Parametrisierung und Integralsätze 2. März 2 Integration in der Ebene. Defintion: eien w,..., w n stückweise reguläre, einfach geschlossene Kurven in R 2, seien W,..., W n die von diesen Wegen umschlossene Gebiete, Wi W und es gelte W i W j, i j, i, j {, 2,..., n}, dann bezeichnet man := W \ ( n i= W i) als regulären Bereich..2 Definition: Eine Menge R 2 wenn es u, v C [a, b] mit u v und gibt, dann nennt man einen Normalbereich. := {(x, y) : a x b, u(x) y v(x)} Für die Integration über Normalbereiche gilt wegen der Konstruktion des Normalbreiches folgende Gleichung b v(x) f(x, y) dλ 2 = f(x, y) dxdy = f(x, y) dy dx womit die Integration über R 2 auf eine sukzessive Integration zweier Integrale zurückgeführt wird..3 Beispiel (Integration über Normalbereiche): Wir betrachten hier als Beispiel einen sehr einfachen Bereich und die Funktion f(x, y) :=. Gegeben sei dann gilt := {(x, y) [, ] 2 : x + y } = {(x, y) R 2 : x, y x} dλ 2 = dx x dy = a u(x) dx( x) = [x 2 x2 ] = 2 ein Ergebnis, dass man sich auch schnell durch eine einfache geometrische Überlegung klar macht. Nun wollen wir den atz von Green im R 2 formulieren. Dazu benötigen wir erstmal ein Kurvenintegral über Vektorfelder im Zweidimensionalen zu unserer Definition des regulären Bereiches..4 Definition (Kurvenintegral über den Rand eines regulären Bereiches): ei R 2 ein regulärer Bereich und F : D R 2 ein stetiges Vektorfeld auf D R 2 offen mit D, dann nennt man F ds := F ds i das Kurvenintegral entlang des Randes von. Betrachten wir nun ein Kurvenstück w i : R I R 2, so lässt sich das Integral entlang dieser Kurve mit dem Tangentenvektor ẇ i folgendermaßen schreiben: γ i F ds = (F(w i (t)) ẇ i ) dt I i w i
hierbei soll I i der Definitionsbereich für die Kurve w i bezeichen. Bemerkung: Man beachte, dass die Kurven im positiven inne durchlaufen werden sollen, d.h. die Fläche soll beim Durchlaufen auf der linken eite liegen. Man schreibt dies auch als ( ) w wird an der telle w(t) positiv durchlaufen : δ > : w(t) + ɛ ẇ(t) \, < ɛ δ.5 atz von Green: ei R 2 ein regulärer Bereich und der Rand werden im mathematisch positiven inne durchlaufen. F : D R 2 beizeichne ein C -Vektorfeld auf D R 2 offen mit D, dann gilt ( F ds = x F 2(x, y) ) y F (x, y) Der atz von Green hat wichtige Folgerungen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und der Physik. uch lässt sich eine Version des atzes von Gauß im Zweidimensionalen mit ihm beweisen (siehe Übungen). 2 Integration über Flächen im Raum 2. Definition (Parameterdarstellung von d-dim. Flächen im R n ): eien U R d offen und U kompakt, dann nennt man eine C -bbildung x : U R n eine reguläre Parameterdarstellung des Flächenstückes := x(), falls (i) x injektiv ist (ii) die partiellen bleitungen x ui, i,..., d in alle u linear unabhängig sind. Bemerkungen: () Man definiert hier den Rand nicht als, sondern durch die Parametrisierung des Randes von, welches sich dann als Rand := x( ) schreibt. (2) Ein Flächenstück nennt man stückweise regulär, falls es aus regulären Flächenstücken aufgebaut ist, d.h. = n, solcher rt, dass diese nur Randpunkte gemeinsam haben. Dann wird Rand als die Ränder definiert, welche nur zu einem i gehören. (3) Die letzte Eigenschaft garantiert, dass der Tangentialraum an das Flächenstück nicht entartet ist, d.h. die Dimension d hat, da der Tangentialraum am Flächenstück durch die Vektoren x ui aufgespannt wird. 2.2 Beispiele: () Für d = ergeben sich die regulären Kurven γ : R I R n. Die Bedingung der linearen Unabhängigkeit ergibt hier die Forderung γ(t) für alle t I (zur Erinnerung: Der Nullvektor ist immer linear abhängig), was in der Definition für reguläre Kurven auch gefordert wird. (2) Die regulären Rotationsflächen im R 3. Es sei α = (r, z) : I R 2 eine reguläre Kurve mit r(v) > für alle v I, I ein offenes Intervall. Man definiere dazu γ : R I R 3 durch r(v) cos u γ(u, v) := r(v) sin u z(v), (u.v) R I 2.3 Die wichtigsten Parametrisierungen (i) Polarkoordinaten im R 2 lauten x(r, ϕ) = ( ) r cos ϕ, (r, ϕ) (, ) (, 2π) r sin ϕ 2
(ii) Kugelkoordinaten im R 3 lauten r sin θ cos ϕ x(r, θ, ϕ) = r sin θ sin ϕ, (r, θ, ϕ) (, ) (, π) (, 2π) r cos θ (iii) Zylinderkoordinaten im R 3 r cos ϕ x(r, ϕ, z) = r sin ϕ, (r, ϕ, z) (, ) (, 2π) (, ) z Für die Wahl der richtigen Parametrisierung gibt es kein allgemeines Rezept oder eine einfache Regel. In den Übungen werden wir einige Beispiele behandeln und mit der Zeit erhält man so etwas wie eine Intuition, welche Parametrisierung die richtige ist. 2.4 Definition (Gramsche Matrix und Determinante): Die Gramsche Matrix ist durch G(u) := J x (u) T J x (u) = ( x i, x j ) i,j d R d,d definiert, wobei J x (u) die Jacobi-Matrix bezeichnet. Durch die Bedingung (ii) aus der Definition für die Parameterdarstellung hat die Jacobi-Matrix maximalen Rang. Die Gramsche Determinante ist einfach die Determinante der Gramschen Martix g(u) := det(g(u)) Mit der Gramschen Determinante kann man nun das Oberflächenelement do(u) := g(u)dλ d (u) mit dem d-dimensionalen Lebesgue-Maß λ d definieren. Daher nennt man das Integral f do = f(x) g(x)dλ d (x) das Oberflächenintegral über die d-dimensionale Fläche. Wir geben hier noch eine wichtige Eigenschaft des Oberflächenintegrals bei Parametertransformationen an. 2.5 atz (Parametertransformation): ei = x() ein stückweise reguläres Flächenstück, U offen und φ : U U bijektiv und es seien sowohl φ, als auch φ stetig differenzierbar (d.h. φ ist ein C -Diffeomorphismus). Dann nennt man φ eine Parametertransformation und x := x φ ist eine Parametrisierung von = x() = x(φ ()). Dann gilt f do = f(x) do(x) = f( x) do( x) nders ausgedrückt: Das Oberflächenintegral ist invariant unter Parametertransformationen (unabhängig von der Parametrisierung). Im folgenden werden wir uns meistens auf den pezialfall n = 3 beschränken. Eine Parametrisierung eines regulären Flächenstückes (d = 2) definiert man im R 3 durch x(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) und das reguläre Flächenstück ist durch := x() = { x(u, v) R 3 : (u, v) } gegeben. 3
2.6 Beispiel (Oberflächenelement für eine Fläche im R 3 ): Die Gramsche Matrix hat hier die Form ( ) xu, x G(u, v) = u x u, x v x v, x u x v, x v und hieraus erhält man nach einigen Umformungen Damit lässt sich das Oberflächenelement als g(u, v) = x u x v do = x u x v dλ 2 Nehmen wir mal als Beispiel die Einheitskugel = {x R 3 : x = }. Hier nehmen wir als Parametrisiereung Polarkoordinaten, womit die Bedingung x = die einfache Form r = annimmt, während θ und ϕ unbestimmt bleiben. Genauer bedeutet dies in unseren Definitionen, dass u = θ, v = ϕ, = [, π] [, 2π] und sin θ cos ϕ x = sin θ sin ϕ cos θ woraus sich nach kurzer Rechnung g(θ, ϕ) = sin 2 (θ) und daher auch do(θ, ϕ) = sin θ dθdϕ. Damit lässt sich z.b. die Oberfläche von berechnen, O() = 2π dλ 2 = dϕ π dθ sin(θ) = 4π 2.7 Definition (Einheitsnormalenvektorfeld einer Fläche im R 3 ): ei durch x : R 2 U R 3 eine Parametrisierung eines regulären Flächenstückes := x() gegeben. Dann definiert man das Einheitsnormalenvektorfeld auf durch n := x u x v x u x v und hiermit kann man Fluss eines integrierbaren Vektorfeldes F : R 3 durch die Fläche definieren: F do := (F n) do = (F n) do i wobei im letzte chritt das stückweise reguläres Flächenstück aus den regulären Flächenstücken i zusammengesetzt ist. 2.8 Definition (Randintegral eines Vektorfeldes in R 3 ): ei = x() ein reguläres Flächenstück und F ein stetiges Vektorfeld. Dann nennt man das Integral F dx := i= I i i n F(γ i (t)) γ i (t) dt das Randintegral von F bezüglich. Hier erinnern wir uns an die Definition eines regulären Bereiches. Der Rand von besteht aus stückweise regulären geschlossenen Wegen w, w,..., w n und daher ergibt sich durch die Parametrisierung die Wege γ i := x w i, welchen den Rand x( ) darstellen. 2.9 atz von tokes: ei = x() ein reguläres Flächenstück und die Parametrisierung x sei 2 mal stetig-differenzierbar, dann gilt: F dx = ( F) do 4
wobei F : R 3 V R 3 mit V ein stetige-differenzierbares Vektorfeld ist. Bemerkung: Hier seien noch ein paar Worte zum atz von tokes verloren. us der Definition des Randes eines regulären Flächenstückes folgt, dass der Rand genau eine Orientierung im mathematisch positivem inne besitzt, wenn man von Oben auf das Flächenstück (entgegen der Richtung von n = x x u x v u x v ) so schaut. Eine leicht zu merkende Regel (Regel der rechten Faust) ist die Folgende: Bildet man mit der rechten Hand eine Faust und streckt den Daumen nach oben, dann müssen die Wege so parametrisiert werden, dass sie in Richtung der Finger durchlaufen werden. 3 Volumenintegration Im Folgenden wollen wir uns auf Integrationen von Mengen mit der gleichen Dimension wie der R n beschränken, und werden uns meistens mit dem speziellen Fall n = 3 begnügen. Der zentrale atz in diesem bschnitt ist der atz von Gauß, welchen wir in einer Form für den R 3 formulieren. Zuerst werden wir einfach die Definition für den Normalbereich aus dem R 2 für den R 3 formulieren. 3. Definition(Normalbereich): ei R 2 und u, v : R messbar mit u(x, y) v(x, y), (x, y), dann nennt man B := {x R 3 : (x, y), u(x, y) z v(x, y)} einen messbaren Normalbereich. Es ergibt sich B B 3. Man schreibt v(x,y) f(x, y, z) dλ 3 = f(x, y, z) dx dy dz B u(x,y) 3.2 atz von Gauß: ei G R 3 kompakt mit Rand G aus endlich vielen disjunkten, geschlossenen, stückweise regulären, orientierbaren Flächenstücken. Für ein C -Vektorfeld F : U R 3 auf einer offenen Menge U G gilt divf dλ 3 = F do G Die Voraussetzungen, welche an den Rand von G gestellt werden, sind notwendig um die Integrierbarkeit (so wie wir sie definiert haben) über reguläre Flächenstücke zu gewährleisten, d.h. unser Oberflächenintegral ist definiert. Die Orientierbarkeit ist z.b. für das richtige Vorzeichen wichtig. Man beachte, dass die Normale n = x u x v x u x v immer nach außen (in Hinsicht auf G) weist. Zum chluss wird hier noch ein atz zitiert, welcher geometrisch eigentlich schon klar ist 3.3 atz: Für jede Borel-messbare Menge B B k und für k < n gilt G λ n (B) = wobei hier λ n natürlich das Lebesgue-Borel Maß (oder Lebesgue Maß) bezeichnet. 5