TEHNISHE UNIVERSITÄT MÜNHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Dr. Jürgen Richter-Gebert, Martin von Gagern Geometriekalküle WS / Lösungen u ufgabenblatt (9. Oktober ) Präsenaufgaben ufgabe. Dualität. Gegeben seien die folgenden drei iome. (i) Zwei Geraden schneiden sich in genau einem Punkt. (ii) Durch wei Punkte geht genau eine Gerade. (iii) Es gibt vier paarweise verschiedene Punkte,,, D, so dass keine drei von ihnen auf einer Geraden liegen. Zeigen Sie, dass wenn die drei iome vorausgesett werden, der folgende Sat gilt: Es gibt vier paarweise verschiedene Geraden a, b, c, d, so dass sich keine drei von ihnen in einem Punkt schneiden. In diesem eweis seien,,, D die vier Punkte aus iom (iii). Das Symbol stellt die Operation join, also die Verbindungsgerade weier Punkte dar, das Symbol entsprechend die Operation meet, also den Schnittpunkt weier Geraden. ehauptung: die folgenden vier Geraden erfüllen die im Sat angegebenen edingungen. a = b = c = D d = D eweis: Eisten: Nach iom (ii) eistieren die angegebenen Geraden, und sind eindeutig festgelegt. Paarweise verschieden: ngenommen, wei Geraden seien identisch. Dann folgt daraus sofort, dass mindestens drei der Punkte,,, D auf dieser Geraden liegen müssten. Das ist ein Widerspruch u iom (iii). lso sind die Geraden paarweise verschieden. Keine drei schneiden sich in einem Punkt: ngenommen, dass drei der Geraden durch einen Punkt gehen. Ohne eschränkung der llgemeinheit seien dies die Geraden a, b und c. Die Geraden a und b haben nach ihrer Definition den Punkt gemeinsam, und nach iom (i) keine weiteren gemeinsamen Punkte. nalog haben b und c genau Punkt gemeinsam. Da und nach iom (iii) verschieden sind, gibt es keinen gemeinsamen Punkt, durch den alle drei Geraden verlaufen.
Keine drei schneiden sich in einem Punkt (lternative): Statt sich o..d.. auf drei Geraden u konentrieren, kann man auch systematisch alle Schnittpunkte untersuchen. Wir bestimmen unächst alle sechs Schnittpunkte a b, a c, a d, b c, b d und c d dieser vier Geraden. a b = ( ) ( ) = wegen auf a und auf b (nach Definition) und Schnittpunkt eindeutig nach iom (i). Mit analogem rgument gilt a D a d = ( ) (D ) = c b c = ( ) ( D) = c d = ( D) (D ) = D P b d Die beiden übrigen Schnittpunkte seien mit P und P beeichnet. P a c = ( ) ( D) = P Skie ur Illustration b d = ( ) (D ) = P Nun ist noch u eigen, dass alle diese sechs Schnittpunkte voneinander verschieden sind.,,, D untereinander verschieden: Die Punkte,,, D sind nach iom (iii) voneinander verschieden. P, verschieden von,,, D: ngenommen der Punkt P sei mit einem dieser vier Punkte identisch. Ohne eschränkung der llgemeinheit können wir annehmen, dass er mit dem Punkt identisch sei, also P =. Da P nach Definition auf c liegt, hätte man damit drei Punkte,, D auf der Geraden c. Das ist ein Widerspruch u iom (iii). Daher ist der Punkt P mit keinem der vier Punkte,,, D identisch. Ein analoges rgument gilt für P. P verschieden von P : ngenommen P = P. Dann läge dieser Punkt nach Definition von P auf a und gleicheitig nach Definition von P auf d. Die Verbindungsgerade dieses Punktes mit dem Punkt wäre nach iom (ii) eindeutig. lso müssten die Geraden a und d identisch sein. Dies ist ein Widerspruch ur oben bewiesenen Tatsache, dass die Geraden verschieden voneinander sind. lso muss P verschieden von P sein. Somit sind alle sechs Schnittpunkte voneinander verschieden. Daher können sich keine drei der vier Geraden in einem Punkt schneiden, da die paarweisen Schnittpunkte dieser drei Geraden verschieden voneinander sind.
ufgabe. ndere Einbettung. Nun sei die euklidische Ebene im R nicht kanonisch auf = eingebettet, sondern so, dass sie durch die Punkte = (,, ) T, = (,, ) T und = (,, ) T des R verläuft. Rechts finden Sie eine Draufsicht auf die eingebettete Ebene. a) Skiieren Sie die Lage der Ebene in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. b) Zeichnen Sie die Punkte mit den folgenden homogenen Koordinaten in diese Draufsicht ein: p = (,, ) T p = (,, ) T p = (,, ) T p = (,, ) T p 5 = (, 6, 7) T c) Geben Sie die homogenen Koordinaten der Ferngerade dieser Einbettung an. a) Um die Ebene u skiieren, eichnet man ein dreidimensionales Koordinatensystem und verbindet die drei angegebenen Punkte. Die so erhaltenen Linien kenneichnen ugleich die Schnitte der eingebetteten Ebene mit den von den Koordinatenachsen aufgespannten Ebenen, also der (, y)-ebene, der (, )-Ebene und der (y, )- Ebene. y b) Die Ebene im R durch die Punkte, und erfüllt die Gleichung + y + =. Um einen Punkt in diese Ebene einueichnen, müssen also seine homogenen Koordinaten so skaliert werden, dass diese Gleichung erfüllt ist. Die sich so ergebenden drei Koordinaten seien mit a, b und c beeichnet. y = ( + y + ) +y+ y +y+ +y+ a := b := c := +y+ y +y+ +y+ Somit ergibt sich für die Punkte aus der ngabe: p = = p = = p = = p = = p 5 = 6 = 7 7
Die so gefundenen Punkte in der eingebetteten Ebene muss man jett noch richtig in die Zeichenebene eintragen. Zum besseren Verständnis unterscheidet diese Erklärung wischen den dreidimensionalen Einheitsvektoren,,, wie sie in der ngabe vorgegeben sind, und ihren weidimensionalen ildern, und, wie man sie in der Zeichenebene sehen kann. Da die einelnen Einträge der umgeformten Vektoren sich u addieren, kann man sie auch als baryentrische Koordinaten des gesuchten Punktes auffassen. Wenn man die kartesischen Koordinaten der ilder, und in der Ebene R hätte, könnte man die Koordinaten der gewünschten Punkte als a + b + c errechnen. Will man sich den Umweg über das kartesische Koordinatensystem sparen, kann man auch direkt in Dreieckskoordinaten denken. Dabei stellen alle u paralellen Geraden diejenigen Linien dar, die die gleiche c-koordinate haben. Dreidimensional entspricht dies den Schnitten mit Ebenen, die ur y-ebene parallel sind. ei selbst ist diese c-koordinate, da sich alle Punkte auf der Geraden allein als Linearkombination aus und ergeben bw. direkt in der y-ebene liegen. ei ist diese Koordinate und die anderen beiden Koordinaten hingegen. Werte wischen und sind dawischen auf Parallelen u in gleichmäßigen bständen verteilt. Gleiches gilt für die anderen Koordinaten. In der Skie ist dieses Verfahren für den Punkt p in Grün illustriert. a = p 5 p p p c = p b = Eine andere Methode, um die Punkte einueichnen und sich die gesamte Situation vorustellen, ist die Projektion dreidimensionaler Schritte in Koordinatenrichtungen. Dau stellt man sich wirklich die Zeichenebene als Draufsicht auf eine Ebene im dreidimensionalen Raum vor. Der Ursprung des dreidimensionalen Koordinatensystems liegt also direkt hinter dem Mittelpunkt des Dreiecks. Die orthogonale Projektion, die den Raum in die Zeichenebene abbildet, kann durch eine Projektionsmatri M R dargestellt werden. Wenn man unbedingt Zahlen für diese Matri angeben will, mit einem im orthogonalen Koordinatensystem, in dem der Umkreis des Dreiecks ist, so wären das die folgenden. ( ) M = Die konkreten Zahlen in der Matri sind jedoch eigentlich für die Überlegung irrelevant. Wichtig ist, dass der einueichnende Punkt sich ergibt als a p = M b = M(a + b + c) = a M + b M + c M = a + b + c c Es macht also keinen Unterschied, ob man die Linearkombination der Einheitsvektoren projiiert, oder erst die Einheitsvektoren projiiert und dann von diesen Projektionen die Linearkombination bildet. Man kann daher die baryentrischen Koordinaten (a, b, c) T auch interpretieren als Koeffiienten, mit denen man ausgehend vom Mittelpunkt des Dreiecks in Richtung der jeweiligen Ecken gehen muss. Wichtig ist hier, dass man wirklich alle
drei Schritte geht. nders als bei den Dreieckskoordinaten, wie sie oben beschrieben wurden, ergibt sich hier nicht der lette Schritt von alleine. In der Grafik sind die drei Schritte in Magenta eingeeichnet, und war wieder für den Punkt p und in der Reihenfolge a, b, c ausgeführt. c) Die Ferngerade entspricht dem weidimensionalen Untervektorraum des R, der mit der eingebetteten Ebene keine gemeinsamen Punkte hat, also parallel u dieser Verläuft. Repräsentiert wird dieser Untervektorraum durch seinen Normalenvektor. Das ist in diesem Fall der Vektor (,, ) T. Die Ferngerade entspricht im Dreidimensionalen also dem durch + y + = beschriebenen Untervektorraum. ufgabe. Parallelogramm. d D Gegeben seien die homogenen Koordinaten der Punkte, und. Zusammen mit einem vierten Punkt D bilden diese ein Parallelogramm D, wobei die Ecke D der Ecke gegenüber liegt. Geben Sie eine Formel an, mit der die homogenen Koordinaten des Punktes D ausgerechnet werden können. a b c P d D a b c Q Homogene Koordinaten von Verbindungsgeraden lassen sich einfach über das Kreuprodukt der homogenen Koordinaten von wei Punkten bestimmen. So ist die Gerade a, die mit verbindet, wie folgt ausurechnen: a = Parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen. Der ugehörige Fernpunkt lässt sich als Schnitt einer Geraden mit der Geraden im Unendlichen ermitteln. Für die Gerade a sei dies der Punkt P : P = a l Die Gerade c durch und parallel u a ist jett gegeben als Verbindungsgerade dieses Fernpunktes P mit dem Punkt : c = P Die Verbindungsgerade b von und, ihr Fernpunkt Q sowie die Parallele d durch sind analog u bestimmen: Damit ergibt sich D als Schnitt weier Geraden: b = Q = b l d = Q D = c d Das führt abschließend u folgender Formel: 5
D = ((( ) l ) ) ((( ) l ) ) = ( ) ( ) ufgabe. Koordinatenachsen. Hausaufgaben estimmen Sie homogene Koordinaten für die - und y-chse sowie den Koordinatenursprung der Zeichenebene. Verwenden Sie die Standardeinbettung mit =. Der Koordinatenursprung hat die weidimensionalen Koordinaten (, ) T (,, ) T (oder ein vielfaches davon). und somit die homogenen Koordinaten Die -chse erfüllt die Gleichung y = oder ausführlicher + y + =. Sie hat daher die homogenen Koordinaten (,, ) T. nalog hat die y-chse die homogenen Koordinaten (,, ) T. ufgabe 5. Homogene Koordinaten. Zeichnen Sie die folgenden Objekte in die rechts abgebildete gewöhnlichen (, y)-ebene (eingebettet in den R auf = ) ein. a) Punkte mit homogenen Koordinaten: 7 p = p = 5 p = p = b) Geraden mit homogenen Koordinaten: l = l = 6 l 5 = 6 5 l = 6 l = l 6 = 6
a) Um die Punkte in die Ebene eineichnen u können, müssen sie dehomogenisiert werden. Dau werden ihre homogenen Koordinaten wie folgt umgeformt: y = y Im Einelnen ergeben sich so: p =, p =, p = nschließend kann die dritte Koordinate weggelassen werden. Der Punkt p befindet sich im Unendlichen und ist daher nicht direkt einueichnen. Obiger nsat hätte eine Division durch Null ur Folge. Lediglich die Richtung, in die er liegt, kann man durch einen Pfeil andeuten. b) Um die Geraden in R u bestimmen, gibt es verschiedene nsäte. Man kann etwa für Vektoren (a, b, c) die ugehörige Gleichung a + by + c = aufstellen und durch scharf hinschauen wei Punkte finden, die diese Gleichung erfüllen und somit die Gerade definieren. So sieht man etwa, dass l die Gleichungen +6 + = sowie + 6 + = erfüllt und daher die Verbindungsgerade von (, ) T mit (, ) T sein muss. lternativ kann man die Gerade auch durch Kreuprodukte mit wei beliebigen anderen, nicht parallelen Geraden schneiden, um so wei Punkte auf der Geraden u erhalten. Schneidet man etwa die Gerade l mit der - und der y-chse, so erhält man: 6 = Die gesuchte Gerade ergibt sich wieder als Verbindung dieser Punkte. = 6 Die Gerade l 5 ist die Gerade im Unendlichen. Sie lässt sich nicht korrekt in die Skie eineichnen. Will man sie dennoch veranschaulichen, kann man die Skie verbiegen, um das Unendliche auch noch drauf u quetschen. p p p l l p l 5 p l l l 6 l l l p p p l 6 p l Skie als Lösung der ufgabe Verbogene Skie mit Unendlichkeit ur besseren Vorstellung 7
ufgabe 6. Projektives Konstruieren. Gegeben sei die folgende (unvollständige) Photographie vom Umriss eines Schachbretts. Zeichnen Sie die Felder des Schachbretts perspektivisch richtig ein. enuten Sie dau die Tatsache, dass eine solche (Zentral-)Projektion Kollinearitäten erhält: Punkte, die in der Ebene des Schachbretts auf einer Gerade liegen, liegen auch auf dieser bbildung auf einer Geraden. Zur Lösung dieser ufgabe muss man sich nur auf die grundlegenden Eigenschaften projektiver Geometrie besinnen. Projektive Transformationen bilden Geraden auf Geraden ab. Schnittpunkte von Geraden bleiben unter diesen Transformationen erhalten. Euklidisch parallele Geraden schneiden sich im Unendlichen. Sich gegenüberliegende Seiten des Schachbretts sind natürlich parallel. Ihre jeweiligen Schnittpunkte im Unendlichen werden unter der gewählten Perspektive (die praktisch eine projektive Transformation darstellt) sichtbar. Die so bestimmten Schnittpunkte werden im untenstehenden ild mit und beeichnet. Da der Schnitt von Geraden erhalten bleibt, lässt sich durch den Schnittpunkt der beiden Diagonalen der perspektivisch richtige Mittelpunkt M des Schachbretts bestimmen. Die Gerade durch M bw. M teilen dann das Schachbrett perspektivisch richtig in obere und untere bw. rechte und linke Spielbretthälfte ein, da sie Linien entsprechen, die parallel um Rand verlaufen. Wiederholte nwendung dieses Verfahrens bringt weitere Unterteilungen und somit schließlich das perspektivisch richtig geeichnete Schachbrett. M 8