Technische Universität München Fakultät für Physik Ferienkurs Theoretische Physik 1 Mechanik Skript zu Vorlesung 1: Grundlagen der Newton schen Mechanik, Zweiteilchensysteme gehalten von: Markus Krottenmüller & Markus Perner 27.08.2012
Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Newton schen Mechanik 1 1.1 Raum, Zeit und Bewegung.......................... 1 1.2 Newtonsche Grundgesetzte.......................... 1 2 Zweiteilchensysteme 2 2.1 Zentralkräfte................................. 3 2.2 Drehimpuls und effektives Potential..................... 3 2.3 Das Kepler-Problem............................. 4 2.4 Das Streuproblem............................... 5 Abbildungsverzeichnis 1 klassische Streuung.............................. 5
1 Grundlagen der Newton schen Mechanik Die Newton sche Mechanik umfasst den schon in der Schule benutzten Formalismus zur Beschreibung der Dynamik von Massepunkten. 1.1 Raum, Zeit und Bewegung Zeit: Die Zeit in der klassischen (nicht relativistischen) Mechanik ist ein unabhängiger, kontinuierlicher Parameter. Raum: Die Position eines Teilchens wird durch einen Vektor r im euklidischen Raum R 3 beschrieben. Es gibt verschiedene Koordinatensysteme in denen dieser Vektor beschrieben ist. Die wichtigsten sind die kartesischen, die Polar- und die Zylinderkoordinaten. Bewegung: Die Bewegung eines Teilchens im Raum ist durch seine Bahnkurve r(t) vollständig beschrieben. Aus ihr ergibt sich die Geschwindigkeit v(t) = d r (t) und die dt Beschleunigung a(t) = d v (t) = d2 r (t) des Teilchens zu allen Zeiten. Bei der Darstellung von Bahnkurven in z.b. Polarkoordinaten ist zu beachten, dass die Einheitsvektoren dt dt 2 dann nicht mehr zeitunabhängig sind (Kettenregel beachten!). Beispiel ebene Polarkoordinaten: r(t) = r(t) e r v(t) = r(t) = r(t) e r + r(t) e r = r(t) e r + r φ e φ (1) a(t) = v(t) = r e r + ṙ φ e φ + ṙ φ e φ + r φ e φ r φ 2 e r = ( r r φ 2 ) e r + (r φ + 2ṙ φ) e φ 1.2 Newtonsche Grundgesetzte 1. Axiom: Es gibt Bezugssysteme (Inertialsysteme) in denen sich ein Massepunkt im Kräftefreien Raum mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (Trägheit). 2. Axiom: Mit der Kraft F, der Masse m und dem Impuls p = m v gilt: F = d p dt = md2 r dt 2 (2) 3.Axiom: actio=reactio F 21 = F 12 Die allgemeine Form der Newton schen Bewegungsgleichung in Anwesenheit eines Kraftfeldes F ( r, r, t) lautet: m d2 r dt 2 = F ( r, r, t) (3) 1 / 6
Die Problemstellung besteht nun darin, diese Differentialgleichung zu lösen. Für den eindimensionalen Fall F ( r, r, t) = F (x) und nach Einführung eines Potentials U(x) mit F (x) = du (x) lässt sich die Newton sche Bewegungsgleichung formal durch Trennung dx der Variablen lösen: t t 0 = x x 0 1 m 2 (E U(x )) dx (4) Dabei ist E = T (x) + U(x) die konstante Gesamtenergie, die sich aus der kinetischen Energie T (x) = m 2 ẋ2 und der potentiellen Energie U(x) zusammensetzt. Durch Inversion von t(x) erhält man nun die Bahnkurve x(t). Um die Lösung der Bewegungsgleichungen zu vereinfachen, suchen wir im Folgenden nach sogenannten Erhaltungsgrößen, Größen, die zeitlich konstant sind. 2 Zweiteilchensysteme Newton sche Bewegungsgleichungen für ein abgeschlossenes Zweiteilchensystem: m 1 r1 = F 21 (5) m 2 r2 = F 12 Dieses Problem reduziert sich durch Einführung der Schwerpunktskoordinate R = m 1 r 1 +m 2 r 2, wobei M = m M 1 + m 2 die Gesamtmasse ist, und der Relativkoordinante r = r 1 r 2 auf ein Einteilchenproblem. Es folgt nämlich für den Schwerpunkt unter Ausnutzung des 3. Axioms M R = 0. Das heißt der Gesamtimpuls P = M R ist eine Erhaltungsgröße bzw. Konstante der Bewegung. Bezugssysteme, in denen M R = 0 gilt, heißen Inertialsysteme und es existiert immer ein Inertialsystem in dem der Schwerpunkt ruht (Schwerpunktssystem). Die Bewegungsgleichung für die Relativkoordinate lautet nun µ r = F, (6) was einem Einteilchenproblem mit der reduzierten Masse µ = m 1m 2 M entspricht. 2 / 6
2.1 Zentralkräfte Zentralkräfte sind Kräfte, die von einem bestimmten Punkt aus nur radial wirken. Für uns relevant sind nur spezielle Zentralkräfte der Form F ( r) = f(r) r = f(r) e r r. Für integrable Funktionen kann man wieder ein Potential U(r) definieren mit F ( r) = U(r) = du(r) d r = du(r) dr r e r, U(r) U(r 0 ) = r 0 f(r ) dr (7) Aus der Differentialgleichung für die Relativkoordinate mit der Zentralkraft durch das Potential ausgedrückt, folgt mit einem oft verwendeten Trick, dass die Energie der Relativbewegung E = 1µ r 2 + U(r) eine Erhaltungsgröße ist. Beweis: Multiplikation der 2 Bewegungsgleichung mit r. µ r r = r U(r) bzw. d ( ) 1 dt 2 µ r 2 = d r dt e du(r) r = d dr dt (r e du r) e r (8) dr ( dr = dt + r d e ) r du dt e r dr d [ ] 1 dt 2 µ r 2 + U(r(t)) = 0 (9) 2.2 Drehimpuls und effektives Potential Definition des Drehimpulses l i : yp z zp y li = r i p i = zp x xp z = m i r i r i (10) xp y yp x Eine zeitliche Änderung des Drehimpulses ist ein Drehmoment m i = d l i. Im Zweikörpersystem kann der Gesamtdrehimpuls L = R M R + r µ r = LS + l wieder in dt Schwerpunkts- und Relativkomponente getrennt werden. Aus den Bewegungsgleichungen folgt, dass L S in jedem Inertialsystem eine Erhaltungsgröße ist und l, falls eine Zentralkraft vorliegt. Beweis: d l dt = µ d dt ( r r) = µ( r r + r r) = f(r) r r = 0 (11) r Daraus folgt, dass der Orts- und Geschwindigkeitsvektor in einer Ebene senktrecht zu l stehen. Das heißt man kann die Bewegung durch ebene Polarkoordinaten beschreiben (eigentlich Zylinderkoordinaten mit z = const. und l = l e z ) ausdrücken. Für den Betrag des Drehimpulses l ergibt sich 3 / 6
l = µr 2 Φ = const., bzw. Φ = l µr 2 (12) Die Energie kann man in ebenen Polarkoordinaten nun E = 1 2 µṙ2 + 1 2 µṙ2 + V (r) schreiben, mit dem effektiven Potential V (r) = U(r) + l2 + U(r) = 2µr 2 l2 2µr 2. (13) Für gegebene Energie E sind durch die Bedingung E V (r i ) = 0 die sogenannten Umkehrpunkte definiert. Klassische Teilchen können sich nur in Bereichen E V (r) bewegen. Die Bewegungsgleichung für das effektive Potential können wir mit Gleichung 4 nach r(t) auflösen und daraus Φ(t) mithilfe von Gleichung 12 durch Integration bestimmen. Man kann auch direkt dt aus Gleichung 4 mit Hilfe von Gleichung 12 eliminieren und erhält so Φ(r), bzw. r(φ) durch Inversion. Φ Φ 0 = r r 0 l r 2 2µ(E U(r)) l2 r 2 dr (14) 2.3 Das Kepler-Problem Den Planetenbahnen liegt das Newton sche Gravitationsgesetz zugrunde. Daraus ergibt sich das Potential zu U(r) G m 1m 2 t = k r (15) Da es sich bei der Gravitationskraft um eine Zentralkraft handelt, können wir das effektive Potential (Gleichung 13) aufstellen und die Bewegungsgleichung mit Hilfe von Gleichung 14 lösen. Es ergibt sich ( ) p/r 1 Φ Φ 0 = arccos C, (16) ɛ wobei p = l2 der sogenannte Bahn-Parameter und ɛ = 1 + 2El2 die Exzentrität ist. kµ µk 2 Für Φ 0 = C folgt 4 / 6
r(φ) = p 1 + ɛ cos Φ, (17) die Polarkoordinaten-Darstellung eines Kegelschnitts. Für E > 0 ergeben sich offene Bahnen und für E < 0 gebundene Bahnen. Es gibt folgende mögliche Bahnen und Spezialfälle: p 1 ɛ 2 = k ɛ < 1 (E < 0): Die Bahn ist eine Ellipse mit der großen Halbachse a = und 2 E der kleinen Halbachse b = p 1 ɛ 2 = pa = l. Für ɛ = 0 ergibt sich der Spezialfall 2µ E eines Kreises (a = b = p). ɛ > 1 (E > 0): Die Bahn ist eine Hyperbel mit dem kleinsten Abstand zum Brennpunkt r min =. Für ɛ = 1 (E = 0) ergibt sich der Spezialfall einer Parabel. p 1+ɛ Aus diesem Ergebnis folgen die drei Kepler schen Gesetze. 2.4 Das Streuproblem Streuexperimente sind wichtig um Informationen über Teilchen und ihre Wechselwirkungen zu erhalten. Bei diesen Experimenten misst man den sogenannten differentiellen Wirkungsquerschnitt dσ = in dω gestreute Teilchen einfallendeteilchen df = dn n, (18) dabei ist dn die Zahl der in den Winkelbereich [θ, θ + dθ] pro Zeit gestreuten Teilchen, n die Zahl der pro Zeit und pro Fläche df einfallenden Teilchen und dω das Raumwinkelelement. In unserem Fall gilt dω = 2π sin θ dθ. Der Streuwinkel θ ist der Winkel um b db. Φ 0 Φ 0 θ dθ df dω Abb. 1: klassische Streuung 5 / 6
den das Teilchen von seiner ursprünglichen Bahn abgelenkt wurde. Der Streuparameter b ist die Strecke des Lotes vom Streuzentrum auf die ursprüngliche Bahn des Teilchens. Falls b = b(θ) eindeutig ist folgt dn = n2πb db und mit dω dσ dω = b sin θ db dθ (19) Im Folgenden betrachten wir elastische Streuung, bei der Impuls- und Energieerhaltung gilt. Wir betrachten die Streuung als Zweiteilchenproblem in dem für das Streupotential U(r ) 0 gilt. Für die Energie ergibt sich E = 1 2 mv2 (v = v r ) und für den Drehimpuls l = mbv. Mit Gleichung 14 folgt Φ 0 = r 0 b r 2 1 (b/r) 2 2U(r) mv 2 dr = π θ. (20) 2 Verwenden wir nun das Potential U(r) = α r 17 und dem Ausdruck für ɛ herleiten kann man unter Verwendung von Gleichung b(θ) = α cot(θ/2). (21) 2E Daraus ergibt sich mit Gleichung 19 der Rutherford-Wirkungsquerschnitt dσ ( α ) dω = 1 4E sin 4 (θ/2). (22) 6 / 6