Fachbereich Mathematik Prof. Dr. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch Probeklausur Lineare Algebra für Physiker SS 8 26./27.6.27 Name:..................................... Vorname:................................. Studiengang:.............................. Semester:................................. Matrikelnummer:.......................... Aufgabe 2 3 4 5 6 7 Punktzahl 7 4 7 3 4 55 erreichte Punktzahl Note. AufgabeTest 7 Punkte Jede Aufgabe ist mit wahr oder zu beantworten. Tragen Sie Ihre Antwort durch ein entsprechendes Kreuz in die nachfolgenden Kästchen ein. Eine richtige Antwort gibt.5 Punkte, eine e.5 Punkte. Keine Antwort gibt Punkte. In einer Unteraufgabe a, b oder c können nicht weniger als Punkten erzielt werden. Keine Begründung notwendig! a Sei A eine n n Matri über K und T A : K n K n, A die induzierte lineare Abbildung. Weiter sei b BildT A. Entscheen Sie: Wahr Falsch A = b ist stets lösbar. A = b ist niemals lösbar. A = b ist nicht immer lösbar. A = b ist stets eindeutig lösbar. b Seien A, B n n Matrizen mit n 2. Dann gilt immer Wahr Falsch deta + B = deta + detb detab = deta + detb detλa = λ deta detλa = λ n deta
ΩΩ Ω 33 2 5 25 Probeklausur c Sei V ein R-Vektorraum und T : V V eine lineare Abbildung. Für, y V \{} und λ, µ R gelte T = λ und T y = µy. Entscheen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr ist: Wahr Falsch + y ist Eigenvektor zum Eigenwert λ + µ 5y ist Eigenvektor zum Eigenwert 5µ = y λ = µ λ µ, y sind linear unabhängig, y sind linear unabhängig λ µ λ + µy ist Eigenvektor von T a wahr b wahr c wahr wahr 2. AufgabeVektoren in einer Ebene 4 Punkte Sei V = R 3 und seien, y, z V. Zeigen Sie, dass die Vektoren y z = 2, y = y 2, z = z 2 3 y 3 z 3 genau dann in einer Ebene liegen, wenn det y z 2 y 2 z 2 = ist. 3 y 3 z 3 Ist det y z 2 y 2 z 2 3 y 3 z 3 =, 2
ΩΩ Ω 33 2 5 25 Probeklausur so ist die Familie {,, y, z} lin. abhängig. Jedoch ist der Vektor offensichtlich linear unabhängig zu {, y, z} ist, müssen {, y, z} lin. abhängig sein, d.h. in einer Ebene liegen. Liegen andererseits, y, z in einer Ebene, so sind sie lin. abhängig und die Determinante ist. 3. AufgabeBasiswechsel Punkte Sei V = R 3 mit kanonischer Basis E und F : V V die Spiegelung an der durch die Vektoren b = und b 2 = aufgespannten Ebene. a Sei B =,,. Zeigen Sie, dass B eine Basis von V ist. b Bestimmen Sie M B,B F. c Bestimmen Sie die Basiswechselmatrizen M E,B und M B,E. Beachten Sie die Konvention M alt,neu T. d Bestimmen Sie M E,E F. a Wir lösen λ + λ 2 + λ 3 und erhalten als einzige Lösung λ = λ 2 = λ 3 =. b Der Vektor steht senkrecht auf der Ebene, d.h. M B,B F =. c Die Transformationsmatrizen sind M B,E = und M E,B = 2 = 2 2. d M E,E F =. 3
ΩΩ Ω 33 2 5 25 Probeklausur 4. AufgabeÄhnliche Matrizen 7 Punkte Es sei V ein Vektorraum und R, T : V V lineare Abbildungen. a Bestimmen Sie die Determinante ihrer Abbildungsmatrizen bezüglich der kanonischen Basis E: 2 4 M E,E R = 2 5 3, M E,E T = 3 2 7 4. 2 4 9 3 7 b R und T heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare lineare Abbildung S : V V gibt, sodass T = S RS. Sind R und T ähnlich? Geben Sie eine Begründung. a Die Determinanten sind 2 und 224. b Für ähnlich Matrizen R, T gilt dett = dets RS = dets detr dets = detr. Demnach können die Matrizen nicht ähnlich sein. 5. AufgabeEigenwerte und Eigenvektoren 3 Punkte a Berechnen Sie fürdie nachfolgende Matri das charakteristische Polynom, sowie alle Eigenwerte und Eigenvektoren: i 2 4. 2 i b Geben Sie ein Beispiel für eine Matri an, die einen Eigenwert λ mit geometrischer Vielfachheit gv λ = und algebraischer Vielfachheit av λ = 3 besitzt mit Begründung, d.h., mit Angabe des charakteristisches Polynom und aller Eigenvektoren. a Die Eigenwerte sind λ = 4, λ 2/3 = i ± 2. Die zugehörigen Eigenvektoren sind v 4 =, v i+2 =, v i 2 =. b Der Jordanblock λ λ λ erfüllt die Voraussetzungen. Das charakteristische Polynom ist und der Eigenvektor ist pt = λ t 3 v λ =. 4
ΩΩ Ω 33 2 5 25 Probeklausur 6. AufgabeDiagonalisierbarkeit 4 Punkte Welche Matri besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren? i a A = i 3 b B = 2 Geben Sie eine kurze Begründung. Die Matri A ist selbstadjungiert und damit normal, d.h. sie besitzt eine ONB aus Eigenvektoren. Die Matri B ist in Jordannormalform mit einem Jordanblock der Länge zum EW 2 und einem Jordanblock der Länge 2 zum EW, damit ist sie nicht diagonalisierbar. 7. AufgabeMatrizen Punkte Welche der folgenden Matrizen sind symmetrisch, selbstadjungiert, orthogonal, unitär, normal? Achtung: eine Matri kann auch mehrere Eigenschaften haben.kreuzen Sie bitte in der nachfolgenden Tabelle alle Eigenschaften an, die erfüllt sind. Für jede e Antwort gibt es.5 Punkte. Keine Begründung notwendig! Matri symmetrisch selbstadjungiert orthogonal unitär normal 2 2 2 3 4 i i 2i 2i 2 2 i cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 5
ΩΩ Ω 33 2 5 25 Probeklausur Matri symmetrisch selbstadjungiert orthogonal unitär normal 2 2 2 3 4 i i 2i 2i 2 2 i cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 6