Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 1 Kurs 00091: Finanzierungs- und entscheidungstheoretische Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre Lösungshinweise zur Einsendearbeit (WS 010/011) Inhaltlicher Bezug: KE 4, 5 und 6 Aufgabe 1 5 Punkte a) Was versteht man in der Investitionstheorie unter dem Endwert eines Investitionsprojektes? (5 P.) Der Endwert eines Investitionsprojektes kann interpretiert werden als der Betrag, um den das Vermögen des Investors nach vollständiger Abwicklung des Projektes höher (EW > 0) oder niedriger (EW < 0) ist als bei Realisierung der Unterlassensalternative, oder als der Betrag, der dem Investor zum Projektende mindestens geboten werden müsste (EW < 0), um ihn zur Projektdurchführung im Vergleich zur Unterlassensalternative zu bewegen, oder als der Betrag, der vom Investor zum Projektende mindestens verlangt werden müsste (EW > 0), um ihn zum Unterlassen der Investition zu bewegen. b) Neben der Unterlassensalternative stehen zwei einander ausschließende Investitionsprojekte A 1 und A zur Auswahl; bei beiden Projekten handelt es sich um Normalinvestitionen. Die auf der Basis des Kalkulationszinsfusses r ermittelten Kapitalwerte seien mit K 1 und K bezeichnet, die internen Zinsfüße mit r* 1 und r*. (0 P.) Geben Sie zu den nachfolgenden Aussagen an, ob diese richtig sind (Markierung: R), falsch sind (Markierung: F) oder je nach den weiteren, hier nicht näher bekannten Rahmendaten richtig sein können, aber nicht müssen (Markierung:?)!
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 i) Wenn 0 > K > K 1 ist, ist die Optimalalternative im Sinne einer Endvermögensmaximierung (1 ) U R () A 1 F (3) A F ii) Wenn r* > r* 1 > r ist, ist die Optimalalternative (1 ) U F () A 1? (3) A? iii) Wenn r* 1 > r > r* ist, ist die Optimalalternative (1 ) U F () A 1 R (3) A F iv) Wenn K 1 > K und r* < r ist, ist die Optimalalternative (1 ) U? () A 1? (3) A F v) Wenn r > r* 1 und K 1 < K ist, ist die Optimalalternative (1 ) U? () A 1 F (3) A? Lösung zu i) Der Kapitalwert eines Investitionsprojektes gibt den auf den Zeitpunkt t = 0 abgezinsten Wert an, um den das Endvermögen bei Realisierung der Investition größer (oder kleiner) sein wird, als bei Wahl der Unterlassensalternative. Die Präferenzordnung nach dem Kapitalwertkriterium entspricht unmittelbar der Präferenzordnung nach dem Endvermögenskriterium: 0 > K > K 1 EV U > EV > EV 1. zu ii) Der interne Zinsfuß einer Normalinvestition kann als Verzinsung des durchschnittlich gebundenen Kapitals des betrachteten Investitionsprojektes interpretiert werden. Von r* > r* 1 > r kann allein noch nicht auf K > K 1 oder EV > EV 1 geschlossen werden, da Angaben über die Höhe des durchschnittlich gebundenen Kapitals beider Investitionsalternativen fehlen. zu iii) Normalinvestitionen weisen genau einen internen Zinsfuß auf. Für r* > r gilt also K > 0 und für r* < r gilt K < 0. Aus r* 1 > r > r* kann daher K 1 > 0 > K gefolgert werden. Diese Präferenzordnung nach dem Kapitalwertkriterium gilt auch nach dem Endvermögenskriterium.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 3 zu iv) Da nur Normalinvestitionen betrachtet werden, kann aus r* < r auf K < 0 und aus K 1 > K damit nicht eindeutig auf das Vorzeichen von K 1 geschlossen werden. Wegen der Äquivalenz von Kapitalwertkriterium und Endvermögenskriterium stellt also bei K 1 > 0 die Alternative A 1 und bei K 1 < 0 die Unterlassensalternative die Optimalalternative dar. zu v) Da nur Normalinvestitionen betrachtet werden, kann aus r > r* 1 auf K 1 < 0 und aus K 1 < K damit nicht eindeutig auf das Vorzeichen von K geschlossen werden. Wegen der Äquivalenz von Kapitalwertkriterium und Endvermögenskriterium stellt also bei K > 0 die Alternative A und bei K < 0 die Unterlassensalternative die Optimalalternative dar.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 4 Aufgabe 5 Punkte Ein Investor betrachtet die beiden folgenden Investitionsprojekte a 1 und a mit den Zahlungsreihen: e 0 e 1 e e 3 e 4 a 1 8 +10 +50 +7 +164 a 184 +109 +10 +94 a) Stellen Sie die Differenzzahlungsreihe nach der Ihnen aus dem Kursmaterial bekannten Vorgehensweise auf! Berechnen Sie den Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe und erläutern Sie, welches Projekt der Investor unter der Zielsetzung einer Endvermögensmaximierung durchführen sollte, wenn der für die gesamte Laufzeit geltende Zins 10% p.a. beträgt und auf jeden Fall eines der beiden Projekte realisiert werden soll? (7 P.) Die sich zu den jeweiligen Zeitpunkten ergebenden Differenzzahlungen werden ermittelt, indem die Zahlungen des einen Projektes von denen des jeweils anderen Projektes zeitpunktbezogen subtrahiert werden. Zu beachten ist, dass die erste von Null verschiedene Zahlung der Differenzzahlungsreihe ein negatives Vorzeichen hat. Um im konkreten Fall die gesuchte Differenzzahlungsreihe zu erhalten, ist jeweils zeitpunktbezogen a 1 a zu berechnen. e 0 e 1 e e 3 e 4 D 1, 44 99 +40 +164 Die Berechnung des Kapitalwertes der Differenzzahlungsreihe für r = 0,10 ergibt: 1, 1 3 4 K = 44 99 1,1 + 40 1,1 1,1 + 164 1,1 = 5, 46. Der negative Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe entspricht definitionsgemäß gerade der Differenz der Kapitalwerte der Projekte a 1 und a. Da diese Differenz negativ ist, ist das Investitionsprojekt a dem Investitionsprojekt a 1 unter der Zielsetzung Endvermögensmaximierung eindeutig vorzuziehen.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 5 b) Führt die von Ihnen in Aufgabenteil a) als vorteilhaft erkannte Investition auch zu einem höheren Endvermögen als die Unterlassensalternative? Begründen Sie Ihre Meinung! (5 P.) 1 3 K = 184 + 109 1,1 + 10 1,1 + 94 1,1 = 6, 0. Das in Aufgabenteil a) als (relativ) vorteilhaft erkannte Projekt a weist einen negativen Kapitalwert auf. Die Unterlassensalternative führt folglich zu einem höheren Endvermögen als das bessere der beiden Investitionsprojekte a und a 1. U ist Optimalalternative. c) Ändern sich die Ergebnisse gemäß Teilaufgabe a) bzw. Teilaufgabe b), wenn der am Finanzmarkt geltende Zinssatz nicht konstant 10% p. a. beträgt, sondern im ersten Jahr 4% und anschließend jeweils 16% beträgt? (6 P.) Für den Kapitalwert der Differenzzahlungsreihe ergibt sich: 1, 1 1 1 1 1 3 K = 44 99 1, 04 + 40 1, 04 1,16 1, 04 1,16 + 164 1, 04 1,16 = 0, 73. Der erneut negative Wert des Kapitalwerts der Differenzzahlungsreihe zeigt, dass Projekt a dem Projekt a 1 auch unter den geänderten Zinsbedingungen am Finanzmarkt vorzuziehen ist. Die relative Vorteilhaftigkeit des Projektes a bleibt erhalten. Für den Kapitalwert des relativ vorteilhaften Projektes a ergibt sich: 1 1 1 1 K = 184 + 109 1, 04 + 10 1, 04 1,16 + 94 1, 04 1,16 = 3, 73. Das Projekt a weist weiterhin einen negativen Kapitalwert auf. Die Unterlassensalternative bleibt vorteilhaft.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 6 d) Diskutieren Sie kurz die Aussagekraft und den Nutzen bzw. die Einsatzmöglichkeiten von Differenzzahlungsreihen bei Investitionsentscheidungen! (7 P.) Differenzzahlungsreihen sind geeignet, die relative Vorteilhaftigkeit zweier Investitionsprojekte zu beurteilen. Es kann also eine Rangordnung zwischen den betrachteten Investitionsprojekten erstellt werden. Aufgrund der Differenzzahlungsreihe kann aber nicht beurteilt werden, ob die betrachteten Investitionsprojekte im Vergleich zur Unterlassensalternative vorteilhaft sind. Hierzu ist es zwingend notwendig, die einzelnen Zahlungen der Projekte zu berücksichtigen; es ist somit der jeweilige Kapitalwert der Investitionsprojekte zu ermitteln. Differenzzahlungsreihen können dann Verwendung findet, wenn der Investor bereits die Entscheidung über die Durchführung einer Investition getroffen hat, die Unterlassensalternative also nicht mehr zur Disposition steht bzw. die zu untersuchenden Investitionsprojekte im Vergleich zum Unterlassen bereits als vorteilhaft identifiziert wurden. Der Nutzen, den der Entscheidungsträger dabei aus der Verwendung der Differenzzahlungsreihe zieht, ist darin zu sehen, dass er unnötig viele Diskontierungsrechnungen vermeiden kann.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 7 Aufgabe 3 0 Punkte In einem Spielcasino wird als besondere Zugabe für die Besucher des Casinos das aus den Kursmaterialien bekannte Petersburger Spiel eingeführt. Jeder Besucher des Casinos darf einmalig, ohne einen Spieleinsatz leisten zu müssen, an dem Spiel teilnehmen. Die maximale Auszahlung des Casinos ist allerdings auf 16 GE begrenzt worden, d. h., auch bei höheren rechnerischen Gewinnen werden nur 16 GE ausgezahlt! a) Beschreiben Sie kurz in eigenen Worten eine mögliche Regel für obige Variante des Petersburger Spiels! (6 P.) Beispiel 1: Eine ideale Münze wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal Adler erscheint. Ist das beim n-ten Wurf (n = 1,, 3, ) der Fall, so beträgt die Auszahlung an den Spieler n GE für n 3 und 16 GE für n 4. Beispiel : Eine ideale Münze maximal dreimal geworfen. Erscheint beim n-ten Wurf (n = 1,, 3) zum ersten Mal Adler, so wird das Spiel abgebrochen und es erfolgt eine Auszahlung an den Spieler in Höhe von n GE. Zeigt die Münze hingegen bei allen drei Würfen Zahl, so beträgt die Auszahlung 16 GE. b) Verdeutlichen Sie für einen beliebigen Besucher des Casinos die monetären Konsequenzen seiner Spielteilnahme durch die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Gewinne! (8 P.) Bei einem Spieleinsatz von 0 GE ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Gewinne (in GE): e + ( = 1 ) + 4 ( = ) + 8 ( = 3 ) + 16 ( = 4 ) p (e) 1 ( = 1 ) 1 4 ( = ) 1 8 ( = 3 ) 1 3 8 ( = )
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 8 *: Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Gewinns von 16 GE beträgt nicht (wie möglicherweise angenommen) 1/16, sondern ist exakt doppelt so groß. Summiert man die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die kleiner als 16 GE sind, so ergibt sich mit 7 4 1 8 = + + die Wahrscheinlichkeit, dass spätestens im dritten Wurf erstmals Adler erscheint. Die Wahrscheinlichkeit, dass erst in einem späteren als dem dritten Wurf 8 8 8 (vgl. Spielregel in Beispiel 1) oder in keinem der drei Würfe (vgl. Spielregel in Beispiel ) 1 = 1 7. Adler erscheint, beträgt folglich ( ) 8 8 c) Ermitteln Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung des Ergebnisses (Gewinn oder Verlust) für diese Variante des Petersburger Spiels! (6 P.) μ = 1 + 4 1 4 + 8 1 8 + 16 1 8 = 5 σ = ( 5) 1 + ( ) 1 + ( ) 1 + ( ) 1 4 5 4 8 5 8 16 5 8 = 1 σ = σ = 1 = 4, 586.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 9 Aufgabe 4 15 Punkte a) Ein Entscheidungssubjekt A weist eine lineare Risikonutzenfunktion auf. A wird ein Lotteriespiel angeboten, bei dem mit der Wahrscheinlichkeit w 100 Euro und mit der Gegenwahrscheinlichkeit (1-w) 0 Euro gewinnen kann. Sein Sicherheitsäquivalent beträgt 50 Euro. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit w? (6 P.) Eine lineare RNF impliziert Risikoneutralität, d.h. das Sicherheitsäquivalent entspricht dem Erwartungswert der Lotterie. Es gilt: ( ) 50 = 100 w + 0 1 w w = 0,375. b) Ein Entscheidungssubjekt B handelt (für nichtnegative Ergebnisse e) entsprechend der Risikonutzenfunktion u(e) = e 0,5. Ihm wird ein Spiel angeboten, das mit einer Wahrscheinlichkeit von 0% ein Ergebnis von 10.000 liefert; mit der Wahrscheinlichkeit von 80% ist das Ergebnis Null. (9 P.) (b1) Welches Sicherheitsäquivalent weist dieses Spiel für B auf? Das Spiel hat für B einen Risikonutzen von 0,5 u(e) = 0, 10.000 + 0,8 0=. Das Sicherheitsäquivalent beträgt: 0,5 4 = SÄ SÄ = = 16. (b) Ist B risikofreudig, risikoscheu oder risikoneutral? Begründen Sie Ihre Einschätzung kurz! B ist risikoscheu, da das Sicherheitsäquivalent (SÄ = 16) geringer als der Erwartungswert der Lotterie ( μ= 0, 10.000 + 0,8 0 =.000 ) ist.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 10 Aufgabe 5 15 Punkte Gehen sie nachfolgend von der in der Tabelle dargestellten Wahrscheinlichkeitsverteilung der Renditen der Wertpapiere A, B und C aus: S 1 S S 3 S 4 p 1 = 0,5 p = 0,5 p 3 = 0,5 p 4 = 0,5 Rendite A 4 +4 4 +4 Rendite B +1 + +1 + Rendite C +3 +3 +11 +11 a) Bestimmen Sie für jedes der drei Wertpapiere sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung der Renditen! (9 P.) μ A = 0,5 4 + 0, 5 4 = + 10 μ B = 0,5 + 0,5 1 = + 7 μ C = 0,5 3 + 0,5 11 = + 7 σ ( 4 10) 0,5 (4 10) A = + 0,5 = + 14 σ ( 7) 0,5 (1 7) B = + 0,5 = + 5 σ (3 7) 0,5 (11 7) C = + 0,5 = + 4 Hinweis: Die σ-werte hätten auch ohne konkrete Rechnung leicht aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen abgeleitet werden können. Jedes konkrete Ergebnis e ij weicht jeweils vom Mittelwert der korrespondierenden Verteilung um den oben angegebenen σ-wert ab.
Grundlagen der Betriebswirtschaftslehre, Kurs 00091, KE 4, 5 und 6, WS 010/011 11 b) Bestimmen Sie die Korrelationskoeffizienten ρ AB, ρ AC und ρ BC! (6 P.) cov AB = ( 14) 5 0, 5 + 14 ( 5) 0,5 + ( 14) 5 0, 5 + 14 ( 5) 0,5 = 70 covac = 0 covbc = 0 ρ AB = covab 70 = σa σb 14 5 = 1 ρ AC = 0 14 4 = 0 ρ BC = 0 5 4 = 0 Hinweis: Die Werte für cov BC und ρ BC hätten nicht konkret ermittelt werden müssen. Aus ρ AB = 1 und ρ AC = 0 folgt direkt: ρ BC = 0.