ETHZ, D-MATH Prüfung Numerische Methoden D-PHYS, WS 5/6 Dr. V. Gradinaru..6 Prüfungsdauer: 8 Minuten Maximal erreichbare Punktzahl: 6. Der van-der-pol Oszillator ( Punkte) Der van-der-pol Oszillator kann unter geeigneten Annahmen wie gezeigt als elektronische Schaltung realisiert werden. C V out(t) + L Vout(t) = I diode (t) I diode (t) = αc g V in(t) = gv out(t) Vin(t) + βc 3g 3 V 3 in(t) a) Leiten Sie aus den obigen Gleichungen die nicht-lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung: V (t) (α βv (t) ) V (t) + LC V (t) = für V out her. Schreiben Sie diese als ein System erster Ordnung um. Die Anfangswerte sind V () = und V () = und die anderen Parameter sind L =.6, C =.4, α =.8 und β =.9. b) Lösen Sie das System mit ode45 bis zur Zeit T = 5. Benutzen Sie die Einstellungen reltol=e-8, abstol=e-8 und initialstep=e-. Plotten Sie die Lösung und die Ableitung. c) Wählen Sie 5 zufällige Punkte (x i, y i ) [, ] R. Berechnen Sie die Lösung zu den Anfangswerten V () = x i, V () = yi bis zur Zeit T = mit N = 5 Schritten mit dem ode45 Verfahren. Plotten Sie im Phasenraum V (t) gegen V (t). Was für ein Verhalten beobachten Sie? Was bedeutet dies für die Lösung? Bitte wenden!
. Runge-Kutta Verfahren und Nullstellensuche ( Punkte) Teil : Es sei das folgende System erster Ordnung gegeben: ẏ (x) y (x) ẏ (x) = y 3 (x) ẏ 3 (x) x y 3(x) + y (x) Wir sind an der Lösungskomponente w(x) := y (x) interessiert. a) Implementieren Sie ein Runge-Kutta Verfahren mit dem Butcher Tableau der so genannten England Formel: 4 4 6 3 6 b) Lösen Sie die Gleichung auf dem Intervall x [, 5] mit N = Schritten und plotten Sie die Lösung w(x). Die Anfangswerte bei x = sind im Template gegeben. c) Berechnen und plotten Sie den absoluten sowie relativen Fehler. Die exakte Lösung ist als Chi exact(x) im Template verfügbar. d) Berechnen Sie in einem Experiment mit jeweils N [ 4, 5,..., ] Schritten den absoluten Fehler E n bei x = 5 und plotten Sie diesen geeignet gegen N. Bestimmen Sie dann empirisch die Konvergenzrate dieser Runge-Kutta Formel. e) Schreiben Sie eine Funktion Chi(z) welche die Lösung w an der Stelle z R + auswertet. Lösen Sie dafür die Differentialgleichung von x = bis z mit obigem Schema. Passende Anfangswerte sind im Template gegeben. Teil : Die Lösung w(x) hat offensichtlich eine Nullstelle bei x. Wir wollen im Folgenden diese Nullstelle genau bestimmen. Falls Sie Teil nicht gelöst haben, verwenden Sie Chi exact anstelle von w. Siehe nächstes Blatt!
f) Implementieren Sie ein Sekantenverfahren um iterativ eine Approximation x K mit w(x K ) zu finden. Wie viele Iterationen sind für eine absolute Toleranz von 5 erforderlich? Wie lautet die Nullstelle? Achtung: Verwenden Sie weder fsolve noch ähnliche Methoden. g) Sei x eine hochgenaue Näherung an die Nullstelle. Berechnen Sie für jede Iterierte x k den Fehler x k x und plotten Sie diesen gegen k. Berechnen und plotten Sie dann die Konvergenzordnung p k der Nullstellensuche in Abhängigkeit von k. Welcher Wert wird asymptotisch für k erreicht? Bitte wenden!
3. Quadratur und Monte-Carlo (5 Punkte) Das Box-Integral in d Dimensionen lautet: B d (s) := ( r + + r d) s dr dr d mit dem Parameter s. Wir verwenden s = 3 womit die Integrale folgende exakte Werte besitzen: B (3) = Id = 4 B 3(3) = I3d = 5 3 + 7 log( + 3) 6 π Der Integrand von B d (3) ist als BI(x) für x R d implementiert. a) Wir betrachten zunächst das eindimensionale Integral mit d =. Implementieren Sie die summierte Version der Mittelpunkts- und Simpsonquadraturregel für jeweils N Teilintervalle auf [a, b] R. b) Ermitteln Sie die Konvergenzraten dieser Methoden unter Benutzung von N [,..., 7, 8, 6, 3]. Erhalten Sie jeweils die theoretische Konvergenzordnung? Warum? c) Implementieren Sie eine Monte-Carlo Routine zur Berechnung von B d (3) in d Dimensionen mit N zufälligen Punkten x i [, ] d. Hinweis: Benutzen Sie random.random((d,n)) aus numpy geschickt. d) Testen Sie die Monte-Carlo Quadratur an B 3 (3). Sei die Anzahl Zufallspunkte N [,..., ]. Berechnen Sie jeweils Mal für jedes N den Wert des Integrals und den Fehler. Plotten Sie die Resultate geeignet. Erhalten Sie die theoretische Konvergenzordnung? e) Für B 4 (3) existiert keine geschlossene Form. Erweitern Sie Ihre Monte-Carlo Implementation um die Schätzung σ N der Standardabweichung. Berechnen Sie nun B 4 (3) mit N = 5 und treffen Sie eine Aussage über die Korrektheit Ihres Wertes. Siehe nächstes Blatt!
4. Ein oszillatorisches System (5 Punkte) Wir betrachten das nichtlineare Differentialgleichungssystem: [ ] [ ] y ω y = y + ωy log(y ) y ωy mit den Anfangswerten y() = [, ] T und ω >. a) Benutzen Sie das exponentielle Eulerverfahren zur Lösung dieses Systems mit ω = auf dem Zeitintervall t [, 6]. Verwenden Sie N = 3 Zeitschritte. Plotten Sie die Lösungen y (t) und y (t). b) Berechnen Sie den absoluten Fehler der Gesamtlösung zu jeder Zeit und plotten Sie diesen Wert geeignet gegen t. Die Referenzlösung ist im Template als reference(t) gegeben. c) Lösen Sie dieses System mit jeweils N [4, 48, 96, 9, 384] Schritten und berechnen Sie den absoluten Fehler E N bis zur Endzeit T = 6. Plotten Sie diesen Fehler gegen die Schrittweite. Was für eine empirische Konvergenzrate erhalten Sie für dieses Schema? d) Wieso kann diese Methode nicht direkt auf das verwandte Problem: [ ] [ ] y y = y + 4ω t y log(y ) ω cos(ωt ) y y y angewendet werden?