Mathematik für Ingenieure 2 Funktionen mit mehreren Veränderlichen 1 (Grundlagen) 1
Einführung Einführung und Beispiele 2
Einführung (1) - Beispiele Bisher haben wir ausschließlich Funktionen mit einer Veränderlichen betrachtet. In der Praxis hängen jedoch fast alle Größen meist von verschiedenen Einflüssen ab also von mehreren Veränderlichen/Variablen. Beispiele: 1) Das Volumen eines Zylinders berechnet sich aus Grundfläche mal Höhe: 2 V = π r h = f ( r, h) 2) Die Oberfläche eines Zylinders berechnet sich aus zwei Kreisflächen plus Mantelfläche: 2 A = 2 π r + 2 π rh = g( r, h) 3) Der Abstand eines Punktes vom Ursprung in der Ebene berechnet sich nach Pythagoras: r r h 2 2 d = OA = x + y = d( x, y) y A d O x 3
Einführung (2) - Beispiele 4) Ohmsches Gesetz: Die an einem Widerstand R abfallende Spannung U hängt vom Widerstand R und der Stromstärke I ab, ist also eine Funktion der beiden Variablen R und I : U = R I = U ( R, I) I U=RI R 5) Gewinnfunktion: Ein Betrieb stelle zwei verschiedene Produkte her. x 1 sei die Mengeneinheit des 1. Produkts, x 2 die Mengeneinheit des 2. Produkts und G(x 1, x 2 ) die Gewinnfunktion des Betriebs. Der Betrieb habe wöchentliche Kosten (in TEuro) in Höhe von: K ( x, x ) = 100 + 5x + 6x Der Verkaufserlös sei (ebenfalls in TEuro): E( x, x ) = 10x + 14x Die Gewinnfunktion berechnet sich dann wie folgt: 1 2 1 2 1 2 1 2 G( x1, x2) = E( x, x ) K ( x, x ) = 100 + 5x + 8x 1 2 1 2 1 2 Die Eingabewerte für x 1 und x 2 sind dabei nicht beliebig, sondern durch die betrieblichen Kapazitäten (z.b. Maschinenauslastung, Personal) begrenzt; beispielsweise durch folgende Einschränkungen: 0 x 150; 0 x 200; und x + x 275; 1 2 1 2 Würde der Betrieb zehn verschiedene Produkte herstellen, so würden die Funktionen von 10 unabhängigen Variablen abhängen: G ( x, x, x,..., x ) = E ( x, x, x,..., x ) K ( x, x, x,..., x ) 1 2 3 10 1 2 3 10 1 2 3 10 4
Einführung (3) - Problemstellungen Wie bei Funktionen mit einer Variablen möchte man nun Methoden entwickeln, um solche Funktionen auf charakteristische Eigenschaften zu untersuchen. So wäre im letzten Beispiel 5 (Gewinnfunktion) etwa von Interesse, für welche Werte (Stückzahlen) x 1, x 2, x 3..., x n die Gewinnfunktion maximal wird (Extremwertaufgaben). Um solche Probleme zu bearbeiten, müssen zunächst einige Grundfragen geklärt werden: Wie definiert man eine Funktion von mehreren Variablen? Wie können solche Funktionen grafisch dargestellt werden? Wie kann man im Mehrdimensionalen fundamentale Begriffe wie Stetigkeit, Steigung, Differenzierbarkeit geeignet übertragen bzw. sinnvoll definieren? 5
Einführung (4) - Definition Definition: Der Definitionsbereich D einer Funktion mit n Veränderlichen besteht aus einer Teilmenge der n sogenannten kartesischen Produktmenge R R R... R = R. f ( x, x, x,..., x n ) Unter einer Funktion 1 2 3 mit n reellen Veränderlichen/Variablen versteht man n eine Abbildung f, welche jedem geordneten Zahlen-Tupel ( x1, x2, x3,..., xn) D R eindeutig eine Zahl f ( x, x, x,..., x ) = z W zuordnet. 1 2 3 n R Dabei gelten folgende Bezeichnungen: x1, x2, x3,..., xn : unabhängige Variable z W : abhängige Variable : Wertebereich der Funktion Anmerkung: Bei Funktionen mit bis zu drei unabhängigen Variablen werden diese meist mit x, y, z bezeichnet. 6
Einführung (5) - Beispiele Beispiele-1: Man bestimme die folgenden Funktionswerte in den entsprechenden angegebenen Punkten: 1) f ( x, y) = x + y 2 3 für ( x, y ) = ( 2, 1) 2 3 f ( 2, 1 ) = 2 + 1 = 5 π π 2) f ( x, y) = 2 sin x + cos y für ( x, y) = (, ) 6 2 f ( π, π ) 6 2 π π = 2sin + cos 6 2 1 = 2 + 0 2 = 1 3) f ( x, y) = x 2 π π sin y für ( x, y) = (, ) f ( π, π π π ) = sin 3 2 3 2 3 2 2 π 2 = 3 4) (,, ) x π π f x y z = e sin y cos z für ( x, y, z) = ( 0,, ) 2 3 π π 0 π π f ( 0,, ) = e sin cos 2 3 2 3 = 1 2 7
Einführung (6) - Beispiele Beispiele-2: Man bestimme den Definitions- und Wertebereich der folgenden Funktionen: 1) f ( x, y) = x + y Definitionsbereich: Wertebereich: 2 {(, ) R 0; 0} D = x y x y W = [ 0, ) 2) f ( x, y, z) = x + yz Definitionsbereich: Wertebereich: 3 {(,, ) R 0} D = x y z x W =R Wie schon im Fall von Funktionen mit einer Variablen, können einzelne Punkte keinen Eindruck vom Verhalten der Funktion vermitteln. Man benötigt Rechenmethoden und möglichst eine grafische Darstellung. 8
Darstellungsformen Analytische Darstellung einer Funktion mit mehreren Variablen In der analytischen Darstellung liegt die Funktion in Form einer Gleichung vor, die auch Funktionsgleichung genannt wird. Dabei unterscheidet man zwischen Expliziter Darstellung z = f ( x, y) Die Funktion ist nach einer Variablen hier z - aufgelöst. Beispiele für explizite Darstellungen: z = 4x + 3 y 1 z = x + y 2 2 ( x+ y) z = e sin( x y) Impliziter Darstellung F ( x, y, z ) = 0 Die Funktion ist nicht nach einer Variablen aufgelöst. Beispiele für implizite Darstellungen: 2 2 2 x + y + z 4 = 0 7x + 2 y 5z + 3 = 0 9
Grafische Darstellung Grafische Darstellung von Funktionen mit zwei Veränderlichen 10
Grafische Darstellung (1) Flächen im Raum f ( x, y) Perspektivische Darstellung einer Funktion als Fläche im Raum = Eine Funktion z f ( x, y) mit zwei unabhängigen Veränderlichen kann in einem dreidimensionalen kartesischen Raum durch eine über dem Definitionsbereich in der x-y-ebene D R 2 liegende Fläche dargestellt werden. Der Funktionswert hat dabei die geometrische Bedeutung einer Höhenkoordinate z. z = Kartesische Koordinaten eines Raumpunktes (Bildquelle: Papula) Geometrische Darstellung einer Funktion z=f(x,y) als Fläche im Raum (Bildquelle: Papula) 11
Grafische Darstellung (2) Flächen im Raum Beispiel 1: Grafische Darstellung der Funktion Definitionsbereich: Wertebereich: {( x, y) R } D = 2 + W =R 2 2 f ( x, y) = e + ( x y ) 12
Grafische Darstellung (3) Flächen im Raum Beispiel-2: Grafische Darstellung der Funktion Definitionsbereich: Wertebereich: f ( x, y) = x + y {( x, y) R } D = 2 + W =R 2 2 13
Grafische Darstellung (4) Flächen im Raum Beispiel-3: 2 2 Grafische Darstellung der Funktion f ( x, y) = 4 x y (Rotationsparaboloid) Definitionsbereich: Wertebereich: {( x, y) R } D = 2 W = ( ; 4] Drahtgitterdarstellung schattierte Darstellung 14
Grafische Darstellung (5) Lineare Funktionen Darstellung von linearen Funktionen/Ebenen im Raum Wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen spielen auch bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen die linearen Funktionen eine wichtige Rolle. Das geometrische Bild einer linearen Funktion vom Typ ax + by + cz + d = 0 ist eine Ebene. Beispiel-4: Spezialfälle: Koordinatenebenen x,y-ebene z = 0 (Bildquelle: Papula) y,z-ebene x = 0 (Bildquelle: Papula) x,z-ebene y = 0 (Bildquelle: Papula) 15
Grafische Darstellung (6) Lineare Funktionen Beispiel-5: Parallelebenen z = f ( x, y) = a = const. d = a Die Funktionsgleichung ist eine Ebene, die im Abstand parallel zur x,y-ebene verläuft. Für a > 0 liegt die Ebene oberhalb, für a < 0 unterhalb der x,y-ebene. Die nebenstehende Abbildung zeigt hierfür folgende Beispiele: z = 3 : Parallelebene im Abstand von d = 3 oberhalb der x,y-ebene z = 0 : x,y-ebene 3 z = -2 : Parallelebene im Abstand von d = 2 unterhalb der x,y-ebene z = 3 z = 0 z = -2 16
Grafische Darstellung (7) Lineare Funktionen Beispiel-6: Ebenen in allgemeiner Lage Die räumliche Lage einer Ebene mit der allgemeinen Funktionsgleichung ax + by + cz + d = 0 lässt sich wie folgt ermitteln: Eine Ebene ist bekanntlich durch drei Punkte eindeutig festgelegt. Man erhält sehr einfach drei Punkte, indem man die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen Sx = ( x; 0; 0) ; S y = ( 0; y; 0) und berechnet. S z = ( 0; 0; z) Hierzu ein Zahlenbeispiel: Gegeben sei die Ebenengleichung 3x + 6 y + 4z = 12 Berechnung der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: Sx : 3x + 6 0 + 4 0 = 12 x = 4 S x = ( 4; 0; 0) S : 3 0 + 6 y + 4 0 = 12 y = 2 = ( 0; 2; 0) y Sz : 3 0 + 6 0 + 4 z = 12 z = 3 = ( 0; 0; 3) S y S z (Bildquelle: Papula) 17
Grafische Darstellung (8) Höhenlinien z = f ( x, y) Darstellung einer Funktion mittels Höhenliniendiagramm Der Funktionswert z besitzt die geometrische Bedeutung einer Höhenkoordinate. Eine Höhenlinie der Höhe z = c (konstant) entsteht, indem man die Fläche z=f(x,y) mit der zur x,y- Ebene parallelen Ebene z = c schneidet. Die Projektion solcher Linien gleicher Höhe in die x,y-ebene wird als Höhenlinie bezeichnet. Solche Höhenlinien ermöglichen häufig einen sehr anschaulichen Einblick in die Struktur eine Funktion z = f(x,y). Höhenliniendiagramm einer Funktion z = f ( x, y ) (, ) Die Höhenlinien einer Funktion z = f x y genügen der impliziten Kurvengleichung f ( x, y) = const. = c mit c: Wert der Höhenkoordinate z (Kurvenparameter) Anmerkung: Vergleichbare Darstellungen kennt man auch aus anderen Anwendungen: Landkarten und Bergwanderkarten (Höhenliniendarstellung) Meteorologie: Isobaren (Linien gleichen Luftdrucks) und Isotermen (Linien gleicher Temperatur) 18
Grafische Darstellung (9) Höhenlinien Beispiel (Rotationsparaboloid): Im Folgenden ermitteln wir die Höhenlinien der Funktion f ( x, y) = x + y Die Höhenlinien dieser Funktion genügen der Gleichung (c=const.) 2 2 x + y = c Dies ist, für jeden positiven Wert des Parameters c, die Gleichung eines Kreises mit Radius r = c 2 2 Berechnung der Höhenlinien für unterschiedliche z-werte:: x x x x x x x + y = 2 2 + y = 2 2 + y = 2 2 + y = 2 2 + y = 2 2 + y = 2 2 + y = 2 2 0 r = 0 1 r = 1 2 r = 2 3 r = 3 4 r = 2 5 r = 5 6 r = 6 3D-Flächendarstellung x,y-ebene f(x,y)=x²+y² 19
Grafische Darstellung (10) Höhenlinien Abbildung: Höhenlinien der Funktion z = x²+y² (z=1,2,3,4,5,6) 20
Grafische Darstellung (11) Höhenlinien Abb.: Die Fläche des Rotationsparaboloids z = x²+y² mit Höhenlinien 21
Grafische Darstellung (12) Höhenlinien Abb.: Die Fläche des Rotationsparaboloids z = x²+y² mit Höhenlinien 22
Grafische Darstellung (13) Höhenlinien Darstellung von z = x²+y² mit QtOctave: 3D-Drahtgitter und Höhenlinien 23
Grafische Darstellung (14) Darstellung als Kennlinienfeld z y = 1 y = 0, 9 y = 0 x Darstellung von z = x²+y² mit QtOctave als Kennlinenfeld. Hier Flächenschnitte bei verschiedenen konstanten y-werten 24
Grafische Darstellung (15) Topographische Darstellung 25
Grafische Darstellung (16) Visualisierungssoftware Darstellung von 3D-Flächen mit Hilfe mathematischer Visualisierungssoftware Die Darstellung von Flächen im Raum per Handskizze kaum möglich. Hier sind Visualisierungsprogramme sehr hilfreich. Als Beispiele sei auf folgende Java-basierte Freeware (open source-programm) hingewiesen (deutsch): 1. http://3d-xplormath.org/j/applets/de/ (Bedienungsanleitung) Auf dieser Website findet man im Dialogzweig ->Flächen->Parametrisierte Flächen->Nutzerdef. Fläche (parametrisiert) ein Java-Applet zur Visualisierung von 3D-Flächen mit benutzerdefinierten Eingaben und 3D-Grundfunktionen (Translation, Rotation, Zoom). (Siehe den Link auf Moodle und die dazugehörige elearning-aufgabe). 2. Z-Plot (Download erforderlich, Englisch) Download-Link: http://www.functionplotter.com/downloads.html Für Funktionen mit mehr als zwei unabhängigen Variablen gibt es i. A. keine anschaulichen grafischen Darstellungsmöglichkeiten mehr. 26