sin α sin β. Aus der Gleichheit dieser Matrizen und 13.13 folgt die erste Behauptung. Die anderen ergeben sich nun ganz leicht. Bemerkung. Wenn man den Begriff der Drehung geometrisch definiert und daraus ableitet, dass die Drehungen eine Gruppe bilden, dann erhält man einen geometrischen Beweis für die Additionstheoreme 9.13.2. Dazu mus man den obigen Beweis nur ein wenig umbauen. Ausgewählte lineare Abbildungen des R 2 Matrix cos ϕ sin ϕ Drehung um den Ursprung um den Winkel ϕ D ϕ = sin ϕ cos ϕ cos 2ϕ sin 2ϕ Spiegelung an Ursprungsgeraden mit Neigungswinkel ϕ sin 2ϕ cos 2ϕ k 0 Streckung um den Faktor k mit Streckungszentrum 0, 0 0 k 1 a Scherung mit der x-achse als Achse a R 0 1 1 0 Scherung mit der y-achse als Achse b R b 1 66

Wir untersuchen nun noch lineare Abbildungen des Anschauungsraumes R 3. Insbesondere behandeln wir spezielle Beispiele von Drehungen und Spiegelungen. Die Drehungen haben als Drehachse eine Gerade durch den Koordinaten-Ursprung. Der Drehwinkel wird in einer Ebene senkrecht zur Drehachse gemessen, wobei auf die eindeutige Angabe des Drehwinkels Drehrichtung geachtet werden muss. Gespiegelt wird an einer Ebene, die ebenfalls durch 0, 0, 0 verläuft. 13.19 Beispiele. 1. Drehung um die z -Achse mit Drehwinkel von 90. Wir blicken aus der positiven z Richtung auf die x-y-ebene und drehen gegen den Uhrzeigersinn. Das entspricht der Verwendung eines Rechtssystems 7. e 1 e 2, e 2 e 1, e 3 e 3 Für ein beliebiges x, y, z R 3 erhalten wir fx, y, z = xe 2 ye 1 +ze 3 = y, x, z. 0 1 0 Die zugehörige Matrix ist 1 0 0 vgl. dazu auch 13.15.1. 0 0 1 2. Wie sieht die Drehmatrix für andere Drehwinkel bei gleicher Drehachse aus? 3. Ein Fußballspieler verändert seine Lage im Raum durch ein Foul. Durch geeignete sehr stark vereinfachende Modellierung kann man das durch eine Drehung um den Nullpunkt beschreiben. Ausführung in der Vorlesung. 4. Spiegelung an der y-z -Ebene: 5. Wir untersuchen g f : g fx, y, z = gfx, y, z = g y, x, z = y, x, z. 7 http://de.wikipedia.org/wiki/rechtssystem_mathematik 67

6. Welche Abbildung ist f g? 7. Für die Abbildung h mit e 1 e 2, e 2 e 3, e 3 e 1 gilt hx, y, z = z, x, y. Wir untersuchen, welche Punkte unter h festbleiben: x, y, z = hx, y, z = z, x, y x = y = z. Genau die Punkte auf der Geraden R1, 1, 1 = Le 1 + e 2 + e 3 sind Fixpunkte, h ist eine Drehung. Wie groß ist der Drehwinkel? 8. Gesucht ist die Matrix, die zur zentrischen Streckung um den Faktor 2 gehört. 9. Gesucht ist die Matrix, die zur orthogonalen Projektion auf die x 1 -x 2 -Ebenen gehört. Bemerkung. Alle Drehungen mit einer Drehachse durch 0, 0, 0, alle Spiegelungen an einer Ebene durch 0,0,0 und alle zentrischen Streckungen mit Zentrum 0, 0, 0 sind lineare Abbildungen. Die Begriffe Rechtssystem 8 und Rechte-Hand-Regel 9 = Drei-Finger-Regel sind bei Wkipedia gut erklärt. 8 http://de.wikipedia.org/wiki/rechtssystem_mathematik 9 http://de.wikipedia.org/wiki/drei-finger-regel 68