2. Vorlesung Partielle Differentialgleichungen Wolfgang Reichel Karlsruhe, 22. Oktober 204 Institut für Analysis KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association www.kit.edu
Beispiele PDGlen Erinnerung (a) Transportgleichung: (2) Kurz: C gradu + u t = 0, n u c i (x, t) + u (x, t) = 0 x i i= C = (c,..., c n ) T = konstant (b) Diffusionsgleichung: (4) u (x, t) = d u(x, t) + f(x, t, u(x, t)) wobei =Laplace Operator in den Ortskoordinaten x,..., x n ist. Kurz: u t = d u + f(x, t, u) Allgemeine Diffusions-Konvektions-Reaktionsgleichung: (5) u = div ( d(x, t) gradu ) C(x, t) gradu + f(x, t, u) 2/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Weitere Beispiele (Poisson-/Laplace) (c) Laplace bzw. Poissongleichung: Wir betrachten spezielle Lösungen der Diffusionsgleichung: u = d u + f(x, u) [beachte: der Rekationsterm darf hier nicht von der Zeit t abhängen!] Gesucht sind Lösungen der Form u(x, t) = v(x), d.h. zeitunabhängige Lösungen. Da v = 0, muss v die Gleichung 0 = d v(x) + f(x, v(x)), x Ω erfüllen. Hier können wir o.b.d.a. d = annehmen. 3/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Poisson- bzw. Laplacegleichung Die Gleichung 0 = }{{} d v(x) + f(x, v(x)), = (0) v = f(x, v) in Ω heisst (nichtlineare) Poissongleichung. x Ω Hängt f nur von x und nicht von v selbst ab so heisst lineare Poissongleichung. Im Fall f = 0 nennt man Laplacegleichung. () v = f(x) in Ω (2) v = 0 in Ω 4/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Ein paar explizite Lösungen (i) n = 2, v(x, y) = x 2 y 2 (bzw. v(x, y) = x, v(x, y) = y) löst v = 0 in R 2 (ii) allgemeiner: n, v(x,..., x n ) = x 2 i x 2 j (bzw. v(x) = x i ) löst v = 0 in R n Da die Gleichung linear ist, kann man durch Linearkombinationen neue Lösungen erzeugen. Z.B. v(x, x 2, x 3 ) = x 2 x2 2 + cx 3 (iii) n = 2, v(x, y) = e x cos y löst (iv) n, v(x) = x 2 2n v = 0 in R 2 (hier: x 2 = x 2 + x2 2 +... + x2 n ) löst v = in R n und v ist positiv in B (0) R n, v = 0 auf B (0). 5/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Weitere Beispiele (d) Maxwell-Gleichungen (für elektromagnetische Felder): } E(x, t) elektrisches Feld x R 3, t R, E, H : R 4 R 3 H(x, t) magnetisches Feld Zwei weitere Felder: }{{} D = ɛe, }{{} B = µh el. Flußdichte mag. Flußdichte elektrische Leitfähigkeit: ɛ = ɛ 0 (Vakuum) ɛ r (Material) magnetische Suszeptibilität: µ = µ 0 (Vakuum) µ r (Material) Maxwell-System: div B = 0 div D = ρ = Ladungsdichte (3) rot E + B = 0 rot H D = j = Stromdichte gegeben: ρ, j als Funktionen von (x, t) sowie ɛ, µ als Funktionen von x gesucht: E, H bzw. D, B 6/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Spezielle Lösungsansätze (3) div B = 0 div D = ρ = Ladungsdichte rot E + B = 0 rot H D = j = Stromdichte Elektrostatik: j = 0, H = B = 0, Ladungsdichte ρ = ρ(x) zeitunabhängig. Ansatz: E(x) = grad u(x) ebenfalls zeitunabhängig. div D = div(ɛ grad u) = ρ, rot(grad u) = 0 automatisch erfüllt Im Vakuum: ɛ = ɛ 0 = const. Damit erhalten wir die Poissongleichung ɛ 0 u = ρ(x) im R 3 In allg. Materialien ɛ = ɛ(x) erhalten wir die verallg. Poissongleichung div(ɛ(x) grad u) = ρ(x) im R 3 7/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Spezielle Lösungsansätze Forts. (3) div B = 0 div D = ρ = Ladungsdichte rot E + B = 0 rot H D = j = Stromdichte Zeitharmonische Felder: j = 0, ρ = 0 Ansatz: E(x, t) = E(x)e iωt, Einsetzen in Maxwell führt zu B(x, t) = B(x)e iωt (i) rot E(x) iωb(x) = 0 div B = 0, da div rot = 0 ( ) (ii) rot µ(x) B(x) + iω ɛ(x)e(x) = 0 div D = 0 } {{ }} {{ } =D(x) =H(x) 8/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Zeitharmonische Felder (i) rot E(x) iωb(x) = 0 ( ) (ii) rot µ(x) B(x) + iωɛ(x)e(x) = 0 Aus (i) folgt: B = i Einsetzen in (ii): ω rot E ( ) Maxwell Eigenwertproblem: (4) rot µ(x) rot E ω 2 ɛ(x)e = 0 Im Vakuum gilt: µ = µ 0 = const., ɛ = ɛ 0 = const.. Benutze außerdem Ergibt: rot(rot E) = grad }{{} div E E =0 Helmholtz Gleichung (5) E + ω2 E = 0 im R3 c2 wobei c = / ɛ 0 µ 0 die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. 9/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Lösungen der Helmholtzgleichung Helmholtz Gleichung (5) E + ω2 E = 0 im R3 c2 Ansatz: E(x) = e ik x η mit k, η R 3 fest E x j = ik j e ik x η, Erfüllt die Helmholtz-Gleichung falls 2 E x 2 j = k 2 j e ik x η k 2 + ω2 c = 0, 2 d.h. k = ω c Die resultierenden Lösungen (der ursprüng. Maxwell-Gleichungen) E(x, t) = e i(k x ωt) η, k = ω c heissen monochromatische, ebene Wellen und beschreiben polarisiertes Licht der Wellenlänge λ = c ω und der Frequenz ω. 0/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Weitere Beispiele (e) Wellengleichung: am Beispiel der schwingenden Saite (x,u(x,t)) u(x, t) = Auslenkung der Saite ρ = konstante Massendichte R 2 T(x, t) = Spannung der Saite = Vektor, tangential zur Saite x ( elastische ) Saite Tangente: + ux(x, 2 u x (x, t) t) ( ) τ(x, t) Spannung: T(x, t) = + ux(x, 2 u x (x, t) t) Idealisierung der elastischen Saite: bei kleinen Auslenkungen nur vertikale Bewegung keine longitudinale Bewegung /9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Die schwingende Saite Spannung: T(x, t) = ( τ(x, t) + ux(x, 2 t) u x (x, t) Ausgleich der longitudinalen Kräfte: für x < x: τ(ξ, t) x τ = 0 = const. = λ + ux(ξ, 2 x t) + ux 2 Newtonsches Kraftgesetz F = ma für vertikale Bewegung: τ(ξ, t)u x (ξ, t) x x = ρu tt (ξ, t) dξ + ux(ξ, 2 x t) x d.h. λ ( u x (x, t) u x (x, t) ) = x x ρu tt (ξ, t) dξ Differentiation nach x: -d Wellengleichung: (6) u xx (x, t) = ρ λ u tt(x, t), (x, t) R 2 ) 2/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Die schwingende Saite -d Wellengleichung: (6) u xx (x, t) = ρ λ u tt(x, t), (x, t) R 2 Spezielle Lösung z.b.: u(x, t) = sin(x ct) mit c 2 = λ ρ. 2-d Wellengleichung: (7) u xx (x, y, t) + u yy (x, y, t) = ρ λ u tt(x, y, t), (x, y, t) R 3 n-dimensionale Wellengleichung: (8) u = ρ λ u tt, (x, t) R n+ 3/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Weitere Beispiele (f) Krümmung von Funktionsgraphen x 3 u(x, x 2 )= Höhe der Fläche über der x, x 2 -Ebene x Dabei X = N = P N X (x,x ) 2 X2 x 2 P = (x, x 2, u(x, x 2 )) Beschreibung als Funktionsgraph Die Tangentialebene in P wird aufgespannt von zwei Vektoren X = (, 0, u x ) T, X 2 = (0,, u x2 ) T d ( x, x 2, u(x, x 2 ) ) T, X2 = d ( x, x 2, u(x, x 2 ) ) T dx dx 2 (u x, u x2, ) T + ux 2 + ux 2 2 4/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Krümmung von Funktionsgraphen X = (, 0, u x ) T, X 2 = (0,, u x2 ) T, N = (u x, u x2, ) T + ux 2 + ux 2 2 Offenbar gilt N 2 = und N X = N X 2 = 0 Krümmung Die Krümmung der Fläche wird gemessen durch die Veränderung der Normalen. N x := N x, N x2 := N x 2 Diese beiden Vektoren im R 3 lassen sich durch die Basis X, X 2, N im Punkt P darstellen: N x = αx + βx 2 + λn N x2 = γx + δx 2 + µn 5/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Krümmung von Funktionsgraphen ( ) { Nx = αx + βx 2 + λn N x2 = γx + δx 2 + µn Bestimme λ, µ durch Skalar-Multiplikation mit N. Beachte N x N = N x2 N = 0 folgt aus Differentiation von N N = d.h. λ = µ = 0 Bestimmung von α, β, γ, δ: Für i, j =, 2 g ij := X i X j, h ij := N X i x j = N x j X i letzeres folgt aus Differentiation von N X i = 0 nach x j. Auflösen des LGS ( ): ( ) α β = (g γ δ ij ) i,j=,2 (h ij) i,j=,2 6/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Krümmung von Funktionsgraphen Auflösen des LGS ( ): ( ) α β γ δ = (g ij ) i,j=,2 (h ij) i,j=,2 ( = X 2 X X 2 X X 2 X 2 2 ) ( Nx X N x2 X N x X 2 N x2 X 2 ) 2spur bzw. Determinante der Matrix ( α β γ δ nennet man mittlere Krümmung H bzw. Gaußsche Krümmung K der Fläche im Punkt P = ( x, x 2, u(x, x 2 ) ). ) 7/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Krümmung von Funktionsgraphen Einsetzen der Ausdrücke für X, X 2, N x, N x2 in ( ) ( ) α β X = 2 ( ) X X 2 Nx X N x2 X γ δ X X 2 X 2 2 N x X 2 N x2 X 2 liefert H = α + δ 2 = ( + ux 2 )u x2 x 2 + ( + ux 2 2 )u x x 2u x u x2 u x x 2 2 ( + ux 2 + ux 2 2 ) 3/2 = 2 div u Rechnung! + u 2 K = αδ βγ = u x x u x2 x 2 (u x x 2 ) 2 ( + ux 2 + ux 2 2 ) 2 ( D 2 ) u = det + u 2 8/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis
Krümmung von Funktionsgraphen Nun stellt man sich folgendes Problem: wie sieht eine Fläche aus, deren mittlere Krümmung/Gaußsche Krümmung vorgegeben ist? Z.B. bei konstanter mittlere Krümmung bzw. Gaußsche Krümmung sucht man Lösungen der folgenden partiellen DGlen: konstante mittlere Krümmung: (9) konstante Gaußsche Krümmung: 2 div u = H = const. + u 2 ( D 2 ) u (20) det = + u 2 K = const. 9/9 22. Oktober 204 Wolfgang Reichel - PDGl Vorlesung Institut für Analysis