Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg
elementarer Funktionen Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R. Dann gilt: f(x) f (x) 1 ln x x 1 log a x x ln a e x e x a x x b sin x cos x a x ln a bx b 1 cos x sin x 196
en höherer Ordnung Gegeben: f : D R, mit D R und a > 0, b R Wenn der Differentialquotient f : D R in x D differenzierbar ist, dann heißt df (x) dx = d2 f(x) (dx) 2 = f (x) zweite oder Differentialquotient zweiter Ordnung von f in x D. Analog für n = 2,3,...: ( ) d ( ) f (n 1) (x) = d d (n 1) f(x) = f (n) (x) dx dx (dx) (n 1) f (n) (x) bezeichnet dabei die n-te von f in x D. f heißt n-mal stetig differenzierbar in D, wenn f in D stetig und in jedem Punkt x D n-mal differenzierbar ist 197
Definition Voraussetzung: D R und f : D R ist differenzierbar. Dann heißt ρf (x) = f 0 (x) f(x) Änderungsrate von f und f (x) = f 0 (x) f(x) x = f 0 (x) x = ρf (x) x f(x) von f. 198
Elastische versus unelastische Funktionen Definition Beispiel Für ɛ f (x) > 1 reagiert die relative Änderung von f(x) überproportional auf relative Änderungen von x, die Funktion f heißt im Punkt x elastisch. Für ɛ f (x) < 1 bezeichnen wir die Funktion f im Punkt x als unelastisch. f(x) = ae bx mit a, b 0 ρ f (x) = f (x) f(x) = abebx ae bx = b und ɛ f(x) = x ρ f (x) = bx Die Änderungsrate der Exponentialfunktion ist also konstant Die wächst linear mit x. 199
Steigung und erste Gegeben: f : [a, b] R ist stetig und differenzierbar auf (a, b). Dann gilt: f monoton wachsend in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f monoton fallend in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f konstant in [a, b] f (x) = 0 für alle x (a, b) f (x) > 0 für alle x (a, b) f streng monoton wachsend in [a, b] f (x) < 0 für alle x (a, b) f streng monoton fallend in [a, b] 200
Krümmung und zweite Gegeben: f : [a, b] R ist stetig und zweimal differenzierbar auf (a, b). Dann gilt: f konvex in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f konkav in [a, b] f (x) 0 für alle x (a, b) f beschreibt eine Gerade in [a, b] f (x) = 0 für alle x (a, b) f (x) > 0 für alle x (a, b) f streng konvex in [a, b] f (x) < 0 für alle x (a, b) f streng konkav in [a, b] 201
Beispiel f : R R mit f(x) = xe x f (x) = e x xe x = (1 x)e x Damit: f (x) 0 für x 1 und f (x) 0 für x 1 f mon. wachsend für x 1 und f mon. fallend für x 1 f global maximal bei x = 1 e 1 2e 2 3e 3 f(x) f (x) = e x (1 x)e x = (x 2)e x f (x) 0 für x 2 und f (x) 0 für x 2 1 2 3 x f konvex für x 2 und f konkav für x 2 202
Charakteristische Punkte Definition Wendepunkt f(x) hat in x 0 (a, b) einen Wendepunkt wenn es ein r > 0 gibt mit f ist in [x 0 r, x 0 ] streng konvex und f ist in [x 0, x 0 + r] streng konkav und (oder umgekehrt) Definition Terrassenpunkt x 0 ist Terrassenpunkt wenn x 0 Wendepunkt ist und f (x) = 0 203
Lokales versus globales Maximum Der Finanzminister endlich mal wieder oben auf (Zeichnung: Haitzinger, 2009) 204
Extremumsbedingung Voraussetzung f zweimal stetig differenzierbar in (a, b) und f (x 0 ) = 0 mit (x 0 (a, b)) Dann gilt f (x 0 ) < 0 x 0 ist lokales Maximum von f f (x 0 ) > 0 x 0 ist lokales Minimum von f f (x) < 0 für alle x (a, b) x 0 ist globales Maximum von f f (x) > 0 für alle x (a, b) x 0 ist globales Minimum von f 205
Regel von L Hospital Voraussetzungen Gegeben: Funktionen f,g : [a,b] R f und g seien differenzierbar in (a,b) g (x) 0 für alle x (a,b). Es gibt ein x 0 (a,b) mit f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0 und f (x) lim x x 0 g (x) = f (x 0 ) g (x 0 ) = c G.F.A. de l Hospital (1661 1704) Dann gilt f(x) lim x x 0 g(x) = f (x 0 ) g (x 0 ) Analog funktioniert:, 0, gelegentlich auch usw.
Beispiele zur Regel von L Hospital lim x 0 e x 1 x 2 = ± lim x 0 sinx x = 1 lim x 0 (x 1) 4 (e x e) 2 = 0 lim x 0 x 2 1 cosx = 2