Analysis Klausur zu Ableitung, Änderungsrate, Tangente Gymnasium Klasse 10 Aleander Scwarz www.mate-aufgaben.com Dezember 01 1
Teil 1: one Hilfsmittel Aufgabe 1: Ermittle die Steigung von f() = + 4 an der Stelle mit Hilfe des Differenzenquotienten. Aufgabe : Gib für die Funktion f jeweils die erste Ableitung f ab. Verwende die Ableitungsregeln. Vereinface so weit wie möglic und screibe one negative Hoczalen. a) e) f() = + 4 b) g() = 4 7 () = d) i() = + + + 8 l() = 4( ) a f) k() = a 7 Aufgabe : Skizziere den Grapen der zugeörigen Ableitungsfunktion f. Aufgabe 4: Bestimme die Nullstellen der Funktion f. a) b) d) f() = + 6 f() = 4 f() = ( ) 1 f() = 169
Teil : mit GTR Aufgabe : Der freie Fall einer Kokosnuss aus 0 m Höe wird durc die Funktionsgleicung f(t) = 0 6t (t in s, f(t) in m) modelliert. a) Nac welcer Zeit sclägt die Nuss auf der Erde auf? b) Mit welcer Gescwindigkeit sclägt die Nuss auf der Erdoberfläce auf? Aufgabe 6: Ein Patient erält durc Injektion ein Medikament verabreict. Die Konzentration dieses Medikaments in seinem Blut wird bescrieben durc die Funktion f(t) = 41 t + t (t in Stunden ab Injektionszeitpunkt, f(t) in mg/liter) (Runde ggf. auf die.dezimale) a) Zeicne die Funktion für 0 < t < 1. b) Berecne die mittlere Änderungsrate für die ersten 4 Stunden. Zeicne die geometrisce Bedeutung des Ergebnisses von Teilaufgabe b) farbig in die Abbildung ein. d) Gib die momentane Änderungsrate nac 4 und nac 0 Stunden an. e) Zeicne die geometrisce Bedeutung des Ergebnisses von Teilaufgabe d) für t = 4 farbig in die Abbildung ein. f) Das Medikament zeigt eine spürbare Wirkung erst ab einer Konzentration von,9 mg /Liter. Diese Wirkung wird benötigt für eine Untersucung, die für 14.4 Ur angesetzt ist. Wann (Urzeit) muss der Patient das Medikament spätestens gespritzt bekommen? (Runde sinnvoll) Aufgabe 7: Gegeben ist die Funktion f() = 4 + 1. a) Bestimme die Gleicung der Tangente und der Normalen n im Punkt P(6/f(6)). b) Die Normale scneidet den Grapen von f() in einem weiteren Punkt R. Gib seine Koordinaten an. Bestimme durc Recnung einen Punkt Q des Grapen, in dem die Tangente parallel ist zur Geraden g mit der Gleicung y = 8 +. Gib die Gleicung der Tangente an.
Lösungen Aufgabe 1: f( + ) f() Die Ableitung muss mit der Formel lim = f () berecnet werden. 0 f( + ) f() ( + ) + 4 9 + 10 + + 4 9 10 + lim = lim = lim = lim 0 0 0 0 ( 10 + ) ( ) 0 0 lim = lim 10 + = 10 Aufgabe : a) f() = + 4 b) d) e) f) = + f () 4 1 7 7 7 g() = = g () = 4 4 () = = = 4 () = 4 7 7 i() = + + + 8 = + + + 8 i () = 7 1 + 6 1 l() 4( ) = = 4 l () = 60 16 k() = a a k () = a (a ) a 4 8 6 Aufgabe : Die gestricelte Linie ist das Scaubild der Ableitungsfunktion. 4
Aufgabe 4: a) f() = + = 0 ( ) + = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt Gleicung I): = 0 Gleicung II): + = 0 ist nict lösbar. = 0 ist die einzige Nullstelle. b) 6 f() = 4 = 0 Substitution: u = ± 4 1 ( 4) ± 11 u u 4 = 0 u1, = = Daraus folgt u = 8 oder u = -. Rücksubstitution: = 8 = 8 = = = f() = ( ) 1 = 0 Lösung mit dem Satz vom Nullprodukt: Gleicung I): = 0 = Gleicung II): 1= 0 = 1 = ± 1 d) f() = 169 = 0 = 169 = ± 1 Aufgabe : a) Die Nuss sclägt auf der Erde auf, wenn f(t) = 0 gilt. 0 6t = 0 6t = 0 t = t = ± Da das negative Ergebnis nict sinnvoll ist, sclägt die Nuss nac t =,4 Sekunden auf der Erde auf. b) Es gilt f (t) = 1t f ( ) 1 6,8 = Die Nuss sclägt mit einer Gescwindigkeit von 6,8 m/s auf der Erdoberfläce auf.
Aufgabe 6: a) Zeicnung: b) Mittlere Änderungsrate: f(4) f(0) 0,7 0 mg / Liter = =,06 4 0 4 Die mittlere Änderungsrate entsprict der Steigung der blauen Gerade. mg / Liter d) Momentane Änderungsrate: f (4) =,86 (GTR) e) Die momentane Änderungsrate entsprict der Steigung der roten Tangente an der Stelle t = 4. f) Gesuct ist der erste Zeitpunkt, für den f(t) =,9 gilt. Dies ist für t 0,16 Stunden der Fall. Dies entsprict 0,16 60 1 Minuten. Der Patient muss das Medikament spätestens um 14. Ur gespritzt bekommen. Aufgabe 7: 4 a) Es gilt f() = 4 + 1 und f () = 4 Gleicung der Tangente an der Stelle = 6: y = f (6) ( 6) + f(6) Es ist f(6) = 1 und f (6) = 4 Tangentengleicung: y = 4( 6) + 1 y = 4 1 Normalengleicung an der Stelle = 6: y = ( 6) + f(6) f (6) 1 1 Normalengleicung: y = ( 6) + 1 y = +, 4 4 6
b) Scnittpunkt der Normale mit dem Scaubild von f: 1 4 + 1= +,,7 1, = 0 4,7 ±,7 4 ( 1,),7 ± 4, 1, = = 4 4 Es gilt = 6 (entsprict Punkt P) oder = -0,7 (entsprict Punkt R) 8 Berecnung des y-wertes von R: f( 0,7) = 8 Koordinaten von R: R( 0,7 / ) Gesuct ist eine Tangente mit der Steigung m = -8: 4 f () = 4 = 8 = Berecnung des y-wertes von Q: f( ) = 19 Koordinaten von Q: Q(-/19) Gleicung der Tangente an der Stelle = -: y = f ( ) ( + ) + f( ) Es ist f( ) = 19 und f ( ) = 8 Tangentengleicung: y = 8( + ) + 19 y = 8 7