Graphische Darstellungen von Funktionen Inhaltsverzeichnis Behandelt werden Funktionsgraphen, die durch Verschiebung von Grundfunktionen in einem zweidimensionalen kartesischem Koordinatensystem entstehen. Grundfunktionen sind y = x 2, y = x 3, die Kreisgleichung und die Gleichung der Ellipse um den Ursprung, y = x, die Parabelgleichung y 2 = 2px. 1 Aufgabe 1 y = (x 3) 2 1 Grundfunktion für die Aufgabe ist die quadratische Funktion y = x 2. Der Graph dieser Funktion erfährt in der Darstellung y = (x 3) 2 1 eine Verschiebung. Zunächst wird daher der Funktionsgraph von y = x 2 behandelt. Wie zeichnet man eine Funktionsskizze für y = x 2? Man berechnet Paare von Punkten und trägt sie in ein xy-koordinatensystem ein. Was ist ein xy-koordinatensystem? Es besteht aus 2 senkrecht aufeinander stehenden Achsen, der x-achse und der y-achse. Jede der Achsen ist eine reelle Zahlengerade, mit aufsteigender Ordnung der Zahlen nach oben (y-achse) bzw. nach rechts (x-achse). In einer zweidimensionalen Darstellung ist die x-achse waagerecht ausgerichtet, die y-achse senkrecht. Dabei wird angenommen, dass der Beobachter senkrecht auf das Koordinatensystem schaut, z.b. auf ein Blatt Papier oder auf einen Bildschirm. Ein xy-koordinatensystem ermöglicht eine zweidimensionale Darstellung von Punkten in der Form (x, y). Im folgenden wird die Abbildung eines xy Koordinatensystems angegeben, 1
Abbildung 1: xy-koordinatensystem 1.1 Berechnung von Punktepaaren Für y = x 2 ergeben sich folgende Punktepaare: x = 0 y = 0, der Punkte (0, 0) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 1 y = 1, der Punkt (1, 1) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 y = 2 2 = 4, der Punkt (2, 4) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 y = ( 2) 2 = 4, der Punkt ( 2, 4) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 und x = 2 haben die gleichen Funktionswerte y = 4. Allgemein gilt: ( x) 2 = x 2, der Graph der Funktion y = x 2 ist symmetrisch zur y-achse. Im folgenden werden einige Funktionsgraphen angegeben, um das Zustandekommen des Graphen von y = (x 3) 2 1 durch Verschiebung des Graphen von y = x 2 zu illustrieren. 2
1.2 Graphen quadratischer Funktionen (1) y = x 2 (schwarz) (2) y = x 2 1 (blau) (3) y = (x 3) 2 (rot) (4) y = (x 3) 2 1 (grün) Abbildung 2: Graphen quadratischer Funktionen nder Text: h der Funktion y = (x 3) 2 1 ergibt sich aus dem Graphen der Funktion y = x 2 er Weise: ng um +3 in Richtung der x-achse, bewirkt durch den Term (x 3) 2. ng um +3 bedeutet hier Verschiebung in Richtung des positiven Teiles der x-achse. szeichen referenziert den Abstand zu +3: x 3 ist der Abstand von x zu +3. m x = 0 ist der Funktionsgraph jetzt um x = +3 konzentriert. ng um 1 in Richtung der (positiven) y-achse, bewirkt durch den Term 1.
2 Aufgabe 2 y = x 3 + 2 Die Grundfunktion ist hier y = x 3. Erstellen einer Funktionsskizze für y = x 3? 2.1 Berechnung von Punktepaaren Für y = x 3 ergeben sich folgende Punktepaare: x = 0 y = 0, der Punkte (0, 0) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 1 y = 1, der Punkt (1, 1) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 y = 2 3 = 8, der Punkt (2, 8) ist ein Teil des Funktionsgraphen. x = 2 y = ( 2) 3 = 8, der Punkt ( 2, 8) ist ein Teil des Funktionsgraphen. Allgemein gilt: ( x) 3 = x 3. Die Funktion x 3 ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Im folgenden werden einige Funktionsgraphen angegeben, um das Zustandekommen des Graphen von y = x 3 + 2 durch Verschiebung des Graphen von y = x 3 zu illustrieren. 4
2.2 Graphen kubischer Funktionen (1) y = x 3 (schwarz) (2) y = x 3 (rot) (3) y = x 3 + 2 (blau) ternder Text: Abbildung 3: kubische Funktionen raph der Funktion y = x 3 + 2 ergibt sich aus dem Graphen der Funktion y = x der Weise: lung des Graphen von y = x 3 an der x-achse. iebung des gespiegelten Graphen um +2 in Richtung des positiven Teiles der y-ac ufgabe 3 x 3 rundfunktion ist y = x len einer Funktionsskizze für y = x?
Nein, im folgenden werden gleich Punktepaare für y = x 3 bestimmt. 3.1 Berechnung von Punktepaaren x = 3 y = 0 x = 7 y = 4 Die Funktion ist nur für x 3 definiert. Im folgenden werden einige Funktionsgraphen angegeben, um das Zustandekommen des Graphen von y = 2 x 3 durch Verschiebung und Streckung des Graphen von y = x zu illustrieren. 6
3.2 Graphen von Wurzelfunktionen (1) y = x (schwarz) (2) y = 2 x (rot) (3) y = x 3 (blau) (4) y = 2 x 3 (grün) Abbildung 4: Wurzelfunktionen 4 Aufgabe 4 (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 9 Grundfunktion ist die Kreisgleichung x 2 + y 2 = 9. Die Kreisgleichung x 2 + y 2 = 9 beschreibt einen Kreis mit Radius 3 um den Nullpunkt. (x 1) 2 + (y + 3) 2 beschreibt eine Verschiebung dieses Kreises um +1 in Richtung der positiven x-achse, um +3 in Richtung der negativen y-achse, also einen Kreis mit Radius 3 um den Punkt (1, 3) 4.1 Vektorielle Darstellung der Aufgabenstellung Man betrachte die Aufgabenstellungen vektoriell. ( ) ( ) x 1 Sei x = und a = y 3 Dann lässt sich die Gleichung (x 1) 2 + (y + 3) 2 = 9 folgendermaßen darstellen: x a 2 = 9 x a = 3 d.h. sie beschreibt alle Punkte (x, y), die von dem feste Punkt a einen Abstand 3 haben. Das ist ein Kreis mit Radius 3 um den Punkte (1, 3).
Berechnung einiger Punktepaare. 4.2 Berechnung von Punktepaaren x = 1 y = 0 x = 2 y = 3 x = 4 y = 3 Durch 3 Punkte kann man einen Kreis zeichnen 4.3 Skizze erzeugt mit Paint Abbildung 5: Kreis durch 3 Punkte 8
5 Aufgabe 5 (x + 1) 2 + 4 (y 1)2 9 = 1 4 Grundfunktion ist die Ellipsengleichung x2 4 + y2 9 = 1 4. Zur Übung wird zunächst eine einfachere Form der Ellipsengleichung betrachtet. 5.1 Ellipsengleichungen Die Gleichung x2 4 + y2 9 a 2 = 4 und b 2 = 9. = 1 beschreibt eine Ellipse um den Nullpunkt mit den Parametern Abbildung 6: Ellipse albachse der Ellipse in x-richtung und b = 3 ist die Halbachse der Ellipse in (x + 1) 2 + 4 (y 1)2 9 = 1 Verschiebung der Ellipse um den Nullpunkt mit den Halbachsen a = 2 und ichtung und y = +1 in y-richtung,
y 2 9 = 1 4 iplikation der Gleichung mit 4 ergibt 4 9 y2 = 1 Abbildung 7: Ellipse ist eine Ellipsengleichung um den Nullpunkt mit den Parametern a 2 = 1 und b 2 = 9 4 arze Darstellung der nachfolgenden Graphik). leichung (x + 1)2 4 + (y 1)2 9 = 1 4 ne Verschiebung dieser Ellipsengleichung um x = 1 in x-richtung und y = +1 in htung (rote Darstellung der nachfolgenden Graphik).
5.2 graphische Darstellung von Ellipsen Abbildung 8: Ellipsen e 6 = 0 t die Parabelgleichung y 2 = 2px. sgangsgleichung etwas umgeschrieben werden. 1 = (y 1) 2.
Sei x = 1, dann muss (y 1) 2 = 4 gelten, d.h. y 1 ist die Quadratwurzel aus 4 oder der negative Wert der Quadratwurzel aus 4. y 1 = 2 y = 3 y 1 = 2 y = 1 Für x = 0 muss (y 1) 2 = 0 gelten, d.h. muss y = 1 sein. Um weitere Funktionswerte zu bestimmen, sucht man sich solche x-werte heraus, für die man aus 4x die Quadratwurzel ziehen kann. Das ist z.b. für x = 4 der Fall. x = 4 (y 1) 2 = 16 Hieraus folgt y 1 = 4 oder y 1 = 4, d.h. x = 0 impliziert y = 5 oder y = 3. Damit hat man folgende Punktepaare bestimmt: x = 0 y = 1 x = 1 y = 1 oder y = 3 x = 4 y = 3 oder y = 5 6.2 Graphische Darstellung der Parabel
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabe 1 1 1.1 Berechnung von Punktepaaren.......................... 2 1.2 Graphen quadratischer Funktionen....................... 3 2 Aufgabe 2 4 2.1 Berechnung von Punktepaaren.......................... 4 2.2 Graphen kubischer Funktionen.......................... 5 3 Aufgabe 3 5 3.1 Berechnung von Punktepaaren.......................... 6 3.2 Graphen von Wurzelfunktionen......................... 7 4 Aufgabe 4 7 4.1 Vektorielle Darstellung der Aufgabenstellung.................. 7 4.2 Berechnung von Punktepaaren.......................... 8 4.3 Skizze erzeugt mit Paint............................. 8 5 Aufgabe 5 9 5.1 Ellipsengleichungen................................ 9 5.2 graphische Darstellung von Ellipsen....................... 11 6 Aufgabe 6 11 6.1 Berechnung von Punktepaaren.......................... 11 6.2 Graphische Darstellung der Parabel....................... 12 13