TFH Berlin Regelungstechnik Seite von 0 Aufgabe 2: Gegeben: G R p =5 p 32ms p 32 ms G S p = p 250 ms p 8 ms. Gesucht ist das Bodediagramm von G S, G R und des offenen Regelkreises. 2. Bestimmen Sie Durchtrittsfrequenz ω d und den Phasenrand φ r des offenen Kreises durch ablesen des Bodediagramms, als auch rechnerisch. 3. Wie müsste die Verstärkung des Reglers geändert werden, damit der gesamte Regelkreis die Bedingungen für symmetrisches Optimum erhält? Lösung : Zeichnen der Amplitude des Reglers: Ein Blick in den Bausteinkatalog verrät, dass es sich bei dem vorliegenden Regler um einen PI-Regler handelt. 0 = T = 32ms = 3,25 s K R =5 K R,db =20 log 5 =3,97 db Zeichen der Phase des Reglers: Die Phase des Reglers beträgt bei Knickfrequenz ω 0-45. Von dort verläuft sie mit steigendem ω bis 0 und mit fallendem ω bis -90. Zeichen der Amplitude der Strecke: Die Strecke kann in eine Reihenschaltung eines PT- Gliedes und eines I-Gliedes zerlegt werden. G S p = p 250 ms p 8 ms
TFH Berlin Regelungstechnik Seite 2 von 0 Die Kennfrequenz ω 0 des I-Gliedes beträgt: 0 = T = 250 ms = 4 s Die Knickfrequenz ω 0 des PT-Gliedes beträgt: 0 = T = 8 ms = 25 s Die Verstärkung des PT-Gliedes ist K = K db =20 log =0 db Um nun die gesamte Strecke zu zeichnen, müssen Integrierer und PT-Glied einzeln gezeichnet und dann addiert werden. Zeichen der Phase der Strecke: Zeichen des offenen Regelkreises: Die Phase des I-Gliedes beträgt frequenzunabhängig -90. Die Phase des PT-Gliedes verläuft mit steigendem ω von 0 bis -90. Bei =25 s beträgt die Phase des PT-Gliedes -45. Nachdem beide Einzelglieder gezeichnet sind, müssen auch die Phasen durch Addition überlagert werden. Der offene Regelkreis ist die Reihenschaltung der Strecke und des Reglers. Da die Konstruktion der Frequenzkennlinien auf Logarithmuspapier erfolgt ist, können die Kennlinien der Strecke und des Reglers durch Addition überlagert werden.
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TFH Berlin Regelungstechnik Seite 4 von 0 Zur Kontrolle der per Hand gezeichneten Frequenzkennlinien erfolgt eine Simulation.
TFH Berlin Regelungstechnik Seite 5 von 0 Lösung 2: Die grafische Lösung von Teilaufgabe 2 erfolgt der Übersicht halber in der Simulation des offenen Regelkreises. Die Durchtrittsfrequenz ω d beträgt d =29 s. Der Phasenrand ist der Abstand der Phase des offenen Regelkreises von der -80 -Achse bei Durchtrittsfrequenz. Der Phasenrand beträgt r =30. Rechnerische Ermittlung: Für die mathematische Ermittlung des Phasenrandes muss zunächst die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises aufgestellt werden. G R p =5 p 32ms p 32ms G S p = p 250 ms p 8 ms
TFH Berlin Regelungstechnik Seite 6 von 0 p =G R p G S p =5 p = 625 4 p 25 p 2 p 25 p 32ms p 32 ms p 250 ms p 8 ms Ersetzen von p= j und auflösen nach Realteil und Imagunärteil: j = 625 4 2 5625 2 2 5625 234375 2 5625 j Durch bilden des absoluten Betrags von (jω) wird die Amplitude aus der Übertragungsfunktion heraus extrahiert. Umrechnung in db: j = 625 6 2 5625 2 2 5625 j db = 20 log j = 0 ln 390625 6 2 5625 4 2 5625 ln 0 Um die Durchtrittsfrequenz zu berechnen, muss j db werden. = 0 gesetzt und nach ω aufgelöst 0 = 0 ln 390625 6 2 5625 4 2 5625 ln 0 =28,7739 2 = 28,7739 Die negative Lösung fällt weg, da sie kein sinnvolles Ergebnis liefert. d =28,7739 s
TFH Berlin Regelungstechnik Seite 7 von 0 Zur Berechnung des Phasenrandes, muss die Phase des offenen Regelkreises bei Durchtrittsfrequenz bestimmt werden. Dazu wird bei Gleichung angesetzt. j = 625 4 2 5625 2 2 5625 234375 2 5625 j Der Phasengang errechnet sich aus =arctan I R 234375 =arctan 2 5625 625 4 2 5625 2 2 5625 =arctan 375 4 4 5625 2 d =28,77 s =29,67 Da sich das Ergebnis der Phase des offenen Regelkreises offensichtlich im falschen Quadranten befindet (arctan ist von +90 bis -90 definiert und wiederholt sich dann periodisch), muss das Ergebnis in den richtigen Quadranten verschoben werden. d = 80 29,67 = 50,32 Um den Phasenrand zu bestimmen, muss der Abstand der Phase des offenen Regelkreises bei Durchtrittsfrequenz von der -80 -Achse bestimmt werden. r = 50,32 80 =29,67
TFH Berlin Regelungstechnik Seite 8 von 0 Lösung 3: Symmetrisches Optimum ist dann gegeben, wenn Phasenrand maximal wird. Dieser Zustand wird daher als symmetrisch bezeichnet, da die Phase für steigende als auch für fallende Werte von ω symmetrisch abfällt. Die 3. Teilaufgabe verlangt, dass die Verstärkung des Reglers so angeglichen werden soll, dass symmetrisches Optimum vorliegt. Zur Lösung muss zunächst der Hochpunkt des Phasenganges des offenen Regelkreis entweder durch Ablesen des Bodediagramms oder durch Rechnung bestimmt werden. Zu Berechnung des Maximums des Phasengangs wird Gleichung 2 herangezogen. =arctan 375 4 4 5625 2 Die erste Ableitung von Gleichung 2 ergibt eine Funktion des Anstiegs des Phasengangs. = d d = 67500 4 2 5625 6 4 265625 2 24440625 3 An der Stelle, an der die Funktion ein Extremum aufweist, hat die Funktion Nullstelle. eine 0 = 67500 4 2 5625 6 4 265625 2 24440625 Auflösen nach ω ergibt: = 62,5 s 2 =62,5 s Der Hochpunkt des Phasenganges des offenen Regelkreises liegt also bei =62,5 s. Dieses Ergebnis wird durch einen Vergleich mit der Simulation der Frequenzkennlinien bestätigt. Die Verstärkung K R des Regler muss nun so modifiziert werden, dass der Amplitudengang des offenen Regelkreises bei =62,5 s die 0db-Achse schneidet.
TFH Berlin Regelungstechnik Seite 9 von 0 p =G R p G S p = 5 K R p 32ms p 32 ms p 250 ms p 8 ms p =G R p G S p =K R p 32ms p 32 ms p 250 ms p 8 ms p = 25 4 p 25 K R p 2 p 25 j = 25 K R 4 2 5625 2 2 5625 46875 K R 2 5625 j Isolierung der Amplitude und Umrechnung in db j db =20 log j j db = 0 ln 5625 K 2 R 6 2 5625 4 2 5625 ln 0 Für =62,5 s einsetzen j 62,5 db = 20 ln K 2 R 6 ln 5/2 ln 0 4 Da K R so bestimmt werden soll, dass der Amplitudengang des offenen Regelkreises bei =62,5 s die 0db-Achse schneidet, muss Gleichung 4 Null gesetzt werden. 0= 20 ln K 2 R 6 ln 5/2 ln 0 Auflösen Nach K R K R =5,625 K R2 = 5,625 Es liefert wieder nur die positive Lösung ein Sinnvolles Ergebnis. K R =5,625
TFH Berlin Regelungstechnik Seite 0 von 0 Eine Simulation des offenen Regelkreises soll nun zeigen, dass die Rechnung aufgegangen ist und die Durchtrittsfrequenz und das Maximum der Phase zusammen fallen. Eine Simulation der Sprungantwort des geschlossenen Regelkreises mit den berechneten Parametern zeigt, dass das System, das für symmetrisches Optimum charakteristische Überschwingen von 40%, aufweist.