Kuhn-Tucker-Bedingung Ist x ein lokales Minimum einer skalaren Funktion f unter den Nebenbedingungen g i (x) 0 und sind die Gradienten der aktiven Gleichungen g i (x ) = 0, i I, linear unabhängig, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i 0, so dass grad f (x ) = i I λ i grad g i (x ). Für ein lokales Maximum ist entsprechend λ i 0. Kuhn-Tucker-Bedingungen 1-1
Kuhn-Tucker-Bedingung Ist x ein lokales Minimum einer skalaren Funktion f unter den Nebenbedingungen g i (x) 0 und sind die Gradienten der aktiven Gleichungen g i (x ) = 0, i I, linear unabhängig, dann existieren Lagrange-Multiplikatoren λ i 0, so dass grad f (x ) = i I λ i grad g i (x ). Für ein lokales Maximum ist entsprechend λ i 0. Die Indexmenge I lässt sich auch implizit durch die Bedingungen λ i g i (x ) = 0 festlegen. Ist g i (x ) > 0, so folgt λ i = 0, d.h. die nichttrivialen Multiplikatoren entsprechen den aktiven Nebenbedingungen. Kuhn-Tucker-Bedingungen 1-2
grad f g i = 0 grad g i Kuhn-Tucker-Bedingungen 1-3
grad f g i = 0 grad g i Geometrisch bedeutet die Kuhn-Tucker Bedingung für ein Minimum, dass der Gradient der Zielfunktion f in dem durch die Gradienten der aktiven Nebenbedingungen aufgespannten Kegel (gestrichelt) liegt. Kuhn-Tucker-Bedingungen 1-4
Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-1
Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-2
Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Satz über Lagrange-Multiplikatoren = behauptete Identität mit λ i R Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-3
Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Satz über Lagrange-Multiplikatoren = behauptete Identität mit λ i R zu zeigen: λ i 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-4
Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Satz über Lagrange-Multiplikatoren = behauptete Identität mit λ i R zu zeigen: λ i 0 Indirekter Beweis: Annahme λ k < 0 für ein k I Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-5
Beweis: Die inaktiven Nebenbedingungen (g j (x ) > 0, j / I ) sind irrelevant, da sie in der Umgebung von x keine Einschränkung bedeuten. Minimalität von f ebenfalls auf der kleineren Menge, die durch die Gleichungsbedingungen g i (x) = 0 beschrieben wird Satz über Lagrange-Multiplikatoren = behauptete Identität mit λ i R zu zeigen: λ i 0 Indirekter Beweis: Annahme λ k < 0 für ein k I lineare Unabhängigkeit der Gradienten = v : (grad g k (x )) t v = 1, (grad g i (x )) t v = 0, i I \k, d.h. v liegt in der Tangentialebene der durch g i, i k, definierten Fläche S und hat eine nichttriviale Komponente in Richtung der Normalen der Fläche S k : g k (x) = 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-6
wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-7
wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 = x(t) für hinreichend kleines t > 0 zulässig: g k (x(t)) 0, g i (x(t)) = 0, i I \ k Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-8
wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 = x(t) für hinreichend kleines t > 0 zulässig: g k (x(t)) 0, g i (x(t)) = 0, i I \ k Konstruktion von v und Identität für grad f = d dt f (x(t)) t=0 = grad f (x(t))x (t) t=0 = (grad f (x )) t v = i I λ i grad g i (x ) t v = λ k (grad g k (x )) t v = λ k < 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-9
wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 = x(t) für hinreichend kleines t > 0 zulässig: g k (x(t)) 0, g i (x(t)) = 0, i I \ k Konstruktion von v und Identität für grad f = d dt f (x(t)) t=0 = grad f (x(t))x (t) t=0 = (grad f (x )) t v = i I λ i grad g i (x ) t v = λ k (grad g k (x )) t v = λ k < 0 Abnahme von f entlang der Kurve Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-10
wähle eine Kurve t x(t) S mit Anfangspunkt x(0) = x und Anfangsrichtung x (0) = v g k (x(t)) = g k (x ) + ( (grad g k (x )) t v ) t + O(t 2 ) = 0 + t + O(t 2 ), t 0 = x(t) für hinreichend kleines t > 0 zulässig: g k (x(t)) 0, g i (x(t)) = 0, i I \ k Konstruktion von v und Identität für grad f = d dt f (x(t)) t=0 = grad f (x(t))x (t) t=0 = (grad f (x )) t v = i I λ i grad g i (x ) t v = λ k (grad g k (x )) t v = λ k < 0 Abnahme von f entlang der Kurve Widerspruch zur Minimalität von f (x ) Kuhn-Tucker-Bedingungen 2-11
Beispiel: Extrema der Funktion auf der durch f (x, y) = y 2 x g 1 (x, y) = y x 2 0, g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 definierten hellgrauen Menge D Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-1
Beispiel: Extrema der Funktion auf der durch f (x, y) = y 2 x g 1 (x, y) = y x 2 0, g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 definierten hellgrauen Menge D 2 f = 9 4 1 0 f = 3 4 4/3 1 0 1 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-2
Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-3
Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-4
Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) = Notwendigkeit der Kuhn-Tucker-Bedingung für alle Extrema Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-5
Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) = Notwendigkeit der Kuhn-Tucker-Bedingung für alle Extrema verschiedene Fälle je nachdem welche Nebenbedingungen aktiv sind Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-6
Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) = Notwendigkeit der Kuhn-Tucker-Bedingung für alle Extrema verschiedene Fälle je nachdem welche Nebenbedingungen aktiv sind (i) Keine Nebenbedingung aktiv ( = λ = µ = 0): Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-7
Kuhn-Tucker-Bedingungen grad f = ( 1, 2y) t = λ ( 2x, 1) t t +µ ( 2x, 2y) }{{}}{{} grad g 1 grad g 2 λ (y x 2 ) = 0, µ (2 x 2 y 2 ) = 0 }{{}}{{} g 1 g 2 mit Lagrange-Multiplikatoren λ und µ gleichen Vorzeichens lineare Unabhängigkeit der Gradienten der aktiven Nebenbedingungen für alle zulässigen Punkte (nicht Null und an den Schnittpunkten der Randkurven nicht parallel) = Notwendigkeit der Kuhn-Tucker-Bedingung für alle Extrema verschiedene Fälle je nachdem welche Nebenbedingungen aktiv sind (i) Keine Nebenbedingung aktiv ( = λ = µ = 0): ( 1, 2y) = (0, 0) nicht erfüllbar, keine Extrema von f im Inneren von D Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-8
(ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-9
(ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 = λ = 2y = 2x 2 0 und 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-10
(ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 = λ = 2y = 2x 2 0 und 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-11
(ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): = λ = 2y = 2x 2 0 und ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum (iii) g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv ( = λ = 0): Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-12
(ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): = λ = 2y = 2x 2 0 und ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum (iii) g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv ( = λ = 0): ( 1, 2y) = µ( 2x, 2y), 2 x 2 y 2 = 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-13
(ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): = λ = 2y = 2x 2 0 und ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum (iii) g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv ( = λ = 0): ( 1, 2y) = µ( 2x, 2y), 2 x 2 y 2 = 0 = µ = 1 < 0 (y = 0 wegen (± 2, 0) / D nicht möglich) und x = 1/2, y = 7/2 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-14
(ii) g 1 (x, y) = y x 2 0 aktiv ( = µ = 0): = λ = 2y = 2x 2 0 und ( 1, 2y) = λ( 2x, 1), y x 2 = 0 1 = (2x 2 )( 2x) x = 4 1/3, y = 4 2/3 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum (iii) g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv ( = λ = 0): ( 1, 2y) = µ( 2x, 2y), 2 x 2 y 2 = 0 = µ = 1 < 0 (y = 0 wegen (± 2, 0) / D nicht möglich) und x = 1/2, y = 7/2 = Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Maximum Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-15
(iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-16
(iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-17
(iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Einsetzen in die Gleichung für grad f bzw. ( 1, 2) = λ( 2, 1) + µ( 2, 2) = λ = 1, µ = 1/2 ( 1, 2) = λ(2, 1) + µ(2, 2) = λ = 1/3, µ = 5/6 Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-18
(iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Einsetzen in die Gleichung für grad f bzw. ( 1, 2) = λ( 2, 1) + µ( 2, 2) = λ = 1, µ = 1/2 ( 1, 2) = λ(2, 1) + µ(2, 2) = λ = 1/3, µ = 5/6 keine Extremstellen wegen der verschiedenen Vorzeichen der Lagrange-Multiplikatoren Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-19
(iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Einsetzen in die Gleichung für grad f bzw. ( 1, 2) = λ( 2, 1) + µ( 2, 2) = λ = 1, µ = 1/2 ( 1, 2) = λ(2, 1) + µ(2, 2) = λ = 1/3, µ = 5/6 keine Extremstellen wegen der verschiedenen Vorzeichen der Lagrange-Multiplikatoren Existenz von Extrema auf der kompakten zulässigen Menge = Minimum im Fall (ii) bei (4 1/3, 4 2/3 ), Maximum im Fall (iii) bei ( 1/2, 7/2) Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-20
(iv) g 1 (x, y) = y x 2 0 und g 2 (x, y) = 2 x 2 y 2 0 aktiv: y = x 2 x 2 + y 2 = 2 = (x, y) = (1, 1) oder (x, y) = ( 1, 1) Einsetzen in die Gleichung für grad f bzw. ( 1, 2) = λ( 2, 1) + µ( 2, 2) = λ = 1, µ = 1/2 ( 1, 2) = λ(2, 1) + µ(2, 2) = λ = 1/3, µ = 5/6 keine Extremstellen wegen der verschiedenen Vorzeichen der Lagrange-Multiplikatoren Existenz von Extrema auf der kompakten zulässigen Menge = Minimum im Fall (ii) bei (4 1/3, 4 2/3 ), Maximum im Fall (iii) bei ( 1/2, 7/2) alternative Typbestimmung durch Vergleich der Funktionswerte f (4 1/3, 4 2/3 ) = 3 3 2/8 < 9/4 = f ( 1/2, 7/2) Kuhn-Tucker-Bedingungen 3-21
Beispiel: f (x) min, a i x i b i Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-1
Beispiel: f (x) min, a i x i b i Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum grad f (x ) = i (λ i µ i ) e i mit e i dem i-ten Einheitsvektor λ t (x a) = 0, µ t (b x ) = 0, λ i, µ i 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-2
Beispiel: f (x) min, a i x i b i Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum grad f (x ) = i (λ i µ i ) e i λ t (x a) = 0, µ t (b x ) = 0, λ i, µ i 0 mit e i dem i-ten Einheitsvektor ± als Intervallgrenzen zugelassen Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-3
Beispiel: f (x) min, a i x i b i Kuhn-Tucker-Bedingung für ein lokales Minimum grad f (x ) = i (λ i µ i ) e i λ t (x a) = 0, µ t (b x ) = 0, λ i, µ i 0 mit e i dem i-ten Einheitsvektor ± als Intervallgrenzen zugelassen z.b. a i = = λ i = 0 keine Einschränkung in den Kuhn-Tucker-Bedingungen Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-4
(i) a i < x,i < b i : Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-5
(i) a i < x,i < b i : Lagrange-Multiplikatoren λ i und µ i Null und damit auch die i-te Komponente g i von grad f (x ) Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-6
(i) a i < x,i < b i : Lagrange-Multiplikatoren λ i und µ i Null und damit auch die i-te Komponente g i von grad f (x ) (ii) Eine der Ungleichungen für x i aktiv: Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-7
(i) a i < x,i < b i : Lagrange-Multiplikatoren λ i und µ i Null und damit auch die i-te Komponente g i von grad f (x ) (ii) Eine der Ungleichungen für x i aktiv: entsprechender Lagrange-Multiplikator bestimmt Vorzeichen von g i : x,i = a i = g i 0, x,i = b i = g i 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-8
x 2 b 2 b 1 a 1 a 2 x 1 Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-9
x 2 b 2 b 1 a 1 a 2 x 1 mögliche Richtungen von grad f (x ) für bivariate Zielfunktionen und Minima auf den Seiten und an den Ecken von [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-10
x 2 b 2 b 1 a 1 a 2 x 1 mögliche Richtungen von grad f (x ) für bivariate Zielfunktionen und Minima auf den Seiten und an den Ecken von [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] grad f (x ) = 0 für Minima im Inneren Kuhn-Tucker-Bedingungen 4-11
Beispiel: Lineares Programm: Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-1
Beispiel: Lineares Programm: Minimierung einer linearen Funktion (c 1,..., c n )x min unter den linearen Nebenbedingungen mit einer m n-matrix A Ax b Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-2
Beispiel: Lineares Programm: Minimierung einer linearen Funktion (c 1,..., c n )x min unter den linearen Nebenbedingungen Ax b mit einer m n-matrix A Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein lokales Minimum x R n c t = λ t A, λ t (Ax b) = 0 mit λ i 0 (entsprechend λ i 0 für ein Maximum) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-3
z.b. d.h. x + y min, x 2, y 1, x + 2y 8, c = ( ) 1 0 2 1, A = 0 1, b = 1 1 1 2 8 Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-4
z.b. d.h. x + y min, x 2, y 1, x + 2y 8, c = = Kuhn-Tucker-Bedingungen ( ) 1 0 2 1, A = 0 1, b = 1 1 1 2 8 1 = λ 1 + λ 3, 1 = λ 2 + 2λ 3, λ 1 [x 2] + λ 2 [y 1] + λ 3 [x + 2y 8] = 0 mit λ i, [... ] 0 Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-5
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-6
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-7
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-8
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-9
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-10
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-11
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-12
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-13
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein Minimum erfüllt Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-14
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein Minimum erfüllt (iii) λ 3 = 0: Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-15
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein Minimum erfüllt (iii) λ 3 = 0: aktive Nebenbedingungen x = 2, y = 1 Punkt ausserhalb des zulässigen Bereichs Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-16
Bedingungen = genau einer der Lagrange-Multiplikatoren gleich null drei Fälle (jeweils zwei Nebenbedingungen aktiv) (i) λ 1 = 0: = λ 3 = 1, λ 2 = 1 kein Extremum, da verschiedene Vorzeichen (ii) λ 2 = 0: = λ 3 = 1/2, λ 1 = 1/2 aktive Nebenbedingungen x = 2, x + 2y = 8 (x, y) = (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen für ein Minimum erfüllt (iii) λ 3 = 0: aktive Nebenbedingungen x = 2, y = 1 Punkt ausserhalb des zulässigen Bereichs Beschränkheit von f nach unten auf dem zulässigem Bereich = globales Minimum bei (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-17
y 5 4 3 (2, 3) 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x + y = c x geometrische Konstruktion der Lösung: Niveaulinie der Zielfunktion berührt den zulässigen Bereich in (2, 3) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-18
y 5 4 3 (2, 3) 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x + y = c x geometrische Konstruktion der Lösung: Niveaulinie der Zielfunktion berührt den zulässigen Bereich in (2, 3) Zielfunktion steigt (fällt), wenn die Niveaugeraden den zugelassenen Bereich schneiden (nicht schneiden) Kuhn-Tucker-Bedingungen 5-19