Herbstsemester 2, Institut für Informtik IFI, UZH, Schweiz Informtik I Modul 3: Schltnetze 2 Burkhrd Stiller M3 Modul 3: Schltnetze Einführung in die formlen Grundlgen logischer Beschreibungen Boolesche Algebr, Schltlgebr Vorussetzende technische Entwicklungen Relisierung von Schltnetzen uf Schlter- und Gtterebene Entwurf von Schltnetzen Logikminimierung, KV-Digrmme Progrmmierung von Funktionen Lufzeiteffekte bei Schltnetzen 2 Burkhrd Stiller M3 2
Schltnetze Schltnetze: Rein kombintorische logische Schltungen Kein Speicherverhlten Logische Funktionen Beispiele: Licht-Aus Wrnung im Krftfhrzeug Motor us und Tür uf und Licht n Alrm 2 Burkhrd Stiller M3 3 Formle Grundlgen Zur Untersuchung und Beschreibung der Eigenschften und des Verhltens von logischen Funktionen ist die Boolesche Algebr hervorrgend geeignet. Entwickelt wurde sie von dem Mthemtiker George Boole (85 864) ls Algebr der Logik. 2 Burkhrd Stiller M3 4
Boolesche Algebr Definition: Als eine Boolesche Algebr bezeichnet mn eine Menge V = {,b,c,...}, uf der zwei zweistellige Opertionen und derrt erklärt sind, dß durch ihre Anwendung uf Elemente us V wieder Elemente us V entstehen (Abgeschlossenheit). Abgeschlossenheit: Für lle, b V gilt: b V b V Weiterhin müssen die vier Huntingtonschen Axiome gelten. 2 Burkhrd Stiller M3 5 Huntingtonsche Axiome H Kommuttivgesetz: b = b b = b H2 Distributivgesetz: ( b c ) = ( b ) ( c ) ( b c ) = ( b ) ( c ) H3 Neutrles Element: Es existieren zwei Elemente e, n V, so dss gilt: e = (e wird Einselement gennnt) n = (n wird Nullelement gennnt) H4 Inverses Element: Für lle V existiert ein Element V, so dss gilt: = n = e 2 Burkhrd Stiller M3 6
Schltlgebr Die Schltlgebr ist eine spezielle Boolesche Algebr, die durch die folgende Korrespondenztbelle definiert wird: Boolesche Algebr n e Zusätzlich lterntive Schreibweise: + b für b bzw. Benennung ODER & b, b für b bzw. Benennung UND 2 Burkhrd Stiller M3 7 V Schltlgebr {,} Relisierung von logischen Verknüpfungen () Für die technische Relisierung logischer Verknüpfungen knn mn sich zunächst einfche Schltermodelle für logische Busteine vorstellen. b UND-Verknüpfung: Btterie Lmpe Die Lmpe brennt (Funktionswert ) nur, wenn beide Schlter geschlossen sind ( UND b gleich ), sonst bleibt die Lmpe dunkel (Funktionswert ). 2 Burkhrd Stiller M3 8
Relisierung von logischen Verknüpfungen (2) ODER-Verknüpfung: Die Lmpe brennt, wenn einer der beiden Schlter geschlossen ist. Btterie b Lmpe 2 Burkhrd Stiller M3 9 Schltlgebr Die Verknüpfungen können leicht in Funktionstbellen drgestellt werden: b b b b b Technische Relisierung mit Schltern b 2 Burkhrd Stiller M3
Schltlgebr Huntingtonsche Axiome in der Schltlgebr: H: b = b b = b H2: (b c) = ( b) ( c) (b c) = ( b) ( c) H3: = = H4: = = 2 Burkhrd Stiller M3 Schltlgebr Aus den vier Huntingtonschen Axiomen lssen sich weitere Sätze bleiten: Assozitivgesetz: ( b) c = (b c) ( b) c = (b c) Idempotenzgesetz: = = Absorptionsgesetz: ( b) = ( b) = DeMorgn-Gesetz: b = b b = b 2 Burkhrd Stiller M3 2
Boolescher Ausdruck () Ein Boolescher Ausdruck ist eine Zeichenfolge, die us binären Vriblen, den Opertoren und und Klmmern besteht und syntktische Regeln erfüllt, die durch folgendes Syntxdigrmm gegeben sind: binäre Vrible Negtion Boolescher Ausdruck Boolescher Ausdruck Boolescher Ausdruck ( Boolescher Ausdruck ) 2 Burkhrd Stiller M3 3 Boolescher Ausdruck (2) Beispiele: syntktisch korrekte Boolesche Ausdrücke: b,, ( b ) c Keine Booleschen Ausdrücke, d syntktisch nicht korrekt:,, ( ) c Für die Konstnten und verwendet mn in der Schltlgebr mnchml uch in Anlehnung n die Aussgenlgebr die Bezeichnung Whrheitswerte: : flsch : whr Ein Boolescher Ausdruck ht in der Regel zunächst keinen Whrheitswert, d er binäre Vriblen enthlten knn. Erst durch Belegung der binären Vriblen mit Whrheitswerten erhält der Boolesche Ausdruck einen Whrheitswert. 2 Burkhrd Stiller M3 4
Definitionen Die Belegung einer Menge von binären Vriblen eines Booleschen Ausdrucks mit Whrheitswerten bezeichnet mn ls Interprettion. Die Interprettion eines Booleschen Ausdrucks liefert eine Aussge, die entweder whr oder flsch ist. Verschiedene Interprettionen eines Booleschen Ausdrucks können zu dem selben Whrheitswert führen. Ein Boolescher Ausdruck, bei dem lle möglichen Interprettionen zum Whrheitswert whr führen, heißt Tutologie. Beispiel: ist eine Tutologie (häufig uch ls T mrkiert). 2 Burkhrd Stiller M3 5 Boolesche Funktionen Gegeben: Tupel von binären Vriblen (x,x 2,...,x n ) Definition: Eine (n-stellige) Boolesche Funktion ordnet jeder möglichen Whrheitswertbelegung dieser Vriblen genu einen Whrheitswert zu: f : {,} n {,} Wie viele Belegungen gibt es? 2 n Belegungen Wie viele verschiedene n-stellige Funktionen gibt es? 2 (2n ) Funktionen (denn es gibt zu jedem Argument einer Booleschen Funktion zwei verschiedene Funktionswerte) 2 Burkhrd Stiller M3 6
Beispiele Negtion: Eine einstellige Boolesche Funktion f : {,} {,} die jedem Opernden us dem Definitionsbereich {,} einen Funktionswert us dem Wertebereich {,} zuordnet. und : Zwei zweistellige Boolesche Funktionen: f : {,} x {,} {,} 2 Burkhrd Stiller M3 7 Drstellung boolescher Funktionen. Durch eine Funktionstbelle 2. Durch einen lgebrischen Ausdruck (symbolische Form) 3. Durch einen Grphen Funktionstbelle symbolische Form Grph b f f = b b (z.b. Shnnon-Bum) f 2 Burkhrd Stiller M3 8
Boolesche Funktionen Wie kommt mn von der symbolischen Drstellung zur Funktionstbelle? Durch rekursive Auswertung des symbolischen Ausdrucks! Konvention: Negtion vor Konjunktion und Konjunktion vor Disjunktion Durch Klmmern knn eine ndere Reihenfolge der Auswertung festgelegt werden Wie viele zweistellige Funktionen gibt es? Wie viele dreistellige Funktionen gibt es? 2 Burkhrd Stiller M3 9 6 mögliche zweistellige boolesche Funktionen x x f konstnt Kontrdiktion, Symbol: (unerfüllbr) f x und x x x Konjunktion f 2 nicht x, ber x x x Inhibition f 3 identisch x x Identität f 4 nicht x, ber x x x Inhibition f 5 identisch x x Identität f 6 x ungleich x x x Antivlenz, XOR f 7 x oder x x x Disjunktion f 8 nicht (x oder x ) x x NOR-Funktion, Peircescher Pfeil f 9 x gleich x x x Äquivlenz f nicht x x Negtion f wenn x, dnn x x x Impliktion f 2 nicht x x Negtion f 3 wenn x, dnn x x x Impliktion f 4 nicht (x und x ) x x NAND-Funktion, Shefferscher Strich konstnt Tutologie, Symbol: T (llgemeingültig) f 5 verble Form symbolische Bezeichnung Drstellung T 2 Burkhrd Stiller M3 2
Vollständige Opertorensysteme Definition: Ein System von Opertoren, mit dem lle booleschen Funktionen drgestellt werden können, heißt vollständiges Opertorensystem. Die Opertoren (,, ) bilden ein vollständiges Opertorensystem. Beispiel: b liefert ds gleiche Ergebnis wie ( b ) ( b ). läßt sich durch die Grundopertionen, und ersetzen 2 Burkhrd Stiller M3 2 Vollständige Opertorensysteme Opertoren- Drstellung der... system Negtion Konjunktion Disjunktion (,, ) b b (, ) b b (, ) b b ( ) ( b ) ( b ) ( ) ( b b ) ( ) ( ) ( b b ) ( b ) ( b ) (, ) b b ( b ) Hinweis: wird häufig weggelssen, Bsp: b b 2 Burkhrd Stiller M3 22
Tutologie () Wnn repräsentieren zwei Ausdrücke A und B dieselbe Boolesche Funktion? Gleichbedeutend: Ist A B eine Tutologie? Gegeben zwei Boolesche Funktionen: f (,b) = ( b ) ( b ) f 2 (,b) = ( b ) ( b ) Ist f identisch mit f 2 oder ist ( b ) ( b ) ( b ) ( b ) eine Tutologie? 2 Burkhrd Stiller M3 23 Tutologie (2) Beweis mit Hilfe von Funktionstbellen oder mittels Umformungen von Ausdrücken unter Verwendung der lgebrischen Gesetze. Zwei Ausdrücke sind äquivlent, flls die Ergebnisse ihrer Auswertung für lle möglichen Kombintionen von Vriblenbelegungen identisch sind. b ( b ) ( b ) ( b ) ( b ) x y 2 Burkhrd Stiller M3 24
Tutologie (3) Mittels lgebrischer Umformung: ( b ) ( b ) = [ ( b ) ] [ ( b ) b ] (Distributivgesetz) (Distributivgesetz) (Inverses Element) (Neutrles Element) (Kommuttivgesetz) = [ ( ) ( b ) ] [ ( b ) ( b b ) ] = [ ( b ) ] [ ( b ) ] = ( b ) ( b ) = ( b ) ( b ) 2 Burkhrd Stiller M3 25 Normlformen Eine boolesche Funktion knn durch verschiedene boolesche Ausdrücke beschrieben werden. Eine Stndrddrstellung boolescher Funktionen im vollständigen Opertorensystem (,, ) ist die konjunktive (KNF) und die disjunktive Normlform (DNF). Definition: Ein Literl L i ist entweder eine Vrible x i oder ihre Negtion x i d.h., L i {x i, x i } 2 Burkhrd Stiller M3 26
Produktterme Definition: Ein Produktterm K(x,...,x m ) ist die Konjunktion von Literlen L i = L L m i {,...,m} oder die Konstnte "" oder " " Beispiele: b x i x i Jeder Produktterm K(x,...,x m ) = L i knn so drgestellt i {,...,m} werden, dß eine Vrible x in höchstens einem Literl vorkommt. 2 Burkhrd Stiller M3 27 Literle und Produktterme Flls L h = x, L j = x, h j (mehrfch bejhtes Auftuchen) L h L j = x m K(x,...,x m ) = L i i= Mehrfches Auftuchen von x knn nch Idempotenzgesetz gestrichen werden ( x x = x). Flls L h = x und L j = x (gemischtes bejhtes und negiertes Auftreten) L h L j = K(x,...,x m ) = (Produktterm wird zu ) 2 Burkhrd Stiller M3 28
Impliknt und Minterm Definition: Ein Produktterm K(x,...,x n ) heißt Impliknt einer Booleschen Funktion y(x,...,x n ), wenn K y Ds heißt, für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn K(B) =, dnn ist uch y(b) = Definition: Ein Impliknt einer Booleschen Funktion y(x,...,x n ) heißt Minterm, wenn ein Literl jeder Vriblen x i der Funktion y im Impliknten genu einml vorkommt. 2 Burkhrd Stiller M3 29 Minterme Minterme einer Booleschen Funktion y(x,...,x 4 ): x x 2 x 3 x 4 x x 2 x 3 x 4 Keine Minterme der Booleschen Funktion y(x,...,x 4 ): x x 2 x x 2 x 3 x 3 x 4 2 Burkhrd Stiller M3 3
Disjunktive Normlform Dmit läßt sich die disjunktive Normlform definieren: Definition: Es sei eine Boolesche Funktion y(x,...,x n ) gegeben. Ein Boolescher Ausdruck heißt disjunktive Normlform (DNF) der Funktion y, wenn er us einer disjunktiven Verknüpfung ller Minterme K i besteht: y = K K... K k, k 2 n - Es drf dbei keine zwei Konjunktionen K i, K j mit i j geben, die zueinnder äquivlent sind. 2 Burkhrd Stiller M3 3 Disjunktive Normlform Beispiele f (,b,c ) = b c b c b c ist in DNF. f (,b,c ) = b c b c b ( b c b c ) ist nicht in DNF, denn: b enthält nicht lle Vriblen b c und c b sind äquivlent ( b c b c ) ist keine reine Konjunktion 2 Burkhrd Stiller M3 32
Implikt Definition: Es sei D(x,...,x m ) eine Disjunktion von Literlen L i = L L m oder die Konstnte "" oder "" i {,...,m} Der Term D (x,...,x m ) heißt Implikt einer Booleschen Funktion y(x,...,x m ), wenn D y Ds heißt für jede Belegung B {,} n gilt: Wenn D(B) =, dnn ist uch y(b) =. 2 Burkhrd Stiller M3 33 Mxterm Definition: Ein Implikt einer Booleschen Funktion y(x,...,x m ) heißt Mxterm, wenn ein Literl jeder Vrible x i der Funktion y im Implikten genu einml vorkommt. Mxterm-Beispiele für die Booleschen Funktion y(x,...,x 3 ): x x 2 x 3 x x 2 x 3 2 Burkhrd Stiller M3 34
Konjunktive Normlform Definition: Es sei eine Boolesche Funktion y(x,...,x m ) gegeben. Ein Boolescher Ausdruck heißt konjunktive Normlform (KNF), wenn er us einer konjunktiven Verknüpfung ller Mxterme D i besteht: y = D D... D k, k 2 n - Es drf dbei keine zwei Disjunktionen D i, D j mit i j geben, die zueinnder äquivlent sind. 2 Burkhrd Stiller M3 35 Deutung: Disjunktive/Konjunktive Normlform Jeder Minterm einer DNF entspricht einer Zeile in der Funktionstbelle, die den Funktionswert liefert. Jeder Mxterm einer KNF entspricht einer Zeile in der Funktionstbelle, die den Funktionswert liefert. Disjunktive und konjunktive Normlformen sind eindeutige Drstellungen! Bis uf Permuttionen (z.b. bc, cb, bc, bc, cb, cb sind äquivlent) 2 Burkhrd Stiller M3 36
DNF und KNF In einer Funktion mit n Vriblen können bis zu 2 n Minterme bzw. Mxterme uftreten. Für n = 3 sind diese: 2 3 4 5 6 7 Minterm b c b c b c b c b c b c b c b c Mxterm b c b c b c b c b c b c b c b c 2 Burkhrd Stiller M3 37 Beispiel: DNF und KNF Um eine Funktion zu beschreiben, reicht die Angbe ller Minterme (oder ller Mxterme) us. c b y Minterme Mxterme b c b c b c b c b c b c b c b c DNF: y = ( b c ) ( b c ) ( b c ) ( b c ) KNF: y = ( b c ) ( b c ) ( b c ) ( b c ) 2 Burkhrd Stiller M3 38
Herkunft der Bezeichnungen Funktionen us genu einem Minterm liefern für genu eine Belegung den Funktionswert, d.h., bgesehen von der trivilen Nullfunktion hben sie eine minimle Anzhl n Einsen. Entsprechend liefern Funktionen us nur einem Mxterm für genu eine Belegung ls Ergebnis, d.h., sie hben bgesehen von der Einsfunktion die mximle Anzhl n Einsen. 2 Burkhrd Stiller M3 39 DNF oder KNF us der Funktionstbelle DNF: Aus der Funktionstbelle einer Funktion erhält mn die Minterme, indem mn in llen Zeilen mit dem Funktionswert jeweils lle Eingngsvriblen mit verknüpft und dbei Eingngsvriblen mit dem Wert negiert. Durch die disjunktive Verknüpfung dieser Minterme knn ein Boolescher Funktionsusdruck in DNF hergeleitet werden. KNF: Aus der Funktionstbelle einer Funktion erhält mn die Mxterme, indem mn in llen Zeilen mit dem Funktionswert jeweils lle Eingngsvriblen mit verknüpft und dbei Eingngsvriblen mit dem Wert negiert. Durch die konjunktive Verknüpfung dieser Minterme knn ein Boolescher Funktionsusdruck in KNF hergeleitet werden. 2 Burkhrd Stiller M3 4
DNF oder KNF us beliebiger Form Um Funktionen us der DF bzw. KF in die DNF bzw. KNF zu überführen, ist der Shnnonsche Entwicklungsstz behilflich. Entwicklung nch der Vriblen x i : die Vrible wird in der Funktion uf den Wert gesetzt, der entstehende Term konjunktiv mit x i verknüpft, und -verknüpft mit: die Vrible wird in der Funktion uf den Wert gesetzt und der entstehende Term konjunktiv mit x i verknüpft y = f(x,..., x n ) = [ x i f(x,..., x i-,, x i+,..., x n )] [ x i f(x,..., x i-,, x i+,..., x n )] 2 Burkhrd Stiller M3 4 Beispiel: y = b c b b c Shnnon-Entwicklung nch und = [ b c b b c ] [ b c b b c ] H4: b = und H3: x = x = [ b c b c ] [ b b c ] Syntktische Anpssung der Terme, Sortierung von b nch nicht- und negierten Literlen und H3: x = x = [ b ( c ) b ( c ) ] [ b ( c ) b ( ) ] Erweiterung von c im letzten Term über H4: c c = = [ b ( c ) b ( c ) ] [ b c b ( c c ) ] Distributivgesetz (Ausmultiplizieren) = b c b c b c b c b c 2 Burkhrd Stiller M3 42
Beispiel: Shnnon-Bum b c b b c b c b c b b c b b b b c c c c c c c c c c c Nchdem die Funktion nch llen Vriblen entwickelt wurde, können die Minterme durch Verfolgen der Äste des Bums gefunden werden, die zu einer führen. 2 Burkhrd Stiller M3 43 DNF und KNF Wiederholung: Disjunktive und konjunktive Normlformen sind eindeutige Drstellungen! bis uf Permuttionen (z.b. bc, cb, bc, bc, cb, cb sind äquivlent) Beispiel: y = b c DNF: y = b c b c b c b c b c KNF: y = ( b c ) ( b c ) ( b c) 2 Burkhrd Stiller M3 44
Minimlformen () Ziele: Möglichst kurze Boolesche Ausdrücke für eine gegebene Boolesche Funktion. Technische Relisierung einer Schltung mit möglichst geringen Kosten. Ähnlich zum Aufbu der disjunktiven und konjunktiven Normlform gibt es eine disjunktive (DMF) und konjunktive (KMF) Minimlform. Es knn mehrere disjunktive und konjunktive Minimlformen für die gleiche Funktion geben. Beispiel: y = b b c c y = c b c b und stellen dieselbe Funktion dr, beides sind disjunktive Minimlformen. 2 Burkhrd Stiller M3 45 Minimlformen (2) Ds Auffinden einer Minimlform ist insbesondere für Funktionen mit einer größeren Anzhl von Vriblen keine trivile Aufgbe. Oft können nur suboptimle Lösungen unter Verwendung von Heuristiken gefunden werden. Bei Minimierungsverfhren geht mn in zwei Schritten vor: Es wird eine Menge von Impliknten bzw. Implikte der Funktion y mit einer möglichst geringen Anzhl von Literlen gebildet. Aus dieser Menge wird eine möglichst geringe Anzhl von Impliknten bzw. Implikte herusgesucht, deren Disjunktion bzw. Konjuktion die Funktion y ergeben. 2 Burkhrd Stiller M3 46
NAND/NOR-Konversion ( )-System (NAND-System) und ( )-System (NOR-System) sind vollständige Opertorensysteme beliebige disjunktive und konjunktive Ausdrücke können mit NAND- und NOR-Verknüpfungen drgestellt werden. Überführungen (vier Fälle):. Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System 2. Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System 3. Fll: Funktion in konjunktiver Form ( )-System 4. Fll: Funktion in konjunktiver Form ( )-System Wrum sind diese Überführungen relevnt? Einfche Implementierung in Hrdwre! NANDs/NORs sind sehr einfch in Schltungen relisierbr. 2 Burkhrd Stiller M3 47 NAND-Konvertierung (Beispiel:. Fll). Fll: Funktion in disjunktiver Form ( )-System Gegeben sei eine Funktion in disjunktiver Form. Überführung:. Doppelte Negtion 2. Anschließende Anwendung der DeMorgnschen Regeln Dnn erhält mn einen Ausdruck, der nur noch NAND ls Opertor enthält. 2 Burkhrd Stiller M3 48
Beispielrechnung y= b c b c b c b c = b c b c b c b c = b c b c b c b c = NAND 4 (NAND 3 (, b, c ), NAND 3 (, b, c), NAND 3 (, b, c ), NAND 3 (, b, c )) Dbei ist NAND k (x,...,x k ) eine k-stellige Funktion, für die gilt: NAND k (x,...,x k ) für x =... = x k = sonst 2 Burkhrd Stiller M3 49 NAND 2 -Funktion Drstellung der NAND 2 -Funktion durch den Opertor: Problem: Die Opertoren und sind nicht ssozitiv. ( x x 2 ) x 3 x ( x 2 x 3 ) ( x x 2 ) x 3 x ( x 2 x 3 ) NAND 3 (x, x 2, x 3 ) = x x 2 x 3 = (x x 2 ) x 3 (x x 2 ) x 3 = x x 2 x 3 x ( x 2 x 3 ) = x x 2 x 3 2 Burkhrd Stiller M3 5