Vorbereitung Lihtgeshwindigkeit Carsten Röttele 2. Dezember 20 Inhaltsverzeihnis Drehspiegelmethode 2. Vorbereitung auf den Versuh......................... 2.2 Justierung der Apparatur und Messung................... 4 2 Phasenvergleihmethode 5 2. Vorbereitung auf den Versuh......................... 5 2.2 Justierung der Apparatur und Eihmessung................. 6 2.3 Lihtgeshwindigkeits- und Brehzahlmessungen............... 6 2.3. Lihtgeshwindigkeit in Luft...................... 6 2.3.2 Brehzahl von Wasser......................... 6 2.3.3 Brehzahl von Plexiglas........................ 6 2.3.4 Lihtgeshwindigkeitsmessung mit Lissajous-Figuren........ 7 2.3.5 Brehzahlbestimmung mit Lissajous-Figuren............ 7
Drehspiegelmethode. Vorbereitung auf den Versuh Als erstes soll die Fouault-Mihelson Drehspiegelmethode verwendet werden, um die Lihtgeshwindigkeit zu messen. Dazu muss folgender Versuhsaufbau, bei denen die Abstände, welhe in der Aufgabenstellung stehen shon eingezeihnet sind, vorgenommen werden: Wie man der Abbildung entnehmen kann, wird hier das Liht aus einem Laser hinausgeshossen von wo aus es auf einen Drehspiegel trifft. Dieser reflektiert das Liht, sodass es durh eine Sammellinse auf einen festen Umlenkspiegel läuft, welher es zu einem Endspiegel ßhikt. Von da aus wird es wieder auf dem gleihen Weg zurükgeshikt. Dadurh trifft Liht wieder auf den Drehspiegel, der sih in der Zwishenzeit aber gedreht hat, sodass es mit einem anderen Winkel reflektiert wird. Danah trifft es auf einen Strahlenteiler, der es auf einen Shirm lenkt, wo man den auftreffenden Strahl mit einer Lupe beobahten kann. Diese sollte aufgrund ihrer Brennweite von 0m auh in diesem Abstand vom Shirm gehalten werden. Mit dem bereits angesprohenen Winkel kann man auh dann die Lihtgeshwindigkeit bestimmen, da man dadurh am Shirm zwei vershiedene Punkte beobahten kann, einmal wenn sih der Drehspiegel langsam und einmal wenn er sih shnell dreht. Die Sammellinse wird dazu verwendet, damit man sowohl am Drehspiegel, als auh am Endspiegel einen sharfen Punkt erkennt. Damit der erste Punkt erfüllt ist, muss der Brennpunkt im Drehspiegel liegen, also muss die Entfernung zwishen Drehspiegel und Linse 5m betragen. Dadurh tritt das Liht hinter der Linse in parallelen Strahlen aus und wird auf dem Rükweg wieder auf einen Punkt auf dem Drehspiegel fokussiert. Hat hierbei der Drehspiegel eine kleine Drehfrequenz, so erkennt man auf dem Shirm nur einen Punkt. Um am Endspiegel ein sharfes Bild zu erhalten, muss man den Abstand zwishen Laser 2
und Drehspiegel rihtig einstellen. Über die Linsengleihung ergibt sih folgende Formel: = f l g + b = + d + f l d f l + d 2 Da d = 7, 23m und d 2 = 6, 57m shon in der Aufgabenstellung gegeben sind, müssen wir nur noh die Formel nah d auflösen und erhalten: d = f 2 l d + d 2 2f l 6, 58m Dieser Wert liegt im Bereih des maximal einstellbaren Abstands von 6, 80m. Zudem müssen wir beahten, dass der Abstand zwishen Drehspiegel und Strahlenteiler bis zum Shirm auh gleih groß, wie der eben berehnete von 6, 58m ist. Dadurh ist auf dem Shirm das Bild sharf. Die Funktion des Strahlenteilers ist dabei offensihtlih, nämlih dass das Liht niht wieder auf den Laser zurükgeht, sondern dass man dieses auf dem Shirm sehen kann. Nun gilt es über den Abstand s der beiden Punkte auf dem Shirm auf die Lihtgeshwindigkeit zu shließen. Hierzu muss man zunähst einmal betrahten, um welhen Winkel α der Drehspiegel vershoben ist, nahdem das reflektierte Liht wieder am Drehspiegel angekommen ist. Daraus ergibt sih dann ein Winkel von 2α zwishen dem einfallendem und ausfallendem Strahl. Betrahten wir zunähst die Zeit, die das Liht brauht um vom Drehspiegel über den Endspiegel und wieder zurük zu diesem zu kommen: Für den Drehwinkel gilt: = s t s t = = 2d + d 2 Zudem gilt für die Ablenkung: tan(2α) = α = ω t = 2πf t = 4πf d + d 2 a d T eiler + d Shirm = a d α = 2 artan(a d ) Da wir nun zwei Gleihungen für α haben, können wir beide gleihsetzen und erhalten: 2 artan(a d ) = 4πf d + d 2 = 8πf d + d 2 artan( a d ) Für kleine Winkel ist der Arustangens ungefähr sein Argument und daraus folgt: 3
= 8πfd d + d 2 a Wenn man nun den erwarteten Abstand berehnen will, muss man nur die Formel nah a umformen, für die Frequenz f = 500Hz aus der Aufgabenstellung und noh den Literaturwert der Lihtgeshwindigkeit von = 2, 998 0 8 m einsetzen und man erhält: s a 3, 8mm.2 Justierung der Apparatur und Messung Nun soll die Messung durhgeführt werden und man muss dazu die ganze Apparatur zuerst aufbauen. Dazu müssen folgende Dinge durhgeführt werden: Der in Aufgabe. berehnete Abstand vom Laser zum Drehspiegel von 6, 58m einstellen. Der Strahl sollte horizontal auf den Drehspiegel treffen. Den Ort des Drehspiegel so wählen, sodass der Strahl genau auf die Mitte des Umlenkspiegels trifft. Die erste Linse 0m entfernt vom Shirm und die zweite 5m entfernt vom Drehspiegel aufstellen, außerdem diese ausrihten. Den Umlenkspiegel so aufstellen, sodass der Strahl auf die Mitte des Endspiegels trifft. Den Endspiegel so positionieren, dass der Strahl in sih selbst reflektiert wird. Der zurükkehrende Strahl muss die Laseröffnung treffen. Den Shirm nah Aufgabe. aufstellen. Den Ort der Phototransistors, den man für die Frequenzmessung des Spiegels benutzt. Jetzt kann man die Messung durhführen, indem man die Frequenz des Drehspiegels von 440Hz mit einer Stimmgabel einstellt. Man hat die gleihe Frequenz, wenn man eine Shwebung mit dem Motorengeräush erkennt. 4
2 Phasenvergleihmethode 2. Vorbereitung auf den Versuh Mithilfe von diesem Versuhsaufbau bestimmt man die Lihtgeshwindigkeit über die Phasengeshwindigkeit des Lihtes. Diese entspriht in Luft der Gruppengeshwindigkeit, welhe wir im ersten Versuh gemessen haben. Hierzu wird an einer Leuhtdiode eine Spannung angelegt, welhe man an einem Oszilloskop misst. Zusätzlih befindet sih in einem bestimmten Abstand d eine Photodiode, deren Spannung man auh an einem Oszilloskop misst. Man erkennt zwar an dem Oszilloskop, dass beide Shwingungen die gleihe Frequenz haben, jedoh wird die Spannung an der Photodiode eine Phasenvershiebung besitzen. Über die Messung dieser Phasenvershiebung kann man dann auf die Lihtgeshwindigkeit shließen. Jedoh ergibt sih hier das Problem, dass das Oszilloskop eine zu kleine Zeitablenkung hat. Wenn wir nämlih einen Abstand d = m von der Leuht- zur Photodiode haben und die Zeitdifferenz der beiden Shwingungen t = T betragen soll, erhalten wir für 0 die nötige Frequenz: = d t = m 0 T = m 0f! = 2, 998 0 8 m s f 30MHz Demzufolge müsste dann ein Oszilloskop für eine 5mm Vershiebung eine Geshwindigkeit haben von: v = 0, 5m f = 50 m µs Wie der Aufgabenstellung zu entnehmen ist, besitzen jedoh konventionelle Oszilloskope nur eine Geshwindigkeit von bis zu 0 m und sind deshalb zu langsam. µs Damit man die Messung trotzdem durhführen kann, muss man das eigentlihe Signal a os(ωt + φ) mit einem Hilfssignal A os(ωt) multiplizieren. Daraus ergibt sih durh Anwendung des dazugehörigen Additionstheorems: a os(ωt + φ) A os(ωt) = aa 2 [os(ωt + φ Ωt) + os(ωt + φ + Ωt)] = aa 2 [os((ω Ω)t + φ) + os((ω + Ω)t + φ)] Man erkennt das man immer noh die gleihe Phasenvershiebung φ hat. Zudem wird der höherfrequente Anteil ω +Ω durh Tiefpässe unterdrükt. Somit wird am Oszilloskop dieses Signal der beiden Dioden so dargestellt, dass man den Phasenuntershied messen kann. Außerdem muss jetzt noh die Zeitdifferenz umgerehnet werden. Dies geshieht über die gleihe Phasenvershiebung bei bei beiden Signalen: 5
φ = ω t = (ω Ω) t Da sowohl ω = 2π 60MHz, als auh Ω = 2π 59, 9MHz in der Aufgabenstellung gegeben sind, erhalten wir für die ursprünglihe Zeitdifferenz: t = ω Ω ω t = 600 t 2.2 Justierung der Apparatur und Eihmessung Als erstes soll das Blokshaltbild auf der Gerätefrontplatte betrahtet und verstanden werden. Danah soll man die Apparatur justieren. So sollen die Justiershrauben der Dioden rihtig eingestellt werden, sodass ein Parallelstrahl zur Zeiß-Shiene entsteht. Auh soll man eine Linse aufstellen, sodass die Fotodiode optimal beleuhtet wird. Mit einem Frequenzzähler soll die Modulationsfrequenz ω und die Differenzfrequenz ω Ω gemessen werden. Zudem muss eine Eihung für die Zeitablenkung des Oszilloskops mithilfe ein ω/0 Signals durhgeführt werden, da man dadurh genauere Werte erhält. 2.3 Lihtgeshwindigkeits- und Brehzahlmessungen 2.3. Lihtgeshwindigkeit in Luft Wie shon im Aufgabenteil 2. beshrieben, erhält man die Lihtgeshwindigkeit durh: 2.3.2 Brehzahl von Wasser = d t = 600 Nun wird der m große Lihtweg in Luft durh m Lihtweg in Wasser ersetzt. Dadurh soll die Brehzahl von Wasser bestimmt werden. Zunähst muss hierfür t betrahtet werden: t = 600 t = d x Luft + d t x W asser W asser = 600 Luft x Luft t (d x) 600 x sei hierbei die Streke des Lihtweges in der sih Wasser befindet. Daraus erhalten wir für die Brehzahl: n = Luft = + Luft t 600d W asser 600x () 2.3.3 Brehzahl von Plexiglas Diese geshieht analog zur Bestimmung der Brehzahl von Wasser. 6
2.3.4 Lihtgeshwindigkeitsmessung mit Lissajous-Figuren Um überhaupt Lissajous-Figuren zu erkennen, muss man zunähst das Oszilloskop auf X/Y-Betrieb einstellen. Da man eine Gerade haben möhte, brauht man für die Phasenvershiebung ganzzahlige Vielfahe m von π. Damit man nun die Lihtgeshwindigkeit bestimmen kann, muss man nur einen bestimmten Abstand d einstellen, bei dem eine Gerade zu sehen ist und danah den Abstand auf d 2 verringern, bis man wieder eine Gerade sieht. Wihtig ist dann die Differenz d zwishen den beiden Abständen, denn es gilt für die Phasenvershiebung: φ = ω d! = mπ und φ 2 = ω d = ω d + d d = (m + )π ω d = 2ν = λ 2 Daraus erhalten wir für die Lihtgeshwindigkeit:! = (m + )π = λ ν = 2 d ν 2.3.5 Brehzahlbestimmung mit Lissajous-Figuren Als letztes soll man noh mit den Lissajous-Figuren Brehzahlen bestimmen. Dazu stellt man als erstes einen Abstand d 0 so ein, dass wir eine Gerade auf dem Oszilloskop erkennen. Danah bringt man das Medium der Länge x hinein und muss nun den neuen Abstand d finden, sodass man wieder eine Gerade sieht. Mit der Streke s, welhe man verändern musste, kann man nun auf die Brehzahl shließen. Es gilt: s = d 0 d = t Luft d Mit Gleihung () aus Aufgabenteil 2.3.2 erhält man für die Brehzahl: 3 Quellen Literaturmappe Musterprotokolle n = + s x 7